Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
Dokumen tersebut membahas tentang integral permukaan. Integral permukaan digunakan untuk menghitung luas permukaan, massa, gaya gravitasi, dan aplikasi lainnya seperti aliran fluida. Dokumen ini memberikan definisi integral permukaan, contoh soal beserta penyelesaiannya, serta beberapa aplikasi integral permukaan dalam kehidupan sehari-hari seperti menghitung gaya tekanan pada bendungan.
Dokumen ini membahas tentang persamaan diferensial biasa, khususnya persamaan diferensial orde pertama. Topik yang dibahas meliputi bentuk umum persamaan diferensial biasa, orde persamaan diferensial, solusi persamaan diferensial, dan metode-metode penyelesaian persamaan diferensial seperti pemisahan variabel dan penggunaan faktor integrasi."
Persamaan diferensial parsial memainkan peran penting dalam menggambarkan fenomena fisika di mana besaran berubah terhadap ruang dan waktu. Ada tiga jenis persamaan diferensial parsial: hiperbolik, parabolik, dan eliptik. Jenisnya ditentukan oleh diskriminan dari persamaan. Contohnya adalah persamaan gelombang untuk hiperbolik, persamaan difusi untuk parabolik, dan persamaan Poisson untuk eliptik.
Dokumen tersebut membahas tentang materi fungsi rasional pada pelajaran matematika. Terdapat pengertian fungsi rasional, contoh fungsi rasional, grafik fungsi rasional, dan langkah-langkah menggambar grafik fungsi rasional.
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
Dokumen tersebut membahas tentang integral permukaan. Integral permukaan digunakan untuk menghitung luas permukaan, massa, gaya gravitasi, dan aplikasi lainnya seperti aliran fluida. Dokumen ini memberikan definisi integral permukaan, contoh soal beserta penyelesaiannya, serta beberapa aplikasi integral permukaan dalam kehidupan sehari-hari seperti menghitung gaya tekanan pada bendungan.
Dokumen ini membahas tentang persamaan diferensial biasa, khususnya persamaan diferensial orde pertama. Topik yang dibahas meliputi bentuk umum persamaan diferensial biasa, orde persamaan diferensial, solusi persamaan diferensial, dan metode-metode penyelesaian persamaan diferensial seperti pemisahan variabel dan penggunaan faktor integrasi."
Persamaan diferensial parsial memainkan peran penting dalam menggambarkan fenomena fisika di mana besaran berubah terhadap ruang dan waktu. Ada tiga jenis persamaan diferensial parsial: hiperbolik, parabolik, dan eliptik. Jenisnya ditentukan oleh diskriminan dari persamaan. Contohnya adalah persamaan gelombang untuk hiperbolik, persamaan difusi untuk parabolik, dan persamaan Poisson untuk eliptik.
Dokumen tersebut membahas tentang materi fungsi rasional pada pelajaran matematika. Terdapat pengertian fungsi rasional, contoh fungsi rasional, grafik fungsi rasional, dan langkah-langkah menggambar grafik fungsi rasional.
Dokumen tersebut membahas metode deret pangkat untuk menyelesaikan persamaan diferensial, yang menyatakan solusi dalam bentuk deret tak hingga. Metode ini memungkinkan penyelesaian untuk fungsi-fungsi analitik dengan mengembangkannya menjadi deret pangkat konvergen di sekitar titik tertentu.
Definisi Hiperbola
Hiperbola adalah himpunan semua titik di bidang datar yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap harganya. Kedua titik tersebut dinamakan fokus hiperbola.
Ketentuan khusus pada hiperbola yaitu c² = a² + b²
Dokumen tersebut membahas tentang kontinuitas fungsi. Definisi kontinuitas fungsi pada suatu titik adalah bahwa batas fungsi saat nilai argumennya mendekati titik tersebut sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut. Fungsi dikatakan kontinu pada suatu selang jika kontinu pada setiap titiknya. Teorema nilai antara menyatakan bahwa jika fungsi kontinu pada suatu selang, maka akan ada nilai fungsi yang sama
Dalam modul ini dibahas mengenai berbagai macam cara untuk menghitung turunan suatu fungsi, diantaranya dengan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai ini merupakan suatu tools yang sangat mempermudah untuk menghitung suatu fungsi yang jika dihitung dengan menggunakan rumus biasa akan memakan waktu lama dan rumit. Penulisan simbol turunan juga dipermudah oleh Leibniz.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar fungsi dan grafiknya. Fungsi didefinisikan sebagai aturan hubungan satu lawan satu antara elemen-elemen daerah asal dengan nilai-nilai daerah hasil. Dokumen tersebut juga menjelaskan notasi fungsi, daerah asal, daerah hasil, grafik fungsi, fungsi genap dan ganjil, serta dua fungsi khusus yaitu fungsi nilai mutlak dan fungsi bilangan bulat terbes
Dokumen tersebut membahas tentang deret Taylor dan Mac Laurin. Deret Taylor dan Mac Laurin digunakan untuk mengubah suatu fungsi menjadi polinom agar mudah diselesaikan. Diberikan contoh-contoh penerapannya untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tertentu.
Dokumen ini membahas tentang integral lipat dua pada berbagai daerah seperti persegi panjang, daerah sembarang, koordinat polar, serta aplikasinya untuk menghitung luas permukaan. Terdapat definisi integral lipat dua, rumusan, contoh perhitungan, serta perubahan urutan integrasi.
Contoh soal penyelsaian metode biseksi menggunakan excel ernaernajuliawati
Dokumen tersebut memberikan contoh penyelesaian 6 soal pencarian akar persamaan non-linier menggunakan metode biseksi di Microsoft Excel dengan memberikan penjelasan langkah-langkah algoritmanya dan kesimpulannya.
Makalah STATISTIK MAEMATIKA II VARIABEL RANDOMNila Aulia
Variabel random dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel random dapat berupa diskrit atau kontinu, tergantung nilai-nilainya. Makalah ini membahas tentang fungsi peluang, pdf, CDF, nilai harapan, varian, dan MGF untuk variabel random diskrit dan kontinu.
Turunan fungsi trigonometri memiliki aturan khusus. Turunan sin(x) adalah cos(x), turunan cos(x) adalah -sin(x). Turunan fungsi trigonometri lainnya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus turunan bentuk u/v.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan bidang, vektor normal, bidang sejajar, dan bidang tegak lurus. Persamaan bidang umumnya ditulis sebagai ax + by + cz + d = 0, dimana vektor normalnya adalah (a, b, c). Dua bidang dikatakan sejajar jika memiliki vektor normal yang sama atau berkelipatan, sedangkan bidang dikatakan tegak lurus jika hasil vektor normal kedua bidang bernilai n
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan parametrik, termasuk definisi, kurva parametrik, turunan pertama dan kedua, luas area dan panjang busur, serta contoh-contoh soal.
1. Integral kompleks merupakan integral fungsi bernilai kompleks di sepanjang lintasan tertentu.
2. Terdapat sifat-sifat integral kompleks seperti integral lintasan yang berlawanan akan meniadakan dan nilai integral kompleks untuk lingkaran berpusat di suatu titik bernilai iπ.
3. Integral kompleks dapat digunakan untuk menghitung nilai integral di sepanjang lintasan yang terdiri dari beberapa penggal garis.
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsiSepkli Eka
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan penerapan turunan untuk menentukan karakteristik grafik fungsi seperti fungsi naik dan turun serta titik ekstrim.
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan untuk fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai untuk menentukan turunan fungsi komposisi, serta penerapan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi.
Dokumen tersebut membahas metode deret pangkat untuk menyelesaikan persamaan diferensial, yang menyatakan solusi dalam bentuk deret tak hingga. Metode ini memungkinkan penyelesaian untuk fungsi-fungsi analitik dengan mengembangkannya menjadi deret pangkat konvergen di sekitar titik tertentu.
Definisi Hiperbola
Hiperbola adalah himpunan semua titik di bidang datar yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap harganya. Kedua titik tersebut dinamakan fokus hiperbola.
Ketentuan khusus pada hiperbola yaitu c² = a² + b²
Dokumen tersebut membahas tentang kontinuitas fungsi. Definisi kontinuitas fungsi pada suatu titik adalah bahwa batas fungsi saat nilai argumennya mendekati titik tersebut sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut. Fungsi dikatakan kontinu pada suatu selang jika kontinu pada setiap titiknya. Teorema nilai antara menyatakan bahwa jika fungsi kontinu pada suatu selang, maka akan ada nilai fungsi yang sama
Dalam modul ini dibahas mengenai berbagai macam cara untuk menghitung turunan suatu fungsi, diantaranya dengan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai ini merupakan suatu tools yang sangat mempermudah untuk menghitung suatu fungsi yang jika dihitung dengan menggunakan rumus biasa akan memakan waktu lama dan rumit. Penulisan simbol turunan juga dipermudah oleh Leibniz.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar fungsi dan grafiknya. Fungsi didefinisikan sebagai aturan hubungan satu lawan satu antara elemen-elemen daerah asal dengan nilai-nilai daerah hasil. Dokumen tersebut juga menjelaskan notasi fungsi, daerah asal, daerah hasil, grafik fungsi, fungsi genap dan ganjil, serta dua fungsi khusus yaitu fungsi nilai mutlak dan fungsi bilangan bulat terbes
Dokumen tersebut membahas tentang deret Taylor dan Mac Laurin. Deret Taylor dan Mac Laurin digunakan untuk mengubah suatu fungsi menjadi polinom agar mudah diselesaikan. Diberikan contoh-contoh penerapannya untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tertentu.
Dokumen ini membahas tentang integral lipat dua pada berbagai daerah seperti persegi panjang, daerah sembarang, koordinat polar, serta aplikasinya untuk menghitung luas permukaan. Terdapat definisi integral lipat dua, rumusan, contoh perhitungan, serta perubahan urutan integrasi.
Contoh soal penyelsaian metode biseksi menggunakan excel ernaernajuliawati
Dokumen tersebut memberikan contoh penyelesaian 6 soal pencarian akar persamaan non-linier menggunakan metode biseksi di Microsoft Excel dengan memberikan penjelasan langkah-langkah algoritmanya dan kesimpulannya.
Makalah STATISTIK MAEMATIKA II VARIABEL RANDOMNila Aulia
Variabel random dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel random dapat berupa diskrit atau kontinu, tergantung nilai-nilainya. Makalah ini membahas tentang fungsi peluang, pdf, CDF, nilai harapan, varian, dan MGF untuk variabel random diskrit dan kontinu.
Turunan fungsi trigonometri memiliki aturan khusus. Turunan sin(x) adalah cos(x), turunan cos(x) adalah -sin(x). Turunan fungsi trigonometri lainnya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus turunan bentuk u/v.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan bidang, vektor normal, bidang sejajar, dan bidang tegak lurus. Persamaan bidang umumnya ditulis sebagai ax + by + cz + d = 0, dimana vektor normalnya adalah (a, b, c). Dua bidang dikatakan sejajar jika memiliki vektor normal yang sama atau berkelipatan, sedangkan bidang dikatakan tegak lurus jika hasil vektor normal kedua bidang bernilai n
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan parametrik, termasuk definisi, kurva parametrik, turunan pertama dan kedua, luas area dan panjang busur, serta contoh-contoh soal.
1. Integral kompleks merupakan integral fungsi bernilai kompleks di sepanjang lintasan tertentu.
2. Terdapat sifat-sifat integral kompleks seperti integral lintasan yang berlawanan akan meniadakan dan nilai integral kompleks untuk lingkaran berpusat di suatu titik bernilai iπ.
3. Integral kompleks dapat digunakan untuk menghitung nilai integral di sepanjang lintasan yang terdiri dari beberapa penggal garis.
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsiSepkli Eka
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan penerapan turunan untuk menentukan karakteristik grafik fungsi seperti fungsi naik dan turun serta titik ekstrim.
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan untuk fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai untuk menentukan turunan fungsi komposisi, serta penerapan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi.
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan penerapannya untuk menentukan fungsi naik dan turun serta titik ekstrim grafik fungsi.
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan penerapannya untuk menentukan fungsi naik dan turun serta titik ekstrim grafik fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang turunan fungsi dan penerapannya. Secara ringkas, dokumen menjelaskan definisi turunan fungsi, rumus dasar turunan fungsi aljabar dan logaritma, serta cara menggunakan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung dan normal suatu kurva, menggambar grafik fungsi, serta menentukan titik stasioner dan jenisnya.
1. Teknik-teknik pengintegralan meliputi subtitusi, pengintegralan bentuk-bentuk trigonometri, subtitusi yang merasionalkan, pengintegralan parsial, dan pengintegralan fungsi rasional.
2. Subtitusi digunakan untuk mengintegralkan fungsi-fungsi yang tidak dapat dihitung secara langsung dengan mengganti variabel asli dengan variabel baru.
3. Pengintegralan bentuk-bentuk trigonometri memanfaatkan rum
1. Bab II membahas kegiatan pembelajaran tentang turunan fungsi aljabar. Definisi turunan fungsi dijelaskan dengan contoh penentuan turunan dari f(x) = 4x - 3 dan f(x) = 3x^2.
2. Teorema-teorema turunan fungsi aljabar dijelaskan, seperti turunan fungsi konstan, turunan fungsi aljabar, dan turunan hasil perkalian/pembagian fungsi aljabar. Contoh soal diberikan
Bertambahnya jumlah penduduk menyebabkan kebutuhan perumahan juga bertambah. Turunan fungsi merupakan konsep awal kalkulus diferensial yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan laju pertumbuhan penduduk dan kebutuhan perumahan.
1. Tugas kalkulus 2 membahas konsep-konsep dasar kalkulus seperti turunan, integral, nilai ekstrem, dan aplikasi turunan.
2. Dibahas pula sifat-sifat turunan, turunan fungsi trigonometri, persamaan garis singgung, jenis-jenis nilai stasioner, kecekungan fungsi, dan cara menggambar grafik fungsi.
3. Bagian akhir membahas aplikasi turunan seperti laju perubahan
Sttm tm 03 modul 2 fungsi dan limit fungsi revisiPrayudi MT
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi dan grafik fungsi. Ia menjelaskan definisi fungsi, grafik fungsi, dan berbagai jenis fungsi seperti fungsi aljabar, fungsi transenden, fungsi komposisi, dan fungsi trigonometri beserta sifat-sifat dan contoh grafiknya.
Dokumen tersebut membahas tentang teorema rantai untuk menentukan turunan fungsi komposisi secara langsung tanpa mengubah bentuk fungsinya terlebih dahulu. Teorema rantai menyatakan bahwa turunan fungsi komposisi sama dengan hasil kali turunan fungsi luar terhadap variabel dalam dan turunan fungsi dalam terhadap variabel awal. Diberikan contoh soal dan penyelesaiannya menggunakan teorema rantai
Modul ini membahas tentang turunan (diferensial) pada fungsi aljabar dan trigonometri. Terdapat rumus dasar turunan untuk berbagai fungsi seperti fungsi kuadrat, kubik, eksponen, logaritma, dan trigonometri. Modul ini juga menjelaskan aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi dan nilai turunan pada titik tertentu. Pemakaian turunan dijelaskan untuk menentukan apakah suatu fungsi naik, tur
Evaluasi merupakan soal ujian tentang konsep-konsep dasar kalkulus, meliputi:
1. Menghitung turunan fungsi pada titik tertentu
2. Menentukan nilai stasioner dan jenis titik stasioner suatu fungsi
3. Menggambar grafik dan kurva fungsi tertentu
4. Mencari persamaan garis singgung kurva fungsi
5. Memecahkan masalah optimisasi untuk mencari nilai maksimum atau minimum
Teks tersebut memberikan penjelasan tentang fungsi kuadrat dan grafiknya. Secara singkat, teks tersebut menjelaskan bahwa:
1. Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum y=ax^2+bx+c dan grafiknya berbentuk parabola.
2. Parabola dapat menghadap ke atas atau ke bawah tergantung nilai a yang positif atau negatif.
3. Titik balik parabola ditentukan oleh rumus x=-b/
Physical chemistry phase diagram l-l and l-vaporKustian Permana
This document discusses phase diagrams and distillation. It provides information on:
- Phase diagrams with two components that can exist as liquid-liquid, liquid-vapor, or both.
- Ideal and non-ideal solutions, and how interactions between components can affect vapor pressure and boiling points.
- The concept of azeotropes, where a mixture does not change composition during distillation. Two types of azeotropes are described.
- Distillation techniques for separating volatile liquids from non-volatiles or separating two volatile liquids.
This document discusses phase diagrams in physical chemistry. It provides examples of ternary phase diagrams with three components that can have different miscibility levels between the components. Tie lines are used to determine the composition of phases in equilibrium. The common ion effect refers to how adding a common ion to a solution can decrease the solubility of a salt in that solution.
Metode Mohr dan Volhard merupakan metode titrasi argentometri yang digunakan untuk menentukan konsentrasi ion klorida, bromida, dan sianida. Metode Mohr hanya dapat digunakan untuk ion klorida, bromida, dan sianida, sedangkan metode Volhard dapat digunakan untuk menentukan konsentrasi ion perak dan berbagai anion lainnya. Metode-metode ini sering digunakan untuk menganalisis kandungan klorida dalam air.
Kimia inti mempelajari struktur inti atom dan bagaimana struktur ini mempengaruhi kestabilan inti serta peristiwa nuklir seperti keradioaktifan dan transmutasi. Reaksi nuklir dapat terjadi secara spontan atau buatan dan melepaskan energi besar berupa kalor dan radiasi.
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar dengan menjelaskan tiga metode yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung beserta contoh soalnya.
Metode pemisahan dan identifikasi kation dan anion dalam larutan kimia. Kation dan anion yang mungkin hadir perlu diidentifikasi dan dipisahkan karena dapat membentuk senyawa yang tidak larut atau mengganggu proses identifikasi kation lainnya. Metode yang digunakan meliputi pengendapan, pembentukan kompleks, reduksi, dan oksidasi.
Dokumen tersebut menjelaskan prosedur pemisahan dan identifikasi kation Golongan IV, yaitu Ba2+, Sr2+, dan Ca2+ melalui metode pemisahan kation dengan reagen NH4Cl, NH4OH, dan (NH4)2CO3. Kation-kation tersebut akan diendapkan sebagai karbonatnya dan kemudian dipisahkan menggunakan metode sulfat atau nitrat.
Laporan Pembina Pramuka SD dalam format doc dapat anda jadikan sebagai rujukan dalam membuat laporan. silakan download di sini https://unduhperangkatku.com/contoh-laporan-kegiatan-pramuka-format-word/
Paper ini bertujuan untuk menganalisis pencemaran udara akibat pabrik aspal. Analisis ini akan fokus pada emisi udara yang dihasilkan oleh pabrik aspal, dampak kesehatan dan lingkungan dari emisi tersebut, dan upaya yang dapat dilakukan untuk mengurangi pencemaran udara
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
Modul Ajar Matematika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka.
Teori Fungsionalisme Kulturalisasi Talcott Parsons (Dosen Pengampu : Khoirin ...nasrudienaulia
Dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Talcott Parsons, konsep struktur sosial sangat erat hubungannya dengan kulturalisasi. Struktur sosial merujuk pada pola-pola hubungan sosial yang terorganisir dalam masyarakat, termasuk hierarki, peran, dan institusi yang mengatur interaksi antara individu. Hubungan antara konsep struktur sosial dan kulturalisasi dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Pola Interaksi Sosial: Struktur sosial menentukan pola interaksi sosial antara individu dalam masyarakat. Pola-pola ini dipengaruhi oleh norma-norma budaya yang diinternalisasi oleh anggota masyarakat melalui proses sosialisasi. Dengan demikian, struktur sosial dan kulturalisasi saling memengaruhi dalam membentuk cara individu berinteraksi dan berperilaku.
2. Distribusi Kekuasaan dan Otoritas: Struktur sosial menentukan distribusi kekuasaan dan otoritas dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya yang dianut oleh masyarakat juga memengaruhi bagaimana kekuasaan dan otoritas didistribusikan dalam struktur sosial. Kulturalisasi memainkan peran dalam melegitimasi sistem kekuasaan yang ada melalui nilai-nilai yang dianut oleh masyarakat.
3. Fungsi Sosial: Struktur sosial dan kulturalisasi saling terkait dalam menjalankan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya dan norma-norma yang terinternalisasi membentuk dasar bagi pelaksanaan fungsi-fungsi sosial yang diperlukan untuk menjaga keseimbangan dan stabilitas dalam masyarakat.
Dengan demikian, konsep struktur sosial dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Parsons tidak dapat dipisahkan dari kulturalisasi karena keduanya saling berinteraksi dan saling memengaruhi dalam membentuk pola-pola hubungan sosial, distribusi kekuasaan, dan pelaksanaan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat.
2. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam
pemecahan masalah
Standar Kompetensi
Kompetensi
dasar
Indikator
Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan
turunan fungsi
1. Menghitung fungsi yang mengarah ke konsep turunan
2. Menjelaskan arti fisis (sebagai laju perubahan) dan arti
geometri turunan di satu titik.
3. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan menggu
nakan defenisi turunan.
4. Menentukan sifat-sifat turunan fungsi
5. Menentukan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dengan
menggunakan sifat-sifat turunan
6. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan rantai
3. h
xfhxf
mPQ
)()( −+
=
h
f(x)h)f(x
m
h
−+
=
→0
lim
Turunan di satu titik
Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )
a. Garis Singgung
Kemiringan tali busur PQ adalah :
x
f(x) P
X+h
f(x+h)
Q
h
f(x+h)-f(x)
Jika x+h x , maka tali busur PQ
akan berubah menjadi garis singgung
di ttk P dgn kemiringan
4. • b. Kecepatan Sesaat
Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga
posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda
berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).
h
cfhcf
v ratarata
)()( −+
=−
c
c+h
Perubahan waktu Perubahan
posisi
s
f(c)
f(c+h)
•Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah
5. Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :
Untuk kecepatan sesaat di sembarang tempat dapat
Dituliskan sebagai berikut
Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan
sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu
tema, yaitu turunan :
Definisi :Turunan pertama fungsi f(x) dinotasikan dengan
lambang f’(x) dan didefinisikan sebagai berikut :
h
cfhcf
vv
h
ratarata
h
)()(
limlim
00
−+
==
→
−
→
h
f(x)h)f(x
xf
h
−+
=
→0
lim)('
h
xfhxf
vv
h
ratarata
h
)()(
limlim
00
−+
==
→
−
→
6. Notasi dari turunan fungsi f(x) :
)(),(',
)(
Leibnitzasidisebutnot
dx
dy
bentuk
dx
dy
xy
dx
xdf
0)(lim
)()(
lim
00
=
−
=
−+
→→ h
cc
h
xfhxf
hh
1)(lim
)()(
lim
00
=
−+
=
−+
→→ h
xhx
h
xfhxf
hh
)
)(
(lim
)()(
lim
22
00 h
xhx
h
xfhxf
hh
−+
=
−+
→→
x
h
hxh
h
xhxhx
hh
2
)2(
lim
)2(
lim
0
222
0
=
+
=
−++
=
→→
-. f(x) = x2
Jawab : f’(x) =
Contoh :
Diketahui f(x) tentukan f’(x) jika :
-. f(x) = x
Jawab : f’(x) =
-. f(x) = C
Jawab : f’(x) =
7. -. f(x) = x3
Jawab : f’(x) = h
xhx
it
h
xfhxf
it
hh
))(
lim
)()(
lim
33
00
−+
=
−+
→→
2
22
0
33223
0
3
33(
lim
33
lim x
h
hxhxh
it
h
xhxhhxx
it
hh
=
++
=
−+++
=
−→
-. f(x) = xn
Jawab : f’(x) = h
xhx
it
h
xfhxf
it
nn
hh
))(
lim
)()(
lim
00
−+
=
−+
→→
h
xhhhnxx
it
nnnn
h
−++++
=
−
→
...(...)
lim
21
0
1
11
0
)...(...)(
lim −
−−
→
=
+++
= n
nn
h
nx
h
hhnxh
it
14. Tentukan fungsi turunan pertama dari
)12()1()( 3
+++= xxxxf
1
1
)(
−
+
=
x
x
xf
1
)( 2
−
=
x
x
xf
1
1
)( 2
2
+
−
=
x
x
xf
1)( 3 22/1
++= xxxf1.
2.
3.
4.
5.
15. AO
B
C
D
θ OC= cos θ ; CB= sin θ
Perhatikan gambar di samping.
Misalkan θ=∠AOB adalah sudut pusat lingkaran
dengan jari jari =1.
Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOB
Sehingga ½ θ cos2
θ ≤ ½ sin θ cos θ ≤ ½ θ .1
Bagi dengan ½ θ cos θ > 0 diperoleh;
θθ
θ
θ
cos
1sin
cos ≤≤
Jika θ→0 maka cos θ→1 sehingga : 1
sin
lim1
0
≤≤
→ θ
θ
θ
it
Sehingga : 1
sin
lim
0
=
→ θ
θ
θ
it
16. xxfxxfa cos)('sin)(. =→=
xxfxxfb sin)('cos)(. −=→=
h
xhx
xf
h
sin)sin(
lim)('
0
−+
=
→
h
hh
x
h
)
2
sin().
2
cos(2
lim
0
+
=
→
.cos
1.cos
x
x
=
=
Bukti:
a. Misal f(x) = sin x maka
)
2
)
2
sin(
).(
2
cos(lim
0 h
h
h
x
h
+=
→
17. b. Misal f(x) = cos x maka
h
xhx
xf
h
cos)cos(
lim)('
0
−+
=
→ h
xhxhx
h
cossin.sincoscos
lim
0
−−
=
→
h
hxhx
h
sinsin)1(coscos
lim
0
−−
=
→ h
h
x
h
h
x
h
sin
sin
)
2
sin(cos
lim
2
0
−
−
=
→
)
sin
sin
4)2/(
)
2
sin(cos
(lim 2
2
0 h
h
x
h
h
h
x
h
−
−
=
→
h
h
x
h
h
h
x
hh
sin
limsin
42/
)2/sin(
limcos
0
2
0)2/( →→
−
−=
x
xx
sin
1.sin0.cos
−=
−=
18. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh Dengan
menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk
u/v
( ) ( )
dx
d
dx
xd
c
x
x
cos
sin
tan
. = x
xx
2
22
cos
sincos +
=
x2
cos
1
= x2
sec=
( ) ( )
dx
d
dx
xd
d
x
x
sin
cos
cot
. =
x
xx
2
22
sin
cossin −−
=
x2
sin
1−
= x2
csc−=
( ) ( )
dx
d
dx
xd
e
xcos
1
sec
. =
x
x
2
cos
sin
=
xx
x
cos
1
cos
sin
= xx sectan=
( ) ( )
dx
d
dx
xd
f
xsin
1
csc
. = x
x
2
sin
cos−
=
xx
x
sin
1
sin
cos
−= xxcotcsc−=
19. Soal Latihan
Tentukan turunan dari fungsi f(x) berikut ini :
a. f(x) = sin 3x + cos 2x
b. f(x) = x2
sin 2x
c. f(x) = sin2
x
d. f(x) = 3 cos2
x
e. f(x) = tgn x
f. f(x) = tgn2
x
g. f(x) = ½ tan x sin 2x
20. Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika
dx
du
du
dy
dx
dy
=
du
dy
dx
du
dx
dy
)1sin( 2
+= xy
12
+= xu
x
dx
du
2=
uy sin=
u
du
dy
cos=
)1cos(2 2
+= xxxx
dx
dy
2)1cos( 2
+=
Karena
dan ada ,
Contoh 1: Tentukan dari
Jawab :
Misal : sehingga bentuk diatas menjadi
dan
maka
21. Contoh 2 :
Tentukan turunan dari : y = (3x2
+4)4
Jawab :
Misal u=(3x2
+4) maka
Dan y= u4
maka
x
dx
du
6=
3
4u
du
dy
=
sehingga :
dx
du
du
dy
dx
dy
.= = 6x.4u3
= 6x.4(3x2
+4)3
= 24x.(3x2
+4)3
adalah y’= 24x.(3x2
+4)3
Turunan dari y = (3x2+4)4
Jika f(x)= un
maka f’(x)=nu’un-1
22. dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
=
→
→
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan
dx
dv
dv
du
du
dy
,, Ada, maka
Contoh 3: Tentukan
dx
dy
)5( 34
+= xSinydari
53
+= xv
2
3x
dx
dv
=
Jawab :
Misal →
u = Sin v )5cos(cos 3
+== xv
dv
du
4
uy = )5(44 333
+== xSinu
du
dy
sehingga
)5()5(12.. 3332
++== xCosxSinx
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
23. ( )y x= −2 3 10
y x= sin3
( )xxy −= 24
4cos
2
1
1
−
+
=
x
x
y
A. Tentukan fungsi turunan pertama dari
y = sin x tan [ x2 + 1 ]
y
x x
x x
=
− +
+ −
2
2
2 5
2 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
( )y x= −sin 2 1
( )y x= −2 3 4
y
x
x
=
+ 1
( )y x= cos2 π
B. Tentukan turunan kedua dari
1.
2.
3.
4.
24. Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva.
Telah disinggung didepan bahwa gradien garis singgung pada suatu
Kurva f(x) adalah turunan pertama dari fungsi terebut :
m = f’(x) =
dx
dy
π
3
1
Contoh Soal:
Tentukan nilai gradien garis singgung pada kurva :
a. y = x2
-3x +4 di titik A. ( 2,2 )
b. y = sin x untuk x =
Jawab :
a. y = x2
-3x +4 gradien m = y’ = 2x – 3 di titik ( 2,2 )
m = y’ = 2.2 – 3 = 1
a. y = sin x gradien m = y’ = cos x untuk x =
m = cos = ½
π
3
1
π
3
1
25. Pemakaian Gradien untuk menentukan persamaan garis singgung
Terhadap suatu kurva di titik tertentu .
Misalkan titik P(x1,y1) terletak pada kurfa f(x), maka persamaan
Garis singgung yang melalui titik P pada kurva f(x) dituliskan sbb:
Y – y1 = f’(x) ( x – x1)
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3
– 2x + 3
Dititik P(2,7).
Jawab :
Gradien garis singgung = m = f’(x) = 3x2
– 2 di titik ( 2,7) maka
m = f’(x) = 10
Persamaan garis singgungnya ,
Y – y1 = f’(x)(x-x1) yaitu y – 7 = 10 ( x – 2 )
y – 7 = 10 x – 20
y = 20 x - 13
26. Jika l1 garis yang memiliki gradien m1; dan l2 garis yang memiliki
Gradien m2, maka hubungan antara m1 dan m2 terhadap kedudukan
Garis l1 dan l2 adalah sebagai berikut :
Jika l1 sejajar l2 maka nilai m1 = m2 dan
Jika l1 tegak lurus l2 maka nilai m1.m2 = -1
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2
– 3x + 2
Yang sejajar terhadap garis y= 3x + 4
Jawab :
Gradien garis singgung = m = f’(x) = 2x – 3 sejajar garis y = 3x + 4
m1 = m2 = 3 maka 2x – 3 = 3 ; x = 3
untuk x = 3 nilai y = 32
– 3.3 + 2 = 2 maka titik singgungnya di ( 3,2)
Persamaan garis singgung yang ditanyakan adalah :
Y – 2 = 3 ( x – 3 )
Y = 3x – 11
27. Selain digunakan untuk menentukan gradien garis singgung,
turunan Juga digunakan untuk menentukan kelajuan. Jika suau
variabel x ada lah fungsi dari waktu laju perubahan x terhadap
waktu dinyatakan Dalam dx/dt.
Contoh soal :
Mobil meluncur dengan membentuk fungsi S = 50 – 3t – 2t2
,
tentukan Kecepatan mobil saat t=3.
Jawab.
Kecepatan = v = dS/dt = -3 – 4t saat t = 3
Maka v = -3 -4.3
= - 15
28. Contoh soal :
Air mengalir keluar dari corong kerucut dengan kelajuan 5 cm3
s-1
Jari-jari dasar corong adalah 10 cm dan tingginya 20 cm. hitung
kelajuan air saat ketinggian air turun berjarak 5 cm dari puncak.
10
20
r
h
O
A B
C D
Segitiga OAB sebangun dengan segitiga OCD
maka r/10 = h/20 sehingga r = ½ h
hrv 2
3
1
π= Karena r = ½ h maka
3
12
1
hv π=
Diketahui dv/dt = 5 cm3
s-1
dt
dh
h
dt
dv 2
4
1
π=
dt
dh
h2
4
1
5 π=
2
20
hdt
dh
π
=
Air berjarak 5 cm dari puncak
Maka air telah turun sejauh
h = 20 – 5 = 15 cm
Maka kelajuan air yang ditanyakan adalah :
πππ .45
4
15.15.
5.4
15
20
2
===
dt
dh
cm3
s-1
29. SOAL LATIHAN
1.Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x)= x4
+ 12x – 5
Di titik ( 1, 11)
2.Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = 2x3
- 23x – 2
Yang sejajar dengan garis y = x - 7
3.Tentukan pesamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2
– 6x + 4
Yang tegak lurus dengan garis y= ½ x - 5
4.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berpusat di (0,0)
yang berjari jari 5 dan melalui titik P(3,4).
5.Sebuah beban w diikatkan pada tali sepanjang 15m, yang melewati
Katrol di p berjarak 6m di atas tanah,ujung lain diikatkan pada truk
Dengan jarak 0.5 m dari atas tanah, jika truk bergerak dengan kela
Juan 3ms-s, berapa cepat beban naik jika beban berada 2m diatas
Tanah? Perhatikan gambar dibawah ini. 9-x
y
6-x
x 0.5