1. Akar persamaan
Tenia Wahyuningrum, S.Kom, MT

2. Bentuk Umum
f(x)=0 dicari nilai akar dari x=?
f(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an=0
x1, x2, ...xn

3. Beberapa jenis persamaan
 Persamaan linier f(x)=ax+b
 Persaman kuadrat f(x)=ax2+bx+c
 Persamaan polinom pangkat 3
f(x)=ax3+bx2+cx+d
 Persamaan polinom pangkat 4
f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e
 Persamaan eksponensial f(x)=anex
 Persamaan transedental eax=sin bx

4. Rumus “abc”
 Untuk mencari akar persamaan kuadrat
Hanya dapat digunakan untuk mencari
akar persamaan kuadrat, persamaan lain
tidak dapat diselesaikan dengan cara ini!

5. Kegunaan akar persamaan
Problem Variabel Variabel Parameter
dependen independen
Keseimbangan Suhu Waktu dan Sifat termal
panas posisi material dan
geometri sistem
Hukum Arus dan Waktu Sifat listrik
kirchchoff tegangan material
Keseimbangan Perubahan Waktu dan Sifat termal,
energi energi kinetik posisi massa material
dan potensial dan geometri

6. Metode bisection
 Disebut juga
Metode pemenggalan biner atau
metode bolzano

7. Algoritma
 Untuk n=0,1,2...... Sampai
selesai, kriteria pemutusan
 Ambil m=(an+bn)/2 iterasi
 Kalau f(an) f(m)<0, ambil an+1=an;
bn+1=m
 Jika f(an) f(m)>0, ambil an+1=m;
bn+1=bn
 Jika f(an) f(m)=0, maka merupakan
akarnya, hentikan perhitungan f(x)
punya akar dalam [an+1 ;bn ]

8. Contoh soal
Apa yang terjadi jika metode bagi dua
diterapkan pada fungsi :
f(x)=1/(x-2)
a. Selang adalah [3,7]
b. Selang adalah [1,7]
Dengan e=0,005

9. penyelesaian
 f(x)=1/(x-2), dengan [a0 ;b0 ] =[3,7]

10. Menggunakan matlab
Hitunglah akar persamaan X3 + X2 – 8
x - 10 = 0 dengan metode bisection !
%nama file fbi.m
function [ y ] = f(x)
y=x^3+x^2-8*x-10;
end

11. %nama file bisection.m
clear;
clc;
galat=0.001;
bawah=input('batas bawah:');
atas=input('batas atas:');
nilai=1;
no=0;
m0=bawah;
clc;
fprintf('taksiran batas bawah :%5.3fn',bawah);
fprintf('taksiran batas atas :%5.3fn',atas);
fprintf('==================================n');
fprintf('iterasi (bawah+atas)/2 galat intervaln');
fprintf('==================================n');

12. while nilai>galat
no=no+1;
fbawah=feval('fbi',bawah);
m=(bawah+atas)/2;
ftengah=feval('fbi',m);
if fbawah*ftengah==0;
disp('m adalah akarnya');
elseif fbawah*ftengah<0
atas=m;
else
bawah=m;
end
nilai=abs(m0-m);
fprintf('%3d %8.5f %8.5f [%8.5f ; %8.5f]n', no, m, nilai,
bawah, atas);
m0=m;
end
fprintf('=============================================n');
fprintf('pada iterasi ke= %1d, selisil interval<
%5.3fn',no,galat);
fprintf ('jadi, akar persamaannya adalah %7.5fn',m);

14. Metode regula falsi (False
Position)
 Disebut juga metode kedudukan palsu
 Merupakan alternatif perbaikan
berdasarkan pada pengertian grafis
 Kekurangan : dalam membagi selang
mulai xi sampai xu menjadi paruhan
sama,
besaran f(xi ) dan f(xu) tidak
diperhitungkan

15. Algoritma regula falsi
 Untuk n=0,1,2... Sampai selesai
 Hitung |f(bn) |.an-|f(an)|.bn
w=
|f(bn) | -|f(an)|
 Jika f(an) f(bn)<=0, ambil an+1 = an; bn+1
=w
 Jika tidak, ambil an+1 = w, bn+1 =bn
 Jika |wi+1 – wi | > error

16. Contoh soal
 Diketahui X2 – 10 x + 23 = 0 [a0, b0]
=[6; 6.8] dengan e = 0.001
tuliskan penyelesaian dengan metode
posisi palsu sampai 4 iterasi!

17. Menggunakan matlab
Hitunglah akar persamaan X3 + 2x2 – x
+6 = 0 dengan metode regula false !

18. %nama program regula.m
clear;
clc;
x1 = input ('batas bawah =');
x2 = input ('batas atas =');
error=0.001;
w0=0;
banding=1;
clc;
k=0;
clc;
disp ('perhitungan akar persamaan dengan regula false');
fprintf('rentang awal [%5.4f, %5.4f]n',x1,x2);
fprintf('besarnya error %7.5f nn',error);
disp ('===============================================================');
disp (' Iterasi Nilai akar error
Interval');
disp ('===============================================================');

19. while banding>=error
k=k+1;
f1=feval('bpalsu', x1);
f2=feval('bpalsu', x2);
w= (x1*f2-x2*f1)/(f2-f1);
f3=feval('bpalsu',w);
if f1*f3 ==0
disp('adalah akarnya');
elseif f1*f2<0
x2=w;
else
x1=w;
f1=f3;
end
banding=abs(w0-w);
fprintf('%2d %6.4f %5.4f
[%6.4f; %6.4f]n',k,w,banding, x1, x2);
w0=w;
end

20. disp
('================================================
');
fprintf('nilai akar=%5.4f n',w);
if x1<x2
x=x1:0.1:x2
u=x.^3-2*x.^2-x-6;
plot(u,x);
else
x=x2:0.1:x1
u=x.^3-2*x.^2-x+6;
plot(u,x);
end
grid on

21. %namafile bpalsu.m
function [ y ] = f(x)
y=x^3-2*x^2-x+6;
end

25. Referensi : ardi pujiyanta, komputasi
numerik dengan matlab, graha
ilmu, 2007