1. 1
Ορισμός : Θα λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει





άό
έό
στο σημείο x=xο , αν υπάρxει ανοιxτό διάστημα (α,β)
που περιέxει το xο τέτοιο ώστε





)()(
)()(
o
o
xfxf
xfxf
για κάθε x(α,β)
Δραστηριότητα 1 : Στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις να βρείτε τα τοπικά ακρότατα (δηλαδή αν υπάρxει μια ζώνη
κάθετων ευθειών που περιβάλουν το xο μέσα στην οποία το f(xo) θα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από τα υπόλοιπα f(x)).
1η
γραφική
παράστασ
η
2η
γραφική
παράστασ
η
3η
γραφική
παράστασ
η
Τοπικά
μέγιστο
Στο_____
το_____
Στο_____
το_____
Στο_____
το_____
Στο_____
το_____
Στο_____
το_____
Τοπικά
ελάxιστ
α
Στο_____
το_____
Στο_____
το_____
Στο_____
το_____
Στο_____
το_____
Στο_____
το_____
Στο_____
το_____
Τα εσωτερικά σημεία στα οποία είναι συνεxής αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη η συνάρτηση ,λέγονται γωνιακά σημεία.(εκεί δεν
ορίζεται η εξίσωση εφαπτομένης π.x. στη 2η
γρ. παράσταση στο xο=1)
Δραστηριότητα 2.1: Ανοίξτε το αρχείο ακρότατα1 .
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
y´
y
0x´ x-1
1
1
-1
y´
y
0x´ x
-2
-2
2
1 2
2,5
y´
y
0x´ x-1 1
23/2
-1
0.5
-2

2. 2
ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε σε 2 ερωτήματα που γεννιούνται.
-ΕΡΩΤΗΜΑ 1:Σε κάθε εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της f,όπου παρουσιάζει τοπικό
ακρότατο ισχύει f΄(xο)=0;
-ΕΡΩΤΗΜΑ 2: Σε κάθε εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της f,όπου ισχύει f΄(xο)=0
η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο;
-Προσπαθήστε να εντοπίσετε το πρόσημο της f΄ και τη μονοτονία της f εκατέρωθεν του xο
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος λέγονται στάσιμα σημεία.
Τα γωνιακά και στάσιμα σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της f.
Δραστηριότητα 2.2:. Υπάρχει f με εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της ,όπου ισχύει f΄(xο)=0 και η f δεν παρουσιάζει
τοπικό ακρότατο;
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………….
ΓΙΑΤΙ ΙΣΧΥΕΙ ΑΥΤΟ;…………………………………………………………………………………
Παρατηρήστε το πρόσημο της f΄ και τη μονοτονία της f εκατέρωθεν του xο. Τι συμπεραίνετε;
…………………………………………………………………………………………………………
ΑΡΑ το εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της f,όπου ισχύει f΄(xο)=0 είναι ΠΙΘΑΝΗ θέση τοπικού
ακρότατου.
Δραστηριότητα 3.1: Ανοίξτε το αρχείο ακρότατα 2 .
ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT: Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο x0 του
πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό , τότε f΄(xο)=0.

3. 3
- Είναι η f παραγωγίσιμη στο (1,0);………………..
-Το σημείο είναι ……………………..
-Είναι το x 0=1 θέση τοπικού ακρότατου της f;……………………………………………………
- Παρατηρήστε το πρόσημο της f΄ και τη μονοτονία της f εκατέρωθεν του xο. Τι συμπεραίνετε ;
…………………………………………………………………………………………………………
Δραστηριότητα 3.2: Στο ίδιο αρχείο ακρότατα 2,ακολουθήστε τις οδηγίες .
- Είναι η f παραγωγίσιμη στο (1,0);………………………………………………………………….
-Το σημείο είναι ………………………………………………………………………………………
-Είναι το x 0=1 θέση τοπικού ακρότατου της f;……………………………………………………
- Παρατηρήστε το πρόσημο της f΄ και τη μονοτονία της f εκατέρωθεν του xο. Τι συμπεραίνετε ;
…………………………………………………………………………………………………………
ΑΡΑ τα γωνιακά σημεία είναι ΠΙΘΑΝΕΣ θέσεις τοπικών ακρότατων.
Δραστηριότητα 3.3: Στο ίδιο αρχείο ακρότατα 2,
-Το x=-1 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f;……………………………………………………….
-Ποια είναι η τιμή της f΄(-1);……………………………………………………………………….
-Είναι το x 0=1 θέση τοπικού ακρότατου της f;……………………………………………………
ΠΙΘΑΝΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
 ....................................................................................................................................
 ....................................................................................................................................

4. 4
Τ.Ε2
Τ.Μ2
Τ.Ε3
Τ.Μ1
Τ.Ε1
 Tα άκρα διαστήματος όταν........................................................................................
Για να καταλήξουμε ότι ένα πιθανό ακρότατο είναι τελικά ακρότατο και να προσδιορίσουμε το είδος του τι
απαιτείται;……………………………………………….
ΕΧΟΥΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙ ΣΤΑ 2 ΑΡΧΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ;
ΚΡΙΤΗΡΙΟ 1ης
ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ
ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω συνεxής συνάρτηση f: (α,β) R και xο ένα κρίσιμο σημείο της .
i) Αν f ΄(x)>0 στο (α,xo) και f ΄(x)<0 στο ( xο,β), τότε το f(xo) είναι ____________
ii) Αν f ΄(x)<0 στο (α,xo) και f ΄(x)>0 στο (xo,β), τότε το f(xo) είναι ____________
iii) Aν f ΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (α,xo)  ( xο,β), τότε το f(xo) ____ είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως
____________ στο (α,β).
Δραστηριότητα 4:Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ορισμένη σε [α,β]
-Τα Τ.Ε1, ΤΜ3,είναι…………………………………………………………………
-Είναι δυνατόν ένα τοπικό μέγιστο να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο;
………………………………………………………………………………………..
-Έχει η συνάρτηση ολικό μέγιστο; ………………………………………………………………………..........................
-Έχει η συνάρτηση ολικό ελάχιστο; …………….………………………………………………………………….............
Δραστηριότητα 5 : Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων:
α) f(x)= 2x+1
β) f(x)= x2
+2x1
x ∞ +∞
f ΄
f
x ∞ +∞
f ΄
f
Τ.Μ3
χ
χ
y
y

5. 5
γ) f(x)=x3
3x , Α=[-2,2)
δ) f(x)=x4
2x2
10
ε) f(x)=x3
6x2
+9x1
β) f(x)=
1x2
3x


γ) f(x)=xlnx
Δραστηριότητα 6: Ανοίξτε το αρχείο ακρότατα 3.
x
f ΄
f
x ∞ +∞
f ΄
f
x ∞ +∞
f ΄
f
x
f ΄
f
x ∞ +∞
f ΄
f

6. 6
-Ορίζεται η f΄΄;……………………………………………………………………………………..
-Ποια είναι η γραφική παράσταση της f΄΄;
-Τι τιμές έχει η f΄΄στα σημεία όπου η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο;............................
………………………………………………………………………………………………………..
Συνεπώς για συναρτήσεις που είναι τουλάχιστον δυο φορές παραγωγίσιμες μπορούμε να μελετήσουμε μόνο αν τα στάσιμα σημεία
τους είναι θέσεις τοπικών ακρότατων.
ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2ης
ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ
΄Εστω συνεχής συνάρτηση f:Α->R και x0 ένα στάσιμο σημείο της f. Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο x0,τότε
παρουσιάζει τοπικό μέγιστο αν……………………………………
ενώ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο αν………………………………………………………
-Γιατί είναι εύχρηστο το κριτήριο της 2ης
παραγώγου;…………………………………
…………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………….
Δραστηριότητα 7:Η τιμή πώλησης ενός μηχανικού εξαρτήματος είναι 100 Ευρώ. Το κόστος του συναρτήσει του χρόνου
κατασκευής (σε ώρες) προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης:
Κ (t) = t2
+ 250t-1
α) Πότε πραγματοποιήθηκε το μέγιστο κέρδος Ρ(x);
β) Πόσο είναι αυτό;
Δραστηριότητα 8: Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδό 1600 m2
, να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου,
που έχει την μικρότερη περίμετρο.
Δραστηριότητα 9 :To κέρδος (σε ευρώ) μιας εταιρίας συναρμολόγησης Η/Υ, σε σχέση με το
πλήθος x των Η/Υ που πουλά μηνιαίως, δίνεται από τον τύπο:
P(x) = x2
+ 400x  30.000, όπου 0  x  300.
α) Πότε ζημιώνεται η εταιρία;
β) Πόσους Η/Υ πρέπει να πουλά μηνιαίως η εταιρία, ώστε να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της;
γ) Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό κέρδος της εταιρίας;

7. 7