1. Α. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ
Β. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ
Γ. ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ
Δ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ
Ε. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ
ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ

2. Τι ορίζουμε εφαπτομένη;Τι ορίζουμε εφαπτομένη;
ΕΕφαπτομένη ενός κύκλου σε ένα σημείο του Α ονομάζουμε
την ευθεία η οποία έχει με τον κύκλο ένα μόνο κοινό σημείο,
το A.
 Ο ορισμός αυτός δεν μπορεί να γενικευτεί για οποιαδήποτε
καμπύλη,
Α
Β
Γ

3. Δίνεται μια συνάρτηση f και ένα σημείο της A(χο,f(χο)).
Παίρνουμε και άλλο ένα τυχαίο σημείο της f τo B (χ,
f(χ)) και φέρνουμε την ευθεία ΑΒ
χ0 χ
f(χ0)
f(χ)
Α
Β
Α. εφαπτομένη καμπύλης
ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ.ggb

4. Τελικά:
χ0 χ
f(χ0)
f(χ)
Α
Β
Γ
Όσο το Β πλησιάζει το Α δηλαδή το h = χ-χ0 μικραίνει ( h→0) η ΑΒ
τείνει να συμπέσει με την ε και η φ με την ω. Η οριακή θέση που
παίρνει η ΑΒ είναι η εφαπτομένη της f στο χ0, και έχει συντελεστή
διεύθυνσης :
Δ
0
0 )()(
lim
0 xx
xfxf
xx −
−
=
→
εφω
ω
Η oποία υποδηλώνει και τον ρυθμό ( το πόσο αργά η γρήγορα) , με τον
οποίο μεταβάλλονται οι τιμές της f όταν το χ →χ0.

5. H περίπτωση γωνιακού σημείου
Όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο χ0 αλλά
σχηματίζει γωνιακό σημείο όπως στο σχήμα…

6. Β. ταχύτητα κινητού
 Έστω ένα κινητό το οποίο η τετμημένη του ( η θέση του) την χρονική
στιγμή t εκφράζεται από την συνάρτηση χ=f(t).
Ο A
t=0 t=t0 t=t
B
Η μέση ταχύτητα του κινητού κατά την διάρκεια του χρονικού διαστήματος h = t-t0 είναι
χρόνος
διάστημαδιανυθέν
=u
0
0 )()(
tt
tftf
−
−
=
B
t=t
Η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού κατά την χρονική στιγμή t0 θα βρεθεί όταν στην
μέση ταχύτητα κατά την διάρκεια του χρονικού διαστήματος h το h →0 . Άρα
0
0
0
)()(
lim)(
0 tt
tftf
tu
tt −
−
=
→
h
Η οποία υποδηλώνει και τον ρυθμό ( το πόσο αργά η γρήγορα) , με τον οποίο
μεταβάλλεται oι τιμές της f ( του διαστήματος) όταν το t →t0.

7. Γ. Ορισμός παραγώγου στο χ0
 Και τα δυο προηγούμενα προβλήματα αν και «άσχετα » μεταξύ τους
καταλήγουν στον υπολογισμό του ορίου
0
0 )()(
lim
0 χχ
χχ
χχ −
−
→
ff
Αν το παραπάνω όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε
το ονομάζουμε παράγωγο της f στο χ0 ,λέμε ότι η f είναι
παραγωγίσιμη στο χ0 και το όριο αυτό το συμβολίζουμε με f ’(x0)
δηλ.

8. Αν θέσουμε h = x-x0 τότε x = x0 +h και το όριο της
παραγωγού εκφράζετε:
Πολλές φορές το h = x-x0 συμβολίζεται με Δx, ενώ το f(x0 +
h)- f(x0) = f(x0 + Δ x ) - f(x0) συμβολίζεται με Δf(x0) , οπότε ο
παραπάνω τύπος γράφεται:
χ
χ
χ ∆
∆
=
→∆
)(
lim)(' 0
0
f
xf o
h
fhf
xf
h
o
)()(
lim)(' 00
0
χχ −+
=
→

9. Είναι φανερό ότι, αν το x0 είναι εσωτερικό σημείο ενός
διαστήματος του πεδίου ορισμού της f, τότε:
Η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 , αν και μόνο αν
υπάρχουν στο τα όρια
και είναι ίσα.
0
0 )()(
lim
0 χχ
χχ
χχ −
−
−
→
ff
0
0 )()(
lim
0 χχ
χχ
χχ −
−
+
→
ff

10. Έτσι λοιπόν η παράγωγος f ΄(χΈτσι λοιπόν η παράγωγος f ΄(χοο) εκφράζει) εκφράζει
Α) Τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής
παράστασης μιας συνάρτησης f στο σημείο A(χο,f(χο))
.Άρα αν ε η εφαπτομένη στο χ0 της f είναι
λε = f ΄(χο)
B) Την ταχύτητα ενός κινητού την χρονική στιγμή χ0 , όπου
το κινητό κινείται ευθύγραμμα σε έναν άξονα και η θέση του
πάνω στον άξονα την χρονική στιγμή χ δίνεται από την
συνάρτηση f(x) .
Άρα u(x0) = f ΄(x0)
Δηλαδή η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος
Γ) Γενικά τώρα η παράγωγος της f στο χ0 εκφράζει τον ρυθμό
μεταβολής του y = f (x) ως προς χ όταν χ=χ0

11. Παράδειγμα 1Παράδειγμα 1
Να βρεθεί η παράγωγος της f(x) = 3x2
στο χ0=1
ΛΥΣΗ
h
fhf
xf
h
o
)()(
lim)(' 00
0
χχ −+
=
→
Αναζητούμε το f ΄(1) . Από:
Για χ0=1 είναι
h
fhf
f
h
)1()1(
lim)1('
0
−+
=
→
h
h
h
22
0
13)1(3
lim
⋅−+
=
→ h
hh
h
3)21(3
lim
2
0
−++
=
→
h
hh
h
3633
lim
2
0
−++
=
→ h
hh
h
63
lim
2
0
+
=
→
h
hh
h
)2(3
lim
0
+
=
→
)2(3lim
0
+=
→
h
h
3= 3)1(' =fραά
Επομένως και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της
γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο σημείο A(1,f(1)) είναι 3

12. Παράδειγμα 2Παράδειγμα 2
 Η θέση ενός κινητού την χρονική στιγμή t δίνεται από την
σχέση s(t) = t2
+t.( σε sec) Να βρεθεί η ταχύτητά του 2 sec
μετά την εκκίνηση του
h
shs
su
h
)2()2(
lim)2(')2(
0
−+
==
→
h
hh
h
)22()2()2(
lim
22
0
+−+++
=
→
h
hhh
h
62)44(
lim
2
0
−++++
=
→ h
hhh
h
6244
lim
2
0
−++++
=
→
h
hh
h
5
lim
2
0
+
=
→ h
hh
h
)5(
lim
0
+
=
→
)5(lim
0
+=
→
h
h 5=
 Άρα η ταχύτητά του 2 sec μετά την εκκίνηση του είναι 5 m/sec

13. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της Cf μιας
παραγωγίσιμης συνάρτησης f. στο σημείο A(x0 , f (x 0))
είναι η παράγωγος της f στο x0. Δηλαδή, είναι
λ = f΄(x0)
οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης ε είναι:
y - f (x0) = f΄(x0) (x - x0 )
Την κλίση f΄(x0) της εφαπτομένης ε στο A( x 0 , f (x0)) θα τη
λέμε και κλίση της Cf στο Α ή κλίση της f στο x0.
Δ. Εξίσωση εφαπτόμενης

14. Παράδειγμα 3
Να αποδείξετε ότι ορίζεται
εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης f στο σημείο A(0,1) και
σχηματίζει με τον άξονα των χ γωνία
π/4
ΛΥΣΗ
Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια της
παραγώγου στο χ0 = 0 και διαπιστώνουμε
ότι ……
ΑΝΟΙΞΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: παραδειγμα 3.ggb

15. Ε. Παράγωγος και συνέχεια
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x0,
τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Για x ≠ x0 έχουμε
Οπότε
αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο x0.
Επομένως, δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0.
)()(lim 0
0
xfxf
xx
=
→

16. ΣΧΟΛΙΑ
•Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ' ένα σημείο
x0, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν
μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x0.
•Μια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής στο x0 ,
αλλά να μην είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό.

17. Παράδειγμα 4
Για την συνάρτηση f να
εξετάσετε αν είναι συνεχής και
παραγωγισιμη στο χ0 = 0
ΛΥΣΗ
Υπολογίστε τα κατάλληλα
πλευρικά όρια στο χ0 και βρείτε
την λύση στο φύλλο εργασίας.
ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: παραδειγμα
4.ggb

18. Παράδειγμα 5
x2
– βx + γ , χ≥2
Έστω η συνάρτηση f(x) =
αx – 1 χ<2
Με f(2)=5
Να υπολογίστε τις τιμές των α, β, γ ώστε η συνάρτηση να
είναι συνεχής και παραγωγισιμη στο χ0 = 2.
ΛΥΣΗ
Εφαρμόστε τους ορισμούς της συνέχειας και της παραγωγού στο χ0 = 2
και υπολογίστε τις τιμές των α, β, γ.
ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: παραδειγμα 5.ggb

19. ΤΕΛΟΣ