Kuadratur Gauss adalah salah satu integrasi numerik dalam metode numerik

1. i
INTEGRASI NUMERIK
(KUADRATUR GAUSS)
Makalah ini diajukan untuk memenuhi tugas
mata kuliah Metode Numerik
Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc
Disusun oleh:
1. Annisa Todingan Kannatasik (14144100056)
2. Erlita Fatmawati (14144100064)
3. Nur Aini Fajrin (14144100068)
Kelas 7A2
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2017

2. ii
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI.......................................................................................................... ii
BAB I..................................................................................................................... iii
PENDAHULUAN.................................................................................................iii
A. Latar Belakang ......................................................................................... iii
B. Rumusan Masalah.................................................................................... iv
C. Tujuan ....................................................................................................... iv
BAB II .................................................................................................................... 1
KAJIAN PUSTAKA ............................................................................................. 1
A. Metode Numerik........................................................................................ 1
B. Angka Signifikansi (Bena)........................................................................ 1
C. Deret Taylor............................................................................................... 4
D. Deret Mc Laurin........................................................................................ 5
E. Error (Galat).............................................................................................. 7
F. Integrasi Numerik ..................................................................................... 8
G. Metode Pias................................................................................................ 9
BAB III................................................................................................................. 11
PEMBAHASAN .................................................................................................. 11
A. Pengertian Metode Integrasi Gauss atau Kuadratur Gauss ....................... 11
B. Algoritma Metode Integrasi Gauss dengan n = 2...................................... 14
BAB IV................................................................................................................. 16
STUDI KASUS .................................................................................................... 16
BAB V................................................................................................................... 17
KESIMPULAN.................................................................................................... 17
DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................... 18

3. iii
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Integrasi numerik merupakan metode aproksimasi untuk memperoleh
nilai integral atau suatu fungsi secara numerik. Metode ini digunakan pada
fungsi-fungsi yang diintegralkan secara analitik. Salah satu metode
aproksimasi integral menggunakan metode kuadratur gauss, karena metode
ini memilki erorr yang kecil dan perumusan yang sederhana.
Aproksimasi integrasi dalam metode numerik dapat terbagi menjadi
dua bagian besar berdasarkan cara pengambilan panjang interval. Kedua
macam metode aproksimasi tersebut bertujuan untuk memperoleh ketelitian
yang lebih mendekati nilai sebenarnya dan kedua metode tersebut yaitu: (1)
Metode Newton-Cotes, Dalam pendekatan metode numerik dengan aturan
Newton Cotes, fungsi integral f(x) dihampiri dengan polinom Pn(x).
Selanjutnya integrasi dilakukan terhadap Pn(x) karena suku-suku polinom
lebih mudah untuk diintegrasikan. Adapun perumusan dengan metode
Newton-Cotes yaitu: Rumus trapesium, (2) Metode Kuadratur Gauss
Pendekatan lain dengan metode Kuadratur Gaus, nilai integrasi numeri cukup
diperoleh dengan menghitung nilai fungsi f(x) pada beberapa titik tertentu.
Pada Metode Kuadratur Gaus terdapat dua perumusan untuk mendapatkan
nilai integrasi numerik, yaitu: Kuadratur Gaus dengan Pendekatan Dua Titik
dan Kuadratur Gauss dengan Pendekatan Tiga Titik.
Dalam makalah ini akan dibahas mengenai intregasi menggunakan
kuadratur gauss.

4. iv
B. Rumusan Masalah
Pada makalah ini penyusun mencoba merumuskan permasalahan yang akan
dibahas sebagai berikut:
1. Apa pengertian dari integrase kuadratur gauss?
2. Bagaimana algoritma metode integrasi kuadratur gauss?
C. Tujuan
Tujuan yang ingin dicapai dalam penyusunan makalah ini adalah:
1. Mengetahui pengertian dari integrase kuadratur gauss.
2. Mengetahui langkah-langkah algoritma metode integrasi kuadratur gauss.

5. 1
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Metode Numerik
Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk
memformulasi kan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi
perhitungan Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi,
dilakukan dengan berbagai metode yang memiliki kendala-kendala. Metode
yang digunakan antara lain:
1. Metode Analitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada masalah
sederhana. Sedangkan Masalah real yang komplek dan non linier tidak
dapat diselesaikan.
2. Metode Grafik, metode ini digunakan Sebagai pendekatan penyelesaian
yang kompleks. Kendalanya bahwa metode ini Tidak akurat, sangat lama,
dan banyak membutuhkan waktu.
3. Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik secara manual. Cara ini
cukup lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan data.
Penggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai
kelemahan-kelemahan metode yang ada sebelumnya. Dapat dipahami pula
bawa pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan
dalam persamaan matematika. Persamaan ini sulit diselesaikan dengan model
analitik sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Dengan
metode numerik, manusia terbebas dari hitung menghitung manual yang
membosankan . Sehinggga waktu dapat lebih banyak digunakan untuk tujuan
yang lebih kreatif, seperti penekanan pada formulasi problem atau interpretasi
solusi dan tidak terjebak dalam rutinitas hitung menghitung
B. Angka Signifikansi (Bena)
Angka bena disebut juga sebagai angka penting atau angka sifnifikan
adalah jumlah angka yang digunkan sebagai batas minimal tingkat keyakinan.
Angka bena terdiri dari angka pasti dan angka taksiran. Angka taksiran
terletak pada akhir angka signifikan.

6. 2
Contoh pada ilangan 28,72; angka 2 adalah angka tanksiran
Aturan Aturan tentang Angka Bena
a. Setiap angka yang bukan nol pada suatu bilangan adalah angka bena
Contoh:
Bilangan 24.99 adalah bilangan yang terdiri dari 4 angka bena
b. Setiap angka nol yang terletak diantara angka yang bukan nol adalah
angka bena
Contoh:
Bilangan 400,009 adalah ilangan yang terdiri dari 6 angka bena
c. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir
dan di belakang tanda desimal adalah angka bena
Contoh:
Bilangan 28,400 adalah bilangan yang terdiri dari 5 angka bena
d. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol terahir dan tanpa
tanda desimal bukan merupakan angka bena
Contoh:
Bilangan 58000 adalah bilangan yang terdiri dari 2 angka bena
e. Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama bukan
merupakan angka bena
Contoh:
Bilangan 0,00011 adalah bilangan yang terdiri dari 2 angka
bena
f. Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang
teraahir dan terletak di depan tanda desimal merupakan angka bena
Contoh:
Bilangan 5000,0 merupakan bilangan yang terdiri dari 5 angka
bna
g. Untuk menunjukkan jumlah angka bena, kita dapat memberi tanda
pada angka yang merupakan batas angka bena dengan garis bawah,
garis atas, atau cetak tebal
Contoh:

7. 3
1256 adalah bilangan yang mempunyai 4 angka signifikan
1256 adalah bilangan yang mempunyai 3 angka signifikan
1256 adalah bilangan yang mempunyai 3 angka signifikan
Perhatikanlah bahwa angka 0 bisa menjadi angka bena atau bukan.
Misal padabilangan 0.001360; tiga buah angka nol pertama bukan
angka bena, sedangkan 0 yangterakhir adalah angka bena. Pengukuran
dilakukan sampai ketelitian 4 digit.
Penulisan Angka Bena pada Notasi Ilmiah
Jumlah angka bena akan terlihat dengan pasti bila bilangan ditulis
dalam notaasi ilmiah (scientific notation). Misalnya tetapan dalam kimia dan
fisika atau ukuran jarak dalamastronomi.
Contoh 2.11
a. 4,3123 x 101
memiliki 5 angka signifikan
b. 1,764 x 10-1
memiliki 4 angka signifikan
c. 1,2 x 10-6
memiliki 2 angka signifikan
d. 6,02 x 1023 (bilangan Avogadro) memiliki 24 angka signifikan
e. 1,5 x 107 memiliki 8 angka signifikan (jarak bumi-matahari)
Bentuk umum notasi ilmiah adalah a x 10n, dengan a adalah bilangan
riil yang memenuhi 1 ≤|a|<10 dan n adalah bilangan bulat. Berdasarkan aturan
penulisannotasi ilmiah, maka bilangan 0,7 x 103; 12 x 107; dan bilangan –23,4
x 107 tidak termasuk notasi ilmiah karena nilai a tidak memenuhi 1 ≤ |a|<10.
Aturan Pembulatan Angka Bena
Aturan 1
Bila angka terkiri dari angka yang harus dihilangkan adalah angka 4 atau
kurang maka angka terkanan dari yang mendahuluinya tetap
Contoh :
2334 dibulatkan sampai puluhan terdekat menghasilkan 2330
Aturan 2

8. 4
Bila angka terkiri dari angka yang harus dihilangkan lebih dari 5 atau angka 5
diikuti dengan angka bukan nol maka angka terkanan yang mendahuluinya
bertambah satu.
Contoh :
453 dibulatkan keseratusan terdekat menjadi 500
Aturan 3
Bila angka terkiri dari angka yang harus dihilangkan hanya angka 5 saja atau
angka 5 diikuti dengan angka nol saja maka angka terkanan yang
mendahuluinya bertambah satu jika ganjil dan tetap jika genap
Contoh :
3500 dibulatkan sampai ribuan terdekat menjadi 4000
C. Deret Taylor
Polinomial Taylor adalah akhir di dalam okulasi. Untuk sebuah
argumen 0x tunggal maka nilai-nilai polinomial tersebut dan nilai-nilai dari n
turunannya yang pertama diharuskan cocok dengan nilai-nilai sebuah fungsi
)(xy yang diberikan dan nilai-nilai dari n turunannya )(xy yang pertama
yakni.
niuntukxyxp ii
...,,1,0)()( 0
)(
0
)(

Keberadaan dan keunikan sebuah polinomial seperti itu akan
dibuktikan, dan akan merupakan hasil-hasil klasik dari analisis rumus Taylor
akan secara langsung membuktikan soal keberadaan, dengan
mempertunjukkan sebuah polinomial seperti itu di dalam bentuk
i
n
oi
i
xx
i
xy
xp )(
!
)(
)( 0
0
)(
 
Kesalahan polinomial Taylor, bila dipandang sebagai sebuah
aproksimasi kepada )(xy , akan dapat dinyatakan oleh rumus integral
000
)1(
)()(
!
1
)()(
0
dxxxxy
n
xpxy n
x
x
n
 


9. 5
Rumus kealahan lagrange akan dapat dideduksi dengan menaikan
sebuah teorema nilai purata kepada rumus integral tersebut. Rumus kesalahan
tersebut adalah
1
0
)1(
)(
)!1(
)(
)()( 



 n
n
xx
n
y
xpxy

Yang jelas menyerupai rumus kesalahan kolokasi dan rumus kesalahan
okulasi. Jika turunan-turunan dari )(xy dibatasi dan tidak bergantung pada n,
maka yang manapun diantara rumus kesalahan tersebut akan berperan untuk
memperkirakan derajat n yang diperlukan untuk mereduksi |)()(| xpxy 
dibawah suatu toleransi yang ditentukan pada sebuah interval argumen-
argumen x yang diberikan.
Fungsi-fungsi analitik mempunyai sifat bahwa, untuk n yang
cenderung menuju tak terhingga, maka kesalahan aproksima yang di atas
mempunyai limit nol untuk semua argumen x di dalam sebuah interval yang
diberiakn. Fungsi-fungsi seperti itu akan dinyatakan oleh deret Taylor
i
i
i
xx
i
xy
xy )(
!
)(
)( 0
0
0
)(
 


Deret binomial adalah sebuah kasus deret Taylor yang khususnya
penting. Untuk 11  x , kita memperoleh
i
i
p
x
i
p
x 









0
)1(
D. Deret Mc Laurin
Untuk membentuk fungsi umum deret Mclaurin biasanya
menggunakan fungsi umum )(xf turunan pertama dari )(xf dapat dituliskan
)(' xf dan turunan kedua )('' xf dan turunan ketiga )(''' xf dan seterusnya
Berikut adalah prosesnya
Misalkan ...)( 5432
 fxexdxcxbxaxf
Subtitusikan ,0x maka

10. 6
)0(...000)0( faaf 
Maka a = nilai dari fungsi untuk x sama dengan 0
Diferensiasikan: ...5.4.3.2.)(' 432
 xfxexdxcbxf
Subtitusikan
)0('...00)0('.0 fbbfx 
Diferensiasikan ...4.5.3.4.2.3.1.2.)('' 32
 xfxexdcxf
Subtitusikan
!2
)0(''
...00!2.)0(''.0
f
ccfx 
Kita bisa lanjutkan mencari d dan e dengan  )('' xf
dx
d
dengan )(''' xf dan
 )(''' xf
dx
d
denagan )(xf iv
Jadi d dan e !4
;
!3
)0(''' iv
f
e
f
d 
Berikut ini adalah pengerjaannya. Kita telah memperoleh;
...4.5.3.4.2.3.1.2.)('' 32
 xfxexdcxf






!3
)0('''
...00!3.)0('''.0
...3.4.5.2.3.4.1.2.3.)(''' 2
f
ddfxansubtitusik
xfxedxfsikandiferensia






!4
)0(
...00!4.)0(.0
...3.4.5.1.2.3.4.)(.
iv
iv
iv
f
eefxansubtitusik
xfexfiasikandideferens
;...
!4
)0(
;
!3
)0('''
;
!2
)0(''
);0(');0(
iv
f
e
f
d
f
cfbfa 
Dan seterusnya jadi
Subtitusikan pernyataan-pernyataan untuk ,,, cba dan seterusnya ke dalam
deret semula dan kita akan memperoleh
...
!3
)0('''
!2
)0(''
)0(')0()( 32
 x
f
x
f
ffxf

11. 7
Dan bisa ditulis sebagai
...)0('''
!3
)0(''.
!2
).0('')0(')0()(
32
 f
x
f
x
xfffxf
Ini adalah derete Mclaurin.
E. Error (Galat)
Hampiran pendekatan atau aproximasi (aprocsimation) didefinisikan
sebagai nilai yang mendekati solusi sejati (exact solution). Galat atau
kesalahan (eror) sebenarnya )( didefinisikan sebagai selisih solusi sejati ( 0x )
dengan solusi hampiran (x).
xx  0
Galat aturan kesalahan (eror) relatif sebenarnya )( r didefinisikan
sebagai perbandingan antara kesalahn sebenarnya )( dengan solusi sejati
( 0x )
%100
0

x
r


Dalam dunia nyata kita jarnag mendapatkan informasi mengenai
ukuran yang sebenarnya dari suatu benda. Cara untuk mengatsi hal ini adalah
dengan cara membandingkan kesalahan sebenarnya )( dengan solusi
hampiran (x) untuk mendapatkan nilai kesalahan relatif hampiran yaitu
%100
x
rh


Akan tetapi kita msih menghadapi kendala, karena nilai kesalahan )(
sebenarnya membutuhkan informasi tentang solusi sejati ( 0x ). Oleh karena itu
kita hitung nilai kesalahan relatif hampiran dengan membandingkan antara
selisih iterasi sekarnag dengan iterasi sebelumnya dengan nilai iterasi sekarang
yaitu
%100
1
1





r
rr
rh
x
xx


12. 8
Batas toleransi kesalahan ( s ) ditentukan oleh jumlah angka bena
yang akan kita gunakan. Hubungan antara toleransi kesalahan ( s ) dan angka
signifikan (n) adalah
)%1025,0( ns 
Pada waktu melakukan komputasi, nilai kesalahan yang terjadi
mungkin bernilai negatif. Akan tetapi biasanya kita tidak mempertimbangkan
apakah hasilnya positif atau negatif, tapi lebih memperhatikan harga
absolutnya, apakah masih lebih besar atau sudah lebih kecil dari batas
toleransi kesalahan ( s ) jika harga absolut kesalahan relatif hampiran )( rh
lebih kecil dari batas toleransi kesalahan ( s ) atau srh  || maka komputasi
selesai.
Jenis-jenis galat
a. Kesalahan karena bawaan data (inherent error)
b. Kesalahan karena pembulatan (round-off error)
c. Kesalahan karena pemotongan (turncation error )
F. Integrasi Numerik
Integrasi numerik adalah proses mencari hampiran luas bidang yang
dibatasi oleh ( )f x dan sumbu x pada selang tertutup  ,a b . Jika
( )f x dihampiri dengan polinomial ( )np x , maka integrasi numeric dalam
berbentuk,
( )
b
a
l f x dx  ( )
b
n
a
p x dx 
Proses pencarian nilai hampiran l dilakukan jika:
a) Fungsi ( )f x , disebut integran mempunyai bentuk yang sulit untuk
dilakukan proses integrasi.
b) Nilai x dan ( )f x hanya dalam bentuk

13. 9
c) tabel diskrit
Proses menentukan nilai hampiran integrasi numeric dilakukan
dengan beberapa cara atau metode, yaitu metode manual, pencocokan
polinomial, aturan trapesium, aturan titik tengah, aturan Simpson, integrasi
Romberg, serta Kuadratur Gauss.
G. Metode Pias
Pada umumnya, metode perhitungan integral secara numerik bekerja
dengan sejumlah titik diskrit. Karena data yang ditabulasikan sudah berbentuk
demikian, maka secara alami ia sesuai dengan kebanyakan metode integrasi
numerik. Untuk fungsi menerus, titik-titik diskrit itu diperoleh dengan
menggunakan persamaan fungsi yang diberikan untuk meng hasilkan tabel
nilai.
Gambar 2
Hampiran luas bidang yang
dibatasi ( )np x
Gambar 1
Luas bidang yang dibatasi ( )f x
Gambar 3

14. 10
Dihubungkan dengan tafsiran geometri inttegral Tentu, titik-titik pada
tabel sama dengan membagi selang integrasi  ,a b menjadi n buah pias (strip)
atau segmen (Gambar 3). Lebar tiap pias adalah
b a
h
n


Titik absis pias dinyatakan sebagai
, 0,1,2,...,rx a rh r n  
dan nilai fungsi pada titik absis pias adalah
( )r rf f x
Luas daerah integrasi  ,a b dihampiri sebagai luas n buah pias. Metode
integrasi numerik yang berbasis pias ini disebut metode pias. Ada juga buku
yang menyebutnya metode kuadratur, karena pias berbentuk segiempat.

15. 11
BAB III
PEMBAHASAN
A. Pengertian Metode Integrasi Gauss atau Kuadratur Gauss
Metode Integrasi Gauss atau Kuadratur Gauss merupakan metode
yang tidak menggunakan pembagian area yang banyak, tetapi memanfaatkan
titik berat dan pembobot integrasi. Metode ini secara komputasi memiliki
banyak keuntungan karena mempunyai kecepatan yang tinggi hal ini
ditunjukkan dengan jumlah pembaginya yang kecil dan dengan jumlah
pembagi yang relatif kecil mempunyai kesalahan yang sama dengan metode
lain dengan jumlah pembagi yang besar. Metode integrasi Gauss dapat
dijelaskan sebagai berikut:
Gambar Integral dihampiri dengan kuadratur Gauss
Pertama yang harus dilakukan adalah mengubah range  bax , pada
integrasi diatas menjadi  1,1u dengan menggunakan perbandingan
trapesium yang sebangun:

16. 12
ab
bax
u
baxabu
baxabu
baaxuaub
axabuaub
axabu
u
ab
ax












)(2
)(2)(
2)(
22
22
)(2))(1(
2
1
diperoleh
ab
abx
u



)(2
atau )(
2
1
)(
2
1
abuabx 
sehingga bentuk integral dapat dituliskan menjadi:


1
1
)( duugLi
dimana:
duabdx
duabdx
abdx
du
ab
abx
u
)(
2
1
)(2
2
)(2







Sehingga diperoleh:






 )(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)( abuabfabug
Dari bentuk ini, dapat diambil sejumlah titik pendekatan yang digunakan
sebagai titik acuan dalam integrasi kuadratur gauss sebagai berikut:
)()()( 2211
1
1
xgcxgcduugLi  
Dengan c1, c2, x1, dan x2 adalah sembarang nilai yang dapat mewakili.
Persamaan di atas menggunakan dua titik. Persamaan ini dapat diperluas
menjadi 3 titik, 4 titik, dan seterusnya.

17. 13
Persamaan di atas memiliki empat buah variabel yang tidak diketahui.
Variabel-variabel tersebut harus diisi sedemikian sehingga galat yang
dihasilkan minimum. Oleh karena itu dicari empat persamaan simultan yang
mengandung c1, c2, x1, dan x2 .
Dengan mengambil fungsi yang memiliki galat = 0 jika dihitung dengan
aturan trapesium, dalam hal ini adalah f(x) = 1, f(x) = x, f(x) = x2
, dan f(x) =
x3
maka kita dapatkan :
21
1
1
1
1
2|11)( ccxdxxf  


2211
1
1
1
1
2
0|
2
1
)( xcxcxdxxxxf  


2
22
2
11
1
1
1
1
322
3
2
|
3
1
)( xcxcxdxxxxf  


3
22
3
11
1
1
1
1
433
0|
4
1
)( xcxcxdxxxxf  


Sehingga diperoleh 4 persamaan, yaitu :
0
3
2
0
2
3
22
3
11
2
22
2
11
2211
21




xcxc
xcxc
xcxc
cc
yang apabila dieliminasi menghasilkan :
c1 = c2 = 1
x1 =
3
1

x2 =
3
1

18. 14
Jadi, diperoleh untuk n=2:












  3
1
3
1
)(
1
1
ggduugL
Untuk n selanjutnya bisa dilihat pada tabel
B. Algoritma Metode Integrasi Gauss dengan n = 2
1. Definisikan fungsi f(x)
2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)
3. Hitung nilai konversi variabel :
)(
2
1
)(
2
1
abuabx 
4. Tentukan fungsi g(u) dengan:






 )(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)( abuabfabug
5. Hitung:













3
1
3
1
ggL
n c x
2
1
1
2
1


c
c
3
1
3
1
2
1


x
x
3
5
3
5
3
0
3
2
1



c
c
c
9
5
9
5
9
8
3
2
1



x
x
x

19. 15
Contoh:
Hitung integral: 
1
0
2
dxx dengan n=2
Pertama yang harus dilakukan adalah menghitung u, dengan:
)1(
2
1
12
1
12
)(
)(2







uxatau
x
x
ab
abx
u
Karena f(x) = x2
=
2
)1(
2
1






u
Dengan demikian diperoleh fungsi g(u):
  2
2
)1(
8
1
1
2
1
2
1
)( 





 uuug
Dengan menggunakan integrasi kuadratur gauss diperoleh :
33333.0
022329.0311004.0
1
3
1
8
1
1
3
1
8
1
3
1
3
1
22


























 ggL

20. 16
BAB IV
STUDI KASUS
Integrasi Kuadratur Gauss digunakan untuk menghitung jarak yang ditempuh
sebuah roket.
Gunakan Kuadratur Gauss untuk menghitung jarak yang ditempuh oleh sebuah
roket dari a=8 dan b=30 yang diberikan dengan;
 







30
8
8.9
2100140000
140000
ln2000 dxx
x
L
Penyelesaian:
Ubah integral  





 



30
8
1
1
2
830
2
830
2
830
)( ufdttf
  
1
1
191111 duuf
Dengan menggunakan tabel (2 titik)
A1=1 u1= -0.577350269 A2 = 1 u2= 0.577350269
     
     
    
 
 
 
 
 
 
4811.708
35085.258.9
35085.252100140000
140000
ln200035085.25
8317.296
64915.128.9
64915.122100140000
140000
ln200064915.12
64915.12251164915.1211
19577303.0111119577303.01111
191111191111191111 2211
1
1





















f
f
fff
ff
ufAufAduuf
Jadi, integral = 11(296.8317) + 11(708.4811) = 11058
Secara analisis integral dapat diselesaikan yaitu 11061.34 sehingga erro yang
terjadi adala 11061.34 – 11058.44 = 2.90m.

21. 17
BAB V
KESIMPULAN
Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-
permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi
hitungan (arithmetic). Metode numerik merupakan suatu teknik untuk
menyelesaikan masalah matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan
computer ia sanggup menangani masalah yang rumit dan melibatkan perhitungan
yang luas.
Integrasi numerik adalah proses mencari hampiran luas bidang yang dibatasi
oleh ( )f x dan sumbu x pada selang tertutup  ,a b . Jika ( )f x dihampiri dengan
polinomial ( )np x , maka integrasi numeric dalam berbentuk,
( )
b
a
l f x dx  ( )
b
n
a
p x dx 
Proses menentukan nilai hampiran integrasi numerik dilakukan dengan
beberapa cara atau metode, yaitu metode manual, pencocokan polinomial, aturan
trapesium, aturan titik tengah, aturan Simpson, integrasi Romberg, serta Kuadratur
Gauss.
Metode Integrasi Gauss atau Kuadratur Gauss merupakan metode yang tidak
menggunakan pembagian area yang banyak, tetapi memanfaatkan titik berat dan
pembobot integrasi. Metode ini secara komputasi memiliki banyak keuntungan
karena mempunyai kecepatan yang tinggi hal ini ditunjukkan dengan jumlah
pembaginya yang kecil dan dengan jumlah pembagi yang relatif kecil mempunyai
kesalahan yang sama dengan metode lain dengan jumlah pembagi yang besar.
Titik acuan dalam integrasi kuadratur gauss sebagai berikut:
 

n
i
iii gAduugL
1
1
1
)()( 
Model dari integrasi kuadratur gauss dengan n= 2 dapat dituliskan dengan:












 3
1
3
1
)(
1
1
ggduug

22. 18
DAFTAR PUSTAKA
https://id.scribd.com/doc/170932985/Angka-Penting-Dan-Notasi-Ilmiah (Diakses
pada tanggal 5 Novemver 2017 pukul 19.48)
Nugraha Pasca. 2011. Perbandingan Metode Kuadratur Gauss-Legendre dengan
Metode Kuadratur Clenshaw-Curtis untuk Mencari Solusi Permasalahan
Integral. Bandung. ITB
Scheid, Francis. 1992. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-soal Analisis Numerik.
Jakarta. Erlangga
Salusu. A. 2008. Metode Numerik. Yogyakarta. Graha ilmu
Stroud, K.A. 2002. Matematika Tehnik. Jakarta. Erlangga
Sudiadi dan Teguh. 2015. Metode Numerik. Palembang. STMIK MDP