matematika polinomial

1. Polinomial
Tujuan pembelajaran :
1. Menjelaskan algoritma pembagian sukubanyak.
2. Menentukan derajat sukubanyak hasil bagi dan sisa
pembagian dalam algoritma pembagian.
3. Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak
oleh bentuk linear atau kuadrat.
4. Menentukan sisa pembagian sukubanyak dengan
teorema sisa atau teorema faktor.

2. A. Pengertian Polinomial dan Operasinya
Polinomial
Kolah kamar mandi Andi berbentuk balok. Dengan panjang kolah
adalah 2 dm lebih dari lebarnya, Sedangkan tingginya 1 dm lebih
dari lebarnya. Jika kolah tersebut diisi air hingga penuh, volume
Air yang mampu ditampung adalah 120 liter.
Bagaimana model matematikanya?
Penyelesaiannya :
Misal, x = lebar kolah dan V(x) = volumenya, sehingga
Panjang = x + 2 dan tinggi = x + 1
Volume = panjang x lebar x tinggi
V(x) = (x + 2)(x)(x + 1)
= x3 +3x2 + 2x
Disebut polinomial/
sukubanyak
Bentuk x3 + 3x2 + 2x

3. Bentuk umum :
anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ...+ a2 x2 + a1x + a0
Coba :
1. (x – 1)(x + 2) = x2 + x - 2
2. x(x – 1)(x + 2) = x(x2 + x – 2)=x3 + x2 – 2x
3. x2 (x – 1)(x + 2) = x2(x2 + x – 2)=x4 + x3 – 2x2
Operasi-operasi polinomial
1. (3x2 + 4x – 1) + (2x4 + x2 – 5x + 4)
2. (3x2 + 4x + 1) - (4x4 + x2 + x + 3)
3. (7x2 + 4x – 8) + (2x4 + x2 – 5x )
Ex 1.
4. (x2 + 4x) + (x4 + 3x2 – 5x )

4. Ex 2. Diketahui :
p(x) = ax2 + bx + 7
q(x) = 3x2 + (a + b)x2 + (a – b)x – 8
r(x) = 3x3 + 7x2 + 2x – 1
Jika r(x) = p(x) + q(x), tentukan nilai a dan b.
Ex 3. Diketahui :
3
4
)
3
)(
4
(
14
7







x
B
x
A
x
x
x
Tentukan nila A dan B

5. Tugas 1
15 Juli 2014
1. Tentukan nilai a dan b pada sukubanyak berikut jika berlaku
p(x) + q(x)= r(x).
a. p(x) =4x5 + ax2 + (a – 3)x + 3
q(x) = 2x4 – x3 + 2bx2 + (2b + 1)x + 1
r(x) = 4x5 + 2x4 – x3 + 5x2 + 3x + 4
b. p(x) =x4 + (a + b)x3 – 2x2 + x – 1
q(x) = 2bx3 + 2x2 + (a – 3b)
r(x) = x4 + 7x3 + x – 6
2. Tentukan nilai a, b, dan c :
a. 2ax2 + (a + 2b)x + (c – 2a) ≡ 3x2 – x + 8

6. b.
)
1
)(
2
(
5
8
5
1
2 2
2
2










 x
x
x
x
x
x
x
c
bx
x
a
3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut :
a.(2x3 + 3x2 + 4x + 1) : (x + 1)
b x4 + 2x3 – 4x2 + 7x – 4 : (x – 3)

7. B. Pembagian Sukubanyak
1. Pembagian Bersusun
Ex. 4 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :
1
4
3
2
1
.) 2
3



 x
x
x
x
a
4
8
3
4
1
2
.) 2
3



 x
x
x
x
b
2. Pembagian dengan cara Horner
a. Pembagi bentuk linear ( x – k )
Bentuk : f(x) = ( x – k ) H(x) + S
Misal : d
cx
bx
ax
x
f 


 2
3
)
( dibagi ( x – k )
Maka
hasil baginya :
Sisa :
)
(
)
(
)
( 2
2
c
bk
ak
x
b
ak
ax
x
H 





d
ck
bk
ak
S 


 2
3

8. Ex. 5 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :
)
3
(
:
)
15
3
6
(
)
1
(
:
)
2
10
(
2
3
3







x
x
x
x
x
x
x
b).
a).
b. Pembagi bentuk linear ( ax + k )
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
a
b
f
a
x
H
b
ax
a
b
f
x
H
b
ax
a
a
b
f
x
H
a
b
x
x
f












Ex. 6 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :
)
1
2
(
:
)
2
7
9
8
4
(
)
3
2
(
:
)
1
2
(
2
3
4
2
3








x
x
x
x
x
x
x
x
b).
a).

9. c. Pembagi bentuk kuadrat ax2 + bx + c, a ≠ 0
Ex. 7 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian
2x4 – 4x3 + 11x2 – 3x + 9 oleh x2 – 2x + 3
Sehingga :
f(x) = (x2 – 2x + 3)H(x) + (px + q)
C. Teorema Sisa
Jika sukubanyak P(x) berderajat n dibagi ( x – h ) maka
sisa pembagiannya adalah P(h)
Bukti : pandang P(x) = ( x – h ).H(x) + S
Dengan x – h = 0 atau x = h, diperoleh :
P(h) = 0 . H(h) + S
P(h) = 0 + S
S = P(h)

10. Ex. 7 .Tentukan sisa dari pembagian sukubanyak
P(x) = x2 – 6x – 8 dengan x + 1.
Ex. 8 .Jika sukubanyak f(x) dibagi ( x – 1 ) bersisa 2 dan f(x)
dibagi dengan ( x + 2) bersisa – 1, tentukan sisanya
jika f(x) dibagi ( x – 1 )(x + 2 ).

11. Tugas 2
kelompok
1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagiannya :
a. (2x4 – 3x3 + 5x – 2) : (x2 – x – 2 )
b. (3x8 – 4x4 – 5 ) : (x2 – 3x – 4 )
2. Jika P(x) dibagi oleh (x– 2) dan (x +3) masing-masing
bersisa 5 dan - 10. tentukan sisanya jika P(x) dibagi
(x2 + x – 6 ).
3. Tentukan nilai p agar 4x2 – 12x + p habis dibagi 2x – 1.
4. Tentukan nilai p dan q jika sukubanyak
P(x) = 2x3 – px 2 + 4x + q habis dibagi 2x2 + x – 1 .
5. Sukubanyak P(x) habis dibagi x + 1 dan dibagi x2 – 4
bersisa 4x + 16. tentukan sisa pembagian P(x) oleh
(x2 – 4)(x + 1).

12. D. Teorema Faktor
Jika f(x) adalah sukubanyak;
(x – k) merupakan faktor dari P(x)
jika dan hanya jika P(k) = 0
Artinya:
1. Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0
sebaliknya,
2. jika P(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor

13. Ex. 9
Tunjukan (x + 1) faktor dari
x3 + 4x2 + 2x – 1
Jawab:
(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0
P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1
= -1 + 4 – 2 – 1 = 0
Jadi, (x + 1) adalah faktornya.
Ex. 10
Tentukan faktor-faktor dari
P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Jawab:
Misalkan faktornya (x – k), maka
nilai k yang mungkin adalah
pembagi bulat dari 6, yaitu

14. pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6.
Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1
diperoleh:
P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6
= 2 – 1 – 7 + 6
= 0
Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktor
dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6
Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x)
oleh (x – 1) dengan pembagian horner:

15. Koefisien sukubanyak
P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
adalah
2 -1 -7 6
k = 1
Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6
+
2
2
1
1
-6
-6
0

Koefisien hasil bagi
Karena hasil baginya adalah
H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)
dengan demikian
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)
Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)

16. E. Akar-akar Rasional Persamaan Sukubanyak
Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-
akar sebuah persamaan sukubanyak, karena ada hubungan
antara faktor dengan akar-akar persamaan sukubanyak
Jika P(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari
P(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0
k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak:
P(x) = 0
Teorema Akar-akar Rasional Jika
P(x) =anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao
dan
(x – k) merupakan faktor dari P(x) maka
n
0
a
dari
bulat
a
dari
bulat
faktor
faktor
k 

17. Ex. 11
Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 – 7x + 6.
Kemudian tentukan akar-akar yang lain.
Jawab:
Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan
bahwa P(-3) = 0
P(x) = x3 – 7x + 6.
P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6
= -27 + 21 + 6
= 0
Oleh karena P(-3) = 0,
maka -3 adalah akar dari
Persamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0

18. P(x) = x3 – 7x + 6
berarti koefisien P(x) adalah
1 0 -7 6
k = -3
Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
=(x – 1)(x – 2)
+
1
-3
-3
9
2
-6
0

Koefisien hasil bagi
Untuk menentukan akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih
dahulu hasil bagi P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3 dengan
pembagian Horner sebagai berikut

19. Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
= (x – 1)(x – 2)
sehingga persamaan sukubanyak tsb dapat ditulis menjadi
(x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.
Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2
Ex. 12
Tentukan akar-akar rasional dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0.
Karena persamaan sukubanyak berderajat 4, maka akar
akar rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat
dari 2. Faktor-faktor bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2

20. Algoritma penentuan akar rasional polinom P(x) = 0
ii). 1. Selidiki apakah jumlah koefisien P(x) = 0
@ Jika ya, maka x = 1 merupakan akar dari P(x) = 0 ?
@ Jika tidak, lakukan langkah berikut.
2. Periksa apakah jumlah koefisien variabel berpangkat
genap sama dengan jumlah koefisien berpangkat ganjil.
@ Jika ya, maka x = -1 merupakan akar dari P(x) = 0
@ Jika tidak, lakukan langkah berikut.
3. Tentukan faktor-faktor dari nilai nutlak a0,
lakukan dengan cara coba-coba.
Misal : an xn +an-1 xn-1 +....+ a1x + a0 = 0, dengan a0 ≠ 0
i). Jika sebuah bilangan rasional,
Dimana b = faktor bulat dari a0
c = faktor bulat dari an
c
b

21. 1 0 -3 0 2
k = 1
Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya,
Selanjutnya kita coba -1.
Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2
+
1
1
1
1
-2
-2
0
-2
-2
Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-akar
rasional persamaan sukubanyak tsb, kita coba nilai 1
Koefisien x4 – 3x2 + 2 = 0 adalah 1, 0, -3, 0, dan 2

22. 1 1 -2 -2
k = -1
Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya,
Sehingga: (x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0
+
1
-1
0
0
-2
2
0
Untuk :
(x2 – 2) dapat difaktorkan lagi menjadi
(x - √2)(x + √2) = 0
Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan
rasional.
Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.

23. (x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0
(x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi
(x - √2)(x + √2) = 0
Berarti akar yang lain: √2 dan -√2,
tapi bukan bilangan rasional.
Jadi akar-akar rasionalnya hanya
ada 2 yaitu 1 dan -1.

24. Jumlah dan Hasil Kali
Akar-akar
Persamaan Sukubanyak

25. Jika akar-akar
Persamaan Sukubanyak:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
adalah x1, x2, dan x3 maka
x1 + x2 + x3 =
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =
x1.x2.x3 =
a
b

a
c
a
d


26. Contoh 1:
Jumlah akar-akar persamaan
x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah….
Jawab:
a = 1, b = -3, c = 0, d = 2
x1 + x2 + x3 =
=
a
b

1
3
-
 = 3

27. Contoh 2:
Hasilkali akar-akar persamaan
2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah….
Jawab:
a = 2, b = -1, c = 5, d = -8
x1.x2.x3 =
=
a
d

2
8
-
 = 4

28. Contoh 3:
Salah satu akar persamaan
x3 + px2 – 3x – 10 = 0 adalah -2
Jumlah akar-akar persamaan
tersebut adalah….

29. Jawab:
-2 adalah akar persamaan
x3 + px2 – 3x - 10 = 0 →
-2 memenuhi persamaan tsb.
sehingga:
(-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) - 10 = 0
-8 + 4p + 6 – 10 = 0

30. -8 + 4p + 6 – 10 = 0
4p – 12 = 0  4p = 12 p = 3
Persamaan tersebut:
x3 + 3x2 – 3x – 10 = 0
Jumlah akar-akarnya:
x1 + x2 + x3 =
=
a
b

1
3
 = -3

31. Contoh 4:
Akar-akar persamaan
x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x1, x2,
dan x3. Nilai x1
2 + x2
2 + x3
2 =….

32. Jawab:
x1
2 + x2
2 + x3
2 = (x1 + x2 + x3)2
- 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
x3 – 4x2 + x – 4 = 0
x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1/1 = 1

33. x1 + x2 + x3 = 4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1
Jadi:
x1
2 + x2
2 + x3
2 = (x1 + x2 + x3)2
- 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
= 42 – 2.1
= 16 – 2
= 14