Polynomials III

Παραγοντοποίηση πολυωνύμων Ζουρνά Άννας

[object Object],[object Object],[object Object]

Παραγοντοποίηση πολυωνύμου ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Κοινός παράγοντας ,[object Object],[object Object]

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object]

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],[object Object]

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],8 x 4 y ω 3 – 56 x 3 y 2 ω 5 + 24 x 6 y 3 ω 2 = 8 x 3 y ω 2 ( x ω – 7 y ω 3 + 3 x 3 y 2 ) 8 x 3 y ω 2

Παραγοντοποίηση Διωνύμου (δύο όροι) ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Προσοχή!

8u 3 + v 3 = 8u 3 + v 3 = ( 2u – v )( 4u 2 +uv + v 2 ) Άθροισμα κύβων των 2u και v

Παραγοντοποίηση Διωνύμου (δύο όροι) ,[object Object],SUPER SOS στη Β΄ και Γ΄Λυκείου Παράδειγμα: x 4 + 4y 4 = Εδώ έχουμε το άθροισμα των τετραγώνων των x 2 , 2 y 2 και για να γίνει τέλειο τετράγωνο λείπει το διπλάσιο γινόμενό τους που είναι το 2 x 2 2 y 2 = 4 x 2 y 2 . Αυτόν τον όρο προσθέτουμε και αφαιρούμε στη παράστασή μας..

Παραγοντοποίηση Διωνύμου (δύο όροι) ,[object Object],Παράδειγμα: x 4 + 4y 4 = x 4 + 4 x 2 y 2 + 4y 4 – 4 x 2 y 2 = Τέλειο τετράγωνο

Παραγοντοποίηση Διωνύμου (δύο όροι) ,[object Object],Παράδειγμα: x 4 + 4y 4 = x 4 + 4 x 2 y 2 + 4y 4 – 4 x 2 y 2 = = ( x 2 + 2 y 2 ) 2 – 4 x 2 y 2 = Και τώρα διαφορά τετραγώνων…

Παραγοντοποίηση Διωνύμου (δύο όροι) ,[object Object],Παράδειγμα: x 4 + 4y 4 = x 4 + 4 x 2 y 2 + 4y 4 – 4 x 2 y 2 = = ( x 2 + 2 y 2 ) 2 – 4 x 2 y 2 = = ( x 2 + 2 y 2 – 2 xy ) ( x 2 + 2 y 2 + 2 xy )

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],7

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],5 x

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],7x

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],13 αγ

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],Συμπλήρωση τετραγώνου Προσθέτουμε και αφαιρούμε το 4 x 2

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],Τέλειο τετράγωνο

Παράδειγμα ,[object Object],Διαφορά τετραγώνων Να παραγοντοποιηθεί το παρακάτω διώνυμο: 4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 – 4 x 2 =

Παράδειγμα ,[object Object],Να παραγοντοποιηθεί το παρακάτω διώνυμο: 4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 – 4 x 2 = = (2 x 2 + 1– 2 x ) (2 x 2 + 1+ 2 x )= = (2 x 2 – 2 x + 1) (2 x 2 + 2 x + 1) Και μία τακτοποίηση

8x 2 – 6x -10x + 50 14x - 7 6x + 9

3(2x + 3) 8x 2 – 6x -10x + 50 14x - 7 6x + 9

7(2x – 1) 3(2x + 3) 8x 2 – 6x -10x + 50 14x - 7 6x + 9

-10(x – 5) 7(2x – 1) 3(2x + 3) 8x 2 – 6x -10x + 50 14x - 7 6x + 9

2x(4x – 3) -10(x – 5) 7(2x – 1) 3(2x + 3) 8x 2 – 6x -10x + 50 14x - 7 6x + 9

x 2 - 36 x 2 - 100 x 2 - 81

x 2 - 36 (x - 10)(x + 10) x 2 - 100 x 2 - 81

(x - 6)(x + 6) x 2 - 36 (x - 10)(x + 10) x 2 - 100 x 2 - 81

(x - 6)(x + 6) x 2 - 36 (x - 10)(x + 10) x 2 - 100 (x - 9)(x + 9) x 2 - 81

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου (τρεις όροι) ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου α x 2 + β x + γ ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου α x 2 + β x + γ ,[object Object],[object Object],[object Object],και Δ = β 2 – 4αγ Προσοχή στο α. Πάνω από το 80% των μαθητών το ξεχνάει…

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου α x 2 + β x + γ ,[object Object],[object Object],παρατηρούμε ότι το 7 x γράφεται 3 x + 4x Ας το αντικαταστήσουμε να δούμε τι κερδίζουμε: 3 x 2 + 7 x + 4 = 3 x 2 + 3 x + 4 x + 4 = 3x(x+1)+4(x+1)= = (x+1)(3x+4) Τελειώσαμε;

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου α x 2 + β x + γ ,[object Object],[object Object],παρατηρούμε ότι το 17 x γράφεται 14 x + 3 x Ας το αντικαταστήσουμε να δούμε τι κερδίζουμε : 7 x 2 + 17 x + 6 = 7 x 2 + 14 x + 3 x + 6 = 7 x(x+ 2 )+ 3 (x+ 2 )= = (x+ 2 )( 7 x+ 3 ) 7  2 3  2=6

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου x 2 + β x + γ ,[object Object],[object Object],1. Παίρνουμε τον σταθερό όρο και τον αναλύουμε σε γινόμενο δύο παραγόντων 6 2. Υπολογίζουμε το άθροισμά τους. Πρέπει να ισούται με το β. 3. Παραγοντοποιούμε το τριώνυμο: x 2 + 5 x + 6 = ( x +2)( x+3) Όχι αναγκαστικά πρώτων παραγόντων Πάντα στο μυαλό μας κάνουμε γρήγορη επαλήθευση 6  1 2  3 6+1 = 7  2+3 = 5 

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Τελειώσαμε;

Παράδειγμα ,[object Object],Η παρένθεση είναι τέλειο τετράγωνο, άρα σύμφωνα με την ταυτότητα…

Παράδειγμα ,[object Object],= 2x 2 (x – 2 ) 2 Πάντοτε η παραγοντοποίηση πρέπει να είναι ολοκληρωμένη.

Διάσπαση μεσαίου όρου x x x x x 2 2 10 16 2 8 16 + + = + + + x x x 2 2 8 16 = + + + ( ) ( ) x x x 2 8 2 = + + + ( ) ( ) x x 8 2 = + + ( )( )

3 5 x x + + = 3 8 5 3 5 2 2 x x x + + = + = 3 1 5 1 x x x = + + + ( ) ( ) 3 5 1 x x = + + ( )( )

t t 2 4 21 - - t t 3 7 - t t 7 3 = - + ( )( ) t 2 21 = + - = t t t 3 7 3 = + - + ( ) ( ) =

6 7 x x + - = 2 21 2 21 2 2 x x x - - = - = 2 3 7 3 x x x = + - + ( ) ( ) 2 7 3 x x = - + ( )( )

Τριώνυμα ειδικού τύπου x 2 + β x + γ ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Πως τα ξεχωρίζω;

x 2 + 2x – 15 = 15 x 2 + 2x – 15 = ( x – 5 )( x – 3) 15  1 3  5 15 -1 = 14  5- 3 = 2 

x 2 - 20x + 36 = 36 x 2 - 20x + 36 = ( x – 2 )( x – 18 ) 36  1 4  9 36 + 1 = 37  4 + 9 = 13  6  6 6 + 6 = 1 2  18  2 18 + 2 = 20 

x 2 - 12x + 35 = 35 x 2 – 1 2x + 3 5 = ( x – 5 )( x – 7) 35  1 5  7 35 + 1 = 36  5+7 = 12 

x 2 - 8x + 15 15x 3 – 5x 2 27x 2 – 18x x 2 + 7x + 6

x 2 - 8x + 15 15x 3 – 5x 2 9x(3x – 2) 27x 2 – 18x x 2 + 7x + 6

x 2 - 8x + 15 5x 2 (3x – 1) 15x 3 – 5x 2 9x(3x – 2) 27x 2 – 18x x 2 + 7x + 6

x 2 - 8x + 15 5x 2 (3x – 1) 15x 3 – 5x 2 9x(3x – 2) 27x 2 – 18x (x + 1)(x + 6) x 2 + 7x + 6

(x - 3)(x - 5) x 2 - 8x + 15 5x 2 (3x – 1) 15x 3 – 5x 2 9x(3x – 2) 27x 2 – 18x (x + 1)(x + 6) x 2 + 7x + 6

x 2 - 3x -18 x 2 - 6x + 9 x 2 - 15x + 50 x 2 + 13x + 30

x 2 - 3x -18 (x - 3)(x - 3) x 2 - 6x + 9 x 2 - 15x + 50 x 2 + 13x + 30

(x - 6)(x + 3) x 2 - 3x -18 (x - 3)(x - 3) x 2 - 6x + 9 x 2 - 15x + 50 x 2 + 13x + 30

(x - 6)(x + 3) x 2 - 3x -18 (x - 3)(x - 3) x 2 - 6x + 9 x 2 - 15x + 50 (x + 10)(x + 3) x 2 + 13x + 30

(x - 6)(x + 3) x 2 - 3x -18 (x - 3)(x - 3) x 2 - 6x + 9 (x - 10)(x - 5) x 2 - 15x + 50 (x + 10)(x + 3) x 2 + 13x + 30

x 2 - 5x - 6 x 2 - 5x + 6 x 2 - 25 x 2 - 5x

x 2 - 5x - 6 (x - 3)(x - 2) x 2 - 5x + 6 x 2 - 25 x 2 - 5x

(x - 6)(x + 1) x 2 - 5x - 6 (x - 3)(x - 2) x 2 - 5x + 6 x 2 - 25 x 2 - 5x

(x - 6)(x + 1) x 2 - 5x - 6 (x - 3)(x - 2) x 2 - 5x + 6 x 2 - 25 x(x - 5) x 2 - 5x

(x - 6)(x + 1) x 2 - 5x - 6 (x - 3)(x - 2) x 2 - 5x + 6 (x - 5)(x + 5) x 2 - 25 x(x - 5) x 2 - 5x

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Να παραγοντοποιηθούν τα τριώνυμα στο φύλλο εργασίας σας

Να παραγοντοποιηθούν τα τριώνυμα στο φύλλο εργασίας σας ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Polynomials III

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Polynomials III

Similar to Polynomials III (20)

More from A Z

More from A Z (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Polynomials III