Riassunto di alcune tipologie di disequazioni

1. DEFINIZIONE
Una diseguaglianza in cui compare un’incognita si chiama disequazione (in un’incognita).
Se in una disequazione si sostituisce un numero al posto dell’incognita, la disequazione si
trasforma in una diseguaglianza, che , se ha senso, può essere vera o falsa.
Si dice che un numero è soluzione di una data disequazione se, sostituendolo
all’incognita, rende la disuguaglianza vera.
DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Risolvere una disequazione significa trovare i valori dell’incognita per i quali la
disequazione si trasforma in una diseguaglianza vera, ossia significa determinare
l’insieme delle soluzioni.
Nel polinomio P(x)>0 il grado della disequazione dipende dal grado del polinomio P(x)
rispetto alla lettera x.
Per risolvere una disequazione intera di primo grado si opera nel seguente modo:
Si svolgono eventuali prodotti indicati e si libera la disequazione dai denominatori, se
questi sono presenti.
Si trasportano tutti i monomi contenenti l’incognita al primo membro e tutte le costanti
(termini noti) al secondo membro, poi si riducono i termini simili.
La disequazione si riduce così a queste forme:
ax>b , ax<b , ax≥b , ax≤b .
Se il coefficiente dell’incognita è diverso da zero, si dividono entrambi i membri della
disequazione per tale coefficiente, ricordando che se esso è negativo, si deve
cambiare il verso e il simbolo di disuguaglianza. Se invece il coefficiente
dell’incognita è zero qualsiasi numero si sostituisca al posto dell’incognita il primo
membro assume il valore di 0, perciò la disequazione si riduce ad una
disuguaglianza che vero o falsa indipendentemente dal valore che si attribuisce
all’incognita.
Esempio:
2
2
23x
2
2x5
3
14x
−
+
≥
+
−
−
152126968
126961528
6
12)23(3
6
)25(3)14(2
++−≥−−
−+≥−−−
−+
≥
+−−
xxx
xxx
xxx
7
11
7
11
7
7
117
−<
−
<
−
−
>−
x
x
x

2. DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL PRIMO e FRAZIONARIE
N.B.: Una disequazione in cui l’incognita compare al denominatore di qualche frazione si
dice frazionaria.
Se il secondo membro della disequazione non è zero, si trasportano tutti i termini al primo membro in modo
che al secondo membro compaia solo lo zero.
Si cerca di scrivere l’espressione al primo membro come prodotto di polinomi di primo
grado in x, oppure come un’unica frazione, avente per numeratore e denominatore
polinomio di primo grado in x, o prodotti di tali polinomi.
Si studia il segno di ciascuno dei polinomi di primo grado prima determinati
N.B.: Si costruisce il grafico del segno
Si riporta il segno del denominatore e numeratore ricordando che la linea continua indica i
valori positivi e la tratteggiata valori negativi.
La soluzione della disequazione è data dal prodotto dei segni che corrispondono al verso
della disequazione, tenendo presente che in corrispondenza dei valori di x per cui si
annulla il numeratore si annulla l’intera espressione (purché per tale valore non si
annulli anche il denominatore) e in corrispondenza dei valori di x per cui si annulla il
denominatore l’espressione perde senso e con essa anche la disequazione.
0>
+
+
dcx
bax
( )( )( ) 0<+++ qmxdcxbax
( )( ) 0<
+
++
qmx
dcxbax
( ) ( ) 0<
+
+⋅+
qmx
dcxbax
( ) ( ) ( ) 0<+⋅+⋅+ qmxdcxbax
− + − +

3. SISTEMI DI DISEQUAZIONI
Un sistema di disequazioni è l'insieme di due o più disequazioni nella stessa incognita che
devono essere verificate simultaneamente.
La soluzione di un sistema di disequazioni è determinata dall'INTERSEZIONE delle
soluzioni delle singole disequazioni.
N.B.: il grafico delle intersezioni si disegna con una LINEA CONTINUA PER CIASCUNA
delle soluzioni dalle SINGOLE disequazioni che compongono il sistema.
Esempio:
Se le singole disequazioni che compongono il sistema sono date da disequazioni
frazionarie (o con modulo), basta risolverle una per volta.
( ) ( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<+
>+⋅+
0
0
qmx
dcxbax

4. DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
E' una qualunque disequazione nella quale l'incognita compare sotto il segno di radice.
Se l'indice n della radice è dispari, si può tranquillamente elevare ambo i membri alla
potenza pari all'indice in modo da far “sparire” il radicale:
Se l'indice invece è pari allora dovremo comunque “togliere” il radicale con la potenza ma
bisognerà studiare i segni delle espressioni fuori e sotto radice.
In generale esse si presentano in due forme:
1.
2.
⎩
⎨
⎧
>
>
⎩
⎨
⎧
∪
<
>
→> n
n
AB
A
A
B
AB 2
2
0
0
0
( ) 121212
1212 +++
++
>→>→> nnn
nn
ABABAB
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
>
→<
n
n
AB
A
B
AB
2
2
0
0

5. DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO
N.B.: Prima di affrontare le disequazioni con valori assoluti chiariamo il concetto di valore assoluto o
modulo.
Il valore assoluto di x, un generico numero reale, è:
Ad esempio se è x=+2>0 sarà |+2|=2; se invece è x=-2<0 sarà |-2|=-(-2)=2. Se poi x=0 sarà |0|=0. In
sostanza, la definizione data implica che qualsiasi numero diverso da zero ha valore assoluto positivo |x|>0
per x≠0.
Sempre dalla definizione data risulta che due numeri reali avranno lo stesso valore assoluto se sono uguali
o opposti.
Le disequazioni con valore assoluto si risolvono mediante l'UNIONE di DUE sistemi di
disequazioni i quali si ottengono come segue:
OGNUNO dei DUE sistemi contiene,
1. la “condizione di apertura”, ovvero si prende l'argomento del modulo (cioè tutto ciò
che si trova all'interno del valore assoluto) e si impone > 0 (mentre nel secondo
sistema < 0) che serve a STUDIARNE IL SEGNO
2. la disequazione di partenza con il tutto ciò che si trova all'interno del modulo
“aperto”:
● SENZA CAMBIARE SEGNO se la condizione di apertura è >0 (primo sistema)
● CAMBIANDO IL SEGNO , se la condizione di apertura è <0 (secondo sistema)
N.B.: il grafico delle unioni si disegna con riportando TUTTE LE SOLUZIONI di CIASCUN
sistema su una STESSA LINEA CONTINUA.
Rxx ∈∀≥ 0
⎩
⎨
⎧
<−
≥
=
0
0
xperx
xperx
x
dcxbax +>+
( )⎩
⎨
⎧
+>+−
<+
∪
⎩
⎨
⎧
+>+
>+
dcxbax
bax
dcxbax
bax 00