Modul ini membahas tentang anuitas di muka dan ditunda. Terdapat penjelasan perbedaan antara anuitas biasa, di muka, dan ditunda beserta rumus-rumus untuk menghitung nilai sekarang, besar pembayaran, jumlah periode, dan tingkat bunga masing-masing jenis anuitas. Juga ada contoh soal untuk latihan.

1. 59
Modul 4
ANUITAS DI MUKA DAN DITUNDA
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari Modul 4, mahasiswa diharapkan mampu: (1)
Memahami perbedaan anuitas biasa, anuitas di muka, anuitas ditunda,
dan anuitas di muka nilai sekarang, serta anuitas di muka nilai akan
datang; (2) Mampu menyelesaikan berbagai perhitungan mengenai
anuitas di muka dan dtunda; (3) Memahami konsep anuitas bertumbuh,
anuitas variabel, perbedaan antara anuitas bertumbuh dan anuitas
variabel; dan (2) Mampu menyelesaikan semua perhitungan mengenai
anuitas bertumbuh dan ditunda.
KULIAH 6 : ANUITAS DI MUKA
6.1 Pendahuluan
Perbedaan antara anuitas biasa (ordinary annuity) dan anuitas di
muka (annuity due) adalah saat pembayarannya. Jika anuitas biasa,
pembayaran dilakukan di setiap akhir periode yang terdapat dalam
interval waktu tertentu, sedangkan pada anuitas di muka, pembayaran
dilakukan di muka setiap periode dalam jangka waktu tertentu.
Perhitungan berdasarkan anuitas biasa memberikan hasil yang hampir
sama dengan berdasarkan anuitas di muka untuk jumlah periode n

2. 60
yang besar. Akan tetapi untuk n relatif kecil, kedua hasil bisa cukup
berbeda.
6.2 Anuitas di Muka Nilai Sekarang
Untuk merumuskan persamaan anuitas di muka nilai sekarang
perhatikan uraian berikut ini. Misalkan |na present value atau nilai
sekarang di awal periode; i tingkat bunga per periode; n jumlah
periode; dan A anuitas atau pembayaran per periode. Anuitas di muka
nilai sekarang dapat diturunkan sebagai berikut. Nilai sekarang dari
pembayaran atau penerimaan hingga akhir periode ke-n dapat
diuraikan sebagai berikut:
Nilai sekarang pembayaran/penerimaan ke-1 A
Nilai sekarang pembayaran/penerimaan ke-2 1
)1( 
iA
Nilai sekarang pembayaran/penerimaan ke-3 2
)1( 
iA
Dan seterusnya
Nilai sekarang pembayaran/penerimaan ke-( 1n )
)2(
)1( 
 n
iA
Nilai sekarang pembayaran/penerimaan ke- n
)1(
)1( 
 n
iA
Sehingga akan diperoleh anuitas di muka nilai sekarang |na
adalah merupakan penjumlahan deret geometri sebagai berikut:
)1()2(21
| )1()1(...)1()1( 
 nn
n iAiAiAiAAa

3. 61
i
iA
a
n
n
])1(1[ )1(
|


 . (6.1)
Contoh 6.1 Hitung nilai sekarang suatu anuitas sebesar Rp
10.000.000,00 yang diterima setiap bulan selama satu
tahun, jika tingkat bunga adalah 18% p.a.
Jawab : Ini adalah persoalan anuitas di muka nilai sekarang, di
mana diketahui A = Rp 10.000.000,00; i =
12
18,0
=
0,015; dan n = 122 = 24 bulan.
i
iA
a
n
n
])1(1[ )1(
|










 


015,0
)015,01(1
10.000.000Rp
)124(
|21a .
= Rp 193.308.614,47
Contoh 6.2 Hitunglah nilai sekarang dari angsuran sebesar Rp
1.000.000,00 selama 10 tahun, jika tingkat bunga yang
diberikan sebesar 10%.
Jawab : A = Rp 1.000.000,00; n = 10 tahun; dan i = 0,10
i
iA
a
n
n
])1(1[ )1(
|










 


10,0
)10,01(1
1.000.000Rp
)110(
|01a .
= Rp 5.759.023,82

4. 62
6.3 Menentukan Besar Pembayaran
Bilamana dalam persoalan anuitas di muka hanya diketahui |na , n ,
dan i , maka nilai angsuran A dapat ditentukan melalui persamaan
(6.1) sebagai berikut:
i
iA
a
n
n
])1(1[ )1(
|


 .
Dapat diperoleh persamaan :
])1(1[ )1(
|



n
n
i
ai
A

. (6.2)
Contoh 6.3 Suatu pinjaman sebesar Rp 20.000.000,00 harus
diangsur dengan anuitas dimuka bulanan selama 2
tahun. Jika tingkat bunga yang dikenakan adalah 12%
p.a., hitunglah besarnya angsuran setiap bulan.
Jawab : |na = Rp 20.000.000,00; n = 122 = 24 bulan; dan i =
12
12,0
= 0,01.
])1(1[ )1(
|



n
n
i
ai
A

.
])01,01(1[
,0020.000.000Rp01,0
)124( 


A = Rp 977.716,80 per awal
bulan.

5. 63
6.4 Menentukan Jumlah Periode
Bilamana dalam persoalan anuitas di muka hanya diketahui |na , A ,
dan i , maka jumlah periode n dapat ditentukan melalui persamaan
(6.1) sebagai berikut:
i
iA
a
n
n
])1(1[ )1(
|


 .
Dapat diperoleh persamaan :
)1(|
)1(1 
 nn
i
A
ai 
A
aiA
A
ai
i
nnn ||)1(
1)1(
 
 
AaiAin n log)log()1log()1( |   , atau
)1log(
)log(log
1
|
i
aiAA
n
n




1
)1log(
)log(log |




i
aiAA
n
n
. (6.3)
Contoh 6.4 Seseorang saat ini memasuki masa pension dengan
mendapat uang pension sekaligus sebesar Rp
50.000.000,00. Lalu ia simpan di bank dan berencana
mengambil setiap awal bulan sebesar Rp 2.000.000,00
untuk biaya hidup. Berapa lama uang simpanannya akan
habis, bilamana bank memberikan tingkat bunga 8%
p.a. ?

6. 64
Jawab : |na = Rp 50.000.000,00; A = Rp 2.000.000,00; dan i =
12
08,0
= 0,0067
1
)1log(
)log(log |




i
aiAA
n
n
1
)0067,01log(
)000.000.5000067,0000.000.2log()000.000.2log(



n
= 28,45 bulan.
6.5 Menentukan Tingkat Bunga
Bilamana dalam persoalan anuitas di muka hanya diketahui |na , A ,
dan n , maka tingkat bunga i dapat ditentukan melalui persamaan (6.1)
sebagai berikut:
i
iA
a
n
n
])1(1[ )1(
|


 .
Seperti halnya dalam persoalan anuitas sebelumnya, bahwa untuk
menentukan besarnya tingkat bunga i tidak dapat dilakukan secara
analitis. Oleh karena itu, harus dilakukan dengan menggunakan metode
numerik atau coba-coba, atau menggunakan metode interpolasi linier.
Contoh 6.5 Suatu pinjaman sebesar Rp 2.342.500,00 diangsur tiap
awal bulan sebanyak 8 kali, masing-masing sebesar Rp
350.000,00. Tentukan besarnya tingkat bunga.

7. 65
Jawab : |na = Rp 2.342.500,00; A = Rp 350.000,00; dan n = 8
bulan.
Menggunakan interpolasi linier, adalah sebagai berikut :
Ambil i = 3%; didapat %3| ina = Rp 2.425.682,61
Ambil i = 4%; didapat %4| ina = Rp 2.417.657,30














 %)3%4(
30,657.417.261,682.425.2
00,500.342.261,682.425.2
%3i
= 0,13% per bulan atau 12j = %13,012 = 12,13% p.a.
KULIAH 7 : ANUITAS DITUNDA
7.1 Pendahuluan
Jika suatu penerimaan atau pembayaran pertama suatu anuitas
dilakukan tidak di awal atau di akhir periode tetapi setelah m periode,
maka anuitas semacam ini disebut sebagai anuitas ditunda (diferred
annuity). Persamaan anuitas ditunda memang berbeda dari anuitas
biasa dan anuitas di muka, namun demikian persamaan-persamaan
pada anuitas biasa dan anuitas dimuka masih dapat digunakan sebagai
dasar untuk persamaan anuitas ditunda, dengan melakukan
penyesuaian dengan adanya penundaan sepanjang m periode.

8. 66
7.2 Anuitas Ditunda Nilai Sekarang
Untuk merumuskan persamaan anuitas ditunda nilai sekarang
perhatikan uraian berikut ini. Misalkan || nm a present value atau nilai
sekarang di awal periode setelah m periode; i tingkat bunga per
periode; n jumlah periode; dan Am| anuitas atau pembayaran per
periode, yang dilakukan setelah m periode. Anuitas ditunda nilai
sekarang dapat diturunkan sebagai berikut. Nilai sekarang dari
pembayaran atau penerimaan hingga akhir periode ke-n dapat
diuraikan sebagai berikut:
Nilai sekarang pembayaran ke-1 setelahm periode
m
m iA 
 )1(|
Nilai sekarang pembayaran ke-2 setelah m periode
)1(
| )1( 
 m
m iA
Nilai sekarang pembayaran ke-3 setelah m periode
)2(
| )1( 
 m
m iA
Dan seterusnya
Nilai sekarang pembayaran ke-( 1n ) setelahm periode
)2(
| )1( 
 nm
m iA
Nilai sekarang pembayaran ke- n setelahm periode
)1(
| )1( 
 nm
m iA
Sehingga akan diperoleh Anuitas ditunda nilai sekarang || nm a
adalah merupakan penjumlahan deret geometri sebagai berikut:

9. 67
)1(
|
)2(
|
)1(
||||
)1(
)1(...)1()1(




nm
m
nm
m
m
m
m
mnm
iA
iAiAiAa
i
iiA
a
nm
m
nm
])1(1[)1( 1
|
||


 . (7.1)
Contoh 7.1 Hitunglah suatu pembayaran setiap bulan sebesar Rp
1.000.000,00 selama 2 tahun, yang pembayaran pertama
dimulai setelah 4 bulan. Jika tingkat bunga yang
diberikan adalah 12% p.a., berapakah nilai sekarang
dari seluruh pembayaran tersebut?
Jawab : Am| = Rp 1.000.000,00; n = 122 = 24; m = 4; dan i =
12
12,0
= 0,01
i
iiA
a
nm
m
nm
])1(1[)1( 1
|
||



01,0
])01,01(1[)01,01(1.000.000Rp 2441
|42|4


a .
= Rp 20.618.622,38
Contoh 7.2 Hitunglah nilai sekarang dari arus kas masuk sebesar Rp
1.000.000,00 setiap tahun selama 4 kali yang dimulai
setelah 5 tahun lagi dengan tingkat bunga 10% p.a.
Jawab : Am| = Rp 1.000.000,00; n = 4; m = 5; dan i = 10% =
0,10.

10. 68
i
iiA
a
nm
m
nm
])1(1[)1( 1
|
||



10,0
])10,01(1[)10,01(1.000.000Rp 451
|4|5


a .
= Rp 2.165.060,75
7.3 Menentukan Besar Pembayaran
Bilamana dalam persoalan anuitas ditunda hanya diketahui || nm a , n ,
m , dan i , maka nilai angsuran Am| dapat ditentukan melalui
persamaan (7.1) sebagai berikut:
i
iiA
a
nm
m
nm
])1(1[)1( 1
|
||


 .
Dapat diperoleh persamaan :
])1(1[)1( 1
||
| nm
nm
m
ii
ai
A



 . (7.2)
Contoh 7.3 Suatu pinjaman dari bank uang sebesar Rp 5.000.000,00
yang akan diangsur secara bulanan setelah 3 bulan lagi
selama 2 tahun. Jika bank mengenakan bunga 8% p.a.,
berapakah besarnya angsuran bulanan yang harus
dibayar ?
Jawab : || nm a = Rp 5.000.000,00; n = 122 = 24; m = 3; dan i
=
12
08,0
= 0,0067

11. 69
])1(1[)1( 1
||
| nm
nm
m
ii
ai
A



 .
])0067,01(1[)0067,01(
005.000.000,Rp0067,0
2431|3 


A .
= Rp 229.269,29
7.4 Menentukan Jumlah Periode
Bilamana dalam persoalan anuitas ditunda hanya diketahui || nm a ,
Am| , m , dan i , maka jumlah periode n dapat ditentukan melalui
persamaan (7.1) sebagai berikut:
i
iiA
a
nm
m
nm
])1(1[)1( 1
|
||


 .
Setelah dijabarkan akan diperoleh persamaan :
||
1
|
1
|
)1(
)1(
)1(
nm
m
m
m
mn
aiiA
iA
i





])1(log[])1(log[)1log( ||
1
|
1
| nm
m
m
m
m aiiAiAin  
)1log(
])1(log[])1(log[ ||
1
|
1
|
i
aiiAiA
n
nm
m
m
m
m




. (7.3)
Contoh 7.4 Suatu pembayaran tetap tiap bulanan sebesar Rp
1.000,00 yang direncanankan awal bulan ini baru
terlaksana setelah 5 bulan. Nilai sekarang pembayaran
tersebut sebesar Rp 10.000,00. Jika diberikan tingkat

12. 70
bunga 12% p.a., maka tentukan berapa lama
pembayaran tersebut harus dilakukan?
Jawab : || nm a = Rp 10.000,00; Am| = Rp 1.000,00; m = 5 bulan;
dan i =
12
12,0
= 0,01.
)1log(
])1(log[])1(log[ ||
1
|
1
|
i
aiiAiA
n
nm
m
m
m
m




)01.01log(
]000.1001.0)01.01(000.1log[])01.01(000.1log[ 5151




n
= 11.04307804  11 bulan.
7.5 Menentukan Lama Penundaan
Bilamana dalam persoalan anuitas ditunda hanya diketahui || nm a ,
Am| , n , dan i , maka lama periode penundaan m dapat ditentukan
melalui persamaan (7.1) sebagai berikut:
i
iiA
a
nm
m
nm
])1(1[)1( 1
|
||


 .
Setelah dijabarkan akan diperoleh persamaan :
]})1(1[log{)log()1log()1( |||
n
mnm iAaiim 

)1log(
]})1(1[log{)log(
)1(
|||
i
iAai
m
n
mnm




)1log(
]})1(1[log{)log(
1
|||
i
iAai
m
n
mnm




. (7.4)

13. 71
Contoh 7.5 Setelah tertunda beberapa bulan, seseorang baru dapat
memulai mengangsur setiap bulan sebesar Rp 1.000,00.
Rencananya angsuran ini akan dilakukan selama 2
tahun untuk membayar pinjaman sebesar Rp 20.000,00
yang diterima 2 tahun lalu. Jika tingkat bunga pinjaman
tersebut adalah 12% p.a., berapa lama pembayaran
angsuran itu tertunda?
Jawab : || nm a = Rp 20.000,00; Am| = Rp 1.000,00; n = 122 =
24 bulan; dan i =
12
12,0
=0,01
)1log(
]})1(1[log{)log(
1
|||
i
iAai
m
n
mnm




.
)01,01log(
]})01,01(1[000.1log{)000.2001,0log(
1
24




m
=7,06 7 bulan
7.6 Menentukan Tingkat Bunga
Bilamana dalam persoalan anuitas ditunda hanya diketahui || nm a ,
Am| , n , dan m , maka tingkat bunga i dapat ditentukan melalui
persamaan (7.1) sebagai berikut:
i
iiA
a
nm
m
nm
])1(1[)1( 1
|
||


 .

14. 72
Seperti dalam persoalan anuitas sebelumnya, bahwa untuk menentukan
besarnya tingkat bunga i dapat dilakukan dengan menggunakan
metode numerik atau coba-coba, atau menggunakan metode interpolasi
linier.
Contoh 7.6 Nilai sekarang pembayaran sebesar Rp 1.000,00 setiap
bulan adalah sebesar Rp 10.000,00. Pembayaran
mengalami penundaan 5 bulan, dan akan dilakukan
selama 11 bulan. Berapa tingkat bunga yang
dibebankan?
Jawab : || nm a = Rp 10.000,00; Am| = 1.000,00 ; n = 11 bulan;
dan m = 5 bulan.
Setelah diselesaikan menggunakan interpolasi linier,
diperoleh besarnya tingkat bunga adalah 0,01 per bulan
atau 12% per p.a.
7.7 Anuitas Ditunda Nilai Akan Datang
Untuk merumuskan persamaan anuitas ditunda nilai akan datang
perhatikan uraian berikut ini. Misalkan || nm s nilai pada periode akan
datang setelah m periode; i tingkat bunga per periode; n jumlah
periode; dan Am| anuitas atau pembayaran per periode, yang
dilakukan setelah m periode. Anuitas ditunda nilai akan datang dapat
diturunkan sebagai berikut. Nilai akan datang dari pembayaran atau

15. 73
penerimaan hingga akhir periode ke-n dapat diuraikan sebagai
berikut:
Nilai akan datang pembayaran ke-1 setelahm periode
mn
m iA 
 )1(|
Nilai akan datang pembayaran ke-2 setelahm periode
1
| )1( 
 mn
m iA
Nilai sekarang pembayaran ke-3 setelah m periode
2
| )1( 
 mn
m iA
Dan seterusnya
Nilai sekarang pembayaran ke-( 1n ) setelahm periode )1(| iAm 
Nilai sekarang pembayaran ke- n setelahm periode Am|
Sehingga akan diperoleh Anuitas ditunda nilai sekarang || nm a
adalah merupakan penjumlahan deret geometri sebagai berikut:
AiAiAiAiAs mm
mn
m
mn
m
mn
mnm ||
)2
|
1
|||| )1(...)1()1()1(  
i
iiA
s
nmn
m
nm
])1(1[)1( 1
|
||


 . (7.6)
Contoh 7.7 Berapakah nilai akan datang dari pembayaran setiap
bulan sebesar Rp 10.000,00 jika pembayaran dimulai
setelah 4 bulan selama 2 tahun dengan tingkat bunga
18% p.a.

16. 74
Jawab : Am| = 10.000,00 ; n = 122 = 24 bulan; dan m = 4
bulan; i =
12
18,0
= 0,015.
i
iiA
s
nmn
m
nm
])1(1[)1( 1
|
||


 .
015,0
])015,01(1[)015,01(10.000Rp 241424
|42|4


s .
= Rp 273.827,23
Selanjutnya, untuk menentukan besar pembayaran tertunda, periode
pembayaran, periode penundaan, dan tingkat bunga, caranya adalah
sama sesuai dengan pembahasan sebelumnya.
Soal Latihan dan Penyelesaian
1. Hitung nilai sekarang suatu anuitas sebesar Rp 15.000.000,00
yang diterima setiap bulan selama 1,5 tahun, jika tingkat bunga
adalah 12% p.a.
Jawab :
Ini adalah persoalan anuitas di muka nilai sekarang, di mana
diketahui A = Rp 15.000.000,00; i =
12
12,0
= 0,01; dan n =
125,1  = 18 bulan.







 


01,0
)01,01(1
15.000.000Rp
)118(
|21a .
= Rp 233.433.769,00

17. 75
2. Suatu pinjaman sebesar Rp 10.000.000,00 harus diangsur dengan
anuitas dimuka bulanan selama 2 tahun. Jika tingkat bunga yang
dikenakan adalah 9% p.a., hitunglah besarnya angsuran setiap
bulan.
Jawab :
|na = Rp 10.000.000,00; n = 122 = 24 bulan; dan i =
12
09,0
=
0,0075.
])0075,01(1[
,0010.000.000Rp0075,0
)124( 


A = Rp 474.984,59 per awal bulan.
3. Seseorang saat ini memasuki masa pension dengan mendapat
uang pension sekaligus sebesar Rp 60.000.000,00. Lalu ia simpan
di bank dan berencana mengambil setiap awal bulan sebesar Rp
2.500.000,00 untuk biaya hidup. Berapa lama uang simpanannya
akan habis, bilamana bank memberikan tingkat bunga 12% p.a. ?
Jawab :
|na = Rp 60.000.000,00; A = Rp 2.500.000,00; dan i =
12
12,0
=
0,01
1
)01,01log(
)000.000.6001,0000.500.2log()000.500.2log(



n
= 28,58067543  28,58 bulan.

18. 76
4. Hitunglah nilai sekarang dari arus kas masuk sebesar Rp
1.500.000,00 setiap tahun selama 6 kali yang dimulai setelah 4
tahun lagi dengan tingkat bunga 12% p.a.
Jawab :
Am| = Rp 1.500.000,00; n = 6; m = 4; dan i = 12% = 0,12.
12,0
])12,01(1[)12,01(1.500.000Rp 641
|6|4


a
= Rp 4.389.627,79
5. Setelah tertunda beberapa bulan, seseorang baru dapat memulai
mengangsur setiap bulan sebesar Rp 2.000,00. Rencananya
angsuran ini akan dilakukan selama 1,5 tahun untuk membayar
pinjaman sebesar Rp 32.000,00 yang diterima 1,5 tahun lalu. Jika
tingkat bunga pinjaman tersebut adalah 12% p.a., berapa lama
pembayaran angsuran itu tertunda?
Jawab :
|| nm a = Rp 32.000,00; Am| = Rp 2.000,00; n = 125,1  = 18
bulan; dan i =
12
12,0
=0,01
)01,01log(
]})01,01(1[000.2log{)000.3201,0log(
1
18




m
= 3.470976397 3,47 bulan

19. 77
Soal Latihan dan Kunci Jawaban
1. Pinjaman sebesar Rp 50.000.000,00 harus diangsur sebanyak 6
kali angsuran bulanan sebesar Rp 11.000.000,00 mulai setelah 6
bulan pertama. Tentukan tingkat bunga 12j yang dibebankan.
Kunci jawaban : 12j = 40,08% atau i = 3,34%
2. Hitung nilai sekarang suatu anuitas sebesar Rp 15.000.000,00
yang diterima setiap bulan selama satu tahun, jika tingkat bunga
adalah 12% p.a.
Kunci jawaban : |21
a = Rp 306.837.316,95
3. Hitunglah suatu pembayaran setiap bulan sebesar Rp
2.500.000,00 selama 3 tahun, yang pembayaran pertama dimulai
setelah 2 bulan. Jika tingkat yang diberikan adalah 9% p.a.,
berapakah nilai sekarang dari seluruh pembayaran tersebut?
Kunci jawaban : |63|2 a = Rp 78.031.774,82
4. Suatu pinjaman dari bank uang sebesar Rp 6.000.000,00 yang
akan diangsur secara bulanan setelah 2 bulan lagi selama 1,5
tahun. Jika bank mengenakan bunga 12% p.a., berapakah
besarnya angsuran bulanan yang harus dibayar ?
Kunci jawaban : A|2 = Rp 369.551,21

20. 78
5. Berapakah nilai akan datang dari pembayar setiap bulan sebesar
Rp 15.000,00 jika pembayaran dimulai setelah 2 bulan selama 3
tahun dengan tingkat bunga 18% p.a.
Kunci jawaban : |63|2 s = Rp 698.659,64
Daftar Pustaka
Badrudin, R. & Algifari. (1997). Matematika Bisnis. Edisi Pertama.
Penerbit : BPFE, Yogyakarta.
Capinski, M. & Zastawniak, T. (2004). Mathematics for Finance : An
Introduction to FinanciL Engineering. Springer-Verlag London
Limited.
Frensidy, B. (2010). Matematika Keuangan. Edisi 3. Penerbit: Salemba
Empat, Jakarta.
Kellison, S.G. (1970). The Theory of Interest. Richard D. Irwin, Inc.,
Homewood, Illinois 60430.
Kellison, S.G. (1991). The Theory of Interest. Second Edition. IRWIN,
Burr Ridge, Illinois.
Sembiring, L., Wirasasmita, R., Yogia, S.M. & Yance, L.M. (1997).
Matematika Keuangan. Penerbit : M2S, Bandung.
Van Horne, J.C. (1992). Financial Management and Policy. Ninth
Edition. Prentice-Hall International Editions. London.