Πράξεις σε παραστάσεις. Ευκαιρία για επανάληψη.

1. Πράξεις σε αριθμητικές και σε αλγεβρικές παραστάσεις Ζουρνά Άννα

2. Να εκτελέσετε τις πράξεις στην παρακάτω αριθμητική παράσταση : – 3 + 7 – 4 + 3 – 2 + 6 – 9 + 7 + 2 – 8 + 4 + 6 = Υπογραμμίζουμε τους θετικούς και διαγράφουμε τους αντίθετους

3. Δεύτερο Βήμα: – 3 + 7 – 4 + 3 – 2 + 6 – 9 + 7 + 2 – 8 + 4 + 6 = Βάζουμε μπροστά τους θετικούς προσθέτοντάς τους και μετά τοποθετούμε το άθροισμα των αρνητικών

4. Τρίτο βήμα: – 3 + 7 – 4 + 3 – 2 + 6 – 9 + 7 + 2 – 8 + 4 + 6 = = 26 – 17 = 9

5. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: Υπολογίζουμε τη δύναμη. Προσοχή στον κανόνα Συνέχεια χωρίς θεωρία

6. Δυνάμεις Ι Στις δυνάμεις ισχύουν τα εξής αξιώματα : α 1 = α α ν + 1 = α ν  α και α 0 = 1, α  0. Ορισμοί: α ν = α  α  …  α ν - παράγοντες Επιστροφή

7. Υπολογίζουμε τη δύναμη στον παρονομαστή. Προσοχή στον κανόνα Συνέχεια χωρίς θεωρία

8. Δυνάμεις ΙΙ Η δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι πάντοτε θετικός αριθμός. Η δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και άρτιο εκθέτη είναι θετικός αριθμός. Η δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και περιττό εκθέτη είναι αρνητικός αριθμός. Παραδείγματα: α. (-3) 2 = + 9 = 9 β. (-5) 3 = -125 γ. (+6) 2 = +36 = 36 Προσοχή! Για να υψώνεται ένας αρνητικός αριθμός σε μία δύναμη θα πρέπει να βρίσκεται μέσα σε παρένθεση μαζί με το πρόσημό του .

9. Θέλω να ξαναδώ την άσκηση

10. Να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αλγεβρική παράσταση: x 2  x  x – 4  x 5 = Προσοχή στην ιδιότητα Συνέχεια χωρίς θεωρία

11. Δυνάμεις ΙΙΙ Το γινόμενο δύο ή και περισσοτέρων δυνάμεων του ίδιου αριθμού α, είναι μία δύναμη με βάση το α και εκθέτη το άθροισμα των εκθετών. α ν  α μ = α ν + μ α λ  α ν  α μ = α λ + ν + μ Παραδείγματα: 2 4  2 6 = 2 4 + 6 = 2 10 5 -7  5 -6  5 17  5 -2  5 4  5 -5 = 2 4  2 6  2 5 = 2 4 + 6+5 = 2 1 = 5 -7 +(-6) +17+(-2)+4+(-5) = = 5 -7 -6 +17 - 2+ 4 -5 = = 5 21 - 20 = 5 1 = 5 Που να υπολογίζουμε την δέκατη έβδομη δύναμη του 5… Επιστροφή

12. x 2  x  x – 4  x 5 = = x 2  x 1  x – 4  x 5 = = x 2 + 1 + (– 4) +5 = = x 8 - 4 = x 4 Θέλω να ξαναδώ την άσκηση

13. Να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αλγεβρική παράσταση: [(-3) x] 4 = Προσοχή στην ιδιότητα Συνέχεια χωρίς θεωρία

14. Δυνάμεις Ι V Για να υψώσουμε σε μία δύναμη το γινόμενο δύο ή και περισσοτέρων αριθμών αρκεί να υψώσουμε τον κάθε παράγοντα του γινομένου στη δύναμη αυτή. (α  β) μ = α μ  β μ (α  β  γ) μ = α μ  β μ  γ μ Παράδειγμα: (7  2) 2 = 7 2  2 2 = 196 Επιστροφή

15. [(-3) x] 4 = (-3) 4 x 4 = = + 81x 4 = 81x 4 Θέλω να ξαναδώ την άσκηση Γιατί + 81;

16. Να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αριθμητική παράσταση: (5 -2 ) -1 = Προσοχή στην ιδιότητα Συνέχεια χωρίς θεωρία

17. Δυνάμεις V Αν μια δύναμη ενός αριθμού α υψωθεί σε μία άλλη δύναμη, τότε προκύπτει μία δύναμη με βάση τον α και εκθέτη το γινόμενο των εκθετών. (α ν ) μ = α ν  μ Παράδειγμα: [(-2) 3 ] 2 =(-2) 3  2 = (-2) 6 = +64 = 64 Επιστροφή

18. (5 -2 ) -1 = 5 (-2)  (-1) = =5 +2 =5 2 = 25 Θέλω να ξαναδώ την άσκηση

19. Να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αλγεβρική παράσταση: Προσοχή στην ιδιότητα Συνέχεια χωρίς θεωρία

20. Δυνάμεις V Ι Για να υψώσουμε ένα κλάσμα σε μία δύναμη αρκεί να υψώσουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή στη δύναμη αυτή. Παράδειγμα: Επιστροφή

21. Θέλω να ξαναδώ την άσκηση

22. Να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αριθμητική παράσταση: Προσοχή στην ιδιότητα Συνέχεια χωρίς θεωρία

23. Δυνάμεις V Ι I Προσοχή! Παράδειγμα: Αρνητικός Αντιστρέφουμε Επιστροφή

24. Θέλω να ξαναδώ την άσκηση

25. Να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αριθμητική παράσταση: Προσοχή στην ιδιότητα Συνέχεια χωρίς θεωρία

26. Δυνάμεις V Ι II Το πηλίκο δύο δυνάμεων του αυτού αριθμού είναι μία δύναμη του ίδιου αριθμού που έχει σαν εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου: Παράδειγμα: 3 8  3 4 = 3 8 - 4 = 3 4 = 81 Επιστροφή

27. Θέλω να ξαναδώ την άσκηση

28. Να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αριθμητική παράσταση: Πρώτα ας ξεμπερδέψουμε με τα πρόσημα

29. Μήπως το 4 να το γράψουμε 2 2 ;

30. Ας χρησιμοποιήσουμε καμιά ιδιότητα…

32. Να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αριθμητική παράσταση: -(-3) 3 + (-2) 5 + 125  [(-12-1) 2 - (-11-1) 2 ]= κάνουμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις και υπολογίζουμε τις δυνάμεις που δεν επηρεάζονται από παρενθέσεις

33. υπολογίζουμε τις δυνάμεις στις παρενθέσεις και βγάζουμε τις μπροστινές παρενθέσεις -(-3) 3 + (-2) 5 + 125  [(-12-1) 2 - (-11-1) 2 ]= =-(-27) + (-32) + 125  [(-13) 2 - (-12) 2 ]=

34. -(-3) 3 + (-2) 5 + 125  [(-12-1) 2 - (-11-1) 2 ]= =-(-27) + (-32) + 125  [(-13) 2 - (-12) 2 ]= = + 27 – 32 + 125  [(+169) - (+144)]= Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση

35. Ολοκληρώνουμε τις πράξεις -(-3) 3 + (-2) 5 + 125  [(-12-1) 2 - (-11-1) 2 ]= =-(-27) + (-32) + 125  [(-13) 2 - (-12) 2 ]= = + 27 – 32 + 125  [(+169) - (+144)]= = + 27 – 32 + 125  (169 -144)= = + 27 – 32 + 125  25 = = + 27 - 32 + 5 = = 32 -32 = 0

36. Να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αριθμητική παράσταση και το αποτέλεσμα να είναι δύναμη ενός και μόνο αριθμού : κάνουμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις

37. Συνεχίζουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις

38. Ξεκαθαρίζουμε με τα πρόσημα

39. Το 9 το γράφουμε σαν 3 2

41. Χάθηκα… Λίγη Θεωρία … Ι ΙΙ ΙΙΙ Ι V V VI VII VIII

42. Να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αριθμητική παράσταση: Αναλύουμε τις υπόρριζες ποσότητες σε γινόμενα τέλειων τετραγώνων και άλλων παραγόντων Θέλω βοήθεια δε θυμάμαι τίποτε από τα ριζικά

43. Ριζικά Ι Νιοστή ρίζα ενός αριθμού α ονομάζεται ο αριθμός x ο οποίος αν υψωθεί εις στην ν θα μας δώσει τον α. x ν = α Για το συμβολισμό της νιοστής ρίζας του α χρησιμοποιούμε το συμβολισμό , το οποίο διαβάζεται: «νιοστή ρίζα του α», λέγεται πρωτεύουσα νιοστή ρίζα και με το οποίο παριστάνουμε: Τη μη αρνητική νιοστή ρίζα του α, όταν α  0 και Την μοναδική πραγματική νιοστή ρίζα (η οποία είναι αρνητική ) του α, όταν α< 0 και ν περιττός .

44. Χωρίζουμε τα ριζικά και απλοποιούμε όσα από αυτά μπορούμε Πως έγινε η ανάλυση; Άλλος Τρόπος; Ιδιότητες

45. Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων 8 2 50 2 98 2 32 2 4 2 25 5 49 7 16 2 2 2 5 5 7 7 8 2 1 1 1 4 2 2 2 8 = 2 2  2 1 50 = 5 2  2 98 = 7 2  2 32 = 2 2  2 2  2 Επιστροφή

46. Δεύτερος τρόπος

47. Ριζικά ΙΙ

48. Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας απλοποιούμε Προσοχή! Η επιμεριστική είναι απαραίτητη για την παραγοντοποίηση. Επιβάλλεται η επανάληψη πριν από το άλλο κεφάλαιο…