Dokumen ini membahas masalah gerak partikel, termasuk kecepatan, percepatan, dan kondisi pergerakan dari fungsi posisi tertentu. Juga terdapat penjelasan mengenai nilai maksimum dan minimum fungsi, serta teorema yang berkaitan dengan eksistensi dan lokasi titik ekstrim. Selain itu, terdapat latihan-latihan untuk mencari kemonotonan, kecekungan, dan menggambar grafik fungsi.

1. PERTEMUAN 11
Masalah Gerak
Masalah MaxMin
Teorema Nilai Rata-rata

2. Gerak Partikel
Posisi suatu partikel mengikuti persamaan:
s = 2t3 - 9t2 +24 t - 1
Tentukan:
a. Kecepatan dan percepatan partikel setiap saat
b. Kapan partikel bergerak ke kiri dan kapan
partikel bergerak ke kanan
c. Kapan partikel berhenti dan kemudian bergerak
lagi
d. Kapan gerakan partikel dipercepat dan kapan
gerakannya diperlambat

3. Gerak Partikel
Posisi suatu partikel mengikuti persamaan:
s = 3t3 + 3/t
Tentukan:
a. Kecepatan dan percepatan partikel setiap saat
b. Kapan partikel bergerak ke kiri dan kapan
partikel bergerak ke kanan
c. Kapan partikel berhenti dan kemudian bergerak
lagi
d. Kapan gerakan partikel dipercepat dan kapan
gerakannya diperlambat

4. MASALAH NILAI EKSTREM
menyangkut pemodelan
Contoh:
1. Hasil kali dua bilangan adalah 9
Tentukan bilangan-bilangan itu agar jumlahnya
minimum!
2. Dalam sebuah bola berjari-jari 60 cm dibuat
kerucur tegak yang lingkaran atas dan titik
puncaknya terletak pada permukaan bola.
Tentukan ukuran kerucut yang volumenya terbesar,
kemudian hingga perbandingan antara volume
kerucut dan bola!

5. Minimax
Cari (jika mungkin) di
mana dan berapa
nilai minimum dan
maksimum dari:
1
x
3
x
)
x
(
f 3
4
1 


)
t
cos(
2
)
t
sin(
)
t
(
f



6. Minimax & Modelling
Ali bermaksud memagari
dua kandang siku empat
berdampingan yang
identik, masing-masing
seluas 900 m2 seperti
diperlihatkan pada
gambar. Berapa x dan y
agar pagar kawat yang
diperlukan sesedikit
mungkin?
x
y

7. Minimax & Modelling
Halaman sebuah buku harus memuat 27 cm2
cetakan. Jika marginpinggir atas, pinggir bawah,
dan sisi kiri adalah 2 cm dan pinggir sisi kanan
adalah 1 cm, berapa ukuran halaman yang
harus digunakan agar pemakaian kertas
sesedikit mungkin

8. Minimax, Modelling, Ekonomi
Raju yakin bahwa ia dapat menjual tekstilnya
sebanyak 4000 m apabila ia menjualnya
dengan harga Rp 6000,_/m, dan bahwa
penjualan bulanannya akan naik sebanyak 250
m apabila ia memberikan diskon sebesar Rp
150,_/m. Perkirakan harga yang akan
memaksimumkan nilai penjualan.

9. Kerja Kelompok Di Kelas
 Buat masalah yang sama seperti contoh
tetapi lebih dikembangkan
 Presentasikan sesuai urutan kelompok
 Siapkan Pertanyaan untuk kelompok
lainnya
 Kerjakan Beberapa soal yang berkaitan

10. Teorema Nilai Rata-rata
Jika f kontinu pada [a,b] dan mempunyai
turunan pada (a,b), maka terdapat
suatu c є (a,b) sedemikian sehingga

11. Ilustrasi an Contoh
Diketahui f(x) = x2+1, x є [0,1]. Hitung nilai
rata-rata f dan tentukan c є (0,1)
sedemikian sehingga f ’(c) sama dengan
nilai rata-rata f.

12. PERTEMUAN 12
NILAI MAX MIN FUNGSI
KEMONOTONAN
KECEKUNGAN
PENGGAMBARAN GRAFIK CANGGIH

13. Pengertian Nilai Max Min Fungsi
Misalkan f : D → R dan c є D. Nilai f(c)
disebut nilai maksimum apabila f(c) ≥ f(x)
untuk setiap x є D.
Nilai f(c) disebut nilai minimum apabila f(c) ≤
f(x)
untuk setiap x є D. Nilai maksimum atau
minimum
disebut nilai ekstrim

14. Contoh Misalkan f(x) = x2,x є [-1,3]. Nilai
maksimumnya adalah 9 [= f(2)],
sedangkan nilai minimumnya adalah 0
[= f(0)]. Buat Sketsa Grafiknya

15. Teorema Eksistensi Nilai Ekstrim
Jika f kontinu pada [a,b], maka f akan mencapai nilai
maksimum dan minimum pada [a,b].
Teorema ini mengatakan bahwa kekontinuan merupakan
syarat cukup bagi eksistensi nilai ekstrim.
Fungsi pada Contoh, misalnya, merupakan fungsi yang
kontinu pada [-1,3] dan fungsi ini mempunyai nilai
maksimum dan minimum pada [-1,3].
Fungsi yang tidak kontinu mungkin saja mempunyai
nilai ekstrim, sangat tergantung dari fungsinya
(berikan contoh)

16. Teorema Lokasi Titik Ekstrim
Misalkan daerah asal f adalah selang I yang memuat titik c. Jika f(c)
adalah nilai ekstrim, maka c haruslah merupakan titik kritis, yakni c
merupakan
(i) titik ujung selang I,
atau (ii) titik stasioner f, yakni f ’(c) = 0,
atau (iii) titik singular f, yakni f ’(c) tidak ada.
Teorema ini mengatakan bahwa nilai ekstrim hanya mungkin tercapai
di titik kritis, karena itu teorema ini dikenal pula sebagai Teorema Titik
Kritis.
Jadi untuk menentukan nilai ekstrim suatu fungsi, teorema ini
menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu.

17. Latihan
Latihan.1. Tentukan nilai maksimum dan
minimum fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 + 1 pada
[-1,3]. Ingat tentukan terlebih dahulu titik
kritis
Latihan 2. Tentukan titik-titik kritis fungsi
f(x) = 50x – x2/2, jika 0 ≤ x ≤ 20,
= 60x – x2, jika20 < x ≤ 60
Tentukan juga nilai Max dan Min nya

18. Kemonotonan
Fungsi f dikatakan naik pada I apabila
untuk setiap x, y є I dengan x < y berlaku
f(x) < f(y). Fungsi f dikatakan turun pada I
apabila untuk setiap x, y є I dengan x < y
berlaku f(x) > f(y)
Fungsi f dikatakan monoton pada I
apabila f naik atau turun pada I.
Catatan. I dapat berupa selang buka
atau tutup

19. Teorema Misalkan f kontinu dan
mempunyai turunan pada I. Jika f ’(x) > 0
untuk setiap x є I, maka f naik pada I. Jika
f ’(x) < 0 untuk setiap x є I, maka
f turun pada I

20. KECEKUNGAN
Teorema
Misalkan f mempunyai turunan kedua pada I.
Jika f ’’(x) > 0 untuk setiap x є I, maka grafik
fungsi f cekung ke atas pada I. Jika f ’’(x) < 0
untuk
setiap x є I, maka grafik fungsi f cekung ke
bawah
pada I.

21. Titik Balik / Titik Belok
Titik (c,f(c)) disebut titik belok (di buku: titik
balik) f apabila f cekung ke atas di kiri c
dan cekung ke bawah di kanan c, atau
sebaliknya.
Cekung bawah
Cekung atas
Monoto naik
Monoto turun

22. LATIHAN
Dari fungsi f(x) = x3 – 2x2 + x + 1 [-1,1]
dan f(x) = x4 – 2x3 + x + 1 [-2,2]
Tentukan :
a. Titik Kritis
b. Nilai Max dan Min
c. Kemonotonan fungsi
d. Kecekungan fungsi
e. Titik Belok fungsi

23. Menggambar Grafik Fungsi
Kita telah melihat bagaimana informasi
tentang kemonotonan dan kecekungan
dapat dipakai untuk menggambar grafik
fungsi dengan
memperhatikan:
* daerah asal dan daerah hasilnya,
* titik-titik potong dengan sumbu koordinat,
* kemonotonan dan titik-titik ekstrim
lokalnya,
* kecekungan dan titik-titik beloknya (bila

24. LATIHAN
Gambarkan grafik
f(x) = x3 – 16x dengan I=[-3,3]
dan
f(x) = √x.(x – 4)2 dengan I=[1,2]

25. Diskusi kelompok
4.1 no. 1, 2, 7, 8, 11, 19, 21
4.2 no. 4, 5, 15, 19
4.3 no. 2, 6, 8, 12, 13,
4.4 no. 4, 5, 9, 12, 23
4.5 no. 9, 12.