esercizi svolti equazioni logaritmiche

1. Esercizi di Matematica svolti durante la lezione
del prof. L.G. Cancelliere
il 14/1/2011 - classe 4A liceo
Esercizio 1 – trovare il campo di esistenza della seguente eqauzione esponenziale e
trovarne le soluzioni:
log 3  x 2 x−log3  x 2− x=1
Individuiamo per prima cosa il campo di esistenza della espressione richiesta. E' noto che
per i logaritmi deve sempre essere: se loga(b) allora b > 0
Quindi applicando questa regola ai logaritmi della espressione risulta che deve essere
contemporaneamente:
per ognuna delle disequazioni di secondo
x 2 x0 x  x10 grado bisogna trovare la/e condizione/i di
(*)
che le soddisfano:
2
x − x0 x  x−10
relativamente al primo prodotto possiamo scrivere (ossia studiamo come al solito ove i
due fattori sono maggiori di 0):
x0 x0
x10 x−1
componiamo ora il diagramma che indica ove tutti e due i fattori sono positivi e quindi
componiamo il segno risultante della disequazione costituita dal primo prodotto:
+ - +
-1 0 X
Quindi il prodotto dei fattori risulta maggiore di 0 quando x < -1 o quando x > 0.
Studiamo la seconda disequazione del sistema (*):
x0 x0
x−10 x1
1 A. Veneziani – Analisi esercizi svolti 14-1-2011

2. A questo punto disegnamo come prima il diagramma dei segni per le disequazioni frutto
dello studio dei segni dei singoli fattori del prodotto:
+ - +
0 1 X
In questo caso il prodotto risulta positivo solo per x > 1 e x < 0
Componendo le condizioni del sistema (*) risulta:
x1 e x0
x0 e x−1
La condizione risultante dalle due indicate è: -1 > x > 1
Trovata il campo di esistenza possiamo andare a svolgere l'equazione proposta:
log 3  x 2 x−log 3  x 2−x=1
log 3  x 2 x=1log3  x 2− x log 3  x 2 x=log3 3log3  x 2− x
l'indicazione log3(3) = 1 deriva dalla stessa definizione per la quale il risultato di un
logaritmo è quel numero per il quale elevare la base per ottenere l'argomento:
31 = 3 quindi è corretto.
log 3  x 2 x=log3 3⋅ x 2− x log 3  x 2 x=log3 3⋅ x 2− x
Arrivati alla forma che uguaglia due logaritmi, si possono eguagliare anche i loro
argomenti per soddisfare una uguaglianza:
x 2 x=3⋅ x 2− x
 x 2 x=3 x 2−3 x −2 x 24 x=0
−2 x x−2=0
Le soluzioni di questo prodotto uguagliato a zero sono individuabili uguagliando, come al
solito, i fattori contenti la x a zero:
x 1=0  x−2=0 x 2=2
2 A. Veneziani – Analisi esercizi svolti 14-1-2011

3. La soluzione x1 = 0 non è cade nel campo di esistenza previsto dal nostro studio; l'unica
soluzione accettabile è quindi la x2 = 2.
Graficamente è possibile rendere in modo visivo quanto calcolato in modo algebrico,
osservando i punti di intersezione delle linee rappresentanti le espressioni al primo e
secondo membro della uguaglianza originale:
Esercizio 2 – trovare il campo di esistenza della seguente eqauzione esponenziale e
trovarne le soluzioni:
2⋅log 10  x3=log 10  x−14⋅log 10  2
Individuiamo per prima cosa, come abbiamo fatto prima, il campo di esistenza:
ricordiamo che per i logaritmi vale la regola: se loga(b) allora b > 0
x30 x−3
x−10 x1
In questo caso le due condizioni relative alla esistenza dei logaritmi danno luogo a due
3 A. Veneziani – Analisi esercizi svolti 14-1-2011

4. disequazioni semplici (non sono prodotti). In questo caso quindi dobbiamo solo comporre
tali condizioni:
In questo caso la composizione delle condizioni si limita a rendere valida la condizione più
restrittiva, vale a dire x > 1, che
Svolgiamo ora il calcolo della equazione logaritmica vera e propria:
log 10  x32 =log 10  x−1log10 2 4 
in questo caso abbiamo applicato la regola dei logaritmi: k loga(b) = loga(bk)
applichiamo ora al secondo membro della equazione la regola dei logaritmi:
loga(b) + loga(c) = loga(b c)
log 10  x32 =log 10  x−1⋅16 log 10  x32 =log 10  x−1⋅16
siamo arrivati ad un espressione ove compare al membro di destra e a quello di sinistra
una uguaglianza di soli due logaritmi (uno a destra e uno a sinistra) con la stessa base, ed
è quindi possibile eguagliare gli argomenti dei logaritmi:
log 10  x32 =log 10  x−1⋅16  x32= x−1⋅16
successivamente si svolgono calcoli routinari:
x 296x=16x −16
x 2−10 x25=0 questa è una equazione di 2° grado facilmente risolubile.
Individuiamo subito se esistano per essa soluzioni reali, calcolando il delta:
=b 2−4⋅a⋅c=−102−4⋅1⋅ 25=100−100=0
il calcolo del Δ indica che esistono soluzioni reali e coincidenti (Δ = 0).
A questo punto passiamo a calcolarle:
−b±  10±  0 10
x 1,2= = = =5
2⋅a 2 2
In questo caso queste soluzioni coincidenti sono accettabili, in quanto soddisfano la
condizione di esistenza che imponeva x > 1.
Graficamente è possibile visualizzare la soluzione trovata, tramite il computer plottando un
opportuno grafico relativo alle due funzioni coinvolte al primo e secondo membro dell'
uguaglianza:
4 A. Veneziani – Analisi esercizi svolti 14-1-2011

5. 5 A. Veneziani – Analisi esercizi svolti 14-1-2011