1. ΟΤΑΝ Η ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΛΗ.
Παναγιώτης Α. Καρκαντζάκος-Φυσικός.
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Με την παρούσα εργασία προσδιορίζουμε την
αντίστροφη συνάρτηση της
(
bχ ) 
=
(
χ / eχ − 1 , ) χ ∈ ( -∞,0 )
1,
 χ=0
η οποία είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σε ορισμένα
προβλήματα Μηχανικής.
0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Η συνάρτηση χ / e − 1
χ
( ) είναι σημαντική αφού μας
επιτρέπει να ορίσουμε σχετικά εύκολα τους αριθμούς
Bernoulli από το κατά Taylor ανάπτυγμά της γύρω από
το μηδέν . Η συνάρτηση αυτή εμφανίζεται περιστασιακά
σε προβλήματα της Φυσικής. Μια τέτοια περίπτωση
έχουμε στο κλασσικό πρόβλημα της κίνησης βλήματος
κάτω από την ταυτόχρονη επίδραση σταθερής βαρυτικής

2. δύναμης και δύναμης τριβής ανάλογης της ταχύτητας.
Στα πλαίσια αυτού του προβλήματος προσπαθώντας να
εκφράσουμε το «χρόνο πτήσης» του βλήματος
συναρτήσει του συντελεστή τριβής αναγκαστήκαμε να
αντιστρέψουμε τη συνάρτηση
(
bχ ) =
(
χ / eχ − 1 ,
 ) χ ∈ ( -∞,0 )
.
1,
 χ=0
Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε το μαθηματικό έργο
που μόλις περιγράψαμε.
1. ΛΗΜΜΑ
H δυναμοσειρά
∞
tr
∑r
r =1
r −1
r!
−1
συγκλίνει απολύτως για t ≤ e και αποκλίνει για
t > e −1 .
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Εφαρμόζοντας το κριτήριο του λόγου συνάγουμε ότι η
παραπάνω δυναμοσειρά συγκλίνει απολύτως για
t < e- 1 και αποκλίνει για t > e- 1 .

3. Για τον έλεγχο της σύγκλισης στα άκρα του διαστήματος
- 1
σύγκλισης, δηλ. για t = e , θα εφαρμόσουμε το
κριτήριο σύγκρισης.
Με τη βοήθεια της αριστερής ανισότητας του Τύπου
Stirling
 1 
2π r r +1/ 2 e -r < r! < 2π r r + 1 / 2 e -r  1 + 
 4r 
r=1,2,…,
συνάγουμε ότι η υπό εξέταση σειρά
∞
e−r
∑r
r =1
r −1
r!
δεσπόζεται από τη συγκλίνουσα σειρά Riemann
∞
∑ =
− 2
rζ3 /3 / 2
r =1
( )
κατά συνέπεια συγκλίνει και η ίδια, πράγμα βέβαια που
ολοκληρώνει την απόδειξη του εν λόγω λήμματος.

4. 2. ΛΗΜΜΑ
Η συνάρτηση
(
fψ )=
ψe −ψ
(
: 0,1 (
] →0,e −1


αντιστρέφεται από τη συνάρτηση
∞
tr
f (t) = ∑ r
−1 r −1
r!
(
: 0,e −1  → ( 0,1] .

r =1
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο
πεδίο ορισμού της συνεπώς είναι αντιστρέψιμη.
Αντικαθιστώντας στον τύπο της f την e −ψ με το κατά
Taylor ανάπτυγμά της γύρω από την τιμή ψ=0
διαπιστώνουμε ότι η f παριστάνεται από τη
δυναμοσειρά,
( −ψ )
μ
∞ ∞
ψr
f (ψ) = ψ ∑ = ∑λ r ,
μ =0 μ! r =1 r!
λ r = ( −1) r=1,2,..., ψ ∈ ( 0,1] .
r −1
r,
Η δυναμοσειρά αυτή δεν περιέχει σταθερό όρο, επιπλέον
ισχύει λ 1 ≠ 0 , συνεπώς μπορούμε να εφαρμόσουμε τον
τύπο αντιστροφής δυναμοσειράς του Lagrange, βλέπε
παραπομπή 2.1, οπότε

5. ∞
tr
f ( tθ = ∑ r
−1
) , t ∈ ( ,0,e −1 

r =1 r!
 dψe  −  − r  r 1  −
r −1ψ
d 
θr =  r −1    =  r −1 erψ  = r r −1 ,
 dψ  ψ   ψ =0  dψ
   ψ =0
r=1,2,...
H τελευταία δυναμοσειρά πράγματι παριστάνει τη
ζητούμενη αντίστροφη αφού σύμφωνα με το λήμμα 1
(
συγκλίνει για t ∈ 0,e  , πράγμα που ολοκληρώνει την
−1

απόδειξη του λήμματος.
2.1 ΠΑΡΑΠΟΜΠΗ
ΤΥΠΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΑΣ
LAGRANGE.
Έστω φ(t) η δυναμοσειρά
∞
tν
φ ( t ) = ∑ φν , φ1 ≠ 0
ν =1 ν!
η οποία δεν έχει σταθερό όρο και φ ( u ) η αντίστροφή
−1
της δυναμοσειρά
∞
uν
φ ( u) = ∑ ψν
−1
.
ν =1 ν!
Τότε

6.  d ν −1   d ν −1 
ψ ν =  ν φ ( u )  =  ν −1 ( φ ( t ) /t )
−ν
 ,
 du  u =0  dt  t =0
ν=1,2,...
3. ΠΡΟΤΑΣΗ
Η συνάρτηση
χ /(e χ − 1),
 χ ∈ ( -∞,0 )
b(χ) =  : ( - ∞,0 ] → [ 1, +∞ )
1,
 χ=0
(1)
αντιστρέφεται από τη συνάρτηση
∞
r r −1
bω ( ) = − + ∑ ωe ( )
: 1, [ +∞ ) → ( −∞ ]
r
−1ω −
ω ,0
r =1 r!
(2).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Η συνάρτηση b είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα
στο πεδίο ορισμού της συνεπώς είναι αντιστρέψιμη.
Για τον προσδιορισμό της αντιστρόφου ορίζουμε τη
συνάρτηση u ώστε
(
uχ )=
χ + χ ): - ∞
b ( ( ,0 ] → 0,1 ] ,
( (3).
Κατόπιν θεωρούμε τη σύνθεση της u με τη συνάρτηση f
που ορίσαμε στο λήμμα 2,
( f o uχ( ) f= u( χ( : ) ( −∞ ] → (
) ) ,0 0,e .
−1


7. Για την f o u έχουμε,
f ( uχ
( )) = χ e
u ( ) (
,) χ ∈- ∞ .]
( ,0
− uχ
Παρατηρούμε όμως ότι
(
uχ )=
χ b (
+ χ ) = b χ ,)
e χ ( χ ∈ ( −∞ ] .
,0
Συνδυάζοντας τις δυο τελευταίες σχέσεις παίρνουμε
f ( uχ
( )) = χ e
b ( ) (
,) χ ∈- ∞ ,]
( ,0
− bχ
(4).
Από την εξίσωση (4) με τη βοήθεια του λήμματος 2
λαμβάνουμε
(
uχ )=
f −1
( ( )
b χ e (
− bχ )
)⇔
r r −1
( ),
∞ r
χ = −b ( χ ) + ∑ b( χ) e ( )
χ ∈ ( -∞,0] .
− bχ
r =1 r!
Θέτοντας ω=b(χ) στη προηγούμενη σχέση παίρνουμε
r r −1
∞
χ = −ω + ∑ ( ) : [ 1, +∞ ) → ( −∞,0] .
r
ωe − ω
r =1 r!
Η τελευταία σχέση ορίζει τη ζητούμενη αντίστροφη
συνάρτηση b −1 , οπότε η πρόταση απεδείχθη.

8. 3.1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ χ,
b(χ), u(χ) ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ 3
Για να διευκολυνθεί ο αναγνώστης να «αισθητοποιήσει»
τις σχέσεις των παραπάνω μεταβλητών, στο σχέδιο που
ακολουθεί, αποδίδεται η γραφική παράσταση της
συνάρτησης F(y) = y.e : [ 0, +∞ ) και απεικονίζονται
−y
γραφικά οι μεταβλητές χ, b(χ), u(χ), αφού σύμφωνα με
την εξίσωση (4) ισχύει
F ( uχ
( ) ) = b χ ) ,)
F ( ( χ ∈ ( −∞ ] .
,0

9. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1.TOM.M.APOSTOL, Διαφορικός και ολοκληρωτικός Λογισμός
2. GEORGE ARFKEN, mathematical methods for physicists.
3.Χ.Α.ΧΑΡΑΛΑΜΠΙΔΗΣ, Συνδυαστική Τεύχος 2.