Μετατροπή περιοδικού δεκαδικού σε κλάσμα με ακέραιους όρους

1. Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών Ζουρνά Άννας

2. Δεκαδικοί αριθμοί Όπως γνωρίζουμε, οι δεκαδικοί αριθμοί αποτελούνται από δύο μέρη τα οποία χωρίζονται μεταξύ τους από ένα κόμμα το οποίο ονομάζεται υποδιαστολή. Το πρώτο μέρος του αριθμού ονομάζεται ακέραιο μέρος ενώ το δεύτερο δεκαδικό μέρος .

3. Παραδείγματα Στον δεκαδικό αριθμό 53,176 το 53 είναι το ακέραιο μέρος του ενώ το 176 είναι το δεκαδικό του μέρος. Ενώ στον δεκαδικό αριθμό -97,003 το -97 είναι το ακέραιο μέρος του ενώ το 003 είναι το δεκαδικό του μέρος.

4. Δεκαδικοί αριθμοί Υπάρχουν δεκαδικοί αριθμοί όπως ο 1,3333333… που έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία (εδώ είναι όλα ίσα με το 3). Πριν εξετάσουμε αυτούς τους αριθμούς πιο σχολαστικά ας δούμε από που μας προέκυψαν…

5. Ατελής Διαίρεση Γνωρίζουμε ότι μία διαίρεση με υπόλοιπο διάφορο του μηδενός ονομάζεται ατελής διαίρεση. Ας εξετάσουμε τώρα ένα παράδειγμα και να δούμε πως συνεχίζεται μια ατελής διαίρεση…

6. Παραδείγματα Θα διαιρέσουμε το 10 με το 3. 3 3 10 ΄ ΄ , 1 0 3 3 3 … 1 0 1 0 1 Όσο και αν προχωρήσουμε θα βρίσκουμε πάντοτε τρία

7. Ας πάμε σε μία πιο περίπλοκη διαίρεση Θα διαιρέσουμε το 25 με το 6. 6 4 25 ΄ ΄ , 1 0 1 6 6 … 4 0 4 0 4 Όσο και αν προχωρήσουμε θα βρίσκουμε πάντοτε έξι.

8. Ας πάμε και σε μία αρκετά πιο δύσκολη διαίρεση Θα διαιρέσουμε το 53 με το 11. 11 4 53 ΄ ΄ , 9 0 8 1 8 … 2 0 9 0 2 Εδώ τι παρατηρούμε; Ποιοι είναι οι αριθμοί που επαναλαμβάνονται; 0 9 0 2 1 8

9. Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί Οι αριθμοί αυτοί που βρήκαμε ως πηλίκα Ποιος θυμάται ποια φαινόμενα ονομάζουμε περιοδικά; των προηγούμενων διαιρέσεων ονομάζονται περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί. 3,3333… 4,66666… 4,818181…

10. Περιοδικά Φαινόμενα Περιοδικά λέγονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται ανά τακτά διαστήματα.

11. Περιοδικά Φαινόμενα Το εκκρεμές του ρολογιού ακολουθεί μια περιοδική ταλάντωση.

12. Περιοδικά Φαινόμενα Τα Ferry Boats σε πορθμεία πηγαινοέρχονται σε τακτά χρονικά διαστήματα. Hover Craft

13. Ferry boats στη Μεσόγειο

14. Περιοδικά Φαινόμενα Οι εφημερίδες και τα εβδομαδιαία ή μηνιαία έντυπα ονομάζονται Περιοδικός Τύπος κ.ο.κ.

15. Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί Σήμερα θα μάθουμε: να ξεχωρίζουμε έναν περιοδικό δεκαδικό αριθμό, να τον γράφουμε πιο σύντομα και να βρίσκουμε το κλάσμα από το οποίο αυτός προέκυψε.

16. Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί Οι περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί είναι δεκαδικοί αριθμοί που έχουν στο δεκαδικό τους μέρος κάποια συγκεκριμένα ψηφία τα οποία επαναλαμβάνονται συνέχεια με την ίδια ακριβώς σειρά . Όπως ο 4,818181…

17. Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί Τα δεκαδικά ψηφία που επαναλαμβάνονται τα ονομάζουμε περίοδος του περιοδικού αριθμού. Παράδειγμα Η περίοδος του 5,1247474747… είναι το 47.

18. Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί Για να μη γράφουμε αόριστα όσα δεκαδικά ψηφία θέλουμε στους περιοδικούς δεκαδικούς αριθμούς, έχει καθιερωθεί ένας κομψός τρόπος όπου γράφουμε μόνο μία φορά τα ψηφία της περιόδου και από πάνω βάζουμε μία παύλα που σκεπάζει μόνο τα ψηφία αυτά. Παράδειγμα Το 5,1247474747… γράφεται 5,1247 και το 9,533333… γράφεται 9,53. Προσοχή! Σκεπάζει μόνο το 47! Και εδώ μόνο το 3.

19. Άσκηση Περιοδικός αριθμός 17,525252525252… 24,0344444… 0,3789789789789… 333,333333… Περίοδος Σύντμηση

20. Άσκηση Περιοδικός αριθμός 17,525252525252… 24,0344444… 0,3789789789789… 333,333333… Περίοδος 52 Σύντμηση

21. Άσκηση Περιοδικός αριθμός 17,525252525252… 24,0344444… 0,3789789789789… 333,333333… Περίοδος 52 Σύντμηση 17,52 Όλο το 52 επαναλαμβάνεται!

22. Άσκηση Περιοδικός αριθμός 17,525252525252… 24,0344444… 0,3789789789789… 333,333333… Περίοδος 52 4 Σύντμηση 17,52

23. Άσκηση Περιοδικός αριθμός 17,525252525252… 24,0344444… 0,3789789789789… 333,333333… Περίοδος 52 4 Σύντμηση 17,52 24,034 Μόνο το τέσσερα επαναλαμβάνεται!

24. Άσκηση Περιοδικός αριθμός 17,525252525252… 24,0344444… 0,3789789789789… 333,333333… Περίοδος 52 4 789 Σύντμηση 17,52 24,034

25. Άσκηση Περιοδικός αριθμός 17,525252525252… 24,0344444… 0,3789789789789… 333,333333… Περίοδος 52 4 789 Σύντμηση 17,52 24,034 0,3789

26. Άσκηση Περιοδικός αριθμός 17,525252525252… 24,0344444… 0,3789789789789… 333,333333… Περίοδος 52 4 789 Σύντμηση 17,52 24,034 0,3789

27. Άσκηση Περιοδικός αριθμός 17,525252525252… 24,0344444… 0,3789789789789… 333,333333… Περίοδος 52 4 789 3 Σύντμηση 17,52 24,034 0,3789 Μόνο το δεκαδικό μέρος μπορούμε να το γράψουμε έτσι

28. Άσκηση Περιοδικός αριθμός 17,525252525252… 24,0344444… 0,3789789789789… 333,333333… Περίοδος 52 4 789 3 Σύντμηση 17,52 24,034 0,3789 333,3 Μόνο το δεκαδικό μέρος μπορούμε να το γράψουμε έτσι

29. Προσοχή! Τώρα πρέπει να προσέξετε ιδιαίτερα γιατί μόνο έτσι θα μπορέσετε να μάθετε πως έναν περιοδικό δεκαδικό αριθμό τον γράφουμε σαν κλάσμα . Στην έκδοση υπάρχουν τέσσερις τρόποι , αλλά εμείς θα ασχοληθούμε με τον πιο εύκολο .

30. Μεθοδολογία – Παράδειγμα Θα γράψουμε το 4,33333… σαν κλάσμα δύο ακεραίων αριθμών. Πρώτα γράφουμε τον αριθμό πιο σύντομα. 4,3333… = 4,3 Πόσα είναι τα δεκαδικά ψηφία της περιόδου; 1 Έχουμε δεκαδικά ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται; Όχι

31. Μεθοδολογία – Παράδειγμα 1. Γράφουμε τον περιοδικό δεκαδικό αριθμό ως άθροισμα δύο αριθμών, όπου ο ένας να περιέχει μόνο τα περιοδικά ψηφία. 4,3 = 4 + 0,3 =

32. Μεθοδολογία – Παράδειγμα 2. Τον περιοδικό αριθμό τον γράφουμε ως κλάσμα με παρονομαστή έναν αριθμό που έχει τόσα εννιάρια όσα είναι τα ψηφία της περιόδου και τόσα μηδενικά όσα είναι τα δεκαδικά ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται. 4,3 = 4 + 0,3 = 4 + 3 9

33. Μεθοδολογία – Παράδειγμα 3. Απλοποιούμε το κλάσμα. Προσοχή όμως δεν απλοποιούμε με το 2 ή με το 5. Εδώ στο παράδειγμά μας θα απλοποιήσουμε με το 4,3 = 4 + 0,3 = 4 + 3 9 3. = 4 + 1 3 1 3

34. Μεθοδολογία – Παράδειγμα 4. Τώρα έχουμε σχεδόν τελειώσει. Βάζουμε καπελάκια και εκτελούμε την πρόσθεση. 4,3 = 4 + 0,3 = 4 + 3 9 = 4 + 1 3 1 3 = 3 1 12 + 1 3 = 13 3 Στο τέλος εξετάζουμε αν το κλάσμα μας είναι ανάγωγο, δηλαδή αν απλοποιείται άλλο ή όχι, βρίσκοντας το ΜΚΔ αριθμητή και παρονομαστή. ΜΚΔ(13,3) = 1

35. Μεθοδολογία – Παράδειγμα Άρα ο περιοδικός δεκαδικός αριθμός γράφεται: 4,3 = 13 3

36. Μεθοδολογία – Παράδειγμα Θα γράψουμε το 6,4315315315… σαν κλάσμα δύο ακεραίων αριθμών. Πρώτα γράφουμε τον αριθμό πιο σύντομα. 6,4315315… = 6,4315 Πόσα είναι τα δεκαδικά ψηφία της περιόδου; 3 Πόσα είναι τα δεκαδικά ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται; 1

37. Μεθοδολογία – Παράδειγμα Γράφουμε τον περιοδικό δεκαδικό αριθμό ως άθροισμα δύο αριθμών, όπου ο ένας να μην περιέχει τα περιοδικά ψηφία και ο άλλος γράφεται σαν κλάσμα με αριθμητή τα ψηφία της περιόδου και παρονομαστή το 9990, γιατί έχουμε τρία ψηφία που επαναλαμβάνονται και ένα δεκαδικό ψηφίο που δεν ανήκει στην περίοδο. 0 = 6,4 + 6,4315 315 3 ψηφία ένα ψηφίο 999 Άρα 3 εννιάρια Άρα 1 μηδενικό

38. Μεθοδολογία – Παράδειγμα Απλοποιούμε το κλάσμα. Προσοχή όχι με το 2 ή το 5 . Το 315 διαιρείται με το γιατί όπως θυμόμαστε από τα κριτήρια διαιρετότητας το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9. Μετά εκτελούμε την πρόσθεση, χρησιμοποιώντας καπελάκια. 7139 7104 + 35 0 = 999 = 6,4 + 6,4315 315 9 = 6,4 + 35 1110 1110 35 1110 1 1110 = 1110

39. Ας δούμε αν μάθατε αυτόν τον τρόπο… Ανοίξτε τα τετράδια και ξεκινάμε…

40. Παράδειγμα Θα γράψουμε το 5,17777… σαν κλάσμα δύο ακεραίων αριθμών. Έχουμε λοιπόν: 5,17777… = 5,17 Πόσα είναι τα δεκαδικά ψηφία της περιόδου; 1 Πόσα είναι τα δεκαδικά ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται; 1

41. Παράδειγμα Θα γράψουμε το 5,17777… σαν κλάσμα δύο ακεραίων αριθμών. Έχουμε λοιπόν: 90 = 5,1 + 7 5,17777… = 5,17 466 = 90 1 = 90 = 459 + 7 90 Τώρα μπορούμε να απλοποιήσουμε με το 2. 233 45 = 233 45

42. Άσκηση Ας συμπληρώσουμε τον παρακάτω πίνακα Περιοδικός αριθμός Πλήθος περιοδικών ψηφίων Πλήθος δεκαδικών μη περιοδικών ψηφίων Παρονομαστής κλάσματος 1 ο βήμα 4,73737373… 67,19854854… 3,074161616… 2 3 2 0 2 3 99 99900 99000 4 + 67,19 + 3,074 + 73 99 854 99900 16 99000

43. Παρατήρηση Όταν ο περιοδικός δεκαδικός αριθμός που μας δίνεται για να τον μετατρέψουμε σε κλάσμα είναι αρνητικός τότε χρειάζεται λίγο περισσότερη προσοχή. Βρίσκουμε το κλάσμα που αντιστοιχεί στον θετικό και στο τέλος συμπληρώνουμε το πρόσημο μείον. Αλλά επειδή χωρίς παράδειγμα δεν είναι τόσο κατανοητό αυτό, ας προχωρήσουμε…

44. Παράδειγμα Θα γράψουμε το – 4,3272727… σαν κλάσμα δύο ακεραίων αριθμών. Πρώτα θα βρούμε με τον τρόπο που μάθαμε το κλάσμα που αντιστοιχεί στον 4,3272727… 238 = 4,3 + 990 = 4,3 + 27 4,32727… = 4,327 476 = = 110 = 473 + 3 110 Τώρα μπορούμε να απλοποιήσουμε με το 2. 238 55 = 55 110 3 110 1 3 110 Άρα και ο - 4,327 = 238 55

45. Συμπεράσματα Κάθε ρητός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός ή ως περιοδικός αριθμός. Κάθε περιοδικός δεκαδικός αριθμός μπορεί να γραφεί σε κλασματική μορφή.

46. Συμπεράσματα Κάθε κλάσμα μπορεί να γραφεί σαν δεκαδικός με πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων αν και μόνον αν είναι ισοδύναμο με άλλο κλάσμα που έχει ως παρονομαστή γινόμενο δυνάμεων του 2, του 5 ή και των δύο μαζί.

47. Εργασία για το Σπίτι Θεωρία σελ. 24 – 27 (από την έκδοση) Ασκήσεις σελ. 28 (από την έκδοση) ( προσοχή έγινε ένα λάθος κατά τη φωτοτύπηση και η 28 η σελίδα βρίσκεται πίσω από την 34 η.)