Barisan dan Deret

1. BARISAN DAN
DERET
KELOMPOK 12 :
1. LINDA RAHMA WATI (401200230)
2. MOHAMMAD IQBAL PUTRA PRADANA (401200244)

2. 1. NILAI MASA DATANG DARI ANUITAS
• Anuitas merupakan suatu rangkaian pembayaran yang dibuat secara periodik dan dalam jumlah uang yang tetap
atau sama selama waktu tertentu.
𝐒𝐧 = 𝐏
(𝟏 + 𝐢)𝐧
−𝟏
𝐢
Dimana :
Sn = Jumlah nilai masa datang dari anuitas setelah n periode
P = Jumlah dari anuitas
i = tingkat bunga
n = jumlah periode pembayaran

3. CONTOH SOAL NILAI MASA DATANG DARI ANUITAS
• Nona suzana ingin menabung uangnya sebanyak Rp 6.000.000 setiap akhir tahundi suatu bank komersial, di mana pembayaran bunga 15 % per tahun
secara majemuk .Transaksi tabungan untuk tahun pertama di bank tersebut dibuat pada tahun 2004 dan terakhir akan dibuat pada tahun 2009. Berapa
jumlah uang tabungan dari Nona Suzana pada akhir tahun 2009 ?
Jawab :
Diketahui : P = Rp6.000.000 ; I = 15 % = 0,15 per tahun ; n =5
Dengan menggunakan rumus anuitas, maka hasilnya adalah :
Sn = P
(1 + i)n
−1
i
S5 = 6.000.000
(1 + 0,15)5
−1
0,15
S5 = 6.000.000 6,74238125
S5 = Rp. 40.454.287,50

4. SELANJUTNYA, HASIL NILAI MASA DATANG DARI ANUITAS SETELAH 5 PERIODE YANG
DIBAYARKAN SECARA BUNGA MAJEMUK SEBESAR RP 40.454.287,50 YANG MENGGUNAKAN
RUMUS LANGSUNG DAPAT DIILUSTRASIKAN DALAM GAMBAR 12.9 DAN DAPAT DILIHAT SECARA
LEBIH RINCI DALAM TABEL 12.7

6. DANA CADANGAN
• Dana cadangan (sinking fund) adalah uang kas yang akan digunakan untuk pembayaran utang-utang tersebut dalam jumlah yang telah ditentukan dan
disepakati bersama. Jumlah pembayaran setiap periode ini dapat diperoleh dengan menggunakan rumus nilai masa datang dari anuitas (12.10), yaitu
dengan cara memindahkan variabel P ke sisi sebelah kiri tanda sama dengan. Jumlah pembayaran setiap periode (P) dapat ditulis kembali rumusnya
sebagai berikut :
𝐏 =
𝐒𝐧
(𝐢 + 𝐢)𝐧−𝟏
𝐢
atau 𝐏 = 𝐒𝐧
𝐢
𝟏 + 𝐢 𝐧 − 𝟏
Dimana :
Sn = jumlah nilai masa datang
P = jumlah pembayaran per periode
i = tingkat bunga pertahun
n = jumlah periode pembayaran

7. CONTOH SOAL DANA CADANGAN
• Suatu perusahaan ingin mencadangkan dananya setiap bulan selama 5 tahun untuk pembayaran pinjaman perusahaan. jumlah
nilai pinjaman dari perusahaan tersebut diperkirakan lima tahun mendatang adalah sebesar Rp 75.000.000. pembayaran bunga
akan dibayar secara majemuk sebesar 15% per tahun. Berapakah jumlah dana yang harus disisihkan atau dicadangkan setiap
bulan oleh perusahaan agar dapat melunasi pinjaman tersebut?
Jawab :
S60 = Rp 75.000.000 ; i = 15% ; n = 5.
Karena penyisihan dana dilakukan setiap bulan maka m = 12 ; I = 0,15/12 = 0,0125 dan jumlah periode = (n)(m) = (5)(12) = 60.
P = Sn
i
(1 + i)n−1
P = 75.000.000
0,0125
(1 + 0,0125)60−1

8. P = 75.000.000
0,0125
1,10718
P = 75.000.000 0,0112899
P = RP 846.744,76
Jadi, setiap bulan perusahaan harus mencadangkan dananya sebesar Rp 846.744,76 agar
dapat melunasi pinjaman sebesar Rp 75.000.000 pada akhir tahun kelima atau setelah 60
periode pembayaran.

9. 2. NILAI SEKARANG DARI ANUITAS
• Nilai sekarang dari anuitas adalah jumlah dari nilai-nilai sekarang dari setiap periode pembayaran atau penerimaan
uang tertentu.
𝐀𝐧 = 𝐏
𝟏 − (𝟏 + 𝐢)−𝐧
𝐢
Dimana :
An = nilai sekarang dari anuitas
P = Jumlah pembayaran per periode
i = tingkat bunga tahunan
n = jumlah periode pembayaran

10. CONTOH SOAL NILAI SEKARANG DARI ANUITAS
• Nona Nancy ingin menabung uangnya setiap tahun sebanyak Rp 2.500.000 setiap permulaan tahun, selama empat tahun di suatu bank. Jika tingkat bunga yang
berlaku adalah 12% per tahun dan dibayar secara majemuk maka berapakah jumlah nilai sekarang dari tabungan Nona Nancy selama empat tahun?
Jawab :
Diketahui : P = Rp2.500.000 ; i = 0,12 ; n = 4
An = P
1 − 1 + i −n
i
An = 2.500.000
1 − 1 + 0,12 −4
0,12
An = 2.500.000
0,3644812
0,12
𝐴𝑛 = Rp 7.593.373,37
Selanjutnya, hasil nilai sekarang dari anuitas setelah 4 tahun periode yang dibayarkan secara bunga majemuk sebesar Rp. 7.593.373,37

11. • Cicilan Pinjaman
Cicilan pinjaman (loan amortization) hampir sama dengan dana cadangan (sinking fund). Cicilan pinjaman adalah proses pembayaran kembali suatu
utang atau pinjaman yang telah diterima saat ini dengan pembayaran-pembayaran cicilan secara periodik.
Jumlah pembayaran cicilan utang atau pinjaman secara periodic ini dapat diperoleh dengan menggunakan rumus nilai sekarang dari anuitas, yaitu dengan
cara memindahkan variabel P ke sisi sebelah kiri tanda sama dengan. Dengan demikian rumusnya adalah :
𝐏 =
𝐀𝐧
𝟏−(𝟏+𝐢)−𝐧
𝐢
atau 𝐏 = 𝐀𝐧
𝐢
𝟏−(𝟏+𝐢)−𝐧
Dimana :
An = Nilai sekarang dari anuitas
P = Jumlah pembayaran per periode
i = tingkat bunga tahunan
n = jumlah periode pembayaran

12. CONTOH SOAL CICILAN PINJAMAN
• Nona gledis berkeinginan membeli sebuah rumah dengan pembelian secara kredit seharga Rp 80.000.000. sesuai perjanjian dengan pihak
pengembang (developer), rumah tersebut akan dibayar dalam waktu dua tahun dan pembayaran dilakukan secara cicilan setiap bulan. Tingkat bunga
yang dikenakan sebesar 15% per tahun. Berapakah jumlah pembayaran yang harus dicicil oleh Nona Gledis setiap bulan?
Jawab :
A = Rp 80.000.000 ; n = 2 ; i = 15% per tahun
Karena waktu pembayaran dua tahun, maka jumlah periode = (n)(m) = (2)(12) = 24, dan i = 0,15/12 = 0,0125
P = An
i
1 − (1 + i)−n
P = 80.000.000
0,0125
1 − (1 + 0,0125)−24
P = 80.000.000
0,0125
0,257803

13. P = 80.000.000 0,0484866
P = Rp 3.878.931,84
Jadi Nona Gledis harus membayar cicilan setiap bulan sebesar Rp 3.878.931,84
agar utang/pinjaman sebesar Rp 80.000.000 dapat dilunasi pada akhir periode ke-
24.

14. C. PERPETUITAS
• Perpetuitas (perpetuity) atau disebut juga anuitas abadi adalah serangkaian pembayaran yang
sama jumlahnya dan berlanjut terus untuk selamanya.
𝐏𝐕 =
𝐏
𝐢
Dimana :
PV = nilai sekarang dari perpetuitas
P = Jumlah pembayaran per periode
i = tingkat bunga per tahun

15. CONTOH SOAL PERPETUITAS
• Berapakah nilai sekarang dari perpetuitas (anuitas abadi) sebesar Rp 100.000 yang pembayarannya dilakukan per tahun jika tingkat suku bunga
(diskonto) 8%?
Jawab :
P = Rp. 100.000 ; I = 8% = 0,08
PV =
P
i
PV =
100.000
0,08
PV = 1.250.000
Jadi nilai sekarang dari perpetuitas sebesar Rp. 1.250.000.

16. D. TINGKAT BUNGA NOMINAL DAN EFEKTIF
• Tingkat suku bunga nominal atau tingkat bunga tertera atau tingkat bunga tercatat adalah tingkat suku bunga yang ditetapkan dalam perjanjian atau
kontrak.Tingkat suku bunga efektif tahunan adalah tingkat suku bunga yang dimajemukkan setiap tahun yang menghasilkan tingkat suku bunga yang
sama dengan tingkat suku bunga nominal, jika dimajemukkan sebanyak m kali per tahun.
𝐢 = 𝟏 +
𝒊𝒏𝒐𝒎
𝒎
𝒎
− 𝟏
Dimana :
i = tingkat suku bunga efektif tahunan
inom = tingkat suku bunga nominal
m = periode pembayaran bunga dalam setahun

17. CONTOH SOAL TINGKAT BUNGA NOMINAL DAN
EFEKTIF
• Seorang nasabah ingin meminjam uang di bank dengan tingkat suku bunga yang berlaku adalah 12% per tahun, selama jangka waktu 1 tahun.
Kemudian dalam perjanjian, pembayaran tingkat suku bunganya dilakukan secara bulanan. Berapakah tingkat suku bunga efektif yang diterima oleh
nasabah tersebut?
• Jawab :
Diketahui : inom = 12% ; n = 1 ; m = (12)(1) = 12 periode
i = 1 +
inom
m
m
− 1
i = 1 +
0,12
12
12
− 1
i = 1 + 0,01 12
− 1
i = 1,126825 − 1
i = 0,126825 = 12,68%
Jadi tingkat suku bunga efektif yang diterima oleh nasabah adalah 12,68%.

18. THANK YOU !