Solusi Sistem Persamaan Nirlanjar/Non LinearMenggunakan Metode Tertutup<br />Aries Suharso, S.Si<br />NIDN : 0422037701<br />
Pendahuluan<br />Dalambidangsainsdanrekayasa, kitaseringberhadapandenganpersoalanmencarisolusipersamaan yang disebutakarpe...
PersoalanAkarPersamaan<br /><ul><li>Tentukannilai x yang memenuhipersamaan f(x) = 0 yaitunilai x = s, sedemikiansehingga f...
Terdapatduajenismetodepencarianakar, yaknimetodetertutupdanterbuka</li></li></ul><li>MetodeTertutup<br /><ul><li>Dikenalde...
Mencariakarpersamaandidalamselang [a, b]
Selang [a, b] dipastikanberisi minimal satubuahakar, sehinggametodeiniselaluberhasilmenemukanakar
Iterasinyaselalukonvergen (menuju) keakar, sehinggametodeinidisebutjugametodekonvergen</li></li></ul><li>MetodeTertutup<br...
Dalamsebuahselang, mungkinterdapatlebihdarisatuakaratautidakadasamasekali yang ditunjukkansecaragrafik :
Jika f(a)f(b) < 0, makaterdapatakarsebanyakbilanganganjil</li></li></ul><li>MetodeTertutup ..	 	<br /><ul><li>Jika f(a)f(b...
Syaratcukupkeberadaanakarpersamaanadalah :</li></ul>jika f(a)f(b) < 0 dan f(x) menerusdalamselang [a, b], maka paling sedi...
MetodeTertutup .. 	<br /><ul><li>Terdapatduamasalah yang terjadikarenaketidaktepatanpemilihanselang [a, b]
Pertama, jikadalamselang [a, b] terdapatlebihdarisatubuahakar. Sekalimetodetertutupdigunakanpadaselang [a, b], makahanyasa...
Kedua, jikaselang [a, b] tidakmemenuhisyaratcukup, yakni f(a)f(b) < 0, makaadakalanyaakartidakdapatditemukan (seharusnyaada)
Duapendekatansolusi yang digunakanantara lain, pertamamembuatgrafikfungsidibidangkartesian (X-Y), lalumelihatdimanaperpoto...
Kedua, mencetaknilaifungsipadatitik-titikabsis yang berjaraktetap. Jikatandafungsiberubahpadasebuahselang, makadipastikant...
Terdapatduametodeklasik yang tergolongkedalammetodetertutup, yaknimetodebagidua(bisection) danmetoderegula-falsi</li></li>...
Selang yang akandigunakanpadatahapanberikutnyaadalahupaselang yang mengandungakar, tergantungpadaapakah f(a)f(c) < 0 atau ...
Selangbarudibagilagimenjadiduadengancarasama, hinggaukuranselangsudahsangatkecilataumemenuhisalahsatukondisiberikut :</li>...
MetodeBagidua ...	 	<br />
ContohPenggunaanMetodeBagidua<br /><ul><li>Temukanakarpersamaan f(x) = ex  -  5x2didalamselang [0,1] dan = 0.00001. e = 2...
Contoh Program di Pascal<br />Program Bisection; <br />Uses crt; <br />label ulang; <br />var  x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real; <...
Writeln; <br />writeln('Penyelesaian Persamaan Dengan Metode Biseksi, Nilai x1= ',x1:0:2,' & x2= ',x2:0:2); <br />writeln(...
Penjelasan Program<br /><ul><li>Metode bisection disebut juga metode Pembagian Interval atau metode yang digunakan untuk m...
Penjelasan Program<br /><ul><li>Langkah 2: mencari nilai x3. </li></ul>   Dan f(x3)= 1.53 + 1.52 - 3(1.5) – 3 = -1.875 <br...
dengan nilai errornya f(x)= 1.2165401131E-08 </li></li></ul><li>MetodeRegula-falsi<br /><ul><li>Kelemahanmetodebagiduaterl...
Metoderegula-falsi (disebutjugadenganmetodeposisipalsu) memperbaikikelemahantersebutdengancaramemanfaatkannilai f(a) dan f(b)
Dibentukgarislurus yang menghubungkantitik (a, f(a)) dan (b, f(b))
Perpotongangarislurustersebutdengansumbu X dinyatakansebagaitaksiranakar yang diperbaiki</li></li></ul><li>MetodeRegula-fa...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Aries suharso 0422037701_metode tertutup

2,841 views

Published on

Metode Tertutup (Bracketting method) adalah salah satu metode Numerik yang digunakan untuk memecahkan masalah pencarian akar-akar persamaan kuadrat.

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
2,841
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
80
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Aries suharso 0422037701_metode tertutup

  1. 1. Solusi Sistem Persamaan Nirlanjar/Non LinearMenggunakan Metode Tertutup<br />Aries Suharso, S.Si<br />NIDN : 0422037701<br />
  2. 2. Pendahuluan<br />Dalambidangsainsdanrekayasa, kitaseringberhadapandenganpersoalanmencarisolusipersamaan yang disebutakarpersamaan (roots of equation) yang berbentuk f(x) = 0<br />Persamaansederhanadapatditemukanakarpersamaannyadenganmenggunakanmetodeanalitik, seperti<br />Namun, umumnyapersamaan yang akandipecahkanberbentuk non linear yang melibatkan sinus, cosinus, eksponensial, danlainnya<br />Persamaan non linear tidakdapatdiselesaikansecaraanalitik, sehinggadiperlukanmetodenumerik<br />
  3. 3. PersoalanAkarPersamaan<br /><ul><li>Tentukannilai x yang memenuhipersamaan f(x) = 0 yaitunilai x = s, sedemikiansehingga f(s) samadengannol (0)
  4. 4. Terdapatduajenismetodepencarianakar, yaknimetodetertutupdanterbuka</li></li></ul><li>MetodeTertutup<br /><ul><li>Dikenaldenganmetodepengurung (bracketting method)
  5. 5. Mencariakarpersamaandidalamselang [a, b]
  6. 6. Selang [a, b] dipastikanberisi minimal satubuahakar, sehinggametodeiniselaluberhasilmenemukanakar
  7. 7. Iterasinyaselalukonvergen (menuju) keakar, sehinggametodeinidisebutjugametodekonvergen</li></li></ul><li>MetodeTertutup<br /><ul><li>Strategi yang digunakanadalahmengurangilebarselangsecarasistematissehinggalebarselangsemakinsempitdankarenaitumenujuakarsejati
  8. 8. Dalamsebuahselang, mungkinterdapatlebihdarisatuakaratautidakadasamasekali yang ditunjukkansecaragrafik :
  9. 9. Jika f(a)f(b) < 0, makaterdapatakarsebanyakbilanganganjil</li></li></ul><li>MetodeTertutup .. <br /><ul><li>Jika f(a)f(b) > 0, maka terdapat akar sebanyak bilangan genap atau tidak ada sama sekali
  10. 10. Syaratcukupkeberadaanakarpersamaanadalah :</li></ul>jika f(a)f(b) < 0 dan f(x) menerusdalamselang [a, b], maka paling sedikitterdapatsatubuahakarpersamaan f(x) = 0 dalamselang [a, b]<br />
  11. 11. MetodeTertutup .. <br /><ul><li>Terdapatduamasalah yang terjadikarenaketidaktepatanpemilihanselang [a, b]
  12. 12. Pertama, jikadalamselang [a, b] terdapatlebihdarisatubuahakar. Sekalimetodetertutupdigunakanpadaselang [a, b], makahanyasatubuahakar yang berhasilditemukan
  13. 13. Kedua, jikaselang [a, b] tidakmemenuhisyaratcukup, yakni f(a)f(b) < 0, makaadakalanyaakartidakdapatditemukan (seharusnyaada)
  14. 14. Duapendekatansolusi yang digunakanantara lain, pertamamembuatgrafikfungsidibidangkartesian (X-Y), lalumelihatdimanaperpotongannyadengansumbu X
  15. 15. Kedua, mencetaknilaifungsipadatitik-titikabsis yang berjaraktetap. Jikatandafungsiberubahpadasebuahselang, makadipastikanterdapatsatubuahakardidalamnya
  16. 16. Terdapatduametodeklasik yang tergolongkedalammetodetertutup, yaknimetodebagidua(bisection) danmetoderegula-falsi</li></li></ul><li>MetodeBagidua<br /><ul><li>Metode yang selalumembagiduaselang [a, b] padanilai x tertentu (x = c), sehinggaterdapatduabuahupaselangberukuransama, yaituselang [a, c] danselang [c, b]
  17. 17. Selang yang akandigunakanpadatahapanberikutnyaadalahupaselang yang mengandungakar, tergantungpadaapakah f(a)f(c) < 0 atau f(c)f(b) < 0
  18. 18. Selangbarudibagilagimenjadiduadengancarasama, hinggaukuranselangsudahsangatkecilataumemenuhisalahsatukondisiberikut :</li></ul>Lebarselang < <br />f(c) = 0 atau f(c) < epsilon mesin<br />Galat (error) hampiranakar ((cbaru - clama)/cbaru) < <br />
  19. 19. MetodeBagidua ... <br />
  20. 20. ContohPenggunaanMetodeBagidua<br /><ul><li>Temukanakarpersamaan f(x) = ex - 5x2didalamselang [0,1] dan = 0.00001. e = 2.71828183</li></li></ul><li>Tabeliterasipencarianakar f(x) = ex - 5x2 <br />Jadi, akarpersamaan yang diperolehadalah 0.605263<br />
  21. 21. Contoh Program di Pascal<br />Program Bisection; <br />Uses crt; <br />label ulang; <br />var x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real; <br />i : integer; ab : char; <br />begin <br />ulang : <br />clrscr; <br />writeln('Tentukan nilai akar dari persamaan f(x)=x^3+x^2-3x-3=0 dengan Metode Biseksi'); <br />write( 'Masukan nilai x1 = ' ); <br />readln( x1 ); <br />y1 := x1 * x1 * x1 * + x1 * x1 - 3 * x1 -3; <br />writeln(' Nilai f(x1)= ',y1:0:4); <br />repeat <br />begin <br />write( 'Masukan nilai x2 = '); <br />readln(x2); <br />y2 := x2 * x2 * x2 + x2 * x2 - 3 * x2 - 3; <br />write(' Nilai f(x2)= ',y2:0:4); <br />end; <br />if (y1*y2)<0 then <br />Writeln(' Syarat Nilai Ok') <br />else <br />Writeln(' Nilai X2 Belum Sesuai'); <br />until ( y1 * y2 ) < 0; <br />I :=2; <br />
  22. 22. Writeln; <br />writeln('Penyelesaian Persamaan Dengan Metode Biseksi, Nilai x1= ',x1:0:2,' & x2= ',x2:0:2); <br />writeln('--------------------------------------------------------------------------'); <br />writeln('n x f(x) error '); <br />writeln('--------------------------------------------------------------------------'); <br />repeat <br />begin <br />i :=i + 1 ; x3 := ( x1 + x2) / 2; <br />y3 := x3 * x3 * x3 + x3 * x3 - 3 * x3 -3; <br />if (i mod 10)=0 then readln; <br />if i<10 then <br />writeln(' ',i,' :: ',x3,' :: ',y3,' :: ',abs( y3 ),' ::') <br />else writeln(i,' :: ',x3,' :: ',y3,' :: ',abs( y3 ),' ::'); <br />if ( y1* y3) <0 then <br />begin <br />x2 :=x3; <br />end else begin <br />x1 := x3; <br />end; <br />end; <br />until abs( y3 )<1E-07; <br />writeln('-------------------------------------------------------------------------'); <br />writeln('akar persamaanya = ',x3); <br />writeln('errornya =',abs( y3 )); <br />writeln('-------------------------------------------------------------------------'); <br />write('Apakah anda ingin mengulanginya (y/t): '); <br />readln(ab); <br />if (ab='y') or (ab='Y') then <br />goto ulang; <br />end. <br />
  23. 23. Penjelasan Program<br /><ul><li>Metode bisection disebut juga metode Pembagian Interval atau metode yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan :</li></ul> Dimana nilai f(Xa) dan nilai f(Xb) harus memenuhi persyaratan f(Xa)*f(Xb)<0 <br /><ul><li>Contoh dan cara penyelesaian: </li></ul> Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear dibawah ini dengan metode Biseksi: <br /> f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0 <br /><ul><li>Penyelesaian: </li></ul> Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2. <br /> f(x1)= 13 + 12 - 3(1) – 3 = -4 <br /> f(x2)= 23 + 22 - 3(2) – 3 = 3 <br /> Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 dan x2 = 2. <br />
  24. 24. Penjelasan Program<br /><ul><li>Langkah 2: mencari nilai x3. </li></ul> Dan f(x3)= 1.53 + 1.52 - 3(1.5) – 3 = -1.875 <br /><ul><li>Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.0 pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnya negative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10 maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x1 dan x3 karena nilai f(x1)*f(x3)<0 maka : </li></ul> Dan f(x4)= 1.753 + 1.752 - 3(1.75) – 3 = 1.71875 <br /><ul><li>Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-7. Maka dari hasil perhitungan didapatkan nilai x = 1.73205080.
  25. 25. dengan nilai errornya f(x)= 1.2165401131E-08 </li></li></ul><li>MetodeRegula-falsi<br /><ul><li>Kelemahanmetodebagiduaterletakpadalamanyawaktuuntukmencapaikonvergen
  26. 26. Metoderegula-falsi (disebutjugadenganmetodeposisipalsu) memperbaikikelemahantersebutdengancaramemanfaatkannilai f(a) dan f(b)
  27. 27. Dibentukgarislurus yang menghubungkantitik (a, f(a)) dan (b, f(b))
  28. 28. Perpotongangarislurustersebutdengansumbu X dinyatakansebagaitaksiranakar yang diperbaiki</li></li></ul><li>MetodeRegula-falsi .. <br /><ul><li>Padagambar, gradiengaris AB = gradiengaris BC, maka :</li></li></ul><li>ContohPenerapanMetodeRegula-falsi<br /><ul><li>Temukanakarpersamaan f(x) = ex - 5x2didalamselang [0,1] dan = 0.00001. e = 2.7182818</li></li></ul><li>Tabeliterasipencarianakar f(x) = ex - 5x2<br />
  29. 29. Stagnant Point padaMetode-RegulaFalsi<br /><ul><li>Jikakurvafungsiberbentukcekung (konkaf) didalamselang [a, b], makagarispotongselaluberadadiatasataudibawahkurva
  30. 30. Perhatikangambarberikut :</li></li></ul><li>Stagnant Point padaMetode-RegulaFalsi<br /><ul><li>Padakondisi paling ekstrim, |b-ar| tidakpernahlebihkecildari. Hal inidisebabkan, salahsatutitikujungselang, yakni b selalubernilaitetapuntuksetiaplelaran (iterasi) r = 0,1, 2, 3, …
  31. 31. Titikujungselang yang tidakpernahberubahdisebutdengantitikmandek (stagnant point), dimana :</li></ul> |br - ar| = |b - ar| untuk r = 0, 1, 2, 3, …<br /><ul><li>Untukmengatasititikmandek, kondisiberhentipadametoderegula-falsiharusditambahkandenganmemeriksaapakahnilai f(c) sudahsangatkecilsehinggamendekatinol</li></li></ul><li>Perbaikan Metode Regula-Falsi<br /><ul><li>Untukmengatasikemungkinantitikmandek, makadilakukanperbaikanterhadapmetoderegula-falsi(modified false position method)
  32. 32. Teknik yang digunakanadalahsetelahmenentukanselangbarupadasetiapakhirlelaran, makaakanditentukanmana yang menjadititikmandek. Lalu, nilaifungsipadatitikmandektersebutdibagiduadanselanjutnyanilaiinidigunakanuntuklelaranberikutnya
  33. 33. Tabelberikutmenunjukkanlelaranpadapersamaan f(x) = ex - 5x2didalamselang [0,1],  = 0.00001, dan e = 2.7182818 denganperbaikanmetoderegula-falsi</li></li></ul><li>TabelLelaranpadaPerbaikanMetodeRegula-Falsi<br /><ul><li>Hampiranakar x = 0.605267</li></li></ul><li>Contoh Program Pascal<br />program regula_falsi;<br />uses wincrt;<br />label ulang;<br />Var x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real;<br />i : integer;<br />Ab :char;<br />data1 : real;<br />begin<br />ulang:<br />clrscr;<br />writeln('Tentukannilaiakardaripersamaan f(x)=x^3+x^2-3x-3=0 denganRegulaFalsi');<br />write('Masukannilai x1 = ');readln(x1);<br />y1 := x1 * x1 * x1 + x1 * x1 - 3 * x1 - 3;<br />writeln(' Nilai f(x1)= ',y1:0:4);<br />repeat<br />begin<br />write( 'Masukannilai x2 = ' ); readln(x2);<br />y2 := x2 * x2 * x2 + x2 * x2 - 3 * x2 - 3;<br />write(' Nilai f(x2)= ',y2:0:4);<br />end;<br />if (y1*y2)<0 then<br />Writeln(' SyaratNilai Ok')<br />else<br />Writeln(' Nilai X2 BelumSesuai');<br />until ( y1 * y2 ) <0;<br />writeln;<br />writeln('Penyelesaianpersamaankarekteristikdenganmetodaregulafalsi');<br />writeln('----------------------------------------------------------------------');<br />writeln(' n x f(x) error ');<br />writeln('----------------------------------------------------------------------');<br />
  34. 34. Contoh Program Pascal<br />repeat<br />begin<br />i:= i + 1; x3 := ( x2-( y2 / ( y2 - y1))*(x2-x1));<br />y3 := x3 * x3 * x3 + x3 * x3 - 3 * x3 - 3;<br />if i<10 then<br />writeln(' ',i,' : ',x3,' : ',y3,' : ',abs(y3),' : ')<br />else<br />writeln(i,' : ',x3,' : ',y3,' : ',abs(y3),' : ');<br />if ( y1 * y3 ) <0 then<br />begin<br />x2 := x3 ; y2 := y3 ;<br />end<br />else<br />begin<br />x1 := x3 ; y1 := y3;<br />end;<br />end;<br />until abs( y3 ) < 1E-08;<br />writeln('----------------------------------------------------------------------');<br />writeln('Akarpersamaannya= ',x3);<br />writeln('Errornya=' ,abs( y3 ));<br />writeln('----------------------------------------------------------------------');<br />writeln('Apakahandainginmengulangi (y/t): ');<br />readln(ab);<br />if (ab='y') or (ab='Y') then<br />gotoulang;<br />end.<br />
  35. 35. Penjelasan Program<br /><ul><li>Metode Regula Falsi disebut juga metode Interpolasi Linear yaitu metode yang digunakan untuk mencari akar- akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan :
  36. 36. Contoh dan cara penyelesaian </li></ul> Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear di bawah ini dengan metode Regula Falsi: <br /> f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0 <br /><ul><li>Penyelesaian:
  37. 37. Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2. </li></ul> f(x1)= 13 + 12 - 3(1) – 3 = -4 <br /> f(x2)= 23 + 22 - 3(2) – 3 = 3 <br /> Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 dan x2 = 2. <br />
  38. 38. Penjelasan Program<br /><ul><li>Metode Regula Falsi disebut juga metode Interpolasi Linear yaitu metode yang digunakan untuk mencari akar- akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan 2.1:
  39. 39. Contoh dan cara penyelesaian
  40. 40. Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear di bawah ini dengan metode Regula Falsi:
  41. 41. f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0
  42. 42. Penyelesaian:
  43. 43. Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2.
  44. 44. f(x1)= 13 + 12 - 3(1) – 3 = -4
  45. 45. f(x2)= 23 + 22 - 3(2) – 3 = 3
  46. 46. Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 dan x2 = 2.
  47. 47. Langkah 2: mencari nilai x3 dengan persamaan 2.1:
  48. 48. Dan f(x3)= 1.571423 + 1.57142 2 - 3(1.57142) – 3 = -1.3644314869
  49. 49. Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.1 pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnya negative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10 maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x2 dan x3 karena nilai f(x2)*f(x3)<0 maka :
  50. 50. Dan f(x4= 1.705413 + 1.705412 - 3(1.70541) – 3 = -0.247745
  51. 51. Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-7. Maka dari hasil perhitungan didapatkan nilai x = 1.7320508074.
  52. 52. dengan nilai errornya f(x)= 2.0008883439E-09 </li></li></ul><li>Penjelasan Program<br />Langkah 2: mencari nilai x3 dengan persamaan : <br /> Dan f(x3)= 1.571423 + 1.57142 2 - 3(1.57142) – 3 = -1.3644314869 <br />Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.1 pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnya negative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10 maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x2 dan x3 karena nilai f(x2)*f(x3)<0 maka : <br /> Dan f(x4= 1.705413 + 1.705412 - 3(1.70541) – 3 = -0.247745 <br />Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-7. Maka dari hasil perhitungan didapatkan nilai x = 1.7320508074. <br /> dengan nilai errornya f(x)= 2.0008883439E-09 <br />

×