1. บทที่ 1
การใหเหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม (15 ชั่วโมง)
1.1 ความรูพื้นฐานเกี่ยวกับการใหเหตุผลทางเรขาคณิต (2 ชั่วโมง)
1.2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม (8 ชั่วโมง)
1.3 การสราง (5 ชั่วโมง)
เนื้อหาในบทนี้จะกลาวถึงสมบัติทางเรขาคณิตบางประการพรอมทั้งฝกใหนักเรียนมีความสามารถ
ในการใหเหตุผลทางเรขาคณิตซึ่งเปนทักษะพื้นฐานสําคัญของการเรียนคณิตศาสตร นักเรียนจะไดเรียนรู
และฝกการใหเหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม รวมถึงการนําสมบัติตาง ๆ ของรูปสามเหลี่ยม
และรูปสี่เหลี่ยมไปใชในการสรางทางเรขาคณิตเพิ่มเติมจากสาระที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ในตอนเริ่มตน
ของบทเรียนนี้ไดทบทวนความรูโดยรวบรวมสาระสําคัญที่นักเรียนเคยทราบแลวเกี่ยวกับการใหเหตุผลทาง
คณิตศาสตรและสมบัติเบื้องตนทางเรขาคณิต ทั้งนี้เพื่อใชเปนพื้นฐานในการเรียนสาระตอไป
ในการใหเหตุผลทางเรขาคณิต ครูควรคํานึงถึงการสอดแทรกแนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับระบบการ
พิสูจนใหนักเรียนมีความเขาใจซึ่งแสดงดวยแผนภาพไดดังนี้
คําอนิยาม ใชเปนคําพื้นฐานในการสื่อความหมายใหเขาใจตรงกันโดยไมตองกําหนด
ความหมายของคํา เราใชคําอนิยามในการใหความหมายของคําที่เกี่ยวของกับเนื้อหาสาระในรูปบทนิยาม
ซึ่งขอความในบทนิยามทุกบทนิยามสามารถเขียนใหเปนประโยคที่เชื่อมดวย “ก็ตอเมื่อ”
สําหรับ สัจพจน เปนขอความที่ยอมรับวาเปนจริงโดยไมตองพิสูจน เราใชคําอนิยาม
บทนิยาม สัจพจน อยางใดอยางหนึ่งหรือหลายอยางประกอบกันในการใหเหตุผลเพื่อพิสูจนขอความตาง ๆ
วาเปนจริงหรือไมเปนจริง ขอความที่พิสูจนไดวาเปนจริงอาจนํามาสรุปเปนทฤษฎีบท เพื่อนําไปใชอางอิง
ในการใหเหตุผลและสรางทฤษฎีบทใหมตอไปได
ในการพิสูจนขอความหรือโจทยปญหาที่กําหนดให ครูอาจแนะนําใหนักเรียนดําเนินการเปน
ขั้นตอนดังตอไปนี้
คําอนิยาม
บทนิยาม
สัจพจน
สมบัติทางคณิตศาสตร
ใหเหตุผล
ทฤษฎีบท
หรือ
สมบัติใหมทางคณิตศาสตร

2. 2
1. อานและทําความเขาใจขอความหรือโจทยปญหาที่กําหนดให โดยการพิจารณาวาโจทย
กําหนดอะไรบางและตองการใหพิสูจนอะไร
2. วิเคราะหยอนกลับจากผลหรือสิ่งที่โจทยตองการใหพิสูจนไปหาเหตุหรือสิ่งที่โจทย
กําหนดให โดยพิจารณาวาในแตละขั้นที่เปนผลยอย ๆ กอนผลสุดทายนั้นตองเกิดจากเหตุอันใดบาง และ
จากเหตุนั้นตองอาศัยบทนิยาม สัจพจน ทฤษฎีบทหรือสมบัติทางคณิตศาสตรใดบางมาประกอบเพื่ออางอิง
ไปสูผลยอย ๆ เหลานั้น ทําเชนนี้เรื่อย ๆ จนกวาผลยอย ๆ นั้นมาจากเหตุที่เปนสิ่งที่โจทยกําหนดให
3. เขียนแสดงการพิสูจนจากเหตุหรือสิ่งที่โจทยกําหนดใหผนวกกับเหตุผลตามที่วิเคราะหได
ในขอ 2 มาเขียนตามลําดับเหตุและผลจนไดผลสุดทายเปนสิ่งที่โจทยตองการใหพิสูจน
การวิเคราะหและลําดับขั้นการพิสูจนแสดงไดดวยแผนภาพ ดังนี้
การวิเคราะหยอนกลับ
การเขียนแสดงการพิสูจน
ใหเหตุผล
สิ่งที่ตองการพิสูจน
สิ่งที่กําหนดให
บทนิยาม / สัจพจน / ทฤษฎีบท /
สมบัติทางคณิตศาสตร
วิเคราะหหา “เหตุ” ที่ทําใหเกิด “ผล”
บทนิยาม / สัจพจน / ทฤษฎีบท /
สมบัติทางคณิตศาสตร
สิ่งที่กําหนดให
สิ่งที่ตองการพิสูจน

3. 3
สําหรับการสราง ครูควรฝกใหนักเรียนเขียนหรือจินตนาการรูปที่โจทยตองการใหสรางกอน แลว
คิดวิเคราะหยอนกลับเพื่อกําหนดลําดับการสรางตามความจําเปนกอนหลัง ตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนดให
แนวคิดในการใหเหตุผลและการสรางในสวนเฉลย เปนเพียงแนวคิดหนึ่งเทานั้น อีกทั้งการเฉลย
สวนใหญจะเขียนไวอยางรวบรัด ครูไมควรใหนักเรียนเลียนแบบเขียนรวบรัดดังที่เสนอไว แตครูควรให
นักเรียนไดเพิ่มเติมรายละเอียดการใหเหตุผล และขั้นตอนการสรางตามที่ควรจะเปน
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. ใชสมบัติเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมในการใหเหตุผลได
2. สรางและใหเหตุผลเกี่ยวกับการสรางที่กําหนดใหได

4. 4
แนวทางในการจัดการเรียนรู
1.1 ความรูพื้นฐานเกี่ยวกับการใหเหตุผลทางเรขาคณิต (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถพิสูจนขอความทางเรขาคณิตที่กําหนดใหได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในการจัดกิจกรรมเพื่อทบทวนประโยคเงื่อนไข ครูอาจใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางขอความ
ที่มีลักษณะเปนประโยคเงื่อนไขเชื่อมดวย ถา...แลว... อยางชัดเจน และขอความที่ไมปรากฏการเชื่อมดวย
ถา...แลว... อยางชัดเจน แลวนํามาวิเคราะหแยกขอความสวนที่เปน เหตุ และ ผล เพื่อใหนักเรียนเห็นวา
ในชีวิตประจําวันโดยเฉพาะอยางยิ่งในคณิตศาสตร เรามักพบขอความที่มีลักษณะเปนประโยคเงื่อนไข
และจากประโยคเงื่อนไขดังกลาว เราสามารถนํามาใชในการเขียนบทกลับของประโยคเงื่อนไข รวมทั้ง
การเขียนประโยคเงื่อนไขและบทกลับของประโยคเงื่อนไขใหเปนประโยคเดียวกันโดยใชคําวา ...ก็ตอเมื่อ...
โดยใชกิจกรรม “ยังทําไดไหม” ตรวจสอบความรูและความเขาใจ
2. ในการวางพื้นฐานเกี่ยวกับการใหเหตุผลทางเรขาคณิต ครูควรแนะนําคําอนิยามทาง
เรขาคณิตซึ่งไดแก จุด เสนตรงและระนาบ และยกตัวอยางบทนิยามที่มีการใชคําอนิยาม เชน บทนิยาม
ของรังสี บทนิยามของเสนขนาน และชี้ใหเห็นวาทุกบทนิยามสามารถเขียนเปนประโยคที่เชื่อมดวย
“ก็ตอเมื่อ” ครูอาจยกตัวอยางสัจพจนที่นักเรียนเคยทราบมาแลวเพิ่มเติมจากที่ใหไวในหนังสือเรียนอีกก็ได
เชน เสนตรงที่แบงครึ่งมุมมุมหนึ่งมีเพียงเสนเดียว และเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรงที่จุดกําหนดใหมีเพียง
เสนเดียว พรอมทั้งแนะนําการพิสูจนขอความทางเรขาคณิตซึ่งอาจตองอางอิงบทนิยามหรือสมบัติทาง
เรขาคณิต ดังเชนตัวอยางที่ 1 อางอิงบทนิยามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน
3. ครูควรยกตัวอยางโจทยปญหาใหนักเรียนไดเห็นจริงวา ในการใหเหตุผลทางเรขาคณิตมีการ
พิสูจนวาขอความที่กําหนดใหเปนจริง และบางขอความก็ใหพิสูจนวาไมเปนจริงซึ่งทําโดยยกตัวอยางคาน
ดังตัวอยางที่ 2 ที่เสนอไว
4. สําหรับการทบทวนทฤษฎีบทในหัวขอนี้จะกลาวถึงทฤษฎีบทเบื้องตนที่ใชบอย ๆ เกี่ยวกับ
เสนตรง เสนขนานและรูปสามเหลี่ยมกอน สําหรับทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะกลาวถึงในหัวขอตอไป ในการทบทวนความรูครูอาจใหนักเรียนชวยกันบอกสมบัติตาง ๆ เกี่ยวกับ
เสนตรง เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม แลวจึงแนะนําสมบัติเหลานั้นในรูปทฤษฎีบทที่ใหนักเรียนยอมรับ
โดยไมตองพิสูจน
สําหรับตัวอยางที่ 3 เมื่อนักเรียนไดพิสูจนแลว ครูควรแนะนําวาขอความที่กําหนดใหนั้น
เปนสมบัติทางเรขาคณิตอีกประการหนึ่งที่สามารถนําไปใชอางอิงในการใหเหตุผลได

5. 5
5. กอนใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.1 ครูอาจนําแนวการพิสูจนที่ไดกลาวไวในบทนํามาอธิบาย
ยกตัวอยางใหนักเรียนเห็นลําดับขั้นตอนการวิเคราะหเพื่อเขียนการพิสูจน อาจใชโจทยขอ 2 ใน
แบบฝกหัดนี้เปนตัวอยางดังนี้
กําหนดให EF ตัด AB และ CD ที่จุด E และ
จุด F ตามลําดับ และ AEX
∧
= DFY
∧
ตองการพิสูจนวา AB // CD
ในการวิเคราะหยอนกลับ ครูใชการถามตอบจากสิ่งที่ตองการพิสูจน เชื่อมโยงไปสูสิ่งที่
กําหนดให อาจใชตัวอยางคําถาม เชน
1) โจทยตองการพิสูจนขอความใด [AB // CD]
2) มีเงื่อนไขใดบางที่ทําใหสรุปไดวา AB // CD และควรใชเงื่อนไขใด
[เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมี
ขนาดเทากัน หรือ เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน
ก็ตอเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาด
เทากัน]
3) ถาจะพิสูจนวา AB // CD โดยใชเงื่อนไขเกี่ยวกับมุมแยงมีขนาดเทากันซึ่งจะตอง
แสดงวามุมคูใดมีขนาดเทากัน [BE F
∧
= C F E
∧
หรือ AE F
∧
= DF E
∧
]
4) ถาจะแสดงวา BEF
∧
= CFE
∧
สามารถนําขอมูลใดมาใช
[ AE X
∧
= BE F
∧
, DFY
∧
= C F E
∧
เนื่องจากแตละคูเปนมุมตรงขามกันและ
กําหนดให AE X
∧
= DFY
∧
]
A B
C D
E
F
Y
X

6. 6
การวิเคราะหยอนกลับขางตนแสดงไดดวยแผนภาพ ดังนี้
จากแผนภาพขางตน เขียนแสดงการพิสูจนจากสิ่งที่กําหนดใหไปสูสิ่งที่ตองการพิสูจนไดดังนี้
พิสูจน AEX
∧
= DFY
∧
(กําหนดให)
เนื่องจาก AEX
∧
= BEF
∧
และ DFY
∧
= CFE
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน)
จะได BEF
∧
= CFE
∧
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น AB // CD
(ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรง
คูนั้นขนานกัน)
ครูควรฝกใหนักเรียนใชการวิเคราะหยอนกลับในการพิสูจนทางเรขาคณิต ซึ่งในระยะแรก ๆ
ครูอาจใชคําถามนําเพื่อเปนแนวทางกอนหรืออาจใหนักเรียนชวยกันวิเคราะหบนกระดาน หลังจากนั้นจึงให
นักเรียนฝกวิเคราะหดวยตนเอง
AB // CD
ทฤษฎีบท : เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง
เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ
มุมแยงมีขนาดเทากัน
BEF
∧
= CFE
∧
ทฤษฎีบท : ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน
แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน
AEX
∧
= BEF
∧
, DFY
∧
= CFE
∧
AEX
∧
= DFY
∧
สิ่งที่ตองการพิสูจน
สิ่งที่กําหนดให
ใหเหตุผล โดยใชบทนิยาม / สัจพจน / ทฤษฎีบท /
สมบัติ

7. 7
1.2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม (8 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถนําทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมและ
สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานไปใชในการใหเหตุผลได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูควรทบทวนทฤษฎีบทเกี่ยวกับเงื่อนไขที่ทําใหสรุปไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากัน
ทุกประการซึ่งไดแก รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ด.ม.ด., ม.ด.ม., ม.ม.ด. และ ด.ด.ด.
โดยไมแสดงการพิสูจน แตยกตัวอยางที่แสดงการนําทฤษฎีบทดังกลาวไปใชอางอิงในการใหเหตุผล เชน
การพิสูจนวาจุดใด ๆ ที่อยูบนเสนแบงครึ่งมุมมุมหนึ่ง ยอมอยูหางจากแขนทั้งสองขางของมุมเปนระยะ
เทากัน โดยใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธกันแบบ ม.ม.ด.
2. นักเรียนเคยทราบสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมาบางแลว ในหัวขอนี้นักเรียนจะไดทราบ
ถึงทฤษฎีบทที่เกี่ยวของกับรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว คือ การพิสูจนวา รูปสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มุมสองมุมมีขนาด
เทากัน เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว โดยพิสูจนทฤษฎีบทที่กลาววา ดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
จะยาวเทากัน ก็ตอเมื่อ มุมที่อยูตรงขามดานทั้งสองนั้นมีขนาดเทากัน การพิสูจนทฤษฎีบทนี้ครูควรชี้ให
นักเรียนสังเกตวา การพิสูจนขอความใด ๆ ที่เชื่อมดวย“ก็ตอเมื่อ” จะตองแยกพิสูจนเปนสองตอน
ใหครูสังเกตวาเราจะไมพิสูจนทฤษฎีบทนี้โดยใชการแบงครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยม ทั้งนี้
เพราะในการสรางเสนแบงครึ่งมุมมีการพิสูจนที่อางอิงถึง ด.ด.ด. และการพิสูจนรูปสามเหลี่ยมเทากัน
ทุกประการดวยความสัมพันธแบบ ด.ด.ด. ก็อางอิงมาจากสมบัติดังกลาวของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ซึ่งทํา
ใหเกิดลักษณะการใหเหตุผลแบบวนกลับ ในหนังสือเรียนจึงพิสูจนทฤษฎีบทดังกลาวดวยการใช
ความสัมพันธแบบ ด.ม.ด. และ ม.ม.ด.
3. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมีสาระสําคัญของ
เนื้อหาที่ครูควรทราบเกี่ยวกับสาระที่นักเรียนเคยทราบมาบางแลว ดังนี้
บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู
ทฤษฎีบท
1) ดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานยาวเทากัน
2) ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีดานตรงขามยาวเทากันสองคู แลวรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นเปน
รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
3) มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมีขนาดเทากัน
4) ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมตรงขามที่มีขนาดเทากันสองคู แลวรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้น
เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

8. 8
5) เสนทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานแบงครึ่งซึ่งกันและกันที่จุดตัดของ
เสนทแยงมุม
ขอ 1), 3) และ 5) เปนสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานซึ่งนักเรียนเคยเรียนมาแลว โดยยัง
ไมมีการพิสูจน และจะพิสูจนใหเห็นจริงในบทเรียนนี้
ขอ 2) และขอ 4) เปนบทกลับของขอ 1) และขอ 3) ตามลําดับ ทําใหทราบเงื่อนไข
เกี่ยวกับความยาวของดานและขนาดของมุมที่ทําใหรูปสี่เหลี่ยมเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
สําหรับทฤษฎีบท สวนของเสนตรงที่ปดหัวทายของสวนของเสนตรงที่ขนานกันและยาว
เทากัน จะขนานกันและยาวเทากัน ทฤษฎีบทนี้ชวยใหเราทราบเงื่อนไขที่ทําใหรูปสี่เหลี่ยมเปนรูปสี่เหลี่ยม
ดานขนานเพิ่มอีกหนึ่งเงื่อนไข คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่งขนานกันและยาวเทากัน เปน
รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน และทฤษฎีบทที่กลาววา สวนของเสนตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานสองดาน
ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะขนานกับดานที่สามและยาวเปนครึ่งหนึ่งของดานที่สาม ซึ่งเปนทฤษฎีบทที่มี
ประโยชนในการนําไปใชอางอิงไดมาก
ดังนั้นในการเรียนการสอน ครูจึงอาจทบทวนทฤษฎีบทขอ 1), 3) และ 5) โดยใหนักเรียน
ชวยกันอธิบายขั้นตอนการพิสูจนดวยวาจาบนกระดานดํากอน แลวจึงพิสูจนทฤษฎีบท ขอ 2)
และขอ 4) ตอเนื่องกันไป
4. สําหรับโจทยขอ 1, 3, 5 และ 7 ในแบบฝกหัด 1.2 ข เปนทฤษฎีบทที่นํามาเปนแบบฝกหัด
ใหนักเรียนไดพิสูจนดวยตนเอง ครูอาจนําทฤษฎีบทเหลานี้มาสรุปเปนความรูรวมกันอีกครั้งก็ได และ
แนะนําใหนักเรียนจดจําไวใชอางอิงในการใหเหตุผล และนําไปใชแกปญหาตอไป
5. สําหรับกิจกรรม “นารู” มีเจตนาใหไวเปนความรูและใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยง ที่นํา
สมบัติทางเรขาคณิตไปใชในการสรางอุปกรณทุนแรงเพื่อใหมีความสะดวกตอการดํารงชีวิต
6. กิจกรรม “พิสูจนไดหรือไม” มีเจตนาใหเปนความรูเพิ่มเติม เพื่อเสริมทักษะในการให
เหตุผลและใหเห็นการนําสมบัติดังกลาวไปใชในการพิสูจนเกี่ยวกับการแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวน ๆ
ที่เทากัน ซึ่งนักเรียนเคยสรางมาแลว แตยังไมมีการพิสูจน
1.3 การสราง (5 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถสรางรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมตามเงื่อนไขที่กําหนดใหได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูทบทวนเพื่อตรวจสอบความรูและความเขาใจเกี่ยวกับการสรางที่ใชเครื่องมือเพียง 2 อยาง
คือ สันตรงและวงเวียน และการสรางพื้นฐาน 6 อยางที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ครูอาจใหนักเรียน
อธิบายการสรางดวยวาจาโดยพิจารณาจากรองรอยการสรางในแตละขอที่เสนอไวในหนังสือเรียน

9. 9
2. กอนทํากิจกรรมการสรางเสนขนานผานจุด P ซึ่งอยูภายนอก AB ใหขนานกับ AB ครูอาจ
ทบทวนหลักการและแนวคิดเกี่ยวกับการสรางที่สมบูรณซึ่งมี 4 ขั้นตอนและเคยแนะนําไวแลวในคูมือครู
สาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 1 ดังนี้
1) ขั้นวิเคราะห ครูควรแนะนําใหนักเรียนทําความเขาใจโจทย หาความสัมพันธ
ระหวางสิ่งที่กําหนดใหและสิ่งที่ตองการสราง โดยการเขียนรูปที่ตองการอยางคราว ๆ กอน แลวจึงคิด
ลําดับขั้นตอนการสรางกอนหลัง
2) ขั้นสราง ดําเนินการสรางตามที่คิดไวในขอ 1) ซึ่งในชั้นนี้สวนใหญจะใหเขียนวิธี
สรางดวย ครูอาจตกลงกับนักเรียนใหเขียนการสรางพื้นฐาน 6 อยางโดยสังเขปและเขียนขั้นตอนการสราง
อื่น ๆ โดยละเอียด
3) ขั้นพิสูจน ครูควรย้ําวาทุก ๆ การสรางควรมีการพิสูจนยืนยันวาการสรางนั้นถูกตอง
และเปนจริงตามที่โจทยตองการ ยกเวนโจทยจะกําหนดวาไมตองพิสูจน
4) ขั้นอภิปรายผล ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาการสรางรูปที่โจทยตองการบางรูป
สามารถสรางไดรูปแตกตางกัน และบางรูปก็ใชวิธีการสรางแตกตางกันไดดวย ดังนั้นครูอาจใหมีการ
อภิปรายรวมกันในชั้นเรียนเพื่อใหนักเรียนไดทราบถึงแนวคิดที่แตกตางกัน และแนวคิดใดนาจะทําให
การสรางมีประสิทธิภาพกวา
3. กิจกรรม “มีไดรูปเดียว” เปนกิจกรรมที่ตองการใหนักเรียนใชความรูเกี่ยวกับสมบัติของ
รูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ และสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมาชวยวิเคราะหการสราง
ในการทําแบบฝกหัดของกิจกรรมนี้ ครูอาจใหนักเรียนรวมกันอภิปรายถึงลําดับขั้นตอนการ
สรางแตละขอ และแนวคิดที่แตกตางกัน
สําหรับโจทยขอ 5 ครูอาจแนะนําใหนักเรียนสรางรูป ∆ DEF ที่มุมสองมุมมีขนาด p และ
ขนาด q แลวใหนักเรียนใชขนาดของมุมที่สามของ ∆ DEF ซึ่งมีขนาด r มาสราง ∆ ABC ตามเงื่อนไข
ในโจทย โดยสราง AC ยาว a หนวย สราง ACX
∧
= q สราง CAY
∧
= r และให CX
ตัดกับ AY ที่จุด B
จะได ABC
∧
= p และได ∆ ABC ตามตองการ ดังรูปการสรางตอไปนี้
F
r
p q r q
Y
X
A Ca
B

10. 10
4. สําหรับกิจกรรม “มีไดหลายรูป” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นวาการสรางรูปเรขาคณิตบางรูป
ถาเงื่อนไขที่โจทยกําหนดมีไมเพียงพอที่จะทําใหไดรูปการสรางเปนรูปเดียวกัน หรือเปนรูปที่เทากัน
ทุกประการ อาจทําใหรูปที่สรางมีไดมากกวา 1 รูป
5. กิจกรรม “สรางไดไมยาก” มีเจตนาใหนักเรียนไดเรียนรูเกี่ยวกับการสรางรูปสี่เหลี่ยมที่ตอง
อาศัยสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว มาชวยในการวิเคราะห
การสราง รวมถึงการสรางรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมตามเงื่อนไขในโจทย ครูอาจนําแบบฝกหัดบางขอ
มาใหนักเรียนไดอภิปรายรวมกันอีกครั้งเพื่อดูแนวคิดของนักเรียนที่แตกตางกัน เชน
แบบฝกหัดขอ 2 การสรางรูปสี่เหลี่ยมรูปวาวสามารถสรางได 3 แบบโดยใชความยาว a
หรือ b หรือ c เปนความยาวของเสนทแยงมุมหนึ่งเสน ดังนี้
6. กิจกรรม “แบงครึ่งมุม” มีเจตนาเพื่อเสริมความรูใหนักเรียนเห็นวาวิธีสรางเสนแบงครึ่งมุม
อาจทําไดอีกวิธีหนึ่ง ครูอาจใหนักเรียนชวยกันพิสูจนหรืออาจใหนักเรียนเขียนการพิสูจนแลวนํามาแสดง
บนปายนิเทศก็ได
7. สําหรับกิจกรรม “เขาหาไดอยางไร” มีเจตนาใหเปนความรูเพิ่มเติม เพื่อใหนักเรียนเห็น
ตัวอยางที่ชาวกรีกโบราณเชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับการสรางทางเรขาคณิตไปชวยในการหาคําตอบทาง
พีชคณิต ครูอาจใหนักเรียนลองทํากิจกรรมตามที่ระบุไวในหนังสือเรียน เพื่อตรวจสอบความเขาใจและ
เห็นความนาทึ่งของวิธีการนี้
a
b
c
b b
a
c c
c c
b
a a
a
b

11. 11
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “ยังทําไดไหม”
1.
1) ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา แลวรูปสามเหลี่ยมนั้นมีสวนสูงทั้ง
สามเสนยาวเทากัน
2) ถาเสนทแยงมุมทั้งสองเสนของ ABCD ตัดกันเปนมุมฉากและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน
แลว ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานทั้งสี่ยาวเทากัน
2.
1) รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีสวนสูงทั้งสามเสนยาวเทากัน ก็ตอเมื่อ รูปสามเหลี่ยมนั้นเปน
รูปสามเหลี่ยมดานเทา
2) ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานทั้งสี่ยาวเทากัน ก็ตอเมื่อ เสนทแยงมุมทั้งสองเสนของ
ABCD ตัดกันเปนมุมฉากและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน
3.
1) “ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน แลวดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมนั้น
ยาวเทากันสองคู” และ “ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีดานตรงขามยาวเทากันสองคู แลว
รูปสี่เหลี่ยมนั้นเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน”
2) “ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีขนาดของมุมเทากันสองมุม แลวรูปสามเหลี่ยมนั้นเปน
รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว” และ “ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว แลว
รูปสามเหลี่ยมนั้นมีขนาดของมุมเทากันสองมุม”
คําตอบแบบฝกหัด 1.1
1. แนวคิดในการพิสูจน
เนื่องจาก 1
∧
= 4
∧
(กําหนดให)
1
∧
= 2
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน)
2
1 4 3

12. 12
จะได 4
∧
= 2
∧
(สมบัติของการเทากัน)
เนื่องจาก 3
∧
+4
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
ดังนั้น 3
∧
+2
∧
= 180o
(สมบัติของการเทากัน โดยแทน 4
∧
ดวย 2
∧
)
2. แนวคิดในการพิสูจน
เนื่องจาก AEX
∧
= DFY
∧
(กําหนดให)
AEX
∧
= BEF
∧
และ DFY
∧
= CFE
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม
มีขนาดเทากัน)
ดังนั้น BEF
∧
= CFE
∧
(สมบัติของการเทากัน)
นั่นคือ AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยง
มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน)
3. แนวคิดในการพิสูจน
1) เนื่องจาก GEA
∧
= CFE
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
A B
C D
E
F
Y
X
A B
C D
G
H
F
E

13. 13
และ CFE
∧
= DFH
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาด
เทากัน)
ดังนั้น GEA
∧
= DFH
∧
(สมบัติของการเทากัน)
2) เนื่องจาก GEB
∧
+ GEA
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
ดังนั้น GEB
∧
+ CFE
∧
= 180o
(สมบัติของการเทากัน โดยแทน GEA
∧
ดวย CFE
∧
)
4. แนวคิดในการพิสูจน
เนื่องจาก ABE
∧
= DCB
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยง
มีขนาดเทากัน)
และ BED
∧
= DCB
∧
+ EDC
∧
(ถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป
มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเทากับผลบวกของขนาด
ของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)
ดังนั้น BED
∧
= ABE
∧
+ EDC
∧
(สมบัติของการเทากัน โดยแทน DCB
∧
ดวย ABE
∧
)
5. แนวคิดในการพิสูจน
1) เนื่องจาก BMN
∧
= CNM
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยง
มีขนาดเทากัน)
A B
E
C D
N
L
C D
M
A B
OE F
P

14. 14
และ CNM
∧
= EON
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกัน
ของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
ดังนั้น EON
∧
= BMN
∧
(สมบัติของการเทากัน)
2) เนื่องจาก AMN
∧
+ BMN
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
จะได AMN
∧
+ EON
∧
= 180o
(สมบัติของการเทากัน โดยแทน BMN
∧
ดวย EON
∧
)
3) ดังนั้น AB // EF (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหขนาด
ของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด
รวมกันเทากับ 180 องศา แลวเสนตรงคูนั้น
ขนานกัน)
คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ก
1. แนวคิดในการพิสูจน
เนื่องจาก ∆ AMB ≅ ∆ CMD (ด.ม.ด.)
จะได ABM
∧
= CDM
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะมีขนาดเทากัน)
ดังนั้น AB // DC (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมี
ขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน)
A B
D C
M

15. 15
2. แนวคิดในการพิสูจน
เนื่องจาก AB = AC และ DB = DC (กําหนดให)
และ AD = AD (AD เปนดานรวม)
ดังนั้น ∆ ABD ≅ ∆ ACD (ด.ด.ด.)
3. แนวคิดในการพิสูจน
เนื่องจาก ∆ AEB ≅ ∆ ADC (ม.ม.ด.)
ดังนั้น AE = AD และ BE = CD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะยาวเทากัน)
A
B C
D E
A
B C
D

16. 16
4. แนวคิดในการพิสูจน
เนื่องจาก A
∧
= B
∧
และ B
∧
= C
∧
(กําหนดให)
จะได BC = AC และ AC = AB (ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมที่มีขนาดเทากันสองมุม
แลวดานที่อยูตรงขามกับมุมคูที่มีขนาดเทากัน จะยาว
เทากัน)
ดังนั้น AB = AC = BC (สมบัติของการเทากัน)
นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา
5. แนวคิดในการพิสูจน
กําหนดให ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา มี AD, BE และ CF เปนเสนมัธยฐาน
ตองการพิสูจนวา AD = BE = CF
พิสูจน
เนื่องจาก ∆ ABD ≅ ∆ CBF (ด.ม.ด.)
ดังนั้น AD = CF (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะยาวเทากัน)
เนื่องจาก ∆ ACD ≅ ∆ BCE (ด.ม.ด.)
A
B C
A
B CD
EF

17. 17
ดังนั้น AD = BE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะยาวเทากัน)
นั่นคือ AD = BE = CF (สมบัติของการเทากัน)
6. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก EM และ CM
เนื่องจาก ∆ EAM ≅ ∆ CBM (ด.ม.ด.)
ดังนั้น EM = CM (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะยาวเทากัน)
จะได ∆ DEM ≅ ∆ DCM (ด.ด.ด.)
ดังนั้น EDM
∧
= CDM
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะมีขนาดเทากัน)
คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ข
1. แนวคิดในการพิสูจน
กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมี BD และAC เปนเสนทแยงมุมตัดกัน
ที่จุด E
ตองการพิสูจนวา DE = BE และ AE = CE
พิสูจน
เนื่องจาก ∆ DAE ≅ ∆ BCE (ม.ด.ม.)
A M B
C
D
E
A
D
B
C
E

18. 18
ดังนั้น DE = BE และ AE = CE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
2. แนวคิดในการพิสูจน
เนื่องจาก ∆ DOA ≅ ∆ COB (ด.ม.ด.)
จะได AD = BC (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะยาวเทากัน)
และ ADC
∧
= BCD
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะมีขนาดเทากัน)
ดังนั้น AD // BC (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยง
มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน)
นั่นคือ ACBD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่ง
ขนานกันและยาวเทากัน เปนรูปสี่เหลี่ยม
ดานขนาน)
3. แนวคิดในการพิสูจน
กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ตองการพิสูจนวา ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
A C
BD
O
A B
CD

19. 19
พิสูจน
เนื่องจาก A
∧
= B
∧
= C
∧
= D
∧
= 90o
(มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแตละมุมมี
ขนาดเทากับ 90 องศา)
จะได A
∧
+ D
∧
= 180o
และ A
∧
+ B
∧
= 180o
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น AB // CD และ BC // AD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง
ทําใหขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกัน
ของเสนตัด รวมกันเทากับ 180 องศา
แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน)
นั่นคือ ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยม
ที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู)
4. แนวคิดในการพิสูจน
เนื่องจาก ED // BF (ตางก็เปนสวนหนึ่งของดานตรงขามที่ขนานกันของ
รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน)
และ ED = BF (จุด E และจุด F เปนจุดกึ่งกลางของ AD และ BC
ซึ่งมีความยาวเทากัน)
ดังนั้น DFBE เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่ง
ขนานกันและยาวเทากัน เปนรูปสี่เหลี่ยม
ดานขนาน)
D C
BA
E
F

20. 20
5. แนวคิดในการพิสูจน
กําหนดให ∆ ABC มีจุด X เปนจุดกึ่งกลางของ AB และ XY // BC
ตองการพิสูจนวา จุด Y เปนจุดกึ่งกลางของ AC
พิสูจน
เนื่องจาก ∆ AXY ∼ ∆ ABC (ถารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ
สามคู แลวรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเปนรูปสามเหลี่ยม
ที่คลายกัน)
จะได AX
AB = AY
AC (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลาย)
เนื่องจาก AX
AB = 1
2 (จุด X เปนจุดกึ่งกลางของ AB)
ดังนั้น AY
AC = 1
2 (สมบัติของการเทากัน)
AY = 1
2 AC (สมบัติการคูณไขวของอัตราสวน)
นั่นคือ จุด Y เปนจุดกึ่งกลางของ AC
6. แนวคิดในการพิสูจน
เนื่องจาก ∆ AED ≅ ∆ CFB (ม.ด.ม.)
จะได AED
∧
= CFB
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะมีขนาดเทากัน)
A
C
B
D
E
F
X Y
A
B C

21. 21
เนื่องจาก AED
∧
+ DEB
∧
= CFB
∧
+ BFD
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
จะได DEB
∧
= BFD
∧
(สมบัติของการเทากัน)
เนื่องจาก ADE
∧
+ EDF
∧
= CBF
∧
+ FBE
∧
(มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมีขนาดเทากัน)
จะได EDF
∧
= FBE
∧
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น BEDF เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมตรงขามที่มีขนาด
เทากันสองคู แลวรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นเปน
รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน)
7. แนวคิดในการพิสูจน
กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูนที่มี AC และ BD เปนเสนทแยงมุม
ตัดกันที่จุด O
ตองการพิสูจนวา AC BD⊥
พิสูจน
เนื่องจาก ∆ AOD ≅ ∆ COB (ม.ม.ด.)
จะได AO = OC (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะยาวเทากัน)
จะได ∆ AOB ≅ ∆ COB (ด.ด.ด.)
AOB
∧
= COB
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะมีขนาดเทากัน)
AOB
∧
+ COB
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
จะได AOB
∧
= COB
∧
= 180
2 = 90o
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น AC BD⊥
CD
A B
O

22. 22
8. แนวคิดในการพิสูจน
ลาก AC
จะได PQ // AC และ PQ = 1
2 AC (สวนของเสนตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานสอง
ดานของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะขนานกับดานที่สามและ
ยาวเปนครึ่งหนึ่งของดานที่สาม)
ในทํานองเดียวกัน
จะได SR // AC และ SR = 1
2 AC
ดังนั้น PQ // SR และ PQ = SR (สมบัติของเสนขนานและสมบัติของการเทากัน)
นั่นคือ PQRS เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่ง
ขนานกันและยาวเทากัน เปนรูปสี่เหลี่ยม
ดานขนาน)
C
PA B
D
Q
R
S

23. 23
คําตอบกิจกรรม “พิสูจนไดหรือไม”
1. แนวคิดในการพิสูจน
กรณีที่มีเสนตรงสามเสนขนานซึ่งกันและกัน
กําหนดให เสนตรง 1 , 2 และ 3 ขนานซึ่งกันและกัน PQ เปนเสนตัด
เสนตรง 1 , 2 และ 3 ที่จุด A , B และ C ตามลําดับ ทําให
AB = BC และ RS เปนเสนตัดเสนตรง 1 , 2 และ 3
ที่จุด D , E และ F ตามลําดับ
ตองการพิสูจนวา DE = EF
พิสูจน ลาก XY ผานจุด E และใหขนานกับ PQ โดย XY ตัดเสนตรง 1 ที่จุด L
และตัดเสนตรง 3 ที่จุด F
เนื่องจาก ABEL เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มี
ดานตรงขามขนานกันสองคู)
ดังนั้น AB = LE (ดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานยาวเทากัน)
ในทํานองเดียวกันจะไดวา BC = EK
เนื่องจาก AB = BC (กําหนดให)
ดังนั้น LE = EK (สมบัติของการเทากัน)
1
∧
= 2
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาด
เทากัน)
3
∧
= 4
∧
(มีเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน)
จะได ∆ DEL ≅ ∆ FEK (ม.ด.ม.)
นั่นคือ DE = EF (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ
จะยาวเทากัน)
กรณีที่มีเสนตรงมากกวาสามเสนขนานซึ่งกันและกัน จะพิสูจนไดในทํานองเดียวกัน
F
D
1
A
C
P
Q
3
B 2
Y S

24. 24
2. แนวการสราง
1. สราง BAX
∧
และ ABY
∧
ใหเปนมุมแยงและมีขนาดเทากัน
2. ใชรัศมีที่ยาวเทากันตัด AX และ BY ใหได AC = CD = DE = BS = ST = TU
3. ลาก EB, DS, CT และ AU ให DS และ CT ตัด AB ที่จุด Q และจุด P
ตามลําดับ
จะได AP = PQ = QB
A B
C
D
E
P Q
X
Y
U
T
S

25. 25
พิสูจน
เนื่องจาก BAX
∧
= ABY
∧
(จากการสราง)
จะได AX // BY (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยง
มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน)
เนื่องจาก AC // TU และ AC = TU (จากการสราง)
จะได AU // CT (สวนของเสนตรงที่ปดหัวทายของสวนของเสนตรงที่
ขนานกันและยาวเทากัน จะขนานกัน)
ในทํานองเดียวกันสามารถพิสูจนไดวา CT // DS และ DS // EB
ดังนั้น AU, CT, DS และ EB ขนานซึ่งกันและกัน (สมบัติของเสนขนาน)
จะได AP = PQ = QB (ถาเสนตรงตั้งแตสามเสนขึ้นไปขนานซึ่งกันและกัน
และมีเสนตรงเสนหนึ่งตัด ทําใหไดสวนตัดยาว
เทากัน แลวเสนที่ขนานกันเหลานี้จะตัดเสนตัดอื่น ๆ
ออกเปนสวน ๆ ไดยาวเทากันดวย)
คําตอบกิจกรรม “มีไดรูปเดียว”
1. แนวการสราง
1. สราง AB ยาว a หนวย
2. สราง QAB
∧
ใหมีขนาดเทากับขนาดของ XYZ
∧
3. สราง AR แบงครึ่ง QAB
∧
4. บน AR สราง AC ยาว b หนวย
5. ลาก BC
จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ
b
aA B
C
Q R

26. 26
2. แนวการสราง
1. สราง BA ยาว b หนวย
2. สราง ABD
∧
ใหมีขนาดเทากับขนาดของ XYZ
∧
3. สราง BR แบงครึ่ง ABC
∧
4. บน BR สราง BE ยาว a หนวย
5. ลาก AE ตัด BD ที่จุด C
จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ
3. แนวการสราง
1. สราง XY ใหยาวเทากับ AB + AC
2. สราง XYP
∧
ใหมีขนาดเทากับสองเทาของขนาดของ ABC
∧
3. บน YP สราง YZ ใหยาวเทากับ BC
4. ลาก XZ
จะได ∆ XYZ เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ
a
bA B
CR
E
D
X Y
Z
P

27. 27
4. แนวการสราง
1. สราง RQ
2. บน RQ สราง QA ใหยาวเทากับ QR
3. ลาก AP
จะได ∆ PAR เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วตามตองการ
5. ตัวอยางการสราง
1. ลาก XY และกําหนดจุด C บน XY
2. สราง XCS
∧
และ YCZ
∧
ใหมีขนาดเทากับ q และ p ตามลําดับ
3. บน CS สราง CA ยาว a หนวย
4. สราง CAR
∧
ใหมีขนาดเทากับขนาดของ ACZ
∧
โดยให AR ตัด XY ที่จุด B
จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ
RQ
P
A
X B
A
q p
Z
YC
a
S
R

28. 28
6. แนวการสราง
1. ลาก XY และกําหนดจุด A บน XY
2. สราง AZ ตั้งฉากกับ XY ที่จุด A
3. บน AZ สราง AR ยาว b หนวย
4. สราง RP ตั้งฉากกับ AZ ที่จุด R
5. สราง YAD
∧
ใหมีขนาดเทากับ k และ AD ตัด RP ที่จุด C
(จะไดจุด C มีระยะหางจาก AY เทากับ b หนวย)
6. ใชจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ a หนวย เขียนสวนโคงตัด AY ที่จุด E
7. ใชจุด E เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ AE เขียนสวนโคงตัด AY ที่จุด B
8. ลาก BC
จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ
b
R
Z
A E B Y
P
C
D
a
k
X

29. 29
คําตอบกิจกรรม “มีไดหลายรูป”
1. สรางรูปตามเงื่อนไขขอ 1) ถึงขอ 3) ไดดังนี้
4) เทากับพื้นที่ของ ∆ ABC เพราะมีความสูงเทากัน และมีฐาน AB รวมกัน
5) หลายรูปนับไมถวน และรูปสามเหลี่ยมเหลานั้นมีจุดยอดอยูบน XY ที่ขนานกับฐาน AB
2. ตัวอยางการสราง
1)
สรางเพื่อแบงครึ่ง QR ที่จุด A ลาก PA
จะได ∆ PQA และ ∆ PRA แตละรูปมีพื้นที่เปนครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของ ∆ PQR
แนวคิดในการใหเหตุผล
เนื่องจาก ∆ PQA และ ∆ PRA แตละรูปมีฐานยาวเทากับครึ่งหนึ่งของความยาวของฐาน
ของ ∆ PQR และมีความสูงเทากัน
ดังนั้น พื้นที่ของ ∆ PQA = พื้นที่ของ ∆ PRA = 1
2 พื้นที่ของ ∆ PQR
2) วิธีที่ 1 แบงครึ่งฐาน แลวลากเสนมัธยฐาน ดังตัวอยางขอ 1)
วิธีที่ 2 แบงครึ่งสวนสูง แลวลากสวนของเสนตรงจากจุดแบงครึ่งที่ไดนั้นไปยังจุดปลาย
ทั้งสองขางของฐาน
AQ
P
R
C D E F
A B
X Y

30. 30
คําตอบกิจกรรม “สรางไดไมยาก”
1. ตัวอยางการสราง
1)
1. สราง AC ยาวนอยกวา 2a หนวย (เนื่องจากผลบวกของความยาวของดาน
สองดานของรูปสามเหลี่ยมมากกวาความยาวของดานที่สาม)
2. ใชจุด A และจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ a หนวยเขียนสวนโคงตัดกันที่
จุด B ลาก AB และ CB
3. ใชจุด A และจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ b หนวย เขียนสวนโคงตัดกันที่
จุด D ซึ่งอยูอีกดานหนึ่งของ AC
4. ลาก AD และ CD
จะได ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปวาวตามตองการ
2) หลายรูปนับไมถวน เพราะสามารถสราง AC ยาวนอยกวา 2a หนวย ไดมากมาย
นับไมถวน
A
B
C
D

31. 31
2. ตัวอยางการสราง
1. สราง AC ยาว c หนวย
2. ใชจุด A เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ b หนวย เขียนสวนโคง
3. ใชจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ a หนวย เขียนสวนโคงตัดสวนโคงในขอ 2
ที่จุด B และจุด D
4. ลาก AB, BC, AD และ DC
จะได ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปวาวตามตองการ
3. ตัวอยางการสราง
1. สราง AB ใหยาวเทากับ PQ
2. สราง ABX
∧
และ BAY
∧
ใหมีขนาดเทากับขนาดของ PQR
∧
และขนาดของ QPS
∧
ตามลําดับ
3. บน BX สราง BC ใหยาวเทากับ QR และบน AY สราง AD ใหยาวเทากับ PS
4. ลาก DC
จะได ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่เทากันทุกประการกับ PQRS
a
D
b
B
A C
b a
c
D
C
A B
Y
X

32. 32
แนวคิดในการใหเหตุผล
ลาก QS และ BD
จากการสราง AB = PQ, BC = QR, AD = PS
ABC
∧
= PQR
∧
และ BAD
∧
= QPS
∧
เนื่องจาก ∆ ABD ≅ ∆ PQS (ด.ม.ด.)
จะได ∆ BDC ≅ ∆ QSR (ด.ม.ด.)
ดังนั้น CD = RS, BCD
∧
= QRS
∧
และ ADC
∧
= PSR
∧
นั่นคือ ABCD ≅ PQRS (รูปหลายเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ
ดานคูที่สมนัยกัน และมุมคูที่สมนัยกันของ
รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนั้น มีขนาดเทากันเปนคู ๆ )
4. สรางตามเงื่อนไขขอ 1) ถึงขอ 4) จะไดรูปการสรางดังนี้
5) เทากัน เพราะ มีฐาน BD รวมกันและมีสวนสูงยาวเทากัน คือ จุดยอด C และจุดยอด E
อยูบน CE ที่ขนานกับฐาน BD
D
C
A B E
X
Y
S
R
P Q
D
C
A B
Y
X

33. 33
6) เทากัน เพราะ
เนื่องจาก พื้นที่ของ ABCD = พื้นที่ของ ∆ ABD + พื้นที่ของ ∆ DBC
และ พื้นที่ของ ∆ ADE = พื้นที่ของ ∆ ABD + พื้นที่ของ ∆ DBE
= พื้นที่ของ ∆ ABD + พื้นที่ของ ∆ DBC (จากขอ 5))
ดังนั้น พื้นที่ของ ∆ ADE = พื้นที่ของ ABCD (สมบัติของการเทากัน)
5. แนวการสราง
1. สราง DE ยาว b หนวย
2. สราง EX ใหตั้งฉากกับ DE ที่จุด E และบน EX สราง EC ยาว a หนวย
3. ลาก DC
4. สราง DY ใหตั้งฉากกับ DC ที่จุด D และบน DY สราง DP ยาวเทากับ DC
5. สราง CZ ใหตั้งฉากกับ DC ที่จุด C และบน CZ สราง CQ ยาวเทากับ DC
6. ลาก PQ
จะได DCQP เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามตองการ
Z
C
a
b ED
P
Q
Y
X

34. 34
แนวคิดในการใหเหตุผล
เนื่องจาก ∆ DEC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี DEC
∧
เปนมุมฉาก DE = b หนวย
และ EC = a หนวย (จากการสราง)
จะได DC2
= a2
+ b2
(ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
จากการสราง จะได DCQP เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แตละดานยาวเทากับ DC
ดังนั้น DCPQ มีพื้นที่เทากับ DC2
= a2
+ b2
ตารางหนวย
6. แนวการสราง
1. สราง AB ยาว b หนวย
2. สราง BX ใหตั้งฉากกับ AB ที่จุด B และบน BX สราง BC ยาว a หนวย
3. ลาก AC
4. สราง AY ใหตั้งฉากกับ AC ที่จุด A และบน AY สราง AP ยาว c หนวย
5. ลาก PC
6. สราง PM และ CN ตั้งฉากกับ PC ที่จุด P และจุด C ตามลําดับ
7. บน PM และ CN สราง PQ และ CR ตามลําดับ ใหแตละสวนของเสนตรงยาว
เทากับ PC
P
A B
a
b
c
C
R
Q
M
N
X
Y

35. 35
8. ลาก QR
จะได PCRQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามตองการ
แนวคิดในการใหเหตุผล
เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี ABC
∧
เปนมุมฉาก AB = b หนวย
และ BC = a หนวย (จากการสราง)
จะได AC2
= a2
+ b2
(ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
เนื่องจาก ∆ PAC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี PAC
∧
เปนมุมฉาก และ PA = c หนวย
(จากการสราง)
จะได PC2
= AC2
+ PA2
(ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
นั่นคือ PC2
= a2
+ b2
+ c2
(สมบัติของการเทากัน)
จากการสราง จะได PCRQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แตละดานยาวเทากับ PC
ดังนั้น PCRQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เทากับ PC2
= a2
+ b2
+ c2
ตารางหนวย
คําตอบกิจกรรม “แบงครึ่งมุม”
แนวคิดในการพิสูจน
∆ PYF ≅ ∆ QYE (ด.ม.ด.)
YFP
∧
= YEQ
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
QOF
∧
= POE
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม
มีขนาดเทากัน)
QF = PE (สมบัติของการเทากัน)
ZFQ
P
E
X
O
Y

36. 36
จะได ∆ QOF ≅ ∆ POE (ม.ม.ด.)
OQ = OP (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
เนื่องจาก YO = YO (YO เปนดานรวม)
จะได ∆ YQO ≅ ∆ YPO (ด.ด.ด.)
ดังนั้น PYO
∧
= QYO
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
นั่นคือ YO แบงครึ่งมุม XYZ
∧