1. บทที่ 2
สมการกําลังสองตัวแปรเดียว (20 ชั่วโมง)
2.1 สมการกําลังสองตัวแปรเดียว ( 8 ชั่วโมง)
2.2 โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียว (12 ชั่วโมง)
ในบทที่ 1 นักเรียนไดเรียนเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวที่มีรูป
ทั่วไปเปน ax2
+ bx + c เมื่อ a, b, c เปนจํานวนเต็ม และ a ≠ 0 มาแลว ในบทนี้จะไดนําความรูเหลานั้น
มาใชในการหาคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่มีรูปทั่วไปเปน ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b, c
เปนจํานวนเต็ม และ a ≠ 0
เนื้อหาในบทนี้จะเนนเฉพาะการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวในกรณีที่สามารถแยกตัวประกอบ
ของพหุนาม ax2
+ bx + c ใหอยูในรูปการคูณกันของพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปน
จํานวนเต็ม จะยังไมกลาวถึงการแกสมการโดยวิธีอื่น
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. แกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได
2. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได
3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

2. 30
แนวทางในการจัดการเรียนรู
2.1 สมการกําลังสองตัวแปรเดียว (8 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ
1. บอกไดวา สมการที่กําหนดใหเปนสมการกําลังสองตัวแปรเดียวหรือไม
2. แกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.1 และแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูอาจทบทวนความหมายของสมการ ยกตัวอยางสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว คําตอบของ
สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว และวิธีแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวโดยใชสมบัติของการเทากัน
2. ครูยกตัวอยางสมการกําลังสองตัวแปรเดียวในรูปแบบตาง ๆ เชน x2
= 3, 2x2
+ 5 = 0,
3x2
– x2
1 = 0, -x2
+ 3x = 4, 4
3xx5
2 2
+− = 0 และใหนักเรียนสังเกตวา สมการดังตัวอยางที่กลาวมา
นี้มีรูปทั่วไปเปน ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวและ a ≠ 0 ครูอาจถามนักเรียนวา ทําไมจึง
ตองมีเงื่อนไข a ≠ 0 กํากับไว หรือถามวา ถา a = 0 แลว สมการ ax2
+ bx + c = 0 จะเปนสมการใน
ลักษณะใด
3. ครูควรใหนักเรียนทํากิจกรรม “ทําไดหรือไม” เพื่อเปนการฝกทักษะในการพิจารณารูปแบบ
ของสมการกําลังสอง และฝกความรอบคอบดวย เชน สมการ x2
– 8x = 2 + x2
หากนักเรียนไมทําใหสม
การนี้อยูในรูปทั่วไปของสมการกําลังสองตัวแปรเดียวกอน อาจตอบวาสมการนี้เปนสมการกําลังสองซึ่ง
ไมถูกตอง เนื่องจากสมการ x2
– 8x = 2 + x2
เมื่อจัดใหอยูในรูป ax2
+ bx + c = 0 จะได (0)x2
–8x–2 = 0
ซึ่งไมใชสมการกําลังสองตัวแปรเดียว ทั้งนี้เพราะสัมประสิทธิ์ของ x2
เปน 0
4. ในบทนี้ถึงแมวาจะใหความหมายของ คําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว เปน
จํานวนจริง แตในการเรียนการสอนสําหรับบทนี้จะกลาวถึงเฉพาะ คําตอบของสมการที่เปนจํานวนตรรกยะ
เทานั้น และเมื่อกลาวถึงคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว ครูควรยกตัวอยางสมการใหครบทั้ง
3 แบบคือมีสองคําตอบ มีหนึ่งคําตอบและไมมีคําตอบเลย และใหนักเรียนสังเกตวาคําตอบของสมการ
กําลังสองตัวแปรเดียวมีไดไมเกินสองคําตอบ
5. สําหรับกิจกรรม “ลองแทนคา” มีเจตนาที่จะใหนักเรียนไดเห็นวา วิธีหาคําตอบของสมการ
กําลังสองตัวแปรเดียวบางสมการโดยการลองแทนคาตัวแปร อาจไมสะดวกและใชเวลา จึงตองหาวิธีการที่
จะหาคําตอบไดงายกวา นั่นคือใชการแยกตัวประกอบมาชวยดังในกิจกรรม “จํานวนใดเปนคําตอบ”

3. 31
แตถึงกระนั้นวิธีนี้ก็ยังยุงยากอยูดีดังเชน (3x – 7)(4x + 5) = 0 ซึ่งหาคําตอบไดไมสะดวก สมการใน
ลักษณะนี้อาจหาคําตอบไดงายขึ้นเมื่อใชสมบัติของจํานวนจริงดังที่กลาวไวในหนังสือเรียน
วิธีการนําเสนอการเรียนรูตั้งแตกิจกรรม “ลองแทนคา” จนถึงตัวอยางการแกสมการโดยใช
สมบัติของจํานวนจริง ตองการชี้ประเด็นใหเห็นกระบวนการทางคณิตศาสตรวา เมื่อพบปญหาและใชวิธี
แกปญหาวิธีหนึ่งซึ่งไมสะดวก ยุงยาก หรือใชเวลามากเกินไป เราควรหยุดคิดและพิจารณาหาวิธีการใหมที่
สะดวกกวา ยุงยากนอยกวา แตไดผลที่ถูกตองเชนเดียวกัน ดังนั้นในการจัดการเรียนการสอน ครูจึงควร
ดําเนินการสอนใหนักเรียนเห็นกระบวนการดังกลาวดวย
6. การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่มีรูปทั่วไปเปน ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปน
จํานวนเต็ม และ a ≠ 0 ไดนําเสนอไวเปนสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรกจะเปนการแกสมการในกรณีที่
a = 1 ซึ่งนักเรียนจะสามารถแยกตัวประกอบไดงาย ในขั้นตอนที่สองจะเปนการแกสมการในกรณีที่
a เปนจํานวนเต็มอื่น ๆ สําหรับขั้นตอนแรกครูอาจใหนักเรียนฝกทักษะเพิ่มเติมในการแยกตัวประกอบ
โดยใชกิจกรรมเสนอแนะ 2.1
7. สําหรับกิจกรรม “คิดเร็ว – ตอบเร็ว” มีเจตนาใหนักเรียนคิดหาคําตอบในใจและอาจใหทํา
กิจกรรมนี้หลังจากทํากิจกรรมเสนอแนะ 2.1 แลว
8. สําหรับตัวอยางการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวในตัวอยางที่ 8 และตัวอยางที่ 10
ถึงแมวา a, b หรือ c จะไมเปนจํานวนเต็ม ก็สามารถทําใหคา a, b หรือ c เปนจํานวนเต็มกอนแลว
ดําเนินการตามขั้นตอนปกติตอไปได
9. ครูอาจฝกทักษะการเขียนสมการ ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a เปนจํานวนเต็มที่ a ≠ 1 ใหเปน
สมการที่อยูในรูปของการแยกตัวประกอบกอน จึงคอยใหหาคําตอบของสมการ ครูอาจใหนักเรียนทํา
กิจกรรมในทํานองเดียวกันกับ กิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก็ได
10. สําหรับแบบฝกหัด 2.1 ข ขอ 2 ขอยอย 28), 29) และ 30) ครูอาจตองทบทวนวิธีการ
แยกตัวประกอบซึ่งอาจทําได 2 แบบ เชน
ขอ 30 จงแกสมการ (2x – 3)2
– (x + 2)2
= 0 อาจทําดังนี้
วิธีที่ 1 พิจารณาในรูปของผลตางของกําลังสอง
(2x – 3)2
– (x + 2)2
= 0
{(2x – 3) + (x + 2)}{(2x – 3) – (x + 2)} = 0
จะได (3x – 1)(x – 5) = 0
ดังนั้น x = 3
1 หรือ x = 5
เมื่อนําคา x ไปตรวจสอบ จะไดวา 3
1 และ 5 เปนคําตอบของสมการ
(2x – 3)2
– (x + 2)2
= 0

4. 32
วิธีที่ 2 พิจารณาทําสมการใหอยูในรูปที่งายขึ้นกอน
(2x – 3)2
– (x + 2)2
= 0
(4x2
– 12x + 9) – (x2
+ 4x + 4) = 0
3x2
– 16x + 5 = 0
(3x – 1)(x – 5) = 0
ดังนั้น x = 3
1 หรือ x = 5
เมื่อนําคา x ไปตรวจสอบ จะไดวา 3
1 และ 5 เปนคําตอบของสมการ
(2x – 3)2
– (x + 2)2
= 0
สําหรับโจทยในลักษณะนี้อาจมีนักเรียนบางคนทําดังนี้
(2x – 3)2
– (x + 2)2
= 0
(2x – 3)2
= (x + 2)2
ใชการถอดรากที่สองเปน
2x – 3 = x + 2
ดังนั้น x = 5
เมื่อนําคา x ไปตรวจสอบ จะไดวา 5 เปนคําตอบของสมการ (2x – 3)2
– (x + 2)2
= 0
เพียงคําตอบเดียว
เหตุที่ทําใหไดคําตอบเพียงคําตอบเดียว เพราะการถอดรากที่สองของนักเรียนยังไมครบทุก
กรณี ที่จริงแลวตองทําดังนี้
จาก (2x – 3)2
– (x + 2)2
= 0
จะได (2x – 3)2
= (x + 2)2
ตามความหมายของการหารากที่สอง จะมีรากที่สองที่เปนบวกหนึ่งรากและรากที่สองที่เปนลบ
อีกหนึ่งราก
จะได 2x – 3 = x + 2
และ 2x – 3 = -(x + 2)
จากสมการทั้งสองนี้ทําใหได x = 5 และ x = 3
1 ตามลําดับเหมือนกับในวิธีที่ 1 และ
วิธีที่ 2 ขางตน
11. สําหรับกิจกรรมปญหา “นาคิดนะ” มีเจตนาใหนักเรียนไดสังเกตเห็นวาสมการ เชน
(x – 1)2
= (1 – x)2
ไมใชสมการเดียวกันกับสมการ x2
– 1 = 1 – x2
และสมการ (x – 1)2
= (x + 1)2
ก็ไมใชสมการเดียวกันกับสมการ x2
– 1 = x2
+ 1 แตละขอมีคําตอบแตกตางกัน ครูควรสังเกตวานักเรียน
มีความคิดรวบยอดชัดเจนเกี่ยวกับความหมายของ (x – 1)2
หรือไม นักเรียนมักขาดความรอบคอบและ

5. 33
คิดวา (x – 1)2
คือ x2
– 1
12. สําหรับกิจกรรม “อีกคําตอบอยูไหน” มีเจตนาใหนักเรียนรูและระมัดระวังวา การแกสมการ
โดยใชสมบัติของการเทากันจะไมกระทําโดยการนําตัวแปรใด ๆ ไปเปนตัวหาร นอกจากจะกําหนดให
ตัวแปรนั้นไมเทากับศูนย ครูอาจนํากิจกรรมนี้มาอธิบายและทําความเขาใจกับนักเรียน ดังนี้
จากวิธีทําของปอ จะเห็นวาปอนํา a ไปหารทั้งสองขางของสมการ โดยไมคํานึงถึงวา a = 0
หรือไม เพราะถาโจทยไมกําหนดเงื่อนไข a ≠ 0 ไว a อาจเทากับ 0 ได และนักเรียนเคยทราบมาแลววา
ในกรณีที่ a = 0 เราจะไมใช 0 เปนตัวหาร
การที่ปอนํา a ไปเปนตัวหารจึงเปนการกําหนดโดยปริยายวา a ≠ 0 นั่นคือคําตอบที่ปอได
จึงเปนคําตอบกรณีที่ a ≠ 0 เพียงกรณีเดียว สําหรับกรณีที่ a = 0 ปอไมไดนํามาพิจารณาดวย คําตอบ
จึงหายไปหนึ่งคําตอบ
13. ครูอาจใหแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1 เสริมใหกับนักเรียนที่ยังขาดทักษะการแกสมการกําลังสอง
ตัวแปรเดียวดวยก็ได
2.2 โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียว (12 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได
2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูอาจนําเขาสูบทเรียน โดยใหโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่นักเรียน
อาจหาคําตอบไดโดยอาศัยแบบรูปดังตัวอยางในหนังสือเรียน หนา 52 – 53 เพื่อใหนักเรียนเห็นวา
เมื่อตองการแกปญหาในทํานองเดียวกันแตใชกับจํานวนที่มีคามาก การหาคําตอบโดยอาศัยแบบรูปจะไม
สะดวก จําเปนตองใชสมการมาชวยในการหาคําตอบ
2. โจทยปญหาที่นําเสนอไวไดจัดแบงเปนสองตอน ตอนแรกจะกลาวถึงปญหาเกี่ยวกับจํานวน
ซึ่งนักเรียนจะทําความเขาใจไดงายกวาปญหาในตอนที่สองซึ่งสวนใหญเปนโจทยปญหาเกี่ยวกับรูป
เรขาคณิต
ในหัวขอนี้ครูควรเนนกับนักเรียนใหเห็นความสําคัญของการตรวจสอบคําตอบ ซึ่งจะตองนํา
คาของตัวแปรไปตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย ไมใชนําคาของตัวแปรไปแทนในสมการที่นักเรียนหามา
ได ครูอาจหาตัวอยางโจทยปญหาที่สมมติวา นักเรียนเขียนสมการผิด เมื่อนําคาของตัวแปรที่หาไดจาก
สมการนั้นไปแทนคาตัวแปรในสมการจะไดสมการเปนจริง แตถานําไปตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย จะ
ไดวาจํานวนนั้นไมสอดคลองกับเงื่อนไขในโจทย เชน

6. 34
สมมติวานักเรียนเขาสมการผิด
โจทย ผลบวกของสองเทาของจํานวนจํานวนหนึ่งกับกําลังสองของครึ่งหนึ่ง
ของจํานวนนั้น จะไดจํานวนเดิม
สมมติใหวิธีทําของนักเรียนคนหนึ่งเปนดังนี้
ใหจํานวนจํานวนนั้นเปน x
ไดสมการเปน 2x + 2
x2
= x
จะได 2
x2
+ 2x – x = 0
2
x2
+ x = 0
x2
+ 2x = 0
x(x + 2) = 0
ดังนั้น x = 0 หรือ x = -2
ถานําคา x ไปตรวจสอบที่สมการจะไดดังนี้
1) แทน x ดวย 0 ในสมการ 2x + 2
x2
= x
จะได (2 ×0) + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
02
= 0 เปนสมการที่เปนจริง
2) แทน x ดวย -2 ในสมการ 2x + 2
x2
= x
จะได 2(-2) + 2
)2-( 2
= -2
-4 + 2 = -2 เปนสมการที่เปนจริง
แตถานําคา x ไปตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทยจะพบวาเมื่อแทน x ดวย -2 แลว
จะได ดังนี้
สองเทาของจํานวนจํานวนหนึ่งเปน 2(-2) = -4
ครึ่งหนึ่งของจํานวนนั้นเปน )2-(2
1 = -1
กําลังสองของครึ่งหนึ่งของจํานวนนั้นเปน (-1)2
= 1
ไดผลบวกของสองเทาของจํานวนจํานวนหนึ่งกับกําลังสองของครึ่งหนึ่งของ
จํานวนนั้นเปน (-4) + 1 = -3 ซึ่งไมใชจํานวนเดิม
จากตัวอยางนี้จะชี้ใหเห็นวา นักเรียนคนนี้เขาสมการผิดแตเมื่อนําคาของตัวแปรไปตรวจสอบ
ในสมการที่ผิดนั้นแลว ก็ยังไดสมการที่เปนจริงอยู ครูจึงควรย้ํากับนักเรียนในเรื่องนี้และควรใหนักเรียน
ตรวจสอบคําตอบกอนเขียนคําตอบทุกครั้งดวย

7. 35
3. กอนขึ้นตัวอยางที่ 3 หนา 57 ครูควรทบทวนกอนวาผลตางของ x และ y นั้นหมายถึง
x – y หรือ y – x ก็ได ทั้งนี้ขึ้นอยูกับเงื่อนไขในโจทย ในกรณีที่โจทยไมไดระบุชัดเจนวาจํานวนใด
มากกวา ก็ใหพิจารณาทั้ง x – y และ y – x แตตามตัวอยางที่ 3 หนา 57 จะพิจารณาในกรณีที่ผลตาง
เปน x – 5 เทานั้น เพราะโจทยกําหนดให x มากกวา 5 และ (x – 5)2
เปนจํานวนบวก จึงตองทําให
10(x – 5) เปนจํานวนบวกดวย
4. สําหรับกิจกรรม “ความยาวและพื้นที่” มีเจตนาใหนักเรียนไดฝกแกปญหาโดยใชสมการ
กําลังสองตัวแปรเดียวตามเงื่อนไขที่กําหนดใหในรูปเรขาคณิตกอน เพื่อใหนักเรียนมีพื้นฐานความคิด
สามารถกําหนดภาพในวงความคิดได จะชวยใหการวิเคราะหโจทยปญหาที่เกี่ยวของกับรูปเรขาคณิตใน
แบบฝกหัด 2.2 ข ชัดเจนขึ้น
5. สําหรับแบบฝกหัด 2.2 ข ครูอาจแนะนําใหนักเรียนเขียนรูปประกอบแนวคิดไวในการทํา
แบบฝกหัดแตละขอ มีโจทยหลายขอที่นักเรียนจะตองพิจารณาคาของตัวแปรที่หาไดจากสมการวาจะใช
เปนคําตอบไดหรือไม ครูจึงควรย้ําใหนักเรียนไดตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบ เชน โจทย
ขอ 10 ซึ่งมีแนวคิดดังนี้
ให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก มี AB = x เซนติเมตร
BC = x – 7 เซนติเมตร และ AC = x + 2 เซนติเมตร
จะไดสมการเปน
(x + 2)2
= x2
+ (x – 7)2
x2
– 18x + 45 = 0
(x – 15)(x – 3) = 0
x = 3 หรือ x = 15
จะเห็นวาใชความยาวของ AB เปน 3 เซนติเมตรไมได เพราะจะทําใหไดขนาดของ BC
เปนจํานวนลบคือ 3 – 7 = -4 ซึ่งใชไมได
ในปญหานี้จึงใช 15 เปนความยาวของ ABCD ไดเพียงคาเดียว
กอนใหนักเรียนทําแบบฝกหัดขอ 17 ครูอาจสนทนาเชื่อมโยงความรูกับวิชาภาษาไทย
เกี่ยวกับคําวา “หนาบัน”
ในสวนเฉลยคําตอบของแบบฝกหัดชุดนี้ มีบางขอที่คอนขางยากจึงไดใหแนวคิดและสมการ
ไว
6. สําหรับกิจกรรม “ตอบไดหรือไม” มีเจตนาใหนักเรียนสังเกตแบบรูปในตารางหาคําตอบที่
โจทยถาม และเมื่อพบคําถามที่มีความยุงยากเกี่ยวกับจํานวน ยากที่จะหาคําตอบโดยใชตาราง นักเรียนควร
รูจักสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร ซึ่งสวนใหญจะอยูในรูปของพหุนามและสมการ เพื่อใชเปนเครื่องมือ
ในการหาคําตอบ เชน คําถามในขอยอย 3) ของแตละขอในกิจกรรมนี้
A B
D C
x
x – 7

8. 36
ครูอาจใหโจทยในทํานองนี้เพิ่มเติม โดยประยุกตตารางเปนความสัมพันธระหวาง x และ y
ดังแบบรูปในตารางตอไปนี้
x 1 2 3 4 5 …
x2
1 4 9 16 25 …
y 0 2 6 12 20 …
อาจใหนักเรียนตอบคําถามดังตัวอยาง
1) เขียนความสัมพันธระหวาง x และ y ในรูปของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว
[y = x2
– x]
2) หาคา y เมื่อ x = 10 [90]
3) หาคา x เมื่อ y = 210 [15]
7. สําหรับกิจกรรม “ลองหาดู” มีเจตนาใหนักเรียนสังเกตแบบรูปในตาราง และใชการลอง
แทนคา x ในสมการ y = x2
+ bx + c เพื่อหาคา b และ c ซึ่งนักเรียนนาจะสังเกตไดวา เมื่อแทน x
ดวย 0 จะหาคา c ไดกอนทันที ตอไปถาแทน x ดวย 1 ก็จะหาคา b ไดงาย
8. สําหรับกิจกรรม “ราคาขึ้น – ลง” มีเจตนาเชื่อมโยงใหนักเรียนเห็นวา ความสัมพันธที่
เกี่ยวของกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวในรูป ax2
+ bx + c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 นั้น
เมื่อ x เปนคาตาง ๆ ตามที่โจทยกําหนด จะไดคาของ ax2
+ bx + c เปลี่ยนไปตามการแปรคาของ x
ซึ่งเมื่อกําหนดผลลัพธนี้เปนคา y ก็จะไดความสัมพันธของ x และ y เปนคู ๆ กันในรูปของคูอันดับ
(x, y) จากกิจกรรมนี้กําหนดให 4x2
– 40x + 120 มีคาเปลี่ยนไปตามคาของ x ตั้งแต 1 ถึง 9 และ
ให y เปนผลลัพธที่ไดตามคาของ x ดังปรากฏในตารางของกิจกรรมนี้ และเมื่อเขียนกราฟของ
ความสัมพันธดังกลาวใหตอเนื่อง จะไดกราฟเปนเสนโคงเรียบที่เปนสวนหนึ่งของกราฟที่เรียกวา พาราโบลา
ในกิจกรรมนี้ไดเชื่อมโยงสาระทางคณิตศาสตรกับสถานการณจริง ซึ่งมีความสัมพันธ
ระหวางปริมาณสองปริมาณ และสามารถนํามาสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรที่กําหนดไดดวยสมการ
กําลังสองและกราฟ กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนตอบคําถามจากกราฟที่กําหนดใหเทานั้น
ในการทํากิจกรรมนี้ ครูควรใหมีการสนทนา อภิปรายเกี่ยวกับความสัมพันธของราคาลิ้นจี่
กับชวงเวลาที่มีลิ้นจี่วางขายในทองตลาด ตามเหตุการณที่เคยพบเห็นจริงในขณะที่อานและวิเคราะหกราฟ
ที่กําหนดให
9. สําหรับกิจกรรม “บั้งไฟ จรวดแบบไทย” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูทางคณิตศาสตรกับ
สถานการณในชีวิตจริง ดวยการสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรเชนเดียวกันกับกิจกรรม “ราคาขึ้น – ลง”
แตในกิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดอานและวิเคราะหดวยความเขาใจของตนเอง คําถามที่ใหไวจึงเปน

9. 37
คําถามปลายเปด คําตอบของนักเรียนอาจแตกตางกัน ซึ่งครูจะตองใชดุลพินิจพิจารณาความสมเหตุสมผล
ของคําตอบ
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “ทําไดหรือไม”
1. สมการในขอ 2), ขอ 3), ขอ 4), ขอ 5), ขอ 8), ขอ 9) และขอ 10) เปนสมการกําลังสองตัวแปรเดียว
2.
1) x2
– 3x – 6 = 0 มี a = 1, b = -3 และ c = -6
2) -3x2
+ 4x + 0 = 0 มี a = -3, b = 4 และ c = 0
3) 2m2
– m – 7 = 0 มี a = 2, b = -1 และ c = -7
4) 4x2
+ (0)x – 10 = 0 มี a = 4, b = 0 และ c = -10
5) -9x2
+ (0)x + 0 = 0 มี a = -9, b = 0 และ c = 0
6) 3
1 n2
– 5n + 1 = 0 มี a = 3
1 , b = -5 และ c = 1
7) 5x2
+ 10x + 0 = 0 มี a = 5, b = 10 และ c = 0
8) 2y2
– y + 3 = 0 มี a = 2, b = -1 และ c = 3
9) t2
– 6t + 8 = 0 มี a = 1, b = -6 และ c = 8
10) 3x2
+ 5x – 2 = -0 มี a = 3, b = 5 และ c = -2
คําตอบกิจกรรม “ลองแทนคา”
1.
1) ทั้ง 7 และ -2 เปนคําตอบของสมการ
2) 3 เปนคําตอบของสมการ
0 ไมเปนคําตอบของสมการ
3) 0 เปนคําตอบของสมการ
7 ไมเปนคําตอบของสมการ
4) ทั้ง 5 และ 2
3- เปนคําตอบของสมการ
5) -2 ไมเปนคําตอบของสมการ
6) 2
1- เปนคําตอบของสมการ

10. 38
2.
1) 1 และ -1 2) 0 และ 5
3) ไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบ 4) 1 และ -2
5) -1 และ -2
คําตอบกิจกรรม “จํานวนใดเปนคําตอบ”
1. -1 และ 7
2. 1 และ 3
3. -5 และ -4
4. 2 และ 5
5. 3 และ -3
6. 2
1 และ -6
คําตอบกิจกรรม “คิดเร็ว – ตอบเร็ว”
1. 0 2. 2 และ -2
3. 6 และ -6 4. 7 และ -7
5. 5 และ -5 6. 0 และ -2
7. 0 และ 5 8. 4
9. 5 10. -1 และ 9
11. 4 และ 7 12. 8 และ -5
คําตอบแบบฝกหัด 2.1 ก
1. 0 และ -7 2. 10 และ -10
3. 13 4. 1
5. -2 6. 4 และ -2
7. -1 และ -5 8. -7 และ 2
9. -3 และ -2 10. 5 และ -2
11. 3 และ 4 12. -3 และ -4
13. 1 และ 3 14. 1 และ 7

11. 39
15. 1 และ -11 16. -4
17. -6 และ 5 18. 5 และ 7
19. 6 และ -3 20. 9 และ -2
21. -3 และ -12 22. 10
23. 5 24. -8 และ -4
25. 12 และ -3 26. -10 และ -11
27. -1 และ -14 28. 3 และ -20
29. 25 และ -4 30. 9
คําตอบแบบฝกหัด 2.1 ข
1.
1) 3 และ -3 2) 2
3 และ 2
3-
3) 4 และ -4 4) 0 และ 3
4
5) 2
5- 6) 3
2
7) 0 และ 3
4 8) 0 และ 4
3-
2.
1) 2
1- และ 3 2) 3
4 และ -2
3) 2
1 และ -4 4) 3
1- และ -3
5) 3
1- และ 2 6) 3
4- และ 2
1
7) 2
3- และ 6 8) 8
5 และ -3
9) 0 และ 5
7 10) 4
5 และ -2
11) 3
5 และ -1 12) 3
4 และ -2
13) 1 และ -3 14) -8 และ -4
15) 1 และ 5 16) 3
2 และ 4
3
17) 2
5- และ 7
2 18) 12 และ -3
19) 2
1- และ 6
1- 20) 2
3 และ -1
21) 2
3 และ -1 22) 5
4- และ 7
2

12. 40
23) 2 และ 12 24) 3
7 และ 2
3-
25) 4
5 26) 2
5 และ -1
27) 3 และ -4 28) 0 และ -4
29) -1 และ 3
1- 30) 3
1 และ 5
คําตอบกิจกรรม “นาคิดนะ”
1. จํานวนจริงทุกจํานวน
2. 1 และ -1
3. 0
4. ไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบ
คําตอบกิจกรรม “อีกคําตอบอยูไหน”
เหตุที่ปอหาไดคําตอบเดียว เพราะจากวิธีทําของปอ ทําใหทราบวา ปอไมได
พิจารณาคาของ a ในกรณีที่ a = 0 ซึ่งเห็นไดจากการที่ปอนํา a มาหารทั้งสองขาง
ของสมการเทานั้น ปอจึงได 3 เปนคําตอบของสมการเพียงคําตอบเดียว แตถาปอ
พิจารณากรณี a = 0 ดวย ปอจะไดคําตอบของสมการอีกคําตอบหนึ่งคือ 0
คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก
1. จํานวนเต็มบวก คือ 20 และ 21
จํานวนเต็มลบ คือ -20 และ -21
2. จํานวนคี่บวก คือ 17 และ 19
จํานวนคี่ลบ คือ -17 และ -19
3. จํานวนบวก คือ 6 และ 9
จํานวนลบ คือ -9 และ -6
4. 4
3 และ 4
5
5. 8 และ 13
6. 2 และ 8

13. 41
7. จํานวนบวก คือ 19 และ 21
จํานวนลบ คือ -19 และ -21
8. 8 และ 10
9. แมมีอายุ 40 ป และพอมีอายุ 45 ป
10. พี่มีอายุ 20 ป และนองมีอายุ 14 ป
คําตอบกิจกรรม “ความยาวและพื้นที่”
1. 46 หนวย
2. 25 ตารางหนวย
3. 24 หนวย
4. 15 หนวย
5. 2 หนวย
6. 16 ตารางหนวย
7. 120 ตารางหนวย
8. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส A มีความยาวดานละ 6 หนวย
รูปสี่เหลี่ยมผืนผา B กวาง 8 หนวยและยาว 13 หนวย
9. AD ยาวกวา AC 12 หนวย
10. กวาง 11 หนวย และยาว 15 หนวย
คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข
1. 324 ตารางเซนติเมตร
2. 5 เซนติเมตร
3. 8 หนวย
4. 119 ตารางเมตร
5. 20 เซนติเมตร
6. 3, 4 และ 5 หนวย
7. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก ยาวดานละ 7 เซนติเมตร
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ ยาวดานละ 12 เซนติเมตร

14. 42
8. 96 เซนติเมตร
แนวคิด AC แบงครึ่งและตั้งฉากกับ BD ที่จุด O
ให BD = x เซนติเมตร
AC = x + 4 เซนติเมตร
จะได BO = 2
x เซนติเมตร
และ CO = 2
4x + เซนติเมตร
จะไดไดสมการเปน
22
2
4x
2
x
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
+ = 102
x2
+ 4x – 192 = 0
(x + 16)(x – 12) = 0
จะได x = 12 หรือ x = -16
ใช -16 เปนความยาวของเสนทแยงมุมไมได
เมื่อใช 12 เปนความยาวของเสนทแยงมุม จะไดพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน
= 4)(12122
1 +××
= 96 ตารางเซนติเมตร
9. กวาง 16 เมตร ยาว 31 เมตร
แนวคิด ให BC = x เมตร
ความยาวรอบ ABCD คือ 2 × (กวาง + ยาว)
94 = 2(x + AB)
จะได AB = 2
2x94 −
จะไดสมการเปน ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
2
2x94
x = 496
x2
– 47x + 496 = 0
(x – 16)(x – 31) = 0
จะได x = 16 หรือ x = 31
10. 120 ตารางเซนติเมตร
A B
D C
94 – 2x
2
x
A B
D C
O 10

15. 43
11. 2 เมตร
แนวคิด ใหทางเดินกวาง x เมตร
บริเวณที่เหลือ กวาง 14 – 2x เมตร
ยาว 24 – 2x เมตร
จะไดสมการเปน (14 – 2x)(24 – 2x) = 200
x2
– 19x + 34 = 0
(x – 2)(x – 17) = 0
จะได x = 2 หรือ x = 17
ในที่นี้ใช 17 ไปหาคําตอบไมได เพราะทางเดินจะกวางกวาความกวางของสวน
12. 4 เซนติเมตร และ 12 เซนติเมตร
แนวคิด ใหรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ยาวดานละ x เซนติเมตร
DEFG เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา
DG กวาง x – 2 เซนติเมตร
DE ยาว x + 16 เซนติเมตร
จะไดสมการเปน (x – 2)(x + 6) = 2
x4
5
x2
– 16x + 48 = 0
(x – 4)(x – 12) = 0
ดังนั้น x = 4 หรือ x = 12
13. กลองกวาง 8 เซนติเมตร ยาว 15 เซนติเมตรและสูง 6 เซนติเมตร
แนวคิด ใหกลองกวาง x เซนติเมตร
กลองยาว 2
2x46−
เซนติเมตร
พื้นที่กนกลอง ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
2
2x46
x ตารางเซนติเมตร
จะไดสมการเปน ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
2
2x46
x = 120
x2
– 23x + 120 = 0
(x – 15)(x – 8) = 0
ดังนั้น x = 15 หรือ x = 8
นั่นคือ กลองสูง 120
720 = 6 เซนติเมตร
x200
24
14
A B
CGD
x
FE
120 x
46 – 2x
2

16. 44
14. กวาง 21 เซนติเมตร ยาว 25 เซนติเมตร
แนวคิด ใหกระดาษกวาง x เซนติเมตร
ยาว x + 4 เซนติเมตร
จะไดสมการเปน 4(x – 8)(x + 4 – 8) = 884
x2
– 12x – 189 = 0
(x – 21)(x + 9) = 0
ดังนั้น x = 21 หรือ x = -9
ใช -9 เปนความยาวของดานไมได
15. 20 วินาที
16. รถยนต A ใชอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรตอชั่วโมง
รถยนต B ใชอัตราเร็ว 75 กิโลเมตรตอชั่วโมง
แนวคิด ใหรถยนต A ใชอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอชั่วโมง
รถยนตทั้งสองคันใชเวลา 3
4 ชั่วโมง
จะไดสมการเปน
2
x3
4
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
2
15)(x3
4
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ + = 1002
x2
– 15x – 2700 = 0
(x + 45)(x – 60) = 0
ดังนั้น x = 60 หรือ x = -45
ใช -45 เปนอัตราเร็วของรถยนต A ไมได
17. 5, 5 และ 8 เมตร
แนวคิด ∆ ABC แทนรูปหนาบันของหลังคาบาน
มีฐาน BC ยาว 8 เมตร
หนาบันสูง 3 เมตร
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะได AC ยาว 5 เมตร
4
4
x + 4
x
8
A
B CE 4
3
A
B
จุดเริ่มตน
100

17. 45
คําตอบกิจกรรม “ตอบไดหรือไม”
1.
1) 144
2) (n + 1)2
3) 20
2.
1) 110
2) n(n + 1)
3) 25
3.
1) 399
2) n2
– 1
3) 31
คําตอบกิจกรรม “ลองหาดู”
1. b = 0 และ c = -4
2. 21
คําตอบกิจกรรม “ราคาขึ้น – ลง”
1. ประมาณ 25 บาท
2. ตัวอยางคําตอบ
ในชวงสัปดาหที่ 1 และสัปดาหที่ 9 ลิ้นจี่มีราคาสูงประมาณกิโลกรัมละ 80 – 99 บาท
หรือ ในชวงตนสัปดาหที่ 1 และชวงปลายสัปดาหที่ 9 ลิ้นจี่มีราคาสูงถึงประมาณกิโลกรัมละ
99 บาท
3. ราคาลิ้นจี่ในชวงตนฤดูและปลายฤดู จะมีราคาสูงกวาราคาลิ้นจี่กลางฤดู
4. ตัวอยางคําตอบ
ควรซื้อลิ้นจี่กลางฤดู ประมาณสัปดาหที่ 5 หรือในเดือนมิถุนายน เพราะลิ้นจี่จะมีผลแกจัด
รสชาติดีและมีราคาถูก
5. ประมาณ 20 บาท

18. 46
6. ตัวอยางคําตอบ
อยากใหลิ้นจี่ของสวนไดวางขายตามทองตลาดใหมากที่สุดในชวงสัปดาหที่ 1 หรือชวง
สัปดาหที่ 9 เพราะจะมีราคาสูง ทําใหมีรายไดมาก
คําตอบกิจกรรม “บั้งไฟ จรวดแบบไทย”
ตัวอยางคําตอบ
ในชวงเวลาแรก ๆ ของการยิง บั้งไฟจะขึ้นสูทองฟาอยางรวดเร็ว จะเห็นไดจากกราฟวา
เมื่อเวลา 5 วินาทีแรก บั้งไฟอยูเหนือพื้นดินประมาณ 70 เมตร แตเมื่อเวลาผานไปอีก 5 วินาที
(เวลาเทากับชวงแรก) หรือในวินาทีที่ 10 บั้งไฟอยูเหนือพื้นดินประมาณ 100 เมตร หรืออยูสูงกวา
ความสูงในชวงแรกประมาณ 100 – 70 = 30 เมตร แสดงวาอัตราเร็วในการเคลื่อนที่ของบั้งไฟในชวง
5 วินาทีที่สองลดลง
บั้งไฟขึ้นสูทองฟาสูงที่สุดเหนือพื้นดินประมาณ 100 เมตร เมื่อเวลาผานไป 10 วินาที
ตอจากนั้นบั้งไฟจะตกลงสูพื้นดิน และในชวงที่บั้งไฟตกในวินาทีที่ 10 – 15 อัตราเร็วในการเคลื่อนที่จะ
นอยกวาอัตราเร็วในการเคลื่อนที่ในชวงวินาทีที่ 15 – 20 ทําใหเมื่อใกลถึงพื้นดินบั้งไฟจะตกลงสูพื้นดิน
ในอัตราที่เร็วกวาเมื่อเริ่มตก

19. 47
กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

20. 48
กิจกรรมเสนอแนะ 2.1
กิจกรรมนี้มีจุดประสงคใหนักเรียนไดฝกทักษะการเขียนสมการกําลังสองตัวแปรเดียว
ที่กําหนดใหในรูปการแยกตัวประกอบของพหุนาม x2
+ bx + c เมื่อ b และ c เปนจํานวนเต็ม
สื่ออุปกรณ บัตรคําสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่อยูในรูป x2
+ bx + c = 0 เมื่อ
b และ c เปนจํานวนเต็ม ประมาณ 20 บัตร และบัตรเฉลยซึ่งเขียนสมการในขอ 1 ในรูป
การแยกตัวประกอบของ x2
+ bx + c เมื่อ b และ c เปนจํานวนเต็ม ดังตัวอยาง
บัตรสมการ บัตรเฉลย
x2
+ 2x – 3 = 0 (x + 3)(x – 1) = 0
x2
– 4x + 3 = 0 (x – 3)(x – 1) = 0
x2
– 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0
x2
+ 3x – 10 = 0 (x + 5)(x – 2) = 0
x2
– 3x – 10 = 0 (x – 5)(x + 2) = 0
x2
– 7x + 10 = 0 (x – 5)(x – 2) = 0
x2
+ 7x + 10 = 0 (x + 5)(x + 2) = 0
x2
– 7x + 12 = 0 (x – 4)(x – 3) = 0
x2
– x – 12 = 0 (x – 4)(x + 3) = 0
x2
+ x – 12 = 0 (x + 4)(x – 3) = 0
x2
+ 7x + 12 = 0 (x + 4)(x + 3) = 0
x2
– 9x + 20 = 0 (x – 5)(x – 4) = 0
x2
– x – 20 = 0 (x – 5)(x + 4) = 0
x2
+ x – 20 = 0 (x + 5)(x – 4) = 0
x2
+ 9x + 20 = 0 (x + 5)(x + 5) = 0
x2
– 81 = 0 (x – 9)(x + 9) = 0
x2
– 18x + 81 = 0 (x – 9)(x – 9) = 0
x2
+ 18x + 81 = 0 (x + 9)(x + 9) = 0
แนวการจัดกิจกรรม
1. ครูวางบัตรสมการทั้งหมดบนโตะโดยคว่ําหนาบัตรไมใหเห็นสมการ
2. ใหนักเรียน 1 คน ออกมาหยิบสุมบัตรสมการ 1 ใบ และชูบัตรใหนักเรียนในชั้นดู
3. ใหนักเรียนคนที่ถือบัตรเฉลยซึ่งแสดงคําตอบของสมการนั้นออกมายืนคูกัน ใหนักเรียนในชั้น
ชวยกันตรวจสอบความถูกตองพรอมทั้งบอกคําตอบของสมการนั้น

21. 49
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1
จงแกสมการตอไปนี้
1. x2
– 13x + 42 = 0 [6 และ 7]
2. 3a2
– 14a + 11 = 0 [ 3
11 และ 1]
3. 4y2
– 11y – 3 = 0 [3 และ 4
1- ]
4. 5x2
– 4x – 9 = 0 [-1 และ 5
9 ]
5. 81 – 9y2
= 0 [3 และ -3]
6. 16x2
= 169 [ 4
13 และ 4
13- ]
7. 25n2
– 400 = 0 [4 และ -4]
8. (7y – 3)2
= 9 [7
6 และ 0]
9. 5x2
+ 14x – 3 = 0 [ 5
1 และ -3]
10. x2
= 3
x + 8 [3 และ 3
8- ]
11. 2a2
– 5a – 63 = 0 [ 2
9- และ 7]
12. y2
– 8 = 3
14 y [6 และ 3
4- ]
13. 6x2
– 29x + 28 = 0 [ 2
7 และ 3
4 ]
14. 40 + 39x + 9x2
= 0 [ 3
8- และ 3
5- ]
15. 0.9y2
+ 6y + 10 = 0 [ 3
10- ]
16. 16x2
– 8x + 1 = 100 [ 4
9- และ 4
11]
17. 120 – x2
= 2
17 x [-16 และ 2
15 ]
18. 6y2
= 5.5y – 1 [ 4
1 และ 3
2 ]
19. 12.1 + 2.5x2
= 11x [ 5
11]
20. 48 + 24m + 3m2
= 0 [-4]