28 9636diag paragogoi_mexri_rythmo(2015-16)

1. 1
Πατσιμάς Δημήτρης
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
(ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x0 ,τότε είναι και συνεχής
στο σημείο αυτό
(8 μονάδες)
Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση *
( ) ln ,f x x x  είναι παραγωγίσιμη στο *
και ότι   1
ln x
x
  .
(7 μονάδες)
Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές ή Λάθος.
i. Αν η f  είναι παραγωγίσιμη στο x0 ,τότε η f  είναι συνεχής στο x0 .
ii. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f(x)>0 τότε    
( )
( )
f x
f x
f x


iii.   ln , 0x x
a a a a   
iv. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της όταν υπάρχει
το
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x


.
v. Η ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t0 είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης
x =s(t) τη χρονική στιγμή t0 .
(10 μονάδες)
ΘΕΜΑ 2ο
Δίνονται οι συναρτήσεις     21
,f x g x x
x
  .
α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f που διέρχεται από το
σημείο Α(0,-1) (7 μονάδες)
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g που είναι
παράλληλη στην ευθεία 2016y x   . (6 μονάδες)
γ) Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f,g
(6 μονάδες)
δ) Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης , 0gC x  .
Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του M είναι διπλάσιος
από το ρυθμό μεταβολής του y , αν υποτεθεί ότι   0x t  για κάθε 0t 
(6 μονάδες)

2. 2
Πατσιμάς Δημήτρης
ΘΕΜΑ 3ο
Δίνεται συνεχής συνάρτηση :f  , για την οποία ισχύει:
2
( ) 2 5
lim
2 2x
f x x
x

 

και
   4f x f x  για κάθε x .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 2x  . (6 μονάδες)
β) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της fC στο 1 6x  (6 μονάδες)
γ) Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εφαπτομένη ε της fC
στο 0 2x  εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης   2
2 2g x x x    .
(6 μονάδες)
δ) Δίνεται ορθή γωνία xOy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουν
πάνω στις πλευρές Ox και Oy αντίστοιχα.
Ένα δοκάρι είναι τοποθετημένος κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.Το κάτω μέρος του
δοκαριού ολισθαίνει πάνω στον ημιάξονα Οχ με ρυθμό 1m/sec.Τη χρονική στιγμή 0t που η κορυφή
του δοκαριού απέχει από την αρχή των αξόνων 3m, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής
i) της οξείας γωνίας θ που σχηματίζει το δοκάρι με τον χ΄χ
ii) την ταχύτητα που πέφτει το πάνω μέρος του δοκαριού.
(Δίνεται ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ίσο με το μήκος του ευθυγράμμου
τμήματος ΓΔ όπου Γ,Δ τα σημεία τομής της εφαπτομένης ε του προηγούμενου ερωτήματος με τους
άξονες) (7 μονάδες)
ΘΕΜΑ 4ο
Δίνονται οι συναρτήσεις ,g :f  για τις οποίες ισχύει ότι
    3
f x f x x  για κάθε x
  f A 
 ( ) 1x
g x e x  
α) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f,g αντιστρέφονται. (8 μονάδες)
β) Να υπολογίσετε τo  1
(0)f   (5 μονάδες)
γ) Αν θεωρήσουμε ότι η 1
g
είναι παραγωγίσιμη,να υπολογίσετε τo  1
(2)g  . (6 μονάδες)
δ) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 με  0 1f   . (6 μονάδες)

3. 1
Πατσιμάς Δημήτρης
Λύσεις
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Θεωρία
Β. Θεωρία
Γ. ΣΛΣΛΣ
ΘΕΜΑ 2ο
Δίνονται οι συναρτήσεις     21
,f x g x x
x
  .
α) Έστω   0 0,B x f x το σημείο επαφής ,τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο αυτό είναι
      0 0 0 02 2
0 0 0 0
1 1 1 2
y f x f x x x y x x y x
x x x x
             .
To σημείο A ανήκει στην εφαπτομένη άρα 0
0
2
1 2x
x
     .
1
1
4
y x  
β) Έστω   1 1,gx x το σημείο επαφής ,Αφού η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία 2016y x  
έχουμε  1 1 1
1
1 1 2 1
2
g x x x            .
Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η
1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 2 4
y g g x y x y x
                        
      
γ) Έστω (ε) η κοινή εφαπτομένη και      2 2 3 3, , ,x f x E x g x τα σημεία επαφής με τις ,f gC C
αντίστοιχα. Τότε η εξίσωση της (ε) για τα σημεία Δ,Ε είναι :
      3 3 3 32 2
3 3 3 3
1 1 1 2
y f x f x x x y x x y x
x x x x
            
      2 2
4 4 4 4 4 4 4 42 2y g x g x x x y x x x x y x x x          
Επομένως 4 42 2
3 3
1 1
2
2
x x
x x
     (1) και
2
(1)
2
4 2
3 3 3 3
2 2 1 2
2
x
x x x x
 
       
 
3
4
3
1
4x
  3
3 3
1 1
8 2
x x     
Οπότε η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης είναι η (ε): 4 4y x  

4. 2
Πατσιμάς Δημήτρης
δ) Έστω     ,yx t t οι συντεταγμένες του M την τυχαία χρονική στιγμή t.
               2
2 2y t x t y t x t x t y t x t x t        (1)
Έστω 0t η χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του M είναι
διπλάσιος από το ρυθμό μεταβολής του y.
Για
 
       
1
0 0 0 0 02t t y t x t x t y t         0 02 2x t y t   0
1
4
x t  .
   2
0 0
1
16
y t x t  .
Οπότε στο σημείο
1 1
,
4 16
 
 
 
ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του M είναι
διπλάσιος από το ρυθμό μεταβολής του y
ΘΕΜΑ 3ο
α) Θεωρούμε  
 
 
2
, [0,2) 2,
2
f x x
g x x
x

   

οπότε     2 2f x g x x x   και
      2 2
lim lim 2 2 2 2
x x
f x g x x x f
 
      
      
 2 2 2
2 2 2 2 2 2
lim lim lim
2 2 2x x x
f x f g x x x x
g x
x x x  
     
    
   
 
 
 
 
2 2
2 22 4
lim lim
2 2 2x x
xx
g x g x
x x 
 
   
      2x  2 2x
 
  
  
 
 2
2 5 2
lim 2
2 42 2x
g x
x
 
      
 
Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 2x  με  2 2f   
β)    4f x f x  (1)
Για x=2 :    (1) 6 2 2f f  
           
 
(1) 4
2 2 2 6 2
2 4 6 6
lim lim lim 6 2
2 2 6
u x
x x x u x
f x f f x f f u f
f
x x u
 
     
   
    
  
H εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 6 είναι η
(ε) :       6 6 6 2 2 2 2 6y f f x y x y x           
γ) H εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 2 είναι η
(ε) :       2 2 2 2 2 2 2 6y f f x y x y x           
Έστω   0 0,A x g x το σημείο επαφής της εφαπτομένης με τη gC .
Οπότε    0 0 0 02 2 2 2 2 2 4 2g x f x x x              και  2 2g  
To σημείο  2,g( 2)   ανήκει στην (ε) οπότε  2 10 2 10 5g       

5. 3
Πατσιμάς Δημήτρης
δ) α)H (ε) τέμνει τους άξονες στα σημεία  3,0 και  0,6 .
   2 2
3 6 45 3 5      
Έστω      0, , ,0y t x t οι συντεταγμένες του πάνω και κάτω άκρου του
πάσσαλου την τυχαία χρονική στιγμή t.
Αν  t η γωνία θ την τυχαία χρονική στιγμή t τότε
 
 
   
 
3 5 3 5
x t x t
t t t  

    (1)
Για 0t t
     
   0 0
0 01
3 5 3 5
x t y t
t t 

      0
1
3 5
t     0 0
1
3 1 / sec
3
t t rad       
β)  
 
         3 5 3 5
3 5
y t
t y t t y t t t           
Για 0t t :      0 0 03 5 3 5y t t t     
 0
3 5
x t

 
2
2
3 5 31
2 / sec
3 3
m
 
      
 
ΘΕΜΑ 4ο
α) Έστω 1 2,x x  με            3 3
1 2 1 21 2f x f x f x f x  
           3 3
1 1 2 2 1 21 2 f x f x f x f x x x       .
Άρα η f είναι 1-1 οπότε αντιστρέφεται.
Έστω 3 4,x x  με 3 4
3 4 (3)x x
x x e e   και 3 4 3 41 1(4)x x x x    
       3 4
3 4 3 43 4 1 1x x
e x e x g x g x         .
Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα και 1-1 οπότε αντιστρέφεται.
β)      3
5f x f x x 
Θέτουμε  f x y οπότε    3 1 3
5 x y y f y y y
      .
Άρα η αντίστροφη της f έχει τύπο  1 3
f x x x
  .
Η
1
f 
είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο    1 2
3 1f x x    .
Οπότε    1
0 1f   
γ) Γνωρίζουμε ότι   1
g g x x
 (6).
Mε παραγώγιση της (6) έχουμε
         
  
   
    
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 2
0 22
g g x g x g x g
gg g x g g
   
 
         
 
.

6. 4
Πατσιμάς Δημήτρης
         1
0 2 2 0 , 1 0 2x
g g g x e g
       
δ)             
0
3 2
0
5 0 0 0 0 0 1 0 0 0
x
f f f f f


       
        
 
2
2
0
5 1
1
x
f x f x x f x
f x
    

(6) οπότε
 
 
 2
1
x
f x x x f x x
f x
     

 0 0
lim 0 lim
x x
x x
 
   άρα  0
lim 0
x
f x

 από κριτήριο παρεμβολής.
 
 
 2
1
6
1
f x
x f x
 

οπότε
 
 20 0
1
lim lim 1
1x x
f x
x f x 
 

.
Επομένως η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 με  0 1f  