1. Θέμα 1ο
:
Α) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι
συνεχής στο Δ και '( ) 0f x = για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να
αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.
Β)Να χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς τις ακόλουθες προτάσεις:
α) Έστω f παραγωγίσιμη στο (α,β) και 0 ( , )x α β∈ . Αν 0( )f x τοπικό
ελάχιστο της f, τότε '( ) 0f x < στο 0( , )xα και '( ) 0f x > στο 0( , )x β
.
β) Αν z∈£ , τότε 1 1z z= ⇔ = .
γ) Αν η f είναι συνεχής στο διάστημα [-α,α], τότε ισχύει
0
0
( ) ( ) ( )
a a
a a
f x dx f x dx f x dx
− −
= +∫ ∫ ∫ .
δ) Αν 1 2,z z ∈£ με 1 2z z≠ , η εξίσωση 1 2z z z z− = − παριστάνει τη
μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα τις εικόνες των
1 2,z z .
ε)
0
1
lim 1
x
x
x
συν
→
−
= .
Θέμα 2ο
:
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] συνάρτηση f για
την οποία ισχύει 2 2
( ) ( ) 3f fα β+ = και ( ) 0f β > . Θεωρούμε τους
μιγαδικούς αριθμούς 1 ( ) 1 ( )z f ifα β= + + και 2 1 12 2 ( )z z z f α= + − .
α) Να βρείτε το 2z .
β) Αν 2 2z < , να δείξετε ότι υπάρχει 0 ( , )x α β∈ τέτοιο ώστε 0( ) 0f x = .
γ) Αν 1 2 ( )z if α= + και 2 2 ( )z if β= + με 1 2z z= και ( ) ( ) 0f fα β+ ≠ ,
να δείξετε ότι υπάρχει 0 ( , )x α β∈ τέτοιο ώστε 0'( ) 0f x = .
Θέμα 3ο
:
Α) Έστω η συνάρτηση :f →¡ ¡ με
1
1
( )
1
x
x
e
f x
e
−
−
=
+
για x∈¡ .
α) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, τα κοίλα και τα
σημεία καμπής.

2. β) Να δειχθεί ότι για κάθε 1x > , ισχύει
(ln ) '( 1) ( 1) '(ln )f x f x f x f x+ − < − +
Β) Έστω η συνάρτηση :f →¡ ¡ η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη
και ακόμα (0) 0f = , '(0) 0f > και ''( ) ( )f x f x≥ για κάθε 0x ≥ .
Να δειχθεί ότι ( ) 0f x > για κάθε 0x > .
Θέμα 4ο
:
Α) Αν α θετικός πραγματικός και :[ , ]f a a− → ¡ συνεχής και άρτια, να
δειχθεί ότι
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx
−
=∫ ∫ .
Β) Έστω η συνάρτηση f με τύπο
2
8
1
1
( )
1 1
x
t
f x dt
x t
=
− +
∫ .
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
β) Να δειχθεί ότι (0) ( 1)f f= − .
γ) Να δειχθεί ότι 1
1
lim ( )
2x
f x
→
= .
ΘΕΜΑΤΟΔΟΤΗΣ:
ΚΟΤΡΩΝΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ