1. บทที่ 1
จํานวนเชิงซอน
(22 ชั่วโมง)
วิวัฒนาการของจํานวนในระบบจํานวนจริง แสดงใหเห็นวา จํานวนตาง ๆ เกิดขึ้น
จากความจําเปนของมนุษยในการที่จะแกปญหาตาง ๆ จํานวนใหม ๆ ที่เกิดขึ้น นอกจากจะทํา
ใหแกปญหาตามตองการไดแลว ยังกอใหเกิดความรูและทฤษฎีใหม ๆ อีกดวย บทนี้จะกลาว
ถึงการสรางจํานวนเชิงซอน สมบัติเชิงพีชคณิตของจํานวนเชิงซอน รากที่สองของจํานวน
เชิงซอน กราฟและคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน จํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว รากที่ n
ของจํานวนเชิงซอน และสมการพหุนาม
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับจํานวนเชิงซอน เขียนกราฟและหาคาสัมบูรณของจํานวน
เชิงซอนได
2. หารากที่ n ของจํานวนเชิงซอน เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก
3. แกสมการพหุนามตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มและมีดีกรีไมเกินสาม
ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้น
ทางดานความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/
กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล
การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ
ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอื่น และการคิดริเริ่มสรางสรรค นอกจากนั้น
กิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริมใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร
ตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ
มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง

2. 2
ขอเสนอแนะ
1. ในหนังสือเรียน ไดแสดงการพิสูจนเกี่ยวกับสมบัติของสังยุคของจํานวนเชิงซอน
ไวเพียงขอ 1, 3, 4, 7 สําหรับขอที่เหลือละไวใหผูเรียนที่สนใจไดลองพิสูจนดวยตนเอง แต
ถาผูเรียนมีปญหาในการพิสูจนผูสอนอาจแสดงการพิสูจนไดดังนี้
2) ให z = a + bi
จะได z = a – bi
และ ( )z = a + bi = z
z = z
ให z1 , z2 เปนจํานวนเชิงซอน โดยที่ z1 = a + bi และ z2 = c + di จะได
5) z1 – z2 = (a + bi) – (c + di)
= (a – c) + (b – d)i
นั่นคือ ( )1 2z z− = (a – c) – (b – d)i
และ 1 2z z− = (a – bi) – (c – di)
= (a – c) – (b – d)i
ดังนั้น ( )1 2z z− = 1 2z z−
6) z1 • z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
นั่นคือ 1 2z z⋅ = (ac – bd) – (ad + bc)i
และ 1 2z z⋅ = (a – bi)(c – di)
= (ac – bd) – (ad + bc)i
ดังนั้น 1 2z z⋅ = 1 2z z⋅
2. ในหนังสือเรียนไดแสดงการพิสูจนสมบัติของคาสัมบูรณไวเพียงขอ 1 และ 2
เทานั้น สําหรับขอที่เหลือละไวใหผูเรียนที่สนใจไดลองพิสูจนดวยตนเอง แตถาผูเรียนมีปญหา
ในการพิสูจน ผูสอนอาจแสดงการพิสูจนไดดังนี้
3) ให z = a + bi และ z ≠ 0
1
z
= 2 2
1
a b+
= 2 2
1
a b+

3. 3
= 1
z
4) จาก 2
1 2z z⋅ = (z1 • z2)( 1 2z z⋅ )
= (z1 • z2)( 1 2z z⋅ )
= ( 1 1z z⋅ )( 2 2z z⋅ )
= 2 2
1 2z z⋅
= ( )
2
1 2z z
ดังนั้น 1 2z z⋅ = 1 2z z
กอนที่จะพิสูจนสมบัติของคาสัมบูรณ ขอ 5 1 2 1 2z z z z+ ≤ + และ ขอ 6
1 2 1 2z z z z− ≥ − จะแสดงการพิสูจนทฤษฎีบทนํา เพื่อจะนําไปใชในการพิสูจนสมบัติ
ของคาสัมบูรณดังกลาว
ทฤษฎีบทนํา 1 ถา z เปนจํานวนเชิงซอน โดยที่ z = a + bi เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง
แลว a ≤ z
พิสูจน ให z = a + bi
เนื่องจาก a ≤ 2
a
≤ 2 2
a b+ = z
ดังนั้น a ≤ z
ทฤษฎีบทนํา 2 ถา z1 , z2 เปนจํานวนเชิงซอน โดยที่ z1 = a + bi และ z2 = c + di แลว
1 2z z + 2 1z z ≤ 1 22 z z
พิสูจน พิจารณา 1 2z z + 2 1z z = (a + bi)(c – di) + (c + di)(a – bi)
= ac – adi + bci + bd + ac – bci + adi + bd
= 2ac + 2bd
= 2(ac + bd)
≤ ( ) ( )
2 2
2 ac bd bc ad+ + − (ทฤษฎีบทนํา 1)
= 1 22 z z
ดังนั้น 1 2z z + 2 1z z ≤ 1 22 z z

4. 4
ตอไปนี้เปนการพิสูจนสมบัติของคาสัมบูรณขอ 5 และขอ 6
5) 1 2 1 2z z z z+ ≤ +
พิสูจน จาก 2
1 2z z+ = (z1 + z2)( )1 2z z+
= (z1 + z2)( )1 2z z+
= 1 1 1 2 2 1 2 2z z z z z z z z+ + +
= 2 2
1 1 2 2 1 2z z z z z z+ + +
≤
2 2
1 1 2 2z 2 z z z+ + (ทฤษฎีบทนํา 2)
= 2 2
1 1 2 2z 2 z z z+ +
= 2 2
1 1 2 2z 2 z z z+ +
= ( )
2
1 2z z+
1 2z z+ ≤ 1 2z z+
ดังนั้น 1 2z z+ ≤ 1 2z z+
6) 1 2 1 2z z z z− ≥ −
พิสูจน จาก 2
1 2z z− = (z1 – z2)( 1 2z z− )
= 2 2
1 2 2 1 1 2z z z z z z+ − −
= ( )2 2
1 2 2 1 1 2z z z z z z+ − +
≥
2 2
1 2 1 2z z 2 z z+ − (ทฤษฎีบทนํา 2)
= 2 2
1 1 2 2z 2 z z z− +
= 2 2
1 1 2 2z 2 z z z− +
= ( )
2
1 2z z−
ดังนั้น 1 2 1 2z z z z− ≥ −
3. การหาผลบวกและผลตางของจํานวนเชิงซอน 2 จํานวน อาจอาศัยกราฟได
เชนเดียวกับการหาผลบวกและผลตางของเวกเตอร เพราะจํานวนเชิงซอน a + bi อาจแทน
ดวยเวกเตอรที่มีจุด (0, 0) เปนจุดเริ่มตน และจุด (a, b) เปนจุดสิ้นสุด เชน
(1) การหาผลบวกของ 3 + 2i และ –2 + 3i หาผลบวกโดยอาศัยกราฟ จะได

5. 5
ผลบวกคือ เวกเตอรที่มีจุด (0, 0) เปนจุดเริ่มตน และมีจุด (1, 5) เปนจุดสิ้นสุด
ซึ่งก็คือจํานวนเชิงซอน (1, 5) หรือ 1 + 5i นั่นเอง
(2) การหาผลตางของจํานวนเชิงซอน (4, 2) และ (1, –3) โดยอาศัยกราฟ จะได
ผลตางก็คือ เวกเตอรที่มีจุด (0, 0) เปนจุดเริ่มตน และมีจุด (3, 5) เปนจุดสิ้นสุด
ซึ่งก็คือจํานวนเชิงซอน (3, 5) หรือ 3 + 5i
4. การแสดงการพิสูจนทฤษฎีบทและขอสรุปตาง ๆ ของจํานวนเชิงซอน บางครั้ง
เรายังไมสามารถแสดงการพิสูจนโดยตรงได จึงใชวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร (Principle of
Mathematical Induction) ซึ่งวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตรนั้นมีใจความดังนี้
“ถา P(n) เปนประพจนที่เกี่ยวของกับจํานวนนับ n โดยที่ P(n) มีสมบัติดังนี้
1. P(1) เปนจริง
6
4
2
0 2 4–4 –2 X
Y
(3, 2)
(1, 5)
(–2, 3)
–4
4
6
2
–2
–4 –2 2 4
X
Y
(4, 2)
(3, 5)
(–1, 3)
0
(1, –3)

6. 6
และ 2. ถา P(k) เปนจริงแลว P(k + 1) เปนจริงสําหรับทุก ๆ จํานวนนับ k
แลวประพจน P(n) จะเปนจริงสําหรับทุก ๆ จํานวนนับ n”
ในหนังสือเรียนไมไดแสดงการพิสูจนทฤษฎีบทของเดอมัวร ซึ่งการพิสูจนตอง
อาศัยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร ถาผูเรียนสงสัยผูสอนอาจอธิบายการพิสูจนไดดังนี้
ทฤษฎีบทของเดอมัวร
ถา z = r(cos θ + i sin θ) และ n เปนจํานวนเต็มบวก
จะได zn
= rn
(cos n θ + i sin n θ)
พิสูจน ให P(n) แทนขอความ “ถา z = r(cos θ + i sin θ) แลว
zn
= rn
(cos n θ + i sin n θ)”
ดังนั้น P(1) เปนจริง เพราะถา z = r(cos θ + i sin θ) แลว
z1
= r1
(cos 1 θ + i sin 1 θ)
ให P(k) เปนจริง นั่นคือ ถา z = r(cos θ + i sin θ) แลว zk
= rk
(cos k θ + i sin k θ)
สําหรับทุก k ∈ I+
ตองแสดงวา P(k + 1) เปนจริง
พิจารณา zk + 1
= zk
⋅ z
= [rk
(cos k θ + i sin k θ)][r(cos θ + i sin θ)]
= (rk
⋅ r)[cos(k θ + θ) + i sin (k θ + θ)]
= rk + 1
[cos(k + 1) θ + i sin(k + 1) θ]
ดังนั้น P(k + 1) เปนจริง
โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปนจริง สําหรับทุกคาของ n ที่เปน
จํานวนเต็มบวก
นั่นคือ ถา z = r(cos θ + i sin θ) แลว zn
= rn
(cos n θ + i sin n θ) โดยที่ n ∈ I+
5. ประโยชนของทฤษฎีบทของเดอมัวรนอกจากใชในการหาคาของจํานวนเชิงซอน
ในรูปเลขยกกําลัง และการหารากที่ n ของจํานวนเชิงซอน แลวยังสามารถนําไปใชพิสูจน
ทฤษฎีบทตรีโกณมิติได เชน
1) จงพิสูจนวา sin 2 θ = 2 sin θ cos θ
cos 2 θ = cos2
θ – sin2
θ
จากทฤษฎีบทของเดอมัวรกลาววา z = r(cos θ + i sin θ) และ n ∈ I+
จะได

7. 7
zn
= rn
(cos n θ + i sin n θ)
จาก (cos θ + i sin θ)2
= (cos θ + i sin θ)(cos θ + i sin θ)
= cos2
θ – sin2
θ + i (2 sin θ cos θ)
และจากทฤษฎีบทของเดอมัวร จะได (cos θ + i sin θ)2
= cos 2 θ + i sin 2 θ
ดังนั้น sin 2 θ = 2 sin θ cos θ
และ cos 2 θ = cos2
θ – sin2
θ
2) จงพิสูจนวา sin 3 θ = 3 sin θ – 4 sin3
θ
cos 3 θ = 4 cos3
θ – 3 cosθ
จาก (cos θ + i sin θ)3
= (cos θ + i sin θ)(cos2
θ – sin2
θ + 2 i sin θ cos θ)
= cos3
θ + 3 i sin θ cos2
θ – 3 sin2
θ cos θ – i sin3
θ)
= cos3
θ – 3 sin2
θ cos θ + i (3 sin θ cos2
θ – sin3
θ)
= cos3
θ – 3(1 – cos2
θ)cos θ + i[3 sin θ(1 – sin2
θ) – sin3
θ]
= cos3
θ – 3 cos θ + 3 cos3
θ + i(3 sin θ – 3 sin3
θ – sin3
θ)
= 4 cos3
θ – 3 cos θ + i(3 sin θ – 4 sin3
θ)
และจากทฤษฎีบทของเดอมัวร จะได (cos θ + i sin θ)3
= cos 3θ + i sin 3θ
ดังนั้น sin 3θ = 3 sinθ – 4 sin3
θ
และ cos 3θ = 4 cos3
θ – 3 cos θ
6. การหารากที่ n ของ 1
เนื่องจาก 1 = cos 0°
+ i sin 0°
ดังนั้นรากที่ n ของ 1 คือ 0 360 k 0 360 k
cos isin
n n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
o o o o
หรือเทากับ 360 k 360 k
cos isin
n n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
o o
เมื่อ k ∈ { }0, 1, 2, ..., n 1−
ถาให a = 360 360
cos isin
n n
+
o o
จะไดรากที่ n ของ 1 คือ 1, a, a2
, …, an – 1
ซึ่ง a, a2
, …, an – 1
จะเปนรากของสมการ xn – 1
+ xn – 2
+ … + x + 1 = 0 ดวย

8. 8
7. ขอสังเกต a b a b⋅ ≠ ⋅ เมื่อ a และ b เปนจํานวนลบทั้งคู
ตัวอยางเชน 4 9− ⋅ − = ( )( )2 1 3 1− −
= (2i)(3i)
= 6i2
= 6(–1)
= –6
แต ( 4)( 9)− − = 36
= 6
กิจกรรมเสนอแนะ
จํานวนเชิงซอน
1. ผูสอนอาจนําเขาสูบทเรียนตามหนังสือเรียน หรืออาจยกตัวอยางการหาคาใน
ระบบจํานวนจริงมากอน เชน x2
= 1 พบวา x มีคาเปน –1 หรือ 1 ก็ได (ผูเรียนเคยเรียน
มาแลว) หลังจากนั้นผูสอนยกตัวอยางการหาคาของ x เมื่อกําหนด x2
= –1 ถามผูเรียนวา
ในระบบจํานวนจริงมีจํานวนใดหรือไมที่ยกกําลังสองแลวมีคาเปนลบ ผูเรียนจะตอบไดวา
ไมมีจํานวนจริงใดเลยที่ยกกําลังสองแลวเปนจํานวนลบ เพื่อใหคาของ x จากสมการ
x2
= –1 ได จําเปนตองสรางจํานวนขึ้นใหม เรียกจํานวนที่สรางใหมนี้วา จํานวนเชิงซอน
2. ผูสอนใหบทนิยามจํานวนเชิงซอน การเทากัน การบวก และการคูณ จํานวนเชิงซอน
ในรูป (a, b) แลวยกตัวอยางหรือกําหนดจํานวนเชิงซอนใหเพื่อหาคําตอบที่ตองการ เชน
(1) กําหนดให (3a, –b) = (3, 1) จงหาคาของ a และ b
จากบทนิยาม (3a, –b) = (3, 1)
จะได 3a = 3
a = 1
และ –b = 1
b = –1
(2) จงหาผลบวกและผลคูณของจํานวนเชิงซอน (–1, 5) และ (2, –3)
(–1, 5) + (2, –3) = (–1 + 2, 5 – 3)
= (1, 2)

9. 9
และ (–1, 5) ⋅ (2, –3) = ((–1)2 – 5(–3), (–1)(–3) + 5(2))
= (–2 + 15, 3 + 10)
= (13, 13)
(3) จงหาคาของ a, b เมื่อกําหนด
ก. (a, –3b) + (–4b, 2a) = (–2, 1)
จะได a – 4b = –2
2a – 3b = 1
แกสมการ จะได a = 2 และ b = 1
ข. (a, b)(3, –4) = (5, 2)
3a + 4b = 5
–4a + 3b = 2
แกสมการ จะได a = 7
25
และ b = 26
25
3. ผูสอนอธิบายวาจํานวนเชิงซอนในรูป (a, b) อาจเขียนใหอยูในรูป a + bi ตาม
ขั้นตอนในหนังสือเรียน หลังจากนั้นผูสอนอาจกําหนดจํานวนเชิงซอนในรูป (a, b) ใหผูเรียน
เขียนใหอยูในรูป a + bi
4. ผูสอนบอกผูเรียนวา โดยทั่วไปจํานวนเชิงซอนประกอบดวยสวนจริงและสวน
จินตภาพ กลาวคือสําหรับจํานวนเชิงซอนในรูป (a, b) หรือในรูป a + bi เรียก a วาสวนจริง
และเรียก b วาสวนจินตภาพ
ผูสอนยกตัวอยางจํานวนเชิงซอน (–2, 3) ใหผูเรียนบอกสวนจริงและสวน
จินตภาพ ผูเรียนควรบอกไดวาสวนจริงคือ –2 สวนจินตภาพคือ 3
ผูสอนอาจยกตัวอยางจํานวนเชิงซอนอื่น ๆ เชน 3 – 5i, i(1 – i), i(1 – i)(2 + i)
แลวใหผูเรียนบอกสวนจริงและสวนจินตภาพ
ผูสอนบอกใหผูเรียนทราบวา จํานวนเชิงซอน (a, b) เมื่อ b = 0 เรียกวา
จํานวนจริง เชน (3, 0), (–7, 0) ซึ่งก็คือ 3, –7
และจํานวนเชิงซอน (0, b) เมื่อ b ≠ 0 เรียกวา จํานวนจินตภาพแท จากตัวอยาง
จํานวนจินตภาพที่ผูเรียนบอกขางตนจะเห็นวา 3i เปนจํานวนจินตภาพแท ใหผูเรียนยกตัวอยาง

10. 10
จํานวนจินตภาพแทอีก 2 หรือ 3 จํานวน
ผูสอนยกตัวอยางจํานวนตาง ๆ เมื่อเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนเชิงซอน
แลวถามวาเปนจํานวนชนิดใดบางตามตารางขางลางนี้
จํานวน
เชิงซอน
จํานวน
จินตภาพแท
จํานวน
จริง
จํานวน
ตรรกยะ
จํานวน
อตรรกยะ
จํานวน
เต็ม
–1 – i
5
–7i
3
2 + i
5. ผูสอนอาจใหผูเรียนหาคาของ in
เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก เชน ใหหาคา
ของ i112
และ i27
ซึ่งผูเรียนควรหาไดดังนี้
(1) i112
= (i2
)56
= (–1)56
= 1
(2) i27
= i26
i
= (i2
)13
i
= (–1)13
i
= –i
เอกลักษณและตัวผกผันการบวก
1. ผูสอนทบทวนสมบัติของระบบจํานวนจริงเกี่ยวกับการบวก
2. ผูสอนถามวา ในระบบจํานวนเชิงซอน เอกลักษณการบวกคือจํานวนใด
ถาผูเรียนยังตอบไมได ผูสอนใหผูเรียนหาผลบวกของจํานวนเชิงซอนตอไปนี้
(2, –3) + (0, 0) , (0, 0) + (2, –3)
(–4, 5) + (0, 0) , (0, 0) + (–4, 5)
(0, 0) + (1, 4) , (1, 4) + (0, 0)
(0, 0) + (–5, –2) , (–5, –2) + (0, 0)

11. 11
ซึ่งผูเรียนควรจะไดขอสรุปวา (0, 0) เปน “เอกลักษณการบวก” ของจํานวนเชิงซอน
3. ผูสอนถามความหมายของ “ตัวผกผันการบวก” ของจํานวนเชิงซอน (a, b) ซึ่ง
ผูเรียนควรตอบไดวา หมายถึง จํานวนเชิงซอนที่บวกกับ (a, b) แลวไดจํานวนเชิงซอน (0, 0)
ผูสอนยกจํานวนเชิงซอนหลาย ๆ จํานวน เชน (–1, 3) , (2, –5) , (–2, –1)
ใหผูเรียนหาตัวผกผันการบวกของจํานวนเชิงซอนดังกลาว
ผูสอนใหผูเรียนสังเกตวา จํานวนเชิงซอนที่กําหนดใหกับตัวผกผันการบวกที่หาได
มีอะไรที่แตกตางกันบาง ผูเรียนควรตอบไดวาสวนจริงและสวนจินตภาพของจํานวนเชิงซอน
ที่เปนตัวผกผันการบวกนั้นเปนจํานวนตรงขามกับสวนจริงและสวนจินตภาพของจํานวน
เชิงซอนที่กําหนดใหตามลําดับ กลาวคือ ถากําหนดจํานวนเชิงซอน (a, b) ให ตัวผกผันการบวก
ของจํานวนเชิงซอน (a, b) คือ (–a, –b)
4. ผูสอนแสดงการหาเอกลักษณและตัวผกผันการบวกของจํานวนเชิงซอนตาม
ขั้นตอนในหนังสือเรียน
เอกลักษณและตัวผกผันการคูณ
1. ผูสอนทบทวนสมบัติของระบบจํานวนจริงเกี่ยวกับการคูณ
2. ผูสอนถามวา ในระบบจํานวนเชิงซอน เอกลักษณการคูณคือจํานวนใด ถาผูเรียน
ยังตอบไมได ผูสอนใหผูเรียนหาผลคูณของจํานวนเชิงซอนตอไปนี้
(1, 3)(1, 0) , (1, 0)(1, 3)
(–1, –2)(1, 0) , (1, 0)(–1, –2)
(2, –3)(1, 0) , (1, 0)(2, –3)
(–2, 3)(1, 0) , (1, 0)(–2, 3)
ซึ่งผูเรียนควรไดขอสรุปวา (1, 0) เปน “เอกลักษณการคูณ” ของจํานวนเชิงซอน
3. ผูสอนถามความหมายของตัวผกผันการคูณในระบบจํานวนเชิงซอน ซึ่งผูเรียน
ควรจะตอบไดวา “ตัวผกผันการคูณ” ของจํานวนเชิงซอนหมายถึงจํานวนเชิงซอนที่คูณกับ
จํานวนเชิงซอนที่กําหนดใหแลวไดเอกลักษณการคูณ คือ จํานวนเชิงซอน (1, 0)
ผูสอนและผูเรียนชวยกันหาตัวผกผันการคูณตามวิธีการในหนังสือเรียน
ผูสอนใหผูเรียนฝกหาตัวผกผันการคูณของจํานวนเชิงซอนตอไปนี้
(3, 2) , (–4, 3) , –1 – 5i , 4 – 2i

12. 12
ผูเรียนควรหาไดวา
ตัวผกผันการคูณของ (3, 2) คือ 3 2
,
13 13
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ตัวผกผันการคูณของ (–4, 3) คือ 4 3
,
25 25
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ตัวผกผันการคูณของ –1 – 5i คือ 1 5
i
26 26
−
+
ตัวผกผันการคูณของ 4 – 2i คือ 4 2
i
20 20
+
ผูสอนถามผูเรียนวาทําอยางไรจึงจะทราบวาตัวผกผันการคูณที่หาไดนั้นถูกตอง
ผูเรียนควรตอบไดวา เมื่อนําจํานวนเชิงซอนที่กําหนดใหคูณกับตัวผกผันการคูณ
ของจํานวนเชิงซอนนั้น จะไดจํานวนเชิงซอน (1, 0)
ผูสอนใหผูเรียนตรวจสอบจํานวนที่หาไดเหลานั้นตามวิธีที่ผูเรียนตอบมา
การลบและการหารจํานวนเชิงซอน
1. ผูสอนใหบทนิยามการลบและการหารตามหนังสือเรียน
2. ผูสอนใหผูเรียนฝกหาผลลบและผลหารของ 5 + 3i และ 4 – 2i
(1) (5 + 3i) – (4 – 2i) = 1 + 5i
(2) 5 3i
4 2i
+
−
= (5 + 3i) 4 2
i
20 20
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 7 11
i
10 10
+
3. ผูสอนอาจใหผูเรียนหาผลบวก ผลลบ ผลคูณและผลหารของจํานวนเชิงซอน
หลาย ๆ จํานวน เชน
จงหาคาของ (3, 5) [(2, 1) + (4, –2)]
วิธีทํา (3, 5)[(2, 1) + (4, –2)] = (3, 5)(6, –1)
= (23, 27)
หรือ (3, 5)[(2, 1) + (4, –2)] = (3, 5)(2, 1) + (3, 5)(4, –2)
= (1, 13) + (22, 14)
= (23, 27)

13. 13
4. ผูสอนใหบทนิยามสังยุคของจํานวนเชิงซอนตามหนังสือเรียน แลวใหผูเรียนหา
สังยุคของจํานวนเชิงซอนที่ครูกําหนดให เชน 4 + 3i , 2 – i , (–3, 1) , (–5, –3)
เมื่อผูเรียนหาสังยุคของจํานวนเหลานั้นไดแลว ใหผูเรียนหาผลคูณของจํานวน
เชิงซอนที่กําหนดใหกับสังยุคของจํานวนเชิงซอนนั้น
ผูสอนถามผูเรียนวาผลลัพธที่ไดเปนจํานวนชนิดใดซึ่งผูเรียนควรสรุปไดวาเปน
จํานวนจริง
5. ผูสอนใหผูเรียนหาผลคูณของ a + bi และ a – bi แลวสรุปใหไดวาผลคูณของ
จํานวนเชิงซอนกับสังยุคของจํานวนเชิงซอนนั้นเปนจํานวนจริง ผูสอนแนะนําวาจากขอสรุปนี้
นําไปใชในการหาผลหารของจํานวนเชิงซอนไดดังตัวอยางตอไปนี้
5 3i
4 2i
+
−
= 5 3i 4 2i
4 2i 4 2i
+ +
⋅
− +
= 7 11
i
10 10
+
6. ผูสอนใหผูเรียนหาผลหารของจํานวนเชิงซอน เชน 3 2i
2 5i
+
+
และ 4 3i
2 i
+
−
โดยใช
สังยุคของจํานวนเชิงซอน
รากที่สองของจํานวนเชิงซอน
1. ผูสอนทบทวนการหารากที่สองของจํานวนจริงบวกใดๆ ที่มีคาตั้งแต 0 ขึ้นไป
เชน จงหารากที่สองของ 1, 2, 9, 16
ผูสอนอาจถามผูเรียนวา เราสามารถหารากที่สองของจํานวนเชิงซอนใด ๆ ได
หรือไม ผูเรียนควรบอกวาได ผูสอนแสดงการหารากที่สองของจํานวนเชิงซอนใดๆ ตาม
แบบเรียนในหนังสือเรียน แลวใหผูเรียนชวยกันสรุปการหารากที่สองของจํานวนเชิงซอนใด ๆ
ดังที่กลาวมา ผูสอนใหทฤษฎีบท ซึ่งทฤษฎีบทดังกลาวผูสอนอาจใหขอสังเกตวา ในกรณีที่
y = 0 แต x ≠ 0 แลวคารากที่สองของ z คือ x± เมื่อ x > 0 นั่นคือ คารากที่สองของ z เปน
จํานวนจริงสองคา หรือ x i± − เมื่อ x < 0 นั่นคือ คารากที่สองของ z เปนจํานวนจินตภาพ
สองคา

14. 14
ผูสอนอาจยกตัวอยางการหารากที่สองของจํานวนเชิงซอนใด ๆ โดยอาศัยทฤษฎีบท
ดังกลาว ตัวอยางเชน
จงหารากที่สองของ 5 + 12i
วิธีทํา ให z = 5 + 12i จะได x = 5 และ y = 12
r = 2 2
5 12 13+ =
เนื่องจาก y > 0 ดังนั้นรากที่สองของ 5 + 12i คือ
13 5 13 5 18 8
i i (3 2i)
2 2 2 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −
± + = ± + = ± +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ดังนั้นรากที่สองของ 5 + 12i คือ 3 + 2i และ –3 – 2i
2. ผูสอนยกตัวอยางที่ 2 ในหนังสือเรียน แลวผูสอนตรวจสอบความเขาใจของผูเรียน
โดยผูสอนอาจถามวาสมการพหุนามกําลังสองในรูปax2
+bx+c = 0 เมื่อ a,bและc เปนจํานวน
จริงใด ๆ โดยที่ a ≠ 0 จะมีคําตอบของสมการเปนจํานวนจริงเมื่อใด และเปนจํานวนเชิงซอน
เมื่อใดผูเรียนควรบอกไดวา คําตอบของสมการจะเปนจํานวนจริงเมื่อ b2
– 4ac ≥ 0 และ
คําตอบของสมการจะเปนจํานวนเชิงซอนเมื่อ b2
– 4ac < 0 ผูสอนควรเนนวา การหาคําตอบ
ของสมการพหุนามกําลังสองในรูป ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปนจํานวนจริง
โดยที่ a ≠ 0
โดยใชสูตร x =
2b b 4ac
2a
− ± −
หรือ x =
2b b 4ac i
2a
− ± −
ผูเรียนจะใชสูตรนี้ได เมื่อ a, b และ c เปนจํานวนจริงเทานั้น เชนในการหาคําตอบของ
สมการพหุนาม x2
+2+3i จะไมสามารถใชสูตรดังกลาวในการหาคําตอบของสมการพหุนามได
เพราะ2+ 3i เปนจํานวนเชิงซอน
3. ผูสอนนําสนทนากับผูเรียนวา วิธีการหารากที่สองของจํานวนเชิงซอนนอกจาก
เราสามารถหาไดโดยอาศัยทฤษฎีบท หรือการหาคําตอบของสมการพหุนามโดยใชสูตรขาง
ตนแลว เรายังสามารถใชวิธีการแยกตัวประกอบได ดังเชน
จงหารากที่สองของ –4
วิธีทํา ให z2
= -4
z2
+ 4 = 0

15. 15
z2
– (2i)2
= 0
(z – 2i)(z + 2i) = 0
จะได z - 2i = 0
z = 2i
หรือ z + 2i = 0
z = – 2i
ดังนั้น รากที่สองของ – 4 คือ – 2i และ 2i
กราฟและคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน
1. ผูสอนใหผูเรียนแทนจํานวนเชิงซอนดวยจุดและเวกเตอรบนระนาบเชิงซอน
เชนเดียวกับในหนังสือเรียน
2. ผูสอนใหบทนิยามคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน
3. ผูสอนถามผูเรียนวาการหาคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน 2 + 3i เปนการหา
ระยะทางจากจุดใดไปจุดใด ซึ่งผูเรียนควรตอบไดวา เปนการหาระยะทางจากจุด (0, 0) ถึง
จุด (2, 3)
4. ผูสอนยกตัวอยางที่สอดคลองกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับสมบัติของคาสัมบูรณของ
จํานวนเชิงซอน เชน
1) กําหนดให z = 3 + 4i จงแสดงวา z z z= − =
จาก z = 3 + 4i ดังนั้น z = 2 2
3 4+ = 5
– z = –3 – 4i ดังนั้น z− = 2 2
( 3) ( 4)− + − = 5
z = 3 – 4i ดังนั้น z = 2 2
3 ( 4)+ − = 5
ดังนั้น z = z− = z
2) กําหนดให z1 = – 1 – 2i และ z2 = 3 + 2i จงแสดงวา 1 2z z− ≥ 1 2z z−
ดังนั้น 1 2z z− = ( ) ( )- 1 - 2i - 3 + 2i
= - 4 - 4i
= 2 2
( 4) ( 4)− + −
= 32
1 2z z− = 2 2 2 2
( 1) ( 2) 3 2− + − − +

16. 16
= 5 13−
เพราะวา 32 ≥ 5 13− ดังนั้น 1 2z z− ≥ 1 2z z−
จากนั้นผูสอนและผูเรียนชวยกันพิสูจนสมบัติบางขอของทฤษฎีบทดังกลาว
จํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว
1. ผูสอนทบทวนฟงกชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และคาของ
ฟงกชันโคไซน ไซน และแทนเจนตของมุมตางๆ
2. ผูสอนแสดงการเขียนจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว
โดยเริ่มตนจากการเขียน z = x + yi ≠ 0 ดวยเวกเตอรบนระนาบ ดังนี้
เมื่อกําหนดให θ เปนมุมบวกที่เล็กที่สุด ซึ่งวัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน X ทาง
ดานบวกไปยัง oz
uur
และ r = |oz
uur
| แทนระยะหางระหวางจุดกําเนิด o กับ z
ผูสอนควรอธิบายวา θ เปนมุมบวกที่เล็กที่สุด แลว 0°
≤ θ < 360°
ผูสอนใหผูเรียนพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก OAZ เมื่อ |oz
uur
| = r วา OA
OZ
หรือ x
r
คือ ฟงกชันตรีโกณมิติใดของมุม θ เพื่อใหไดขอสรุปวา x = r cos θ และพิจารณาวา AZ
OZ
หรือ y
r
คือ ฟงกชันตรีโกณมิติใดของ r เมื่อ r = 2 2
x y z+ = และ y
tanθ =
x
เมื่อ x ≠ 0 แลวผูสอนอาจถามผูเรียนวาจากความสัมพันธดังกลาว เราสามารถเขียน z = x + yi
ในรูปตรีโกณมิติไดหรือไม ซึ่งผูเรียนควรบอกวา ได คือ z = r (cos θ + i sin θ)
z = x + yi
x X
Y
o
y
θ
z = (x, y)
A X
Y
o
y
θ
x

17. 17
การเขียนจํานวนเชิงซอนในรูป z = r (cos θ + i sin θ) เปนการเขียนจํานวนเชิงซอน
ในรูปเชิงขั้วของ z และเรียก θ วาอารกิวเมนตของ z ผูสอนถามผูเรียนวา เมื่อ n เปนจํานวน
เต็มใดๆ cos(θ + 2nπ) มีคาเทาใด ผูเรียนควรตอบวาcos(θ +2nπ)มีคาเทากับcos θ และ sin
(θ + 2nπ) มีคาเทาใด ผูเรียนควรตอบวา sin (θ + 2nπ) มีคาเทากับ sin θ แลวผูเรียนควร
สรุปใหไดวา cos (θ + 2nπ) + isin (θ + 2nπ) = cos θ + i sinθ
3. ผูสอนอาจถามผูเรียน ดังนี้
กําหนด z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2) ตางเปนรูป
เชิงขั้ว ซึ่ง z1, z2 ≠ 0 และ z1 = z2 เมื่อใด ผูเรียนควรตอบไดวา z1 = z2 ก็ตอเมื่อ r1 = r2
และ θ1 – θ2 = 2nπ เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม แลวผูสอนอาจถามผูเรียนวา ถามีจํานวนเต็ม n
และ r1 = r2 ≠ 0 ที่ทําให θ1 – θ2 ≠ 2nπ แลว z1 = z2 หรือไม ผูเรียนควรตอบไดวา
z1 ≠ z2
ผูสอนยกตัวอยางเพื่อใหผูเรียนเขียนจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้วในกรณีที่ z ≠ 0 ได
เชน จงเขียน z = –3 – 3i ในรูปเชิงขั้ว
วิธีทํา ให r (cos θ + i sin θ) เปนรูปเชิงขั้วของ -3 –3i
จะได r = 2 2( 3) ( 3) 9 9 18 3 2− + − = + = =
และ θ ที่ทําให tan θ = 3
3
−
−
= 1 คือ θ = π
4
หรือ 5π
4
เวกเตอรที่แทน z อยูในควอดรันตที่ 3 ดังนั้น θ = 4
π5
หรือ 2250
ดังนั้นรูปเชิงขั้วของ –3 –3i คือ 2 [ cos (5π
4
+ 2nπ) + i sin (5π
4
+ 2nπ) ]
เมื่อ n ∈ I ดังรูป
X
Y
-2
-1
-3
-1-2-3
225°
(-3, -3)

18. 18
ผูสอนถามผูเรียนวา สําหรับกรณีที่ z = 0 เราสามารถเขียน z ในรูปเชิงขั้วไดหรือไม
ผูเรียนควรตอบวาได ซึ่ง z = 0 เขียนในรูปเชิงขั้วได คือ 0(cos θ + i sin θ) และผูเรียนควร
บอกไดวา θ เปนมุมที่มีขนาดใดก็ได
4. ผูสอนทบทวนสูตรการหาโคไซน และไซนของผลบวกและผลตางของมุม ดังนี้
cos (α- β) = cos α cos β + sin α sinβ
cos (α+ β) = cos α cos β - sin α sinβ
sin (α- β) = sin α cos β - cos α sinβ
sin (α+ β) = sin α cos β + cos α sinβ
5. ผูสอนอาจแสดงการพิสูจนทฤษฎีบทของเดอมัวรโดยใชอุปนัยเชิงคณิตศาสตร
ตามขอเสนอแนะ
6. ผูสอนยกตัวอยางการหา zn
เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกโดยใชทฤษฎีบทของ
เดอมัวร เชน
จงเขียน 5( 3 i)− ในรูป x + yi เมื่อ x, y ∈ R
วิธีทํา เนื่องจาก 3 i− เขียนไดในรูป 2(cos 11π
6
+ isin 11π
6
)
ดังนั้น โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร จะไดวา
5( 3 i)− = 25
[ cos (5(11π
6
)) + isin(5(11π
6
)) ]
= 32 [ cos (55π
6
) + isin(55π
6
) ]
= 32 [ cos (7π
6
) + isin(7π
6
) ]
= 32 [ i
2
1
2
3
−+− ]
= 16 3 16i− −
7. ผูสอนและผูเรียนชวยกันพิจารณาทฤษฎีบทของเดอมัวร โดยขยายจาก n เปน
จํานวนเต็มบวก เปน n เปนจํานวนเต็ม ซึ่งผูสอนควรใหผูเรียนสรุปใหไดวา ทฤษฎีบทของ
เดอมัวรเปนจริงสําหรับทุกจํานวนเต็ม ดังนี้
ถา z = r (cos θ + i sin θ) ≠ 0 และ n เปนจํานวนเต็มแลว zn
= rn
[cos (nθ) + i sin (nθ)]
ผูสอนอาจยกตัวอยาง การหา zn
เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม เชน

19. 19
จงเขียน 5( 3 i)−+ ในรูป x + yi เมื่อ x, y ∈ R
วิธีทํา เนื่องจาก 3 i+ เขียนไดในรูป 2(cos
6
π
+ i sin
6
π
)
จะไดวา 5( 3 i)−+ = 2-5
[cos (-5(
6
π
)) + i sin(-5(
6
π
))]
= 1
32
[cos (–5
6
π
) + i sin(–5
6
π
)]
= 1
32
[cos (5
6
π
) – i sin(5
6
π
)]
= 1
32
( 3 1
i
2 2
− − )
= 3 1
i
64 64
− −
รากที่ n ของจํานวนเชิงซอน
1. ผูสอนทบทวนทฤษฎีบทของเดอมัวร และนําสนทนากับผูเรียนถึงประโยชนของ
ทฤษฎีบทของเดอมัวร
2. ผูสอนยกตัวอยางที่ 1, 2 และ 3 ในหนังสือเรียน ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุป
ทฤษฎีบท ถา w = r (cos θ + i sin θ) แลวรากที่ n ของ w มีทั้งหมด n รากที่แตกตางกัน คือ
z = n θ+2kπ θ+2kπ
r cos + isin
n n
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
เมื่อ k ∈ {0, 1, …, n–1}
3. ผูสอนอาจยกตัวอยางเพื่อใหผูเรียนสามารถหารากที่ n ของ z ไดรวดเร็ว ดังนี้
จงหารากที่ 4 ทั้งหมด –8 + 8 3i
วิธีทํา ให z = r (cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 4 ของ –8 + 8 i3
ดังนั้น z4
= –8 + 8 i3 = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ π
+
π
16 )
3
2
(sini)
3
2
(cos
โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร จะได
r 4
(cos 4θ + i sin 4θ) = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ π
+
π
16 )
3
2
(sini)
3
2
(cos
ดังนั้น r4
= 16 และ 2
4 2k
3
π
θ = + π เมื่อ Ik∈
จึงไดวา r = 2 และ k
6 2
π π
θ = + เมื่อ Ik∈
ฉะนั้น z = 2 k k
cos ( ) i sin ( )
6 2 6 2
π π π π⎡ ⎤
+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ Ik∈

20. 20
เมื่อ k = 0 จะได z1 = 2 cos ( ) i sin ( )
6 6
π π⎡ ⎤
+⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 2 2 2
cos ( ) i sin ( )
3 3
π π⎡ ⎤
+⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 2 7 7
cos ( ) i sin ( )
6 6
π π⎡ ⎤
+⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ k = 3 จะได z4 = 2 5 5
cos ( ) i sin ( )
3 3
π π⎡ ⎤
+⎢ ⎥⎣ ⎦
เขียนแผนภาพของรากที่ 4 ของ –8 + 8 i3 ไดดังนี้
ผูสอนควรถามผูเรียน ดังนี้
1) คาสัมบูรณของแตละรากมีคาเทาใด
2) คารากแตละรากจะอยูบนวงกลมที่มีรัศมีเทาใด
3) วงกลมในขอ 2) มีจุดศูนยกลางอยูที่จุดใด
4) ผลตางระหวางอารกิวเมนตของสองคารากที่อยูติดกันมีคาเทาใด
ผูเรียนควรตอบคําถามขางตน ไดวา
1) คาสัมบูรณของแตละคารากมีคาเทากับ 2
2) คารากแตละรากจะอยูบนวงกลมที่มีรัศมี เทากับ 2
3) วงกลมมีจุดศูนยกลางที่จุดกําเนิด
4) ผลตางระหวางคาอารกิวเมนตของสองคารากที่อยูติดกัน
มีคาเทากับ 2
n
π
= 2
4
π
=
2
π
หรือ 90o
4. ผูสอนและผูเรียนชวยกันพิจารณาวา เราสามารถหารากที่ n ของ w ทั้งหมดที่
แตกตางกันไดรวดเร็วโดยมีขั้นตอน ดังนี้
ขั้นที่ 1 หา z1
ขั้นที่ 2 หาผลตางของอารกิวเมนตของราก เทากับ n
2π
X
Y
z1
z2
z3
z4
2

21. 21
ขั้นที่3 หาz2, z3,…,zn โดยนําผลตางที่หาไดจากขั้นที่2 บวกกับ
อารกิวเมนตของรากกอนหนา ไปเรื่อยๆ จนครบ n ราก
สมการพหุนาม
1. ผูสอนทบทวนสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนจริง และทบทวนการ
หาคําตอบของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนจริงที่คําตอบของสมการอาจไมเปน
จํานวนจริง เชน x2
+ 1 = 0 , x2
+ x + 1 = 0 จากนั้นผูสอนใหทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต
เพื่อยืนยันวาสมการพหุนามจะมีคําตอบเปนจํานวนเชิงซอนเสมอ แลวผูสอนยกตัวอยางที่ 1
ในหนังสือเรียน โดยผูสอนควรใหผูเรียนสังเกตคําตอบของสมการ x4
+ 2x2
– 8 = 0 ซึ่งเปน
สมการพหุนามที่มีดีกรี 4 จะมีคําตอบทั้งหมด 4 คําตอบ แลวผูสอนจึงใหทฤษฎีบท
ถา p(x) เปนพหุนามดีกรี n≥ 1 แลวสมการ p(x) = 0 จะมีคําตอบทั้งหมด n
คําตอบ (นับคําตอบที่ซ้ํากันดวย) จากนั้นผูสอนและผูเรียนชวยกันพิสูจนทฤษฎีบทดังกลาว
2. ผูสอนทบทวนทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะ
แลวผูสอนยกตัวอยางที่ 2 ในหนังสือเรียน ซึ่งผูสอนอาจใชวิธีการหารสังเคราะหชวยในการ
แยกตัวประกอบ ดังนี้
จงหารากของสมการ 2x4
+ x3
– 2x – 1 = 0
วิธีทํา ให P(x) = 2x4
+ x3
– 2x – 1
เนื่องจากจํานวนเต็มที่หาร –1 ลงตัว คือ 1±
และจํานวนเต็มที่หาร 2 ลงตัว คือ 1± , 2±
ดังนั้น จํานวนตรรกยะ k
m
ที่ทําให k
p 0
m
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
จะเปนจํานวนที่อยูในกลุมของ
จํานวนตอไปนี้ คือ 1
2
± , 1±
พิจารณา p(1) = 2(1)4
+ (1)3
– 2(1) – 1
= 2 + 1 – 2 – 1
= 0
และ p( 2
1
− ) = 2( 2
1
− )4
+ ( 2
1
− )3
– 2( 2
1
− ) – 2
1
−
= 2 (16
1
) – 8
1
+ 2(2
1
) – 1

22. 22
= 8
1
– 8
1
+ 1 – 1
= 0
แสดงวา x – 1 และ x + 2
1
ตางเปนตัวประกอบของ P(x)
1 2 1 0 -2 -1
2 3 3 1
-2
1
2 3 3 1 0
-1 -1 -1
2 2 2 0
ดังนั้น P(x) = (x +2
1
)(x – 1)(2x2
+ 2x + 2) = 0
จะไดวา (x +2
1
)(x – 1)(2x2
+ 2x + 2) = 0
ฉะนั้น x = –2
1
หรือ x = 1 หรือ 2x2
+ 2x + 2 = 0
พิจารณา 2x2
+ 2x + 2 = 0
ฉะนั้น x = )2(2
)2)(2(42)2(2 −±−
= 2 4 16
4
− ± −
= 4
122 −±−
= 4
i322±−
= 2
i31±−
ดังนั้น คําตอบของสมการพหุนามที่กําหนด คือ –2
1
, 1, 2
i31+−
, 2
i31−−
3. ผูสอนใหผูเรียนสังเกตคําตอบของสมการพหุนาม 2x4
+ x3
– 2x – 1 = 0
จะเห็นวาคําตอบของสมการพหุนามที่มีสวนจินตภาพไมเทากับศูนยเปนสังยุคซึ่งกันและกัน
คือ 2
i31+−
, 2
i31−−
แลวผูสอนใหทฤษฎีบท ถาจํานวนเชิงซอน z เปนคําตอบของ
สมการพหุนาม P(x) = xn
+ a1 xn-1
+ … + an-1 x + an ที่มีสัมประสิทธิ์ a1, …, an เปน
จํานวนจริงแลว สังยุค z จะเปนคําตอบของสมการพหุนามนี้ดวย กอนที่ผูสอนและผูเรียนจะ
ชวยกันพิสูจนทฤษฎีบทนี้ผูสอนควรทบทวนสมบัติของสังยุคของจํานวนเชิงซอน

23. 23
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. จงหาคาของ 1 3 2 1
( i) ( i)
2 4 3 5
+ + +
2. จงหาคาของ 5 3 4 1
( i) ( i)
9 5 3 6
− + − −
3. จงหาคาของ (–3 –2i)(5 + 6i)
4. จงหาคาของ 1 3i
2 10i
− −
− −
5. จงหาคาของ a และ b เมื่อกําหนดให 3a + 4bi = (1 + i)2
6. จงหาคาของ (i8
+ 4)(i6
+ 2)(i4
+ 1)(i2
– 1)(i–3
– 2)(i–1
– 2)
7. จงหาคาของ x จากสมการ (x – 3)2
= –10
8. จงหาคาของ x จากสมการ x2
+ 4x + 7 = 0
9. จงหาคาของ x จากสมการ 6x2
+ x + 2 = 0
10. จงเขียน 1 3i+ ใหอยูในรูปเชิงขั้ว
11. จงหาคาของ 53 1
( i)
2 2
−
12. จงหาคาของ 3
8i
13. จงหาเซตคําตอบของสมการ x5
– 32 = 0
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ
1. 7 19
i
6 20
+
2. 17 23
i
9 30
− +
3. –3 – 28i
4. 4 1
i
13 26
−
5. 3a + 4bi = (1 + i)2
= 1 + 2i + i2
= 1 + 2i – 1
= 2i

24. 24
3a = 0
a = 0
4b = 2
b = 2
4
= 1
2
ดังนั้น a = 0 และ b = 1
2
6. (i8
+ 4)(i6
+ 2)(i4
+ 1)(i2
– 1)(i–3
– 2)(i-1
– 2)
= ((i2
)4
+ 4)((i2
)3
+ 2)((i2
)2
+ 1) 2
3
1 1
(i 1)( 2)( 2)
i i
− − −
= ((-1)4
+ 4)((-1)3
+ 2)((-1)2
+ 1)(-1 – 1) 1 1
2 2
i i
⎛ ⎞⎛ ⎞
− − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
= (1 + 4)(-1 + 2)(1 + 1)(-2) 2
1 2 2
4
i i i
⎛ ⎞
− − + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 5 × 1 × 2 × (-2)(1 + 4)
= -100
7. x = 3 i 10±
8. x = 2 i 3− ±
9. x = 1 i 47
12
− ±
10. r = 2
1 ( 3)+ = 1 3+ = 4 = 2
tan θ = 3 = tan
3
π
นั่นคือ θ =
3
π
แต 1 3i+ อยูในควอดรันตที่ 1 ดังนั้น θ =
3
π
ทําใหได
1 3i+ = 2(cos isin )
3 3
π π
+
11. เขียน 3 1
i
2 2
− ในรูปเชิงขั้ว ซึ่ง 3 1
2 2
− อยูในควอดรันตที่ 4
r =
2 2
3 1
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= 3 1
4 4
+ = 1 = 1
tan θ =
1
2
3
2
−
= 3
3
− = tan( )
6
π
−

25. 25
นั่นคือ θ =
6
π
− ทําใหได
3 1
i
2 2
− = 1[cos( ) isin( )]
6 6
π π
− + −
โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร
53 1
( i)
2 2
− = 5
[1(cos( ) isin( ))]
6 6
π π
− + −
= 5
1 [cos5( ) isin5( )]
6 6
π π
− + −
= 5 5
1(cos isin )
6 6
π π
− + −
= 3 1
i
2 2
− −
12. 3
8i =
1
3
(0 8i)+
r = 2 2
0 8+ = 8
θ =
2
π
3
8i =
1
3
[8(cos isin )]
2 2
π π
+
=
1
3
1 1
8 [cos( )( ) isin( )( )]
3 2 3 2
π π
+
= 2(cos isin )
6 6
π π
+
= 3 1
2( i)
2 2
+
= 3 i+
13. x5
- 32 = 0
x5
= 32
32 = 32 + 0i
= 32(cos 0 + i sin 0)
1
5
32 =
1
5
[32(cos(0 2n ) isin(0 2n ))]+ π + + π
=
1
5
2n 2n
(32) (cos isin )
5 5
π π
+
= 2n 2n
2(cos isin )
5 5
π π
+

26. 26
ให n = 0, 1, 2, 3 และ 4 เมื่อรากของสมการทั้ง 5 คือ x1, x2, x3, x4 และ x5
เมื่อ n = 0 , x1 = 2(cos 0 + i sin 0) = 2
n = 1 , x2 = 2 2
2(cos isin )
5 5
π π
+ ≈ 0.62 + 1.90i
n = 2 , x3 = 4 4
2(cos isin )
5 5
π π
+ ≈ –1.62 + 1.18i
n = 3 , x4 = 6 6
2(cos isin )
5 5
π π
+ ≈ –1.62 – 1.18i
n = 4 , x5 = 8 8
2(cos isin )
5 5
π π
+ ≈ 0.62 – 1.90i
ดังนั้น คําตอบของสมการ คือ 2, 0.62 ± 1.90i และ –1.62 ± 1.18i
เซตคําตอบของสมการ คือ {2, 0.62 + 1.90i, 062 – 1.90i, –1.62 + 1.18i, –1.62 – 1.18i}
เฉลยแบบฝกหัด 1.1
1.
Re (z) Im (z)
2 + 3i
4 + 5i
1 3
i
2 2
−
–4
3i
2 2 2i−
2
4
1
2
–4
0
2
3
5
3
2
−
0
3
2 2−
2. (1) a = 2 , b = –2
(2) a = 3 , b = 2 หรือ a = 2 , b = 3
(3) a = 5 , b = 0
(4) a = 2
3
, b = 1
3
−

27. 27
3. (1) 6 – 8i (2) –6 – 2i
(3) 7 – 3 2i (4) 4 + 2i
(5) 6 – 4i (6) –4 + 6i
(7) –1 + 11i (8) –1
(9) 1 + 2i (10) –3 + 4i
(11) 2 2i− − (12) 6 3i− −
4. a = 1
29
, b = 17
29
−
เฉลยแบบฝกหัด 1.2
1. (1) 15 + 8i (2) –8i
(3) –2 + 16i (4) 2i
(5) 5 (6) –4 + 19i
2. (1) 2 + i (2) –3 – 2i
(3) – 4 + 7i (4) – 4 – 7i
(5) – 4 – 7i (6) –1 + i
(7) –1 – i (8) –1 – i
3. (1) 2 + 4i (2) 20
(3) 4 (4) 8 – 16i
(5) –8i (6) 8
(7) 1
(1 2i)
10
+ (8) – 4 – 2i
4. (1) 7 6
i
17 17
− (2) i
(3) 7 1
i
2 2
− (4) 1 1
i
2 2
− −
(5) 2 3
i
13 13
+ (6) 3 1
i
20 20
+

28. 28
5. (1) 6 8
i
5 5
+ (2) 5 3
i
2 2
−
(3) 1 1
i
2 2
− + (4) 4 1
i
17 17
+
(5) 3 43
i
65 130
+ (6) 2 – 2i
(7) 1 – i
6. 1) ให z = a + bi
iz = i(a bi)+
= b ai− +
= –b – ai
iz− = –i (a – bi)
= –ai + bi2
= –b – ai
ดังนั้น iz = iz−
2) ให z = a + bi
จะได iz = –b + ai
นั่นคือ Im(iz) = a
Re(z) = a
ดังนั้น Im(iz) = Re(z)
3) ให z = a + bi
จะได iz = –b + ai
นั่นคือ Re(iz) = –b
–Im(z) = –b
ดังนั้น Re(iz) = –Im(z)
7. ให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอน โดยที่ z1 = a + bi , z2 = c + di
และ z1z2 = 0 เพียงพอที่จะพิสูจนวา
ถา z1 ≠ 0 จะแสดงวา z2 = 0

29. 29
เพราะวา (a + bi)(c + di) = 0
จะได ac – bd = 0 นั่นคือ ac = bd ---------- (1)
เนื่องจาก z1 ≠ 0 จะได a ≠ 0 และ b ≠ 0 ---------- (2)
จาก (1), (2) จะได c = 0 และ d = 0
ดังนั้น z2 = 0
จะไดวา ถา z1z2 = 0 แลว z1 = 0 หรือ z2 = 0
เฉลยแบบฝกหัด 1.3
1. 16i−
ให z = –16i จะไดวา x = 0 และ y = -16
และ r = 2 2
x +y = 2
( 16 )− = 16
เนื่องจาก y < 0 ดังนั้นรากที่สองของ –16i คือ
16 16
± i
2 2
⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ( )± 8 8i−
= ( )± 2 2 2 2−
ดังนั้นรากที่สองของ –16i คือ 2 2 2 2i− และ 2 2 2 2i− +
5 12i+
ให z = 5 + 12i จะไดวา x = 5 และ y = 12
และ r = 2 2
x +y = 2 2
5 12+ = 13
เนื่องจาก y > 0 ดังนั้นรากที่สองของ 5 + 12i คือ
13+5 13 5
± i
2 2
⎛ ⎞−
+⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ( )± 3 2i+
ดังนั้นรากที่สองของ 5 + 12i คือ 3 2i+ และ 3 2i− −
3 4i+
ให z = 3 + 4i จะไดวา x = 3 และ y = 4
และ r = 2 2
x +y = 2 2
3 4+ = 5
เนื่องจาก y > 0 ดังนั้นรากที่สองของ 3 + 4i คือ

30. 30
5+3 5 3
± i
2 2
⎛ ⎞−
+⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ( )± 2 i+
ดังนั้นรากที่สองของ 3 + 4i คือ 2 i+ และ 2 i− −
8 6i−
ให z = 8 – 6i จะไดวา x = 8 และ y = 6−
และ r = 2 2
x +y = 2 2
8 ( 6)+ − = 10
เนื่องจาก y < 0 ดังนั้นรากที่สองของ 8 – 6i คือ
10+8 10 8
± i
2 2
⎛ ⎞−
+⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ( )± 3 i−
ดังนั้นรากที่สองของ 8 – 6i คือ 3 i− และ 3 i− +
1 2 2i−
ให z = 1 – 2 2i จะไดวา x = 1 และ y = 2 2−
และ r = 2 2
x +y = 2 2
1 ( 2 2)+ − = 3
เนื่องจาก y < 0 ดังนั้นรากที่สองของ 1 – 2 2i คือ
3+1 3 1
± i
2 2
⎛ ⎞−
−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ( )± 2 i−
ดังนั้นรากที่สองของ 1 – 2 2i คือ 2 i− และ 2 i− +
2. (1) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }2i,-2i
(2) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }4 3i,-4 3i
(3) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }1+ 39i,1- 39i
(4) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ -1 7 -1 7
+ i, - i
2 2 2 2
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
(5) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ -1 23 -1 23
+ i, - i
2 2 2 2
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
(6) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ -3 151 -3 151
+ i, - i
8 8 8 8
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
(7) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ -5 71 -5 71
+ i, - i
4 4 4 4
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
(8) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ 1 2 1 2
+ i, - i
3 3 3 3
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭

31. 31
(9) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }1+ 7i,1- 7i
(10) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }1+ 2,1- 2
(11) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }2+i,2-i
(12) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }3,-2
(13) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ -5 217 -5 217
+ , -
6 6 6 6
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
(14) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ -1 7 -1 7
+ i, - i
2 2 2 2
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
(15) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ -1 3 -1 3
+ i, - i
4 4 4 4
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
(16) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ -1 3 -1 3
+ i, - i
2 2 2 2
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
(17) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }-1+7i,-1-7i
(18) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }-1+ 3i,-1- 3i
เฉลยแบบฝกหัด 1.4
1. (1)
–6 –4 –2 0 2 4 6
–2
–4
–6
2
4
6
Y
X
(–3, 1)
(2, 3)
(4, 2)
(0, –1)
(–2, –3)
(–2, 0)

32. 36
(2)
2.
3. จํานวนเชิงซอนที่แทนจุด A คือ (3,1) หรือ 3 + i
จํานวนเชิงซอนที่แทนจุด B คือ (0,2) หรือ 2i
จํานวนเชิงซอนที่แทนจุด C คือ (- 3, - 4) หรือ - 3 – 4i
จํานวนเชิงซอนที่แทนจุด D คือ (2, - 2) หรือ 2 – 2i
จํานวนเชิงซอนที่แทนจุด E คือ (- 3,0) หรือ - 3
จํานวนเชิงซอนที่แทนจุด F คือ (-1, -1) หรือ -1 - i
–6 –4 –2 0 2 4 6
–2
–4
–6
2
4
6
Y
X
–4 + i
–3
4 + i
–5 – 2i
–2i
3 – 4i
–6 –4 –2 0 2 4 6
–2
–4
–6
2
4
6
Y
X
i(4 + 6i)
4 + 6i
i2
(4 + 6i)
i3
(4 + 6i)

33. 37
4. (1)
(2)
5.
–6 –4 –2 0 2 4 6
–2
–4
–6
2
4
6
Y
X
z1 + z2
z1
z2
–4 0 2 4 6–2
–4
–6
4
Y
X
– z2 z1
2
–2–6–8–10 8 10 12
–8
–10 z1 – z2
1 1 3i
z 10
−
=
–6 –4 –2 0 2 4 6
–2
–4
2
4
6
Y
X
z
z
–8
– z
z2

34. 38
6.
7. 1 3i− = 2
2 3i− = 11
4 3i+ = 5
5 12i− + = 13
5 2 3i+ = 17
3 i− − = 2
3 4i− − = 5
4i = 4
8. ให z1 = a + bi และ z2 = c + di
2 2
1 2 1 2z z z z− + + = 2 2
(a bi) (c di) (a bi) (c di)+ − + + + + +
= 2 2
(a c) (b d)i (a c) (b d)i− + − + + + +
= 2 2 2 2
[(a c) (b d) ] [(a c) (b d) ]− + − + + + +
= 2a2
+ 2c2
+ 2b2
+ 2d2
= 2(a2
+ b2
) + 2(c2
+ d2
)
= 2 2
1 22 z 2 z+
9. ให z = a + bi
z = 2 2
a b+
zz = (a bi)(a bi)+ −
–6 –4 –2 0 2 4 6
–2
–4
–6
2
4
6
Y
X
–8 8
zi
zi3
zi2
z, zi4

35. 39
= 2 2 2
a b i−
= 2 2
a b+
ดังนั้น z = zz
10. ให z = c + di และ a = e + fi
2
z a− = 2
(c di) (e fi)+ − +
= 2
(c e) (d f )i− + −
= (c – e)2
+ (d – f)2
(z – a)((z a)− = [(c + di) – (e + fi)][(c – di) – (e – fi)]
= [(c – e) + (d – f)i][(c – e) – (d – f)i]
= (c – e)2
– (d – f)2
i2
= (c – e)2
+ (d – f)2
ดังนั้น 2
z a− = (z – a)(z a)−
11. ให z = a + bi , a, b ∈ R
จะได z = a – bi
zz = (a + bi)(a – bi)
= a2
+ b2
∈ R
z z+ = (a + bi) + (a – bi)
= (a + a) + (b – b)i
= 2a ∈ R
ดังนั้น zz และ z z+ เปนจํานวนจริง เมื่อ z เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ
12. ให z = x + yi , a = u + vi
จะได z = x – yi , a = u – vi
(z – a)( z – a ) = (x + yi – u – vi)(x – yi – u + vi)
= [(x – u) + (y – v)i][(x – u) – (y – v)i]
= (x – u)2
– ((y – v)i)2
= (x – u)2
+ (y – v)2
= k2
จากสูตร สมการรูปทั่วไปของวงกลม คือ (x – h)2
+ (y – k)2
= r2
โดยที่

36. 40
จุดศูนยกลางของวงกลม คือ (h, k) , รัศมี คือ r
จะได จุดศูนยกลางวงกลมอยูที่จุด (u, v) คือ จุด a นั่นเอง และรัศมีเทากับ k หนวย
13. 1 zi+ = 1 zi− ก็ตอเมื่อ z เปนจํานวนจริง
จะแสดง (1) ถา 1 zi+ = 1 zi− แลว z เปนจํานวนจริง
และ (2) ถา z เปนจํานวนจริง แลว 1 zi+ = 1 zi−
จะแสดงวา (1) โดยใชวิธีแยงสลับที่ (p → q สมมูลกับ ∼ q → ∼p)
นั่นคือ จะแสดงวา ถา z ไมเปนจํานวนจริง แลว 1 zi+ ≠ 1 zi−
ให z ไมเปนจํานวนจริง และ z = a + bi เมื่อ b ≠ 0
จะได 1 zi+ = ( )1 a bi i+ + = 1 b ai− + = ( )
22
a 1 b+ −
1 zi− = ( )1 a bi i− + = 1 b ai+ − = ( )
22
a 1 b+ +
ดังนั้น 1 zi+ ≠ 1 zi−
นั่นคือ ถา z ไมเปนจํานวนจริงแลว 1 zi+ ≠ 1 zi−
หรือ ถา 1 zi+ = 1 zi− แลว z เปนจํานวนจริง
จะแสดง (2) ให z เปนจํานวนจริง
จะได 1 zi+ = 2 2
1 z+ = 2
1 z+
1 zi− = 2 2
1 ( z)+ − = 2
1 z+
ดังนั้น 1 zi+ = 1 zi−
นั่นคือ ถา z เปนจํานวนจริงแลว 1 zi+ = 1 zi−
จาก (1) และ (2) สรุปไดวา 1 zi+ = 1 zi− ก็ตอเมื่อ z เปนจํานวนจริง
14. (1) z 2 1− ≤
z 2− คือ ระยะทางจากจุด (2, 0) ไปยัง z ดังนั้น เซตของจุด z ทั้งหลาย
ในระนาบเชิงซอน ซึ่งสอดคลองอสมการ z 2 1− ≤ ก็คือ เซตของจํานวน
เชิงซอน หรือจุดที่อยูภายในวงกลม (รวมจุดบนเสนรอบวง) ที่มีจุดศูนยกลาง
ที่ (2, 0) และรัศมี 1 หนวย _
_
- 1
- 2
2
1
0 1 3 42 X
Y

37. 41
(2) z 2 3i− + < 3
z 2 3i− + คือ ระยะทางจากจุด (2, -3) ไปยัง z ดังนั้น เซตของจุด z ทั้งหลาย
ในระนาบเชิงซอน ซึ่งสอดคลองอสมการ z 2 3i− + < 3 ก็คือ เซตของ
จํานวนเชิงซอน หรือจุดที่อยูภายในวงกลม (ไมรวมจุดบนเสนรอบวง) ที่มี
จุดศูนยกลางที่ (2, -3) และรัศมี 3 หนวย
(3) z 3 2i+ − > 1
z 3 2i+ − คือ ระยะทางจากจุด (- 3, 2) ไปยัง z ดังนั้น เซตของจุด z ทั้งหลาย
ในระนาบเชิงซอน ซึ่งสอดคลองอสมการ z 3 2i+ − > 1 ก็คือ เซตของ
จํานวนเชิงซอน หรือจุดที่อยูภายในวงกลม (ไมรวมจุดบนเสนรอบวง) ที่มี
จุดศูนยกลางที่ (- 3, 2) และรัศมี 1 หนวย
(4) Im z > 3
Y
X
- 1- 2- 3 1 2 3 4 5 60
1
2
- 2
- 1
- 3
- 4
- 5
X
Y
1 2
1
2
3
0
- 1
- 2
- 1- 2- 3- 4- 5
X
Y
1 2 3 4
4
3
2
1
- 1
- 1- 2- 3- 4 0

38. 42
(5) Im (i + z ) = 4
(6) z i z i+ + − = 2
จากสมบัติของคาสัมบูรณจะไดวา z i z i+ + − ≤ z i z i+ + −
ดังนั้น z i z i+ + − ≤ 2
2z ≤ 2
z ≤ 1
z คือ ระยะทางจากจุด (0, 0) ไปยัง z ดังนั้น เซตของจุด z ทั้งหลายในระนาบ
เชิงซอน ซึ่งสอดคลองอสมการ z ≤ 1 ก็คือ เซตของจํานวนเชิงซอนหรือจุด
ที่อยูภายในวงกลม(รวมจุดบนเสนรอบวง) ที่มีจุดศูนยกลางที่ (0, 0) และรัศมี
1 หนวย
(7) z i 1+ ≥
z i+ คือ ระยะทางจากจุด (0, -1) ไปยัง z ดังนั้น เซตของจุด z ทั้งหลาย
ในระนาบเชิงซอน ซึ่งสอดคลองอสมการ z i 1+ ≥ ก็คือ เซตของจํานวน
เชิงซอน หรือจุดที่อยูภายนอกวงกลม(รวมจุดบนเสนรอบวง) ที่มีจุดศูนยกลาง
ที่ (0, -1) และรัศมี 1 หนวย
Y
X- 1 10
1
2
2
3
3 4
4
5
- 1
- 2- 3- 4
X
Y
1
1
2
2- 1
- 1
- 2
- 2

39. 43
(8) Re(z) < 2
(9) Re(z – i) > –5
(10) z 3 z− ≥
ให z = x + yi จากอสมการที่กําหนดจะได
2 2
(x 3) y− + ≥ 2 2
x y+
(x – 3)2
+ y2
≥ x2
+ y2
แกอสมการจะได x ≤
3
2
X
Y
1
1
2 3
-3
-1
-2
-1-2
2
3
_
_
_
X
Y
1 2
1
2
3
- 3
-2
- 1
- 1- 2- 3- 4- 5- 6 0
X
Y
1
1
2- 2 - 1
- 1
- 2

40. 44
15. z i− คือ ระยะทางจากจุด (0, 1) ไปยัง z ดังนั้น เซตของจุด z ทั้งหลาย
ในระนาบเชิงซอน ซึ่งสอดคลองอสมการ z i 2− = ก็คือ เซตของจํานวน
เชิงซอน หรือจุดที่อยูบนวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่ (0, 1) และรัศมี 2 หนวย
จากกราฟ z ที่มี z มากที่สุดคือ z = 3i
เฉลยแบบฝกหัด 1.5
1. 1 + 3i
r = 1 3+ = 2
θ ที่ทําให tan θ = 3
1
= 3 คือ θ =
3
π
z = 2 cos isin
3 3
π π⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
X
Y
1
2
- 1
- 2
2
1
3
4
- 1
- 2
- 3
X
Y
1 2
2
1
- 1
- 2
- 1- 2

41. 45
1 – i
r = 1 1+ = 2
θ ที่ทําให tan θ = 1
1
− = –1 คือ θ = 7
4
π
z = 7 7
2 cos isin
4 4
π π⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 3 2i− +
r = 12 4+ = 4
θ ที่ทําให tan θ = 2
2 3−
= 1
3
− คือ θ = 5
6
π
z = 5 5
4 cos isin
6 6
π π⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
–4 – 4i
r = 16 16+ = 4 2
θ ที่ทําให tan θ = 4
4
−
−
= 1 คือ θ = 5
4
π
z = 5 5
4 2 cos isin
4 4
π π⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
12 12 3i−
r = 144 432+ = 24
θ ที่ทําให tan θ = 12 3
12
−
= 3− คือ θ = 5
3
π
z = 5 5
24 cos isin
3 3
π π⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 i
2 2
− +
r = 1 1
4 4
+ = 1
2
= 2
2
θ ที่ทําให tan θ =
1
2
1
2
−
= 1− คือ θ = 3
4
π
z = 2 3 3
cos isin
2 4 4
π π⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠

42. 46
2. (1) 3 3 3
i
4 4
− +
(2) 1 i
6 6
− −
(3) 7
( 3 i)−
เพราะวา 3 i− เขียนไดในรูป 11 11
2[cos isin ]
6 6
π π
+
จากทฤษฎีบทของเดอมัวร จะได
7
( 3 i)− = 7 77 77
2 [cos isin ]
6 6
π π
+
= 5 5
128[cos isin ]
6 6
π π
+
= 3 i
128( )
2 2
− +
= 64 3 64i− +
(4) 5
( 2 2i)+
เพราะวา 2 2i+ เขียนไดในรูป 2[cos isin ]
4 4
π π
+
จากทฤษฎีบทของเดอมัวร จะได
5
( 2 2i)+ = 5 5 5
2 [cos isin ]
4 4
π π
+
= 2 2
32[ i]
2 2
− −
= 16 2 16 2i− −
(5)
100
3 i
2 2
⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
เพราะวา 3 i
2 2
+ เขียนไดในรูป cos isin
6 6
π π
+
จากทฤษฎีบทของเดอมัวร จะได
1003 i
( )
2 2
+ = 100 100 100
1 [cos isin ]
6 6
π π
+
= 1 3
i
2 2
− +
(6) (–i)7
= – i
(7)
6
4
(1 i)
( 1 i)
−
− −
เพราะวา 1 – i เขียนไดในรูป 7 7
2(cos isin )
4 4
π π
+

43. 47
และ –1 – i เขียนไดในรูป 5 5
2(cos isin )
4 4
π π
+
จากทฤษฎีของเดอมัวร จะได
6
4
(1 i)
( 1 i)
−
− −
=
6
4
42 42
2 (cos isin )
4 4
20 20
2 (cos isin )
4 4
π π
+
π π
+
= 8(0 i)
4( 1 0)
+
− +
= 8i
4−
= –2i
(8) 12 12 3i+
(9) –4 + 4i
(10) 3 5
( 3 i) (2 3 2i)− + +
เพราะวา 3 i− + เขียนไดในรูป 5 5
2(cos isin )
6 6
π π
+
และ 2 3 2i+ เขียนไดในรูป 4(cos isin )
6 6
π π
+
จากทฤษฎีของเดอมัวร จะได
3 5
( 3 i) (2 3 2i)− + + = 3 515 15 5 5
2 (cos isin )4 (cos isin )
6 6 6 6
π π π π
+ +
= 3 i
8192(0 i)( )
2 2
+ − +
= 4096 4096 3i− −
3. (1) เพราะวา 1 3i− เขียนไดในรูป 5 5
2(cos isin )
3 3
π π
+
และ r (cos θ + i sin θ) = 1 3i−
จะได r = 2 และ θ = 5
3
π
เมื่อ 0 2≤ θ ≤ π
แต 2 6π ≤ θ ≤ π ดังนั้น θ มีคา 11
3
π
และ 17
3
π
(2) เพราะวา –1 – i เขียนไดในรูป 5 5
2(cos isin )
4 4
π π
+
และ r (cos θ + i sin θ) = –1 – i
จะได r = 2 และ θ = 5
4
π
เมื่อ 0 2≤ θ ≤ π
แต 6 7π ≤ θ ≤ π ดังนั้น ไมมี θ ที่ 6 7π ≤ θ ≤ π ที่สอดคลองสมการนี้

44. 48
(3) เพราะวา –1 – i เขียนไดในรูป 5 5
2(cos isin )
4 4
π π
+
และ r2
(cos 2θ + i sin 2θ) = –1 – i
จะได r2
= 2 ดังนั้น r = 4
2
และ 2θ = 5
4
π
ดังนั้น θ = 5
8
π
เมื่อ 0 2≤ θ ≤ π
4. (1) {z⏐arg(z) =
4
π
}
(2) {z⏐arg(z) =
2
π
− }
3) {z⏐0 < arg(z) < π}
4
π
Y
X0
2
π
−
Y
X0
Y
X0

45. 49
4) {z⏐
2
π
− < arg(z) < 0}
5. ให z = a + bi จะได z = a – bi
จาก z = a + bi จะได tan θ = b
a
ดังนั้น arg(z) = arctan b
a
และ z = a – bi จะได tan θ = b
a
−
ดังนั้น arg(z ) = arctan b
( )
a
−
arg(z) + arg(z ) = b b
arctan arctan( )
a a
+ −
=
b b
( )
a aarctan
b b
1 ( )( )
a a
⎡ ⎤
+ −⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥− −
⎣ ⎦
= arctan 0
= 0
= 0 + 2nπ , n เปนจํานวนเต็ม (มุมสมมูลกัน)
= 2nπ
เฉลยแบบฝกหัด 1.6
1. i
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ i
ดังนั้น z3
= i = π π
1(cos +isin )
2 2
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
Y
X0

46. 50
จะได r3
( )cos3θ + isin3θ = π π
(cos +isin )
2 2
ดังนั้น r3
= 1 และ 3θ = 2k
2
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈
จึงไดวา r = 1 และ θ = 2k
6 3
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2∈
ฉะนั้น 2k 2k
z cos( ) isin( )
6 3 6 3
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = (cos isin )
6 6
π π
+ = 3 1
i
2 2
+
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 5 5
(cos isin )
6 6
π π
+ = 3 1
i
2 2
− +
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 3 3
(cos isin )
2 2
π π
+ = – i
8(cos isin )
3 3
π π
+
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 8(cos isin )
3 3
π π
+
ดังนั้น z3
= 8(cos isin )
3 3
π π
+
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r3
( )cos3θ + isin3θ = 8(cos isin )
3 3
π π
+
ดังนั้น r3
= 8 และ 3θ = 2k
3
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈
จึงไดวา r = 2 และ θ = 2k
9 3
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2∈
ฉะนั้น 2k 2k
z 2 cos( ) isin( )
9 3 9 3
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = 2(cos isin )
9 9
π π
+
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 7 7
2(cos isin )
9 9
π π
+
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 13 13
2(cos isin )
9 9
π π
+
Y
X
1
Z1Z2
Z3

47. 51
5 5
27(cos isin )
3 3
π π
+
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 5 5
27(cos isin )
3 3
π π
+
ดังนั้น z3
= 5 5
27(cos isin )
3 3
π π
+
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r3
( )cos3θ + isin3θ = 5 5
27(cos isin )
3 3
π π
+
ดังนั้น r3
= 27 และ 3θ = 5
2k
3
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈
จึงไดวา r = 3 และ θ = 5 2k
9 3
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2∈
ฉะนั้น 5 2k 5 2k
z 3 cos( ) isin( )
9 3 9 3
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = 5 5
3(cos isin )
9 9
π π
+
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 11 11
3(cos isin )
9 9
π π
+
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 17 17
3(cos isin )
9 9
π π
+
–8i
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ –8i
Y
X
3
Z1
Z2
Z3
2
Y
Z3
Z2
Z2
Z1
X

48. 52
ดังนั้น z3
= –8i = 3π 3π
8(cos + isin )
2 2
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r3
( )cos3θ + isin3θ = 3π 3π
8(cos + isin )
2 2
ดังนั้น r3
= 8 และ 3θ = 3
2k
2
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈
จึงไดวา r = 2 และ θ = 2k
2 3
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2∈
ฉะนั้น 2k 2k
z 2 cos( ) isin( )
2 3 2 3
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = 2(cos isin )
2 2
π π
+ = 2i
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 7 7
2(cos isin )
6 6
π π
+ = 3 i− −
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 11 11
2(cos isin )
6 6
π π
+ = 3 i−
27i
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 27i
ดังนั้น z3
= 27i = π π
27(cos + isin )
2 2
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r3
( )cos3θ + isin3θ = π π
27(cos + isin )
2 2
ดังนั้น r3
= 27 และ 3θ = 2k
2
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈
จึงไดวา r = 3 และ θ = 2k
6 3
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2∈
ฉะนั้น 2k 2k
z 3 cos( ) isin( )
6 3 6 3
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = 3(cos isin )
6 6
π π
+ = 3 3 3
+ i
2 2
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 5 5
3(cos isin )
6 6
π π
+ = 3 3 3
+ i
2 2
−
Y
X
2
Z1
Z2 Z3

49. 53
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 3 3
3(cos isin )
2 2
π π
+ = 3− i
–64
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ –64
ดังนั้น z3
= –64 = 64(cosπ + isinπ)
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r3
( )cos3θ + isin3θ = 64(cosπ + isinπ)
ดังนั้น r3
= 64 และ 3θ = 2kπ + π เมื่อ { }k 0,1,2∈
จึงไดวา r = 4 และ θ = 2k
3 3
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2∈
ฉะนั้น 2k 2k
z 4 cos( ) isin( )
3 3 3 3
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = 4(cos isin )
3 3
π π
+ = 2 2 3i+
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 4(cos isin )π + π = 4−
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 5 5
4(cos isin )
3 3
π π
+ = 2 2 3i−
Y
X
4
Z1
Z2
Z3
3
Y
X
Z1
Z2
Z3

50. 54
1 3i+
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 1 3i+
ดังนั้น z3
= 2(cos + isin )
3 3
π π
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r3
( )cos3θ + isin3θ = 2(cos + isin )
3 3
π π
ดังนั้น r3
= 2 และ 3θ = 2k
3
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈
จึงไดวา r = 3
2 และ θ = 2k
9 3
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2∈
ฉะนั้น 3 2k 2k
z 2 cos( ) isin( )
9 3 9 3
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = 3
2(cos isin )
9 9
π π
+
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 3 7 7
2(cos isin )
9 9
π π
+
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 3 13 13
2(cos isin )
9 9
π π
+
2 3 2i− +
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 2 3 2i− +
ดังนั้น z3
= 5 5
4(cos + isin )
6 6
π π
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r3
( )cos3θ + isin3θ = 5 5
4(cos + isin )
6 6
π π
ดังนั้น r3
= 4 และ 3θ = 5
2k
6
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈
จึงไดวา r = 3
4 และ θ = 5 2k
18 3
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2∈
ฉะนั้น 3 5 2k 5 2k
z 4 cos( ) isin( )
18 3 18 3
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = 3 5 5
4(cos isin )
18 18
π π
+
Z3
3
2
Y
X
Z1
Z2

51. 55
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 3 17 17
4(cos isin )
18 18
π π
+
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 3 29 29
4(cos isin )
18 18
π π
+
2 2 3i−
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 2 2 3i−
ดังนั้น z3
= 2 2 3i− = 5π 5π
4(cos + isin )
3 3
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r3
( )cos3θ + isin3θ = 5 5
4(cos + isin )
6 6
π π
ดังนั้น r3
= 4 และ 3θ = 5
2k
3
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈
จึงไดวา r = 3
4 และ θ = 5 2k
9 3
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2∈
ฉะนั้น 3 5 2k 5 2k
z 4 cos( ) isin( )
9 3 9 3
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = 3 5 5
4(cos isin )
9 9
π π
+
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 3 11 11
4(cos isin )
9 9
π π
+
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 3 17 17
4(cos isin )
9 9
π π
+
Y
XZ3
Z2
3 4
Z1
Y
Z3
Z1
Z2
3
4
X

52. 56
3 i−
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 3 i−
ดังนั้น z3
= 3 i− = 11π 11π
2(cos + isin )
6 6
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r3
( )cos3θ + isin3θ = 11π 11π
2(cos + isin )
6 6
ดังนั้น r3
= 2 และ 3θ = 11
2k
6
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈
จึงไดวา r = 3
2 และ θ = 11 2k
18 3
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2∈
ฉะนั้น 3 11 2k 11 2k
z 2 cos( ) isin( )
18 3 18 3
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = 3 11 11
2(cos isin )
18 18
π π
+
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 3 23 23
2(cos isin )
18 18
π π
+
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 3 35 35
2(cos isin )
18 18
π π
+
2. รากที่ 2 ของ 1
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 2 ของ 1
ดังนั้น z2
= 1 = 1 (cos0 + isin0)
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r2
( )cos2θ + isin2θ = (cos0 + isin0)
ดังนั้น r1
= 1 และ 2θ = 0 2k+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈
จึงไดวา r = 1 และ θ = 0 + kπ เมื่อ { }k 0,1,2∈
ฉะนั้น z 1 (cos kπ + isin kπ)= เมื่อ { }k = 0,1
เมื่อ k = 0 จะได z1 = (cos 0 + isin 0) = 1
เมื่อ k = 1 จะได z2 = (cos + isin )π π = -1
แสดงแผนภาพไดดังนี้
Y
X
Z1
Z2
Z3
3
2

53. 57
รากที่ 4 ของ 1
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 4 ของ 1
ดังนั้น z4
= 1 = 1(cos0 + isin0)
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r4
( )cos4θ + isin4θ = (cos0 + isin0)
ดังนั้น r4
= 1 และ 4θ = 0 2k+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3∈
จึงไดวา r = 1 และ θ = k
0 +
2
π
เมื่อ { }k 0,1,2,3∈
ฉะนั้น k k
z (cos + isin )
2 2
π π
= เมื่อ { }k 0,1,2,3∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = (cos 0 + isin 0) = 1
เมื่อ k = 1 จะได z2 = (cos + isin )
2 2
π π
= i
เมื่อ k = 2 จะได z3 = (cos + isin )π π = -1
เมื่อ k = 3 จะได z4 = 3 3
(cos + isin )
2 2
π π
= - i
แสดงแผนภาพไดดังนี้
รากที่ 5 ของ 1
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 5 ของ 1
X
Y
1 Z1Z3
Z4
Z2
Y
XZ2 Z11

54. 58
ดังนั้น z5
= 1 = 1 (cos0 + isin0)
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r5
( )cos5θ + isin5θ = (cos0 + isin0)
ดังนั้น r5
= 1 และ 5θ = 0 2k+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈
จึงไดวา r = 1 และ θ = 2k
0 +
5
π
เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈
ฉะนั้น 5k 5k
z (cos + isin )
2 2
π π
= เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = (cos 0 + isin 0) = 1
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 2 2
(cos + isin )
5 5
π π
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 4 4
(cos + isin )
5 5
π π
เมื่อ k = 3 จะได z4 = 6 6
(cos + isin )
5 5
π π
เมื่อ k = 4 จะได z5 = 8 8
(cos + isin )
5 5
π π
แสดงแผนภาพไดดังนี้
รากที่ 6 ของ 1
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 6 ของ 1
ดังนั้น z6
= 1 = 1(cos0 + isin0)
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r6
( )cos6θ + isin6θ = (cos0 + isin0)
ดังนั้น r6
= 1 และ 6θ = 0 2k+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5∈
จึงไดวา r = 1 และ θ = k
0 +
3
π
เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5∈
ฉะนั้น k k
z (cos + isin )
3 3
π π
= เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = (cos 0 + isin 0) = 1
1 X
Y
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5

55. 59
เมื่อ k = 1 จะได z2 = (cos + isin )
3 3
π π
= 1 3
i
2 2
+
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 2 2
(cos + isin )
3 3
π π
= 1 3
i
2 2
− +
เมื่อ k = 3 จะได z4 = (cos + isin )π π = -1
เมื่อ k = 4 จะได z5 = 4 4
(cos + isin )
3 3
π π
= 1 3
i
2 2
− −
เมื่อ k = 5 จะได z6 = 5 5
(cos + isin )
3 3
π π
= 1 3
i
2 2
−
แสดงแผนภาพไดดังนี้
รากที่ 8 ของ 1
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 8 ของ 1
ดังนั้น z8
= 1 = 1 (cos0 + isin0)
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r8
( )cos8θ + isin8θ = (cos0 + isin0)
ดังนั้น r8
= 1 และ 8θ = 0 2k+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈
จึงไดวา r = 1 และ θ = k
0 +
4
π
เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈
ฉะนั้น k k
z (cos + isin )
4 4
π π
= เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = (cos 0 + isin 0) = 1
เมื่อ k = 1 จะได z2 = (cos + isin )
4 4
π π
= 2 2
i
2 2
+
เมื่อ k = 2 จะได z3 = (cos + isin )
2 2
π π
= i
เมื่อ k = 3 จะได z4 = 3 3
(cos + isin )
4 4
π π
= 2 2
i
2 2
− +
เมื่อ k = 4 จะได z5 = (cos + isin )π π = - 1
1 X
Y
Z1
Z2Z3
Z5 Z6
Z4

56. 60
เมื่อ k = 5 จะได z6 = 5 5
(cos + isin )
4 4
π π
= 2 2
i
2 2
− −
เมื่อ k = 6 จะได z7 = 3 3
(cos + isin )
2 2
π π
= - i
เมื่อ k = 7 จะได z8 = 7 7
(cos + isin )
4 4
π π
= 2 2
i
2 2
−
แสดงแผนภาพไดดังนี้
รากที่ 2 ของ i
ให a + bi เปนจํานวนเชิงซอนซึ่งเปนรากที่ 2 ของ i
ดังนั้น i = (a + bi)2
= (a2
– b2
) + 2abi
จะได a2
– b2
= 0 กับ 2ab = 1
(a2
+ b2
)2
= (a2
– b2
)2
+ (2ab)2
= 0 + 1 = 1 หรือ a2
+ b2
= 1
จาก a2
– b2
= 0 และ a2
+ b2
= 1
จะได 2a2
= 1 และ 2b2
= 1
a = 2
2
และ b = 2
2
แตเพราะ 2ab = 1 ทําใหได i = 2 2i
( )
2 2
± +
แสดงแผนภาพไดดังนี้
1 X
Y
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6
Z7
Z8
2 2
i
2 2
− −
2 2
i
2 2
+
1
X
Y

57. 61
รากที่ 4 ของ i
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 4 ของ i
ดังนั้น z4
= i = π π
1(cos + isin )
2 2
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r4
( )cos4θ + isin4θ = π π
cos + isin
2 2
ดังนั้น r4
= 1 และ 4θ = 2k
2
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3∈
จึงไดวา r = 1 และ θ = k
8 2
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2,3∈
ฉะนั้น k k
z cos( ) isin( )
8 2 8 2
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2,3∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = cos + isin
8 8
π π
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 5 5
cos + isin
8 8
π π
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 9 9
cos + isin
8 8
π π
เมื่อ k = 3 จะได z4 = 13 13
cos + isin
8 8
π π
แสดงแผนภาพไดดังนี้
รากที่ 5 ของ i
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 5 ของ i
ดังนั้น z5
= i = π π
cos + isin
2 2
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r5
( )cos5θ + isin5θ = π π
cos + isin
2 2
ดังนั้น r5
= 1 และ 5θ = 2k
2
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈
Y
1
X
Z1
Z2
Z3
Z4

58. 62
จึงไดวา r = 1 และ θ = 2k
10 5
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈
ฉะนั้น 2k 2k
z cos( ) isin( )
10 5 10 5
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = cos + isin
10 10
π π
เมื่อ k = 1 จะได z2 = π π
cos + isin
2 2
= i
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 9 9
cos + isin
10 10
π π
เมื่อ k = 3 จะได z4 = 13 13
cos + isin
10 10
π π
เมื่อ k = 4 จะได z5 = 17 17
cos + isin
10 10
π π
แสดงแผนภาพไดดังนี้
รากที่ 6 ของ i
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 6 ของ i
ดังนั้น z6
= i = π π
cos + isin
2 2
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r6
( )cos6θ + isin6θ = π π
cos + isin
2 2
ดังนั้น r6
= 1 และ 6θ = 2k
2
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5∈
จึงไดวา r = 1 และ θ = k
12 3
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5∈
ฉะนั้น k k
z cos( ) isin( )
12 3 12 3
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = cos + isin
12 12
π π
1
X
Y
Z1
Z2
Z3
Z4 Z5

59. 63
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 5 5
cos + isin
12 12
π π
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 3 3
cos + isin
4 4
π π
เมื่อ k = 3 จะได z4 = 13 13
cos + isin
12 12
π π
เมื่อ k = 4 จะได z5 = 17 17
cos + isin
12 12
π π
เมื่อ k = 5 จะได z6 = 21 21
cos + isin
12 12
π π
แสดงแผนภาพไดดังนี้
รากที่ 8 ของ i
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 8 ของ i
ดังนั้น z8
= i = π π
cos + isin
2 2
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r8
( )cos8θ + isin8θ = π π
cos + isin
2 2
ดังนั้น r8
= 1 และ 8θ = 2k
2
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈
จึงไดวา r = 1 และ θ = k
16 4
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈
ฉะนั้น k k
z cos( ) isin( )
16 4 16 4
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = cos + isin
16 16
π π
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 5 5
cos + isin
16 16
π π
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 9 9
cos + isin
16 16
π π
เมื่อ k = 3 จะได z4 = 13 13
cos + isin
16 16
π π
1
X
Y
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6

60. 64
เมื่อ k = 4 จะได z5 = 17 17
cos + isin
16 16
π π
เมื่อ k = 5 จะได z6 = 21 21
cos + isin
16 16
π π
เมื่อ k = 6 จะได z7 = 25 25
cos + isin
16 16
π π
เมื่อ k = 7 จะได z8 = 29 29
cos + isin
16 16
π π
แสดงแผนภาพไดดังนี้
3.
1
4(2 2 3i)+
ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 4 ของ 2 2 3i+
ดังนั้น z4
= 2 2 3i+ = π π
4 (cos + isin )
3 3
โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร
จะได r4
( )cos4θ + isin4θ = π π
4 (cos + isin )
3 3
ดังนั้น r4
= 4 และ 4θ = 2k
3
π
+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3∈
จึงไดวา r = 2 และ θ = k
12 2
π π
+ เมื่อ { }k 0,1,2,3∈
ฉะนั้น k k
z 2 cos( ) isin( )
12 2 12 2
π π π π⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ { }k 0,1,2,3∈
เมื่อ k = 0 จะได z1 = π π
2 (cos + isin )
12 12
เมื่อ k = 1 จะได z2 = 7π 7π
2 (cos + isin )
12 12
เมื่อ k = 2 จะได z3 = 13π 13π
2 (cos + isin )
12 12
เมื่อ k = 3 จะได z4 = 19π 19π
2 (cos + isin )
12 12
X
Y
1 Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6 Z7
Z8