Εισαγωγή στην Παραβολή για τα Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου. Περιέχει στοιχεία σχετικά με την κατασκευή μιας παραβολής, βασικές ιδιότητες και την ανακλαστική ιδιότητα.
Εισαγωγή στην Παραβολή για τα Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου. Περιέχει στοιχεία σχετικά με την κατασκευή μιας παραβολής, βασικές ιδιότητες και την ανακλαστική ιδιότητα.
Οι λύσεις μου σε θέματα γνωστών συγγραφέων για το lisariFanis Margaronis
Τον Ιούνη του 2017 μετά από ιδέα του lisari και του Μάκη Χατζόπουλου, διακεκριμένοι συγγραφείς μαθηματικών βιβλίων παραχώρησαν ένα θέμα ο καθένας, λίγο πριν τις πανελλήνιες εξετάσεις.
Αυτές είναι οι λύσεις που πρότεινα στα θέματα των κυρίων Στεργίου, Σκομπρή (ΔΙΠΛΗ λύση), Μιχαηλίδη, Μαυρίδη, Πατήλα (λύση μαζί με τον Γιάννη Καρεκλά), καθώς και η πρότασή μου για το θέμα του κυρίου Τάσου, που υπάρχει αποκλειστικά εδώ.
Σημειώσεις στις ακολουθίες για μαθήματα Ανάλυσης σε Πανεπιστήμια και ΤΕΙ. Οι σημειώσεις περιέχουν τα βασικά θεωρήματα, τα σημαντικότερα κριτήρια σύγκλισης και μεθοδολογία ασκήσεων
Ένα μικρό και εύκολο (!) επαναληπτικό διαγώνισμα στα μαθηματικά κατεύθυνσης της γ΄ λυκείου Πάνω στα κεφάλαια των συναρτήσεων, της συνέχειας και της παραγγισιμότητας.
Καλή επιτυχία!
2 θέματα που παραχώρησα στο lisari για το project "Η άσκηση της ημέρας"Fanis Margaronis
Το 2017, για δεύτερη χρονιά, το lisari.blogspot.gr συνέλεξε θέματα από τους αναγνώστες τους, συζητήθηκαν, προτάθηκαν λύσεις.
Αυτά είναι τα δύο θέματα που πρότεινα, μαζί με τις λύσεις τους.
Ένα ακόμη εξαιρετικό διαγώνισμα από τον συνάδελφο Γιώργο Μιχαηλίδη, διατυπωμένο και μορφοποιημένο ακριβώς στην μορφή των θεμάτων των πανελληνίων εξετάσεων. Περιλαμβάνονται απαντήσεις και υποδείξεις.
Ένα μικρό φυλλάδιο σχετικά με τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων (f, -f, |f| και αντίστροφη) και τα βασικά χαρακτηριστικά που μπορούμε να προσδιορίσουμε τόσο εποπτικά όσο και αναλυτικά (μονοτονία, ακρότατα, αντιστρεψιμότητα κ.λπ.).
Οι λύσεις μου σε θέματα γνωστών συγγραφέων για το lisariFanis Margaronis
Τον Ιούνη του 2017 μετά από ιδέα του lisari και του Μάκη Χατζόπουλου, διακεκριμένοι συγγραφείς μαθηματικών βιβλίων παραχώρησαν ένα θέμα ο καθένας, λίγο πριν τις πανελλήνιες εξετάσεις.
Αυτές είναι οι λύσεις που πρότεινα στα θέματα των κυρίων Στεργίου, Σκομπρή (ΔΙΠΛΗ λύση), Μιχαηλίδη, Μαυρίδη, Πατήλα (λύση μαζί με τον Γιάννη Καρεκλά), καθώς και η πρότασή μου για το θέμα του κυρίου Τάσου, που υπάρχει αποκλειστικά εδώ.
Σημειώσεις στις ακολουθίες για μαθήματα Ανάλυσης σε Πανεπιστήμια και ΤΕΙ. Οι σημειώσεις περιέχουν τα βασικά θεωρήματα, τα σημαντικότερα κριτήρια σύγκλισης και μεθοδολογία ασκήσεων
Ένα μικρό και εύκολο (!) επαναληπτικό διαγώνισμα στα μαθηματικά κατεύθυνσης της γ΄ λυκείου Πάνω στα κεφάλαια των συναρτήσεων, της συνέχειας και της παραγγισιμότητας.
Καλή επιτυχία!
2 θέματα που παραχώρησα στο lisari για το project "Η άσκηση της ημέρας"Fanis Margaronis
Το 2017, για δεύτερη χρονιά, το lisari.blogspot.gr συνέλεξε θέματα από τους αναγνώστες τους, συζητήθηκαν, προτάθηκαν λύσεις.
Αυτά είναι τα δύο θέματα που πρότεινα, μαζί με τις λύσεις τους.
Ένα ακόμη εξαιρετικό διαγώνισμα από τον συνάδελφο Γιώργο Μιχαηλίδη, διατυπωμένο και μορφοποιημένο ακριβώς στην μορφή των θεμάτων των πανελληνίων εξετάσεων. Περιλαμβάνονται απαντήσεις και υποδείξεις.
Ένα μικρό φυλλάδιο σχετικά με τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων (f, -f, |f| και αντίστροφη) και τα βασικά χαρακτηριστικά που μπορούμε να προσδιορίσουμε τόσο εποπτικά όσο και αναλυτικά (μονοτονία, ακρότατα, αντιστρεψιμότητα κ.λπ.).
Η παρουσίαση μου περιλαμβάνει μια εισαγωγή από κάποιες βασικές έννοιες των πραγματικών αριθμών, αλγεβρικές παραστάσεις και πολυώνυμα, εξισώσεις και ανισώσεις 1ου και 2ου βαθμού (μαζί φυσικά με τους τρόπους επίλυσης αυτών) και συναρτήσεις.
Διδακτέα - Εξεταστέα ύλη για το μάθημα "Οικονομία" (ΑΟΘ) της Γ τάξης του Επαγγελματικού λυκείου. Μπορείτε να δείτε και αναλυτικά την ύλη του μαθήματος επιλέγοντας τον παρακάτω σύνδεσμο:
https://view.genially.com/6450d17ad94e2600194eb286
Αρχές Οικονομικής Θεωρίας - Το γραπτό των πανελλαδικών εξετάσεωνPanagiotis Prentzas
Αρχές Οικονομικής Θεωρίας (ΑΟΘ): Τι πρέπει να προσέξουν οι υποψήφιοι κατά τη διάρκεια των πανελλαδικών εξετάσεων στη δομή των απαντήσεών τους, αλλά και στην εμφάνιση του γραπτού τους.
Μπορείτε να δείτε και τη διαδραστική παρουσίαση στο www.study4economy.edu.gr.
4. Πολυώνυμο του χ ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής:
ανχν+αν-1χν-1+.........α1χ+α0 όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και αi είναι πραγματικοί αριθμοι.
Τα πολυώνυμα της μορφής α0 λέγονται σταθερά πολυώνυμα
Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο
6. Δύο πολυώνυμα λέγονται ίσα εάν έχουν όλους τους συντελεστές του χ και τον σταθερό όρο ίσους
Για κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο ο μεγαλύτερος εκθέτης λέγεται βαθμός του πολυωνύμου.
7. Παράδειγμα
Τα πολυώνυμα οχ4 +0χ3 +2χ2 –χ+2 και 2χ2 –χ+2 είναι ίσα. Ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 2
8. Αριθμητική τιμή πολυωνύμου
Εστω ένα πολυώνυμο P(x) Aν αντικαταστήσουμε το χ με έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ, τότε ο πραγματικός αριθμός Ρ(ρ) που προκύπτει λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για χ=ρ
Αν είναι Ρ(ρ)=0, τότε ο ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου.
9. Παράδειγμα
Η τιμή του πολυωνύμου Ρ(χ)=-χ3 +2χ2 +4χ+1, για χ=1 είναι Ρ(1)=-1+2+4+1=6, ενώ για χ=-1 είναι Ρ(-1)=0 που σημαίνει ότι ο -1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(χ).
10. Πράξεις με πολυώνυμα
Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώνας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.
Για τον βαθμό του πολυωνύμου αποδεικνύεται ότι:
Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο , τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων.
Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών.
11. Ασκηση 1
Να βρεθούν οι τιμές του λ Ε R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ(χ)= (λ2 -2)χ3 +(λ2 -3λ+2)χ+λ-2 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
12. Το Ρ(χ) θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις:
λ2 -2=0, λ2 -3λ+2=0 και λ-2=0
Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι λ=2.
Λύση
13. Ασκηση 2
Αν Ρ(χ) = χ2 +4χ+α-1, να βρεθούν οι τιμές του α Ε R για τις οποίες ισχύει Ρ(-1)=1.
16. Ερώτηση 2
Δύο μη μηδενικά ίσα πολυώνυμα έχουν τον ίδιο βαθμό;
17. Ερώτηση 3
Αν το ρ=1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(χ), τότε το ίδιο ισχύει και για το πολυώνυμο Q(χ)=Ρ(2χ-1)+2χ-2
18. Διαίρεση πολυωνύμου με χ-ρ
Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(χ) με το πολυώνυμο χ-ρ γράφεται Ρ(χ)=(χ-ρ)π(χ)+υ(χ)
ΘΕΩΡΗΜΑ Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(χ) με το χ-ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για χ=ρ. Είναι δηλ. υ=Ρ(ρ)
ΘΕΩΡΗΜΑ Ενα πολυωνύμου Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ-ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0.
19. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ,μ για τους οποίους το πολυώνυμο Ρ(χ)=χ3 +λχ2 +μχ+4 έχει ρίζα τον αριθμό 2 και για χ=1 παίρνει την τιμή 8
Ασκηση 1
20. Ρ(2)=0 και Ρ(1)=8
23 +λ22 +μ2+4=0 και
13 +λ12 +μ1+4=8 και
στην συνέχεια λύνουμε
το σύστημα.
Ρίζα ενός πολυωνύμου Ρ(χ)
Καλείται κάθε πραγματικός
Αριθμός ρ για τον οποίο
Ισχύει:Ρ(ρ)=0
Λύση
21. Ασκηση 2
Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα χ+2 και χ-1 είναι παράγοντες του πολυωνύμου Ρ(χ)=χ3 +χ2 –χ+2
22. Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα x + 2 και x - 1 είναι παράγοντες του πολυωνύμου P(x) = x3 + x2 - x + 2.
Το x + 2 γράφεται x - (-2). Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)2 - (-2) + 2 = 0, το -2 είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, το x + 2 είναι παράγοντας του Ρ(x).
Επειδή P(1) = 13 + 12 - 1 + 2 = 3 ≠ 0, το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως το x - 1 δεν είναι παράγοντας του Ρ(x).
Λύση
23. Διαίρεση πολυωνύμων
Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου, π.χ. του P(x) = 3x3 - 8x2 + 7x + 2 με ένα πολυώνυμο της μορφής x - ρ.
26. Ασκηση
Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ R για τις οποίες τα πολυώνυμο Q(x) = λ2x3 + (λ - 2)x2 + 3 και R(x) = (5λ - 6)x3 + (λ2 - 4)x2 + λ + 1είναι ίσα.
27. Τα Q(x) και R(x) θα είναι ίσα για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις:
λ2 = 5λ - 6, λ - 2 = λ2 - 4 και 3 = λ + 1
Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ = 2. Επομένως για λ = 2 τα πολυώνυμα Q(x) και R(x) είναι ίσα.
Λύση