I numeri irrazionali, i radicali e le loro proprietà

1. RADICALI Creato da: Rosangela Mapelli www.nonsolomatematica.it Licenza Cretive Commons: Sei libero di modificare e pubblicare questa Presentazione a patto di indicare l'autore, non trarne guadagno e devi condividere i derivati sotto la stessa licenza.

2. Cenni storici La scoperta dei numeri irrazionali avvenne ad opera dei pitagorici , studiosi greci della famosa scuola pitagorica fondata da Pitagora . La scuola pitagorica poneva al centro del suo pensiero il numero, che non rappresentava solo l’espressione della quantità, ma costituiva “l’elemento dell’Universo” . Tutta la realtà fisica si fondava, infatti sui numeri naturali e sul loro rapporto, numeri che erano considerati i soli in grado di legare grandezze geometriche e misure. Per i pitagorici, quindi, ogni misura si doveva esprimere con un numero naturale o con un rapporto fra due numeri naturali, cioè un numero razionale. I numeri razionali bastavano allo svolgimento di qualunque attività matematica. Ricordiamo che i numeri razionali sono tutti quei numeri esprimibili come frazioni (ratio) di numeri interi. Ad es. sono numeri razionali Prof. Mapelli Rosangela

4. Cioè il rapporto tra le misure di due grandezze incommensurabili è un numero irrazionale, in questo caso la misura di una rispetto all’altra è un numero irrazionale AB = i CD (i numero irrazionale) Il lato del quadrato e la sua diagonale non sono commensurabili. Prof. Mapelli Rosangela Si può affermare, allora, che il rapporto tra due grandezze omogenee è un numero reale (positivo). E’ un numero razionale nel caso di grandezze commensurabili, irrazionale nel caso di grandezze incommensurabili. l d Due grandezze omogenee si dicono incommensurabili quando non esiste nessuna grandezza che è contenuta un numero intero di volte in ciascuna di esse

5. I Greci prepitagorici pensavano che esistessero solo grandezze commensurabili. Il teorema di Pitagora ha messo in crisi tale concezione . Non è difficile provare, infatti, che la diagonale di un quadrato ed il lato del quadrato stesso sono segmenti incommensurabili. Con le notazioni moderne, la misura della diagonale rispetto al lato è data da , numero che non può essere razionale. E’ sorta così la necessità di definire un nuovo tipo di numero, per l’appunto i numeri irrazionali I numeri irrazionali Prof. Mapelli Rosangela Bisognerà aspettare quasi duemila anni perché queste entità entrino a far parte dell’uso comune e perché il fatidico numero il cui quadrato è 2 diventi il numero irrazionale . È molto recente, infatti l’introduzione del calcolo con i numeri irrazionali e si deve principalmente ai matematici Richard Dedekind e Georg Cantor , mentre Rudolff ha introdotto il simbolo odierno di

6. Con l’introduzione quindi, dei numeri irrazionali si allarga la possibilità di fare delle misurazioni e dei calcoli, che prima si ritenevano non possibili, come calcolare le diagonali dei quadrati e dei rettangoli o trovare le altezze dei triangoli equilateri, ecc… Prof. Mapelli Rosangela

7. Alcune applicazioni Spirale di Teodoro di Cirene Prof. Mapelli Rosangela

8. Duplicazione del quadrato Duplicazione di qualsiasi poligono Prof. Mapelli Rosangela Moltiplicare ogni lato per equivale a raddoppiare l’area del poligono.

9. Prof. Mapelli Rosangela “ Quando due cerchi toccano un medesimo quadrato in quattro punti, uno è il doppio dell’altro.” “ Quando due quadrati toccano lo stesso cerchio in quattro punti, uno è il doppio dell’altro.”

10. Dato che esistono dei numeri non razionali , si ha la necessità di ampliare l’insieme dei numeri razionali. Consideriamo un nuovo insieme che chiamiamo dei numeri REALI , tale insieme è l’unione dell’insieme dei numeri RAZIONALI e di quello dei numeri IRRAZIONALI Gli insiemi numerici Prof. Mapelli Rosangela Si definisce numero irrazionale ogni numero decimale infinito che non sia periodico Si definisce numero reale ogni numero razionale o irrazionale N naturali Z relativi I irrazionali Q razionali R reali

11. I radicali Ricordiamo che la radice di un numero è possibile (ha per soluzione un numero reale) solo se: - l’indice della radice è pari e il radicando è positivo; - l’indice della radice è dispari. Prof. Mapelli Rosangela Esponente Radicando Indice Radice n-esima di a Si definisce radice n-esima aritmetica di un numero reale positivo a quel numero sempre positivo la cui potenza n-esima è uguale ad a cioè . La scrittura viene detta RADICALE

12. Casi Particolari Se il numero dell’indice è uguale a quello dell’esponente, si semplificano sia l’indice che l’esponente e si avrà come risultato soltanto il radicando. Non esiste radice con indice 0 infatti a 1 = a infatti 0 n = 0 Prof. Mapelli Rosangela

13. Condizioni di esistenza n è pari n è dispari a < 0 a > 0 a = 0 a > 0 a = 0 a < 0 Se il radicando è un’espressione letterale dobbiamo porre le relative condizioni di esistenza Prof. Mapelli Rosangela Una radice con indice dispari esiste qualunque sia il radicando, mentre una radice con indice pari esiste solo se il radicando è positivo o nullo

14. Operazioni con i radicali Prof. Mapelli Rosangela

15. Trasporto fuori dal segno di radice Questa operazione si può eseguire solo se nel radicando si presentano fattori che hanno esponenti uguali all’ indice oppure maggiori dell’indice. scomponiamo in fattori il radicando Prof. Mapelli Rosangela

16. Un radicale è riducibile se l’indice e l’esponente hanno un divisore in comune che li possa dividere. Un radicale è irriducibile quando l’indice e l’esponente non hanno nessun divisore in comune che li possa dividere. Semplificazioni Prof. Mapelli Rosangela

17. Trasporto dentro al segno di radice Uno o più fattori positivi si possono trasportare dentro il segno di radice elevandoli a potenza uguale all’ indice. Prof. Mapelli Rosangela

18. Somma e differenza La somma (o differenza) algebrica di due o più radicali è possibile, se e solo se, i radicali hanno indice della radice e radicando uguali; tali radicali si dicono simili. La somma ( o differenza) algebrica di due o più radicali simili è un radicale simile a quelli dati con coefficiente uguale alla somma algebrica dei coefficienti (fattori eterni) dei singoli radicali. Sono simili Sono simili Non si sommano Non si sommano Prof. Mapelli Rosangela

20. Elevamento a potenza La potenza di un radicale si esegue elevando a potenza solo il radicando. Prof. Mapelli Rosangela

21. Radice di radice La radice di una radice è uguale a una radice che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando. Prof. Mapelli Rosangela

22. Razionalizzazione Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare la frazione in una equivalente che non ha radicale a denominatore. Si possono individuare tre CASi di razionalizzazione: 1 – CASO Se al denominatore c’è una radice quadrata, si moltiplica sia il denominatore che il numeratore per la radice quadrata Prof. Mapelli Rosangela

23. 2 – CASO Se al denominatore c’è una radice con indice superiore 2, cioè il radicale non è quadratico, si deve moltiplicare sia il numeratore che denominatore per un radicale che ha per indice lo stesso indice della radice di partenza e per radicando quello ottenuto sottraendo l’indice con l’esponente cioè Prof. Mapelli Rosangela

24. 3 – CASO Se invece al denominatore ci sono due radicali quadratici, bisogna moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per il coniugato del denominatore, cioè usare la relazione (a - b)(a + b) = (a 2 – b 2 ) Prof. Mapelli Rosangela

26. Errori da non fare Non uguale a Non uguale a Non uguale a Non uguale a Prof. Mapelli Rosangela