1. ΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ –Θ. ROLLE
Για να δείξουμε ότι μία εξίσωση f(x)=0 έχει:
Μία τουλάχιστον ρίζα στο (α,β) τότε:
 Εξετάζουμε αν εφαρμόζεται το Θ. Βολζάνο για την f στο [α,β]
 Εξετάζουμε αν εφαρμόζεται το Θ. Rolle για μια άλλη συνάρτηση g
(αρχική ή παράγουσα της f) στο [α,β], όπου g΄(χ)=f(x) .
 Βρίσκουμε με δοκιμές κάποιο ξε(α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)=0, ή λύνουμε την
εξίσωση f(x)=0 στο (α,β).
 Με το σύνολο τιμών της f. Αν σε αυτό περιέχεται το 0, τότε η f έχει μια
τουλάχιστον ρίζα.
ν τουλάχιστον ρίζες στο (α,β).
 Χωρίζουμε το [α,β] σε ν ξένα μεταξύ τους υποδιαστήματα και
εφαρμόζουμε τα παραπάνω σε καθένα από αυτά. Αν θέλουμε να δείξουμε
ότι έχει ν ακριβώς ρίζες τότε δείχνουμε ότι είναι 1-1 ή γνησίως μονότονη
σε καθένα από τα παραπάνω υποδιαστήματα του (α,β).
Το πολύ μια ρίζα στο (α,β).
 Υποθέτουμε ότι έχει δύο ρίζες διαφορετικές στο (α,β) και προσπαθούμε να
καταλήξουμε σε άτοπο εφαρμόζοντας το Θ. Rolle για την f στο κλειστό
διάστημα των ριζών .
 Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο εν λόγω διάστημα
 Λύνουμε την εξίσωση f(x)=0 στο εν λόγω διάστημα.
ν το πολύ ρίζες στο (α,β).
 Τότε υποθέτουμε ότι έχει ν+1 ρίζες στο (α,β) και καταλήγουμε σε άτοπο
εφαρμόζοντας το Θ. Rolle.
Ακριβώς μια ρίζα στο (α,β).
 Δείχνουμε ότι έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α,β) και στη συνέχεια
δείχνουμε ότι είναι μοναδική.