Il documento discute i polinomi di grado n e le tecniche per scomporre polinomi di grado superiore al secondo, evidenziando la relazione tra le radici e la legge di annullamento del prodotto. Vengono presentati esempi pratici di scomposizione e risoluzione delle equazioni attraverso varie tecniche, come il raccoglimento e la scomposizione in fattori irriducibili. Inoltre, si sottolinea che un polinomio di grado n può avere al massimo n radici.

1. Equazioni di grado superiore al
secondo
Prof. Santi Caltabiano

2. Polinomio di grado n
Equazioni di grado superiore al secondo
Dato un numero intero n positivo ed n+1 coefficienti reali a0, a1, a2, …, an (con
an diverso da 0) allora si definisce polinomio di grado n a coefficienti reali:
01
2
2
1
1 ... axaxaxaxa n
n
n
n  

Da notare che non c’è l’uguale finale, cioè stiamo considerando solo il
polinomio e non l’equazione per trovare le radici del polinomio.
A volte per indicare un polinomio si utilizzano le lettere maiuscole
dell’alfabeto, ad esempio P(x) che sottintende:
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP n
n
n
n  

Esempio di polinomio a coefficienti reali:
7713
11
3
3)( 235
 xxxxxP
Come si osserva, manca il termine di quarto grado poiché il suo coefficiente è
zero.

3. Scomporre un polinomio di grado n
Equazioni di grado superiore al secondo
Consideriamo un polinomio di grado n:
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP n
n
n
n  

scomporre questo polinomio, significa esprimerlo come prodotto di altri
polinomi irriducibili (cioè non ulteriormente scomponibili).
Cioè significa trovare m≤n polinomi irriducibili A1(x), A2(x), A3(x),…, Am(x) tali
che:
P(x)=A1(x)∙A2(x) ∙A3(x) ∙… ∙ Am(x)
Per scomporre un polinomio di grado superiore al secondo possiamo
utilizzare le seguenti tecniche:
• Raccoglimento a fattore totale;
• Raccoglimento a fattore parziale;
• Riconoscimento differenza di quadrati;
• Riconoscimento differenza di cubi;
• Scomposizione polinomi di secondo grado;
• Utilizzare Ruffini;

4. Polinomi notevoli irriducibili
Scomposizione di polinomi
• Evidentemente ogni polinomio di primo grado, del tipo ax+b, non è
ulteriormente scomponibile e pertanto è irriducibile. Ad esempio 3x-1.
• Ogni equazione di secondo grado con il delta minore di zero è irriducibile.
Ad esempio x2+x+1.
• Ogni polinomio del tipo axn+b è irriducibile, se n è un numero pari ed a e b
sono coefficienti reali con segno concorde (cioè con lo stesso segno).
Esempio: 5x10+3 oppure –x20 – 23.

5. Legge di annullamento del prodotto di polinomi
Scomposizione di polinomi
Dati due polinomi A(x) e B(x) allora la legge di annullamento del prodotto
dice che il prodotto dei due polinomi:
Sarà nullo se A(x)=0 oppure se B(x)=0.
A(x)∙ B(x)
Ad esempio il polinomio:
)2)(1(  xx
Sarà nullo quando (x-1) è 0 e cioè per x=1 oppure quando (x-2) è 0 e cioè per
x=2. Infatti per x=1 avremo:
0)1(0)21)(11( 

6. Equazioni di grado superiore al secondo
Scomposizione di polinomi
Data un’equazione di grado superiore al secondo, allora per trovare le
soluzioni si procede come segue:
1) Utilizzando le tecniche a propria disposizione, scomporre il polinomio dato
(cioè scomporre il polinomio nel prodotto di polinomi irriducibili).
2) Trovare le radici, se esistono, dei singoli polinomi irriducibili (detti fattori).
3) Per la legge di annullamento del prodotto tali radici (soluzioni) saranno le
soluzioni dell’equazione di partenza.
Ovviamente un polinomio di grado n ammetterà al più n radici (significa che il
numero delle radici sarà compreso tra zero ed n).

7. Esempio 1
Equazioni di grado superiore al secondo
Risolvere l’equazione
094 26
 xx
Scomponiamo il polinomio. Utilizzando il raccoglimento a fattore comune:
)94(94 4226
 xxxx
Svolgimento:
Tra parentesi è contenuta una differenza di quadrati:
)32)(32(94 22226
 xxxxx
E’ ancora presente una differenza di quadrati:
)32)(32)(32(94 2226
 xxxxxx
Quindi per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni dell’equazione di
partenza saranno:
00da 2
 xx
2/3032da  xx
2/3032da  xx

8. Esempio 2
Equazioni di grado superiore al secondo
Risolvere l’equazione
0284 23
 xxx
Scomponiamo il polinomio:
Svolgimento:
Quindi l’equazione di partenza scomposta è:
Quindi per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni dell’equazione di
partenza saranno:
2/10)12(da  xx
)2)(12)(12()2)(14()2()2(4284 2223
 xxxxxxxxxxx
Raccoglimento
parziale
Differenza di
quadrati
0)2)(12)(12(  xxx
2/10)12(da  xx
20)2(da  xx

9. Esempio 3
Equazioni di grado superiore al secondo
Risolvere l’equazione
02425 234
 xxxx
Scomponiamo il polinomio. Raccogliamo rispetto al fattore comune x:
Svolgimento:
Per scomporre il polinomio di terzo grado:
)2425(2425 23234
 xxxxxxxx
2425 23
 xxx
Possiamo utilizzare Ruffini. Sappiamo che se esiste una radice intera allora
questa sarà un divisore del termine noto.
Andiamo quindi a cercare la radice tra i divisori di 24, che sono:
24,12,8,6,4,3,2,1 
Verifichiamo se qualcuno di questi valori annulla il polinomio di terzo grado:
radiceèNon202662425124)1(2)1(5)1(1 23
x
radiceèNon182572425124)1(2)1(5)1(1 23
x
radiceE'0282824420824)2(2)2(5)2(2 23
x
Continua

10. Equazioni di grado superiore al secondo
Scomponiamo quindi il polinomio applicando Ruffini:
)127)(2(2425 223
 xxxxxx
2
1 5 -2 -24
1
2
7
14
12
24
0
Quindi:
Ci rimane da scomporre il polinomio di secondo grado:
1272
 xx
Troviamo quindi le radici con la nota formula:
014849)12)(1(44942
 acb
4e3
2
17
2
17
2
21 





 xx
a
b
x
Quindi:
)4)(3())4())(3((1272
 xxxxxx
Continua

11. Equazioni di grado superiore al secondo
In definitiva, riepilogando, avremo:
 )127)(2()2425(2425 223234
xxxxxxxxxxxx
)4)(3)(2(  xxxx
Pertanto l’equazione di partenza diventa:
0)4)(3)(2(  xxxx
Le radici quindi sono: 0, 2, -3, -4

12. Fine della spiegazione