1. บทที่ 3
ความนาจะเปน
(40 ชั่วโมง)
ตามประวัติศาสตร การหาความนาจะเปนเริ่มมาจากปญหาการไดเปรียบเสีย
เปรียบในการพนัน การศึกษาเรื่องนี้จะชวยใหผูเรียนสามารถคาดเหตุการณลวงหนาไดอยางมี
หลักเกณฑ ซึ่งจะชวยในการตัดสินใจไดอยางมาก ซึ่งบทนี้จะกลาวถึงกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยว
กับการนับ วิธีเรียงสับเปลี่ยน วิธีจัดหมู ทฤษฎีบททวินาม ความนาจะเปน และกฎที่สําคัญบาง
ประการของความนาจะเปน
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. แกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ วิธีเรียงสับเปลี่ยน และวิธีจัดหมู
2. นําความรูเรื่องทฤษฎีบททวินามไปใชได
3. หาความนาจะเปนของเหตุการณที่กําหนดใหได
ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้น
ทางดานความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/
กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล
การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทาง
คณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอื่น และการคิดริเริ่มสรางสรรค นอกจากนั้น
กิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริมใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร
ตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ
มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง

2. 115
ขอเสนอแนะ
1. ในการใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับหาคําตอบของโจทยปญหานั้น ควร
อานโจทยปญหาใหเขาใจวาในปญหานั้นกําหนดเงื่อนไขอะไรบาง การพิจารณาเงื่อนไขของ
ปญหาจะชวยใหสามารถกําหนดขั้นตอนในการแกปญหา ซึ่งจะชวยใหสามารถหาคําตอบได
งายขึ้น ลองพิจารณาตัวอยางตอไปนี้
ปญหาที่ 1 จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักโดยที่ตัวเลขใน
แตละหลักไมซ้ํากันไดทั้งสิ้นกี่จํานวน
วิธีคิด จากโจทยปญหาไดกําหนดเงื่อนไข 3 ขอ คือ
1) ใหใชตัวเลขโดดได 6 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5
2) จํานวนที่ตองการ เปนจํานวนที่มีสามหลัก
3) ตัวเลขในแตละหลักของแตละจํานวนที่ตองการ ตองไมซ้ํากัน
จากเงื่อนไขทั้งสามขอนี้ตองนํามาพิจารณาประกอบการใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับ
การนับ เพื่อหาวาจะเขียนจํานวนที่ตองการไดกี่จํานวน สําหรับปญหานี้ตองพิจารณาวิธีที่จะ
เขียนตัวเลขในหลักตาง ๆ คือ หลักหนวย หลักสิบ และหลักรอย เนื่องจากการเขียนจํานวน
ที่มีสามหลักนั้น หลักรอยตองไมใชตัวเลข 0 สวนหลักอื่น ๆ นั้นจะใชตัวเลขใดก็ไดใน 6 ตัว
ที่กําหนด การเริ่มแกปญหาจึงควรเริ่มดวยการหาจํานวนวิธีที่จะเขียนตัวเลขในหลักรอย
เพราะมีขอจํากัดมากกวาหลักอื่น ๆ ดังนั้น วิธีหาคําตอบปญหาจึงอาจเปนดังนี้
วิธีที่ 1 เขียนตัวเลขในหลักรอยไดตาง ๆ กัน 5 วิธี
แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักรอย เขียนตัวเลขในหลักสิบได 5 วิธี
แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักรอยและหลักสิบ เขียนตัวเลขในหลักหนวยได 4 วิธี
ดังนั้น จากกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ จํานวนที่มีสามหลักที่เขียนโดยใช
ตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยที่ตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันมีทั้งสิ้น 5 × 5 × 4 = 100
จํานวน
วิธีหาคําตอบขางตนเปนเพียงวิธีหนึ่งเทานั้น อาจหาคําตอบโดยวิธีอื่น ๆ ก็ได
เชน การพิจารณาโดยเริ่มจากการเขียนหลักหนวยกอน แตเนื่องจากจะมีปญหาวา
เหลือ 0 อยูหรือไม จึงแยกกรณีพิจารณาดังตอไปนี้
วิธีที่ 2 ถาเริ่มเขียนตัวเลขในหลักหนวยกอน แยกกรณีพิจารณาไดดังนี้

3. 116
(1) หาจํานวนที่มีสามหลักที่มี 0 อยูในหลักหนวย เขียนตัวเลขในหลักสิบได 5 วิธี
แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักสิบ เขียนตัวเลขในหลักรอยได 4 วิธี
ดังนั้น จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่มี 0 อยูในหลักหนวย และใชตัวเลข
0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยที่ตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันได 5 × 4 = 20 จํานวน
(2) หาจํานวนสามหลักที่มี 0 อยูในหลักสิบ
ในทํานองเดียวกับขอ (1) จะไดวาจํานวนสามหลักในขอนี้มีทั้งหมด 20 จํานวน
(3) หาจํานวนสามหลักที่ไมมี 0 ปรากฏอยูเลย
จะไดทั้งหมด 5 × 4 × 3 = 60 จํานวน
จาก (1), (2) และ (3) จํานวนสามหลักที่ไดจากการใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5
เขียนโดยตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากัน มีทั้งสิ้น 20 + 20 + 60 = 100 จํานวน
ปญหาที่ 2 จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคี่
และตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันไดกี่จํานวน
วิธีคิด เงื่อนไขของปญหานี้เหมือนของปญหาที่ 1 แตเพิ่มเงื่อนไขอีกหนึ่งขอ คือ จํานวน
ที่ตองการตองเปนจํานวนคี่ เงื่อนไขนี้มีผลตอจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักหนวย
ถาเริ่มหาคําตอบโดยพิจารณาจํานวนวิธีที่จะเขียนตัวเลขในหลักรอยกอนเชนเดียว
กับการพิจารณาการเขียนตัวเลขในหลักหนวยวาทําไดกี่วิธีจะมีปญหา เพราะใน 5 วิธี
ที่เขียนตัวเลขในหลักรอยนั้นมี 3 วิธี ที่ใช 1, 3 และ 5 ไปแลว ทําใหมีผลตอจํานวน
วิธีเขียนตัวเลขในหลักหนวยซึ่งใชตัวเลขที่กําหนดใหไดเพียง 3 ตัว คือ 1, 3 และ 5
เทานั้น ยิ่งถาพิจารณาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักสิบตอจากการพิจารณาจํานวน
วิธีเขียนตัวเลขในหลักรอยจะทําใหการพิจารณาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักหนวย
มีปญหามากขึ้น
วิธีหาคําตอบของปญหานี้จึงควรพิจารณาวิธีเขียนตัวเลขในหลักหนวยเสียกอน
แลวพิจารณาจํานวนวิธีการเขียนตัวเลขในหลักรอย จากนั้นจึงไปพิจารณาจํานวน
วิธีเขียนตัวเลขในหลักสิบเปนอันดับสุดทาย
วิธีทํา เขียนตัวเลขในหลักหนวยไดตาง ๆ กัน 3 วิธี
แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวย เขียนตัวเลขในหลักรอยได 4 วิธี
แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยและหลักรอย เขียนตัวเลขในหลักสิบได 4 วิธี

4. 117
ดังนั้น ใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 เขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคี่
และตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากัน ได 4 × 4 × 3 = 48 จํานวน
ปญหาที่ 3 จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูและ
ตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันไดกี่จํานวน
วิธีคิด ปญหาที่ 3 นี้ มีเงื่อนไขเพิ่มจากปญหาที่ 1 อีกหนึ่งขอคือ จํานวนที่ตองการเปน
จํานวนคู ถาพิจารณาไมรอบคอบอาจจะสรุปวาใชวิธีการในทํานองเดียวกับที่ใชใน
การหาคําตอบปญหาที่ 2 คือ พิจารณาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักหนวย หลักรอย
และหลักสิบ ตามลําดับ แตวิธีดังกลาวมีปญหาเพราะตัวเลขที่อาจใชในหลักหนวยมี
3 ตัว คือ 0, 2 และ 4 การที่ 0 อาจถูกใชหรือไมถูกใชในการเขียนตัวเลขหลักหนวย
มีผลตอการพิจารณาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักรอย การหาคําตอบจึงอาจทําได
โดยการแยกกรณีพิจารณา เมื่อใช 0 เปนหลักหนวย และเมื่อไมไดใช 0 เปน
หลักหนวย ดังนี้
วิธีทํา แยกกรณีและพิจารณาดังนี้
1. เมื่อใชตัวเลขในหลักหนวยเปน 0
เขียนตัวเลขในหลักรอยได 5 วิธี
แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักรอย เขียนตัวเลขในหลักสิบได 4 วิธี
ดังนั้น จํานวนสามที่มีหลักที่หลักหนวยเปน 0 ที่เขียนโดยใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4
และ 5 โดยตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันมี 5 × 4 = 20 จํานวน
2. เมื่อตัวเลขในหลักหนวยไมใช 0
เขียนตัวเลขในหลักหนวยได 2 วิธี (คือ 2 หรือ 4)
แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวย เขียนตัวเลขในหลักรอยได 4 วิธี
แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยและในหลักรอย เขียนตัวเลขในหลักสิบได 4 วิธี
ดังนั้น จํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูที่หลักหนวยไมเปน 0 และเขียนโดย
ใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากัน มี
4 × 4 × 2 = 32 จํานวน
ดังนั้นการใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 เขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคู
โดยตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากัน ได 20 + 32 = 52 จํานวน

5. 118
หมายเหตุ 1. ถาปญหาที่ 1, 2 และ 3 เปนปญหาที่ถามตอเนื่องกันแลว การหาคําตอบ
ปญหาที่ 3 อาจใชคําตอบปญหาที่ 1 และ 2 ชวย โดยใชคําตอบปญหาที่ 2 ลบออกจากคําตอบ
ปญหาที่ 1 ก็ได
2. ในการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับการนับจํานวนวิธี บางกรณีก็ใชเฉพาะการคูณ
บางกรณีก็ใชการบวก ซึ่งผูสอนควรอธิบายใหผูเรียนเขาใจถึงลักษณะของโจทยที่จะตองใช
การคูณหรือการบวก การกระทําใด ๆ ที่ยังไมสิ้นสุดการคํานวณหาจํานวนวิธีสําหรับการกระทํา
นั้น ๆ เราใชการคูณ แตถาการกระทําใด ๆ สามารถแยกไดเปนหลายกรณีและแตละกรณีสิ้นสุด
ลงแลว ในการคํานวณหาจํานวนวิธีสําหรับการกระทํานั้นเราใชการบวกจํานวนวิธีในแตละกรณี
เขาดวยกัน ดังจะเห็นไดจากตัวอยางขางตนที่ใหหาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคู เราแยก
เปนจํานวนคูที่ลงทายดวย 0 ซึ่งมี 20 จํานวน ซึ่งการคํานวณหาจํานวนวิธีในกรณีนี้สิ้นสุดลงแลว
และจํานวนคูที่ไมลงทายดวย 0 ซึ่งมี 32 จํานวน การคํานวณหาจํานวนวิธีในกรณีนี้ก็สิ้นสุด
ลงแลวเชนกัน ดังนั้น เมื่อเราตองการทราบวาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูมีกี่จํานวน
เราจึงนําจํานวนวิธีที่หาไดในแตละกรณีมาบวกกัน กลาวคือ มี 20 + 32 = 52 จํานวน และ
จะเห็นวา ในการคํานวณหาจํานวนคูดังกลาวในแตละกรณีนั้น แตละตอนเปนการกระทําที่
ตอเนื่องกัน เราจึงใชวิธีคูณดังไดกลาวแลวในกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ หลักการที่
กลาวมานี้สามารถนําไปใชกับการคํานวณหาจํานวนวิธีทั้งหมดในวิธีเรียงสับเปลี่ยน และวิธี
จัดหมูไดเชนเดียวกัน
3. ในการแกโจทยปญหา ผูเรียนมักจะพบปญหาวา โจทยขอนี้เปนเรื่อง
เกี่ยวกับวิธีเรียงสับเปลี่ยนหรือวิธีจัดหมูที่เปนดังนี้อาจเปนเพราะผูเรียนไมเขาใจวาวิธีเรียง
สับเปลี่ยนและวิธีจัดหมูนั้นมีความหมายตางกันอยางไร ผูสอนควรอธิบายใหผูเรียนเขาใจวา
วิธีเรียงสับเปลี่ยนนั้นจะเกี่ยวของกับตําแหนงที่หรืออันดับที่ สวนวิธีจัดหมูนั้นไมเกี่ยวกับ
ตําแหนงที่หรืออันดับ เชน
1) มีจุด 4 จุด บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนึ่งจะลากสวนของเสนตรง
ผานจุด 2 จุดไดทั้งหมดกี่เสน
จะเห็นวา สวนของเสนตรงที่ลากผานจุดที่ 1 ไปยังจุดที่ 2 และ
สวนของเสนตรงที่ลากผานจุดที่ 2 ไปยังจุดที่ 1 เปนสวนของเสนตรงเดียวกัน จึงไมตองคํานึง
ถึงอันดับใดกอนหลัง การทําโจทยประเภทนี้เปนวิธีจัดหมู
ดังนั้น จะมีสวนของเสนตรง 4
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 4!
2!2!
= 6 เสน

6. 119
2) จากตัวอักษรในคําวา MONDAY ถาตองการนําอักษร 3 ตัว
จากคํานี้มาเรียงเปนคําใหมโดยไมคํานึงถึงความหมายจะจัดไดทั้งหมดกี่คํา
จะเห็นวา ตําแหนงที่ตางกันของอักษรทั้ง 3 ตัวที่จัดนั้นทําใหเกิดคําใหม
เสมอ จึงถือวาตําแหนงที่หรืออันดับที่ทําใหผลที่เกิดขึ้นตางกัน โจทยขอนี้จึงเปนวิธีเรียงสับเปลี่ยน
ดังนั้น จะจัดคําทั้งหมดได P6, 3 = 6 × 5 × 4 = 120 คํา
หรืออาจจะคิดไดอีกวิธีหนึ่งดังนี้
มีอักษรทั้งหมด 6 ตัว เลือกมาทีละ 3 ตัว แลวนํา 3 ตัวนี้มาจัดเรียง
สับเปลี่ยนอีกครั้งหนึ่ง จํานวนวิธีเลือกทั้งหมดมี C6, 3 วิธี ในแตละวิธีของการเลือกนํามา
จัดเรียงสับเปลี่ยนได 3! วิธี
ดังนั้น จะจัดคําทั้งหมดได C6, 3 × 3! = 120 คํา
และในกรณีทั่วไปจะพบวา cn,r × r! = Pn, r
4. ในการพิจารณาปญหาเกี่ยวกับจํานวนวิธีในการจัดเรียงตัวอักษรหรือตัวเลข
มักจะมีปญหาวาจะจัดตัวอักษรหรือตัวเลขเหลานั้นซ้ํากันไดหรือไมในกรณีที่โจทยปญหานั้น
ไมบงไวอยางแนชัด ปญหาดังกลาวเปนปญหาที่เกิดจากการตีความหมายซึ่งไมมีขอตกลงหรือ
ขอกําหนดที่แนนอน ผูสอนควรหลีกเลี่ยงไมใหเกิดปญหาเหลานั้นโดยการกําหนดใหชัดเจน
(ดังตัวอยางในหนังสือเรียน) วาจะใชตัวเลขหรือตัวอักษรซ้ําไดหรือไม
ตัวอยางโจทยปญหาที่กําหนดไวชัดเจนที่ควรจะตีความหมายไดตรงกัน
(1) จะเขียนจํานวนเต็มบวกซึ่งมีสี่หลักไดทั้งหมดกี่จํานวน (ในกรณีนี้
ตัวเลขในแตละหลักใชซ้ํากันได ดังนั้น คําตอบคือ 9 × 10 × 10 × 10 จํานวน)
(2) จะใชบัตร 4 ใบที่เขียนตัวเลข 1, 2, 3, 4 ไวตามลําดับเรียงใหไดจํานวน
ที่มีสามหลักไดทั้งหมดกี่จํานวน (ในกรณีนี้การจัดเรียงแตละแบบใชบัตรไดบัตรละ 1 ครั้ง
ดังนั้น คําตอบคือ 4!)
(3) จะใชตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 เขียนลงในบัตรโดยเขียนเปนจํานวนที่มี
หกหลัก จะเขียนไดทั้งหมดกี่บัตร (ในกรณีนี้การจัดในแตละแบบใชตัวเลขซ้ํากันได เชน
หมายเลข 666333 เปนตน ดังนั้น คําตอบคือ 66
บัตร
(4) จะมีวิธีจัดเรียงตัวอักษรในคําวา “HEAD” ไดกี่วิธีถาไมสนใจความ
หมายของคําที่เกิดขึ้น (ในกรณีนี้คลายกับกรณีในขอ (2) ซึ่งคลายกับวา ตัวอักษรแตละตัว
เขียนอยูในบัตร นําบัตรมาจัดเรียงอันดับใหม คําตอบคือ 4!)
(5) จะมีวิธีจัดเรียงตัวเลขในเซต {0, 1, 2, 3, 4} ไดกี่วิธี (ในกรณีนี้คลาย

7. 120
กับกรณีในขอ (4) คําตอบคือ 5!)
(6) จะมีวิธีจัดเรียงตัวเลขในจํานวน “2435” ไดกี่วิธี ( คําตอบคือ 4!)
(7) จะสรางจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักจากตัวเลข 1, 4, 6, 9 ไดกี่จํานวน
(ในกรณีนี้โดยทั่วไปจะหมายถึงวาใชตัวเลขซ้ําได แตเพื่อปองกันมิใหเกิดปญหา ควรเขียน
ใหชัดเจนลงไปวา ใชตัวเลขซ้ํากันได)
5. ในเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม อาจมีปญหาเกี่ยวกับการหาจํานวนวิธี
เชน การรอยลูกปดเปนวงกลม หรือการรอยพวงมาลัยเปนวงกลม เปนตน
การหาจํานวนวิธีรอยลูกปด 4 ลูก ซึ่งมีสีขาว สีแดง สีฟา และสีมวง
เปนวงกลม มีไดกี่วิธี
ถาการจัดเรียงเปนวงกลมนี้ จะจัดได (4 – 1)! = 6 วิธี ดังรูป
(1) (2) ให ข แทนสีขาว
ส แทนสีแดง
ฟ แทนสีฟา
ม แทนสีมวง
(3) (4)
(5) (6)
แตถาเรารอยลูกปดของแตละวิธีที่จัดเรียงไวเขาดวยกันเปนวงกลม จะเห็นวา
เรารอยไดเพียง 3 วิธี คือ (1), (3) และ (5) เพราะในการรอยแบบ (1) ทําใหเกิดแบบ (2) ดวย
ข
ส
ฟ
ม
ข
ม
ฟ
ส
ข
ฟ
ม
ส
ข
ส
ม
ฟ
ข
ม
ส
ฟ
ข
ฟ
ส
ม

8. 121
กลาวคือ เมื่อพลิกอีกดานหนึ่งของ (1) ขึ้น ก็จะไดการจัดเรียงแบบ (2) นั่นเอง ทํานองเดียว
กัน ถาพลิกอีกดานหนึ่งของ (3) จะไดการจัดเรียงแบบ (4) และพลิกแบบ (5) ก็ไดการจัดเรียง
แบบ(6)
ดังนั้น ในการรอยลูกปด 4 ลูก รอยได 3 วิธี
โดยทั่วไปจํานวนวิธีจัดเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมในลักษณะที่กลาวขางตน
กลาวคือมีการพลิกกลับอีกดานหนึ่งได จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนจะเปนครึ่งหนึ่งของจํานวน
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมที่กลาวไวในหนังสือเรียน
6. กรณีที่วา ถามีสิ่งของอยู n สิ่ง ในจํานวนนี้มี n1 สิ่งที่เหมือนกันเปนกลุม
ที่ 1 มี n2 สิ่งที่เหมือนกันเปนกลุมที่ 2 ... และมี nk สิ่งที่เหมือนกันเปนกลุมที่ k โดยที่
n1 + n2 + ... + nk = n จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของทั้ง n สิ่งเทากับ
1 2 k
n!
n !n ! n !L
กฎนี้บางครั้งเรียกวา “กฎการแบงกลุม” (Partitioning Law) เพราะอาจใช
คํานวณจํานวนวิธีที่จะแบงคนหรือสิ่งของ n สิ่ง ออกเปน k กลุม โดยใหกลุมที่ 1 มี n1 สิ่ง
กลุมที่ 2 มี n2 สิ่ง ... กลุมที่ k มี nk สิ่ง และ n1 + n2 + ... + nk = n การใชกฎนี้คํานวณ
หาจํานวนวิธีที่จะแบงสิ่งของดังกลาวขางตนมีขอควรระวังวา จํานวนสิ่งของในแตละกลุม
จะตองไมเทากัน และสิ่งของที่นํามาแบงตองแตกตางกันทั้งหมด
สมมุติวามีของ 4 สิ่ง คือ A, B, C และ D ตองการแบงออกเปนสองกลุม
กลุมหนึ่งมี 3 สิ่ง อีกกลุมหนึ่งมี 1 สิ่ง จะแบงไดดังนี้
A, B, C กับ D
A, B, D กับ C
A, C, D กับ B
B, C, D กับ A
จะเห็นวา แบงไดทั้งหมด 4 วิธี
วิธีการแบงก็คือเลือกของที่จะใหเปนกลุมแรกออกมากอน ของที่เหลือก็จะ
เปนอีกกลุมหนึ่ง
ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะแบงของดังกลาว จะเทากับจํานวนวิธีของการเลือก
ของ 3 สิ่งจากของ 4 สิ่ง ซึ่งเทากับ
C4, 3 = 4!
3!1!
= 4 วิธี

9. 122
หรือจะเทากับจํานวนวิธีของการเลือกของ 1 สิ่งจากของ 4 สิ่ง ซึ่งเทากับ
C4, 1 = 4!
1!3!
= 4 วิธี
กลาวโดยทั่วไปไดวา ถามีสิ่งของ p + q สิ่ง ซึ่งแตกตางกันทั้งหมดตองการ
แบงออกเปนสองกลุม ๆ ละ p และ q สิ่ง โดยที่ p ≠ q จะไดจํานวนวิธีแบงเทากับ
Cp+q, p หรือ Cp+q, q
โดยที่ Cp+q, p = (p q)!
p!q!
+
Cp+q, q = (p q)!
p!q!
+
ถาตองการแบงสิ่งของ p + q + r สิ่ง ซึ่งแตกตางกันทั้งหมดและแบงเปน
3 กลุม ๆ ละ p, q และ r สิ่ง โดยที่ p ≠ q ≠ r ก็ทําไดโดยการแบงของ p + q + r สิ่ง
ออกเปนสองกลุมกอน โดยใหกลุมที่หนึ่งมีของ p สิ่ง อีกกลุมหนึ่งจะมีของ q + r สิ่ง
จํานวนวิธีแบงของ p สิ่ง จาก p + q + r สิ่ง เทากับ Cp+q+r, p
Cp+q+r, p = (p q r)!
p!(q r)!
+ +
+
ในแตละวิธีของการแบงกลุมครั้งนี้จะแบงของ q + r สิ่ง ออกเปนสองกลุม ๆ ละ q และ r สิ่ง
จะไดจํานวนวิธีแบงเทากับ Cq+r, q หรือ Cq+r, r
ดังนั้น จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะแบงของ p + q + r สิ่ง ซึ่งแตกตางกันออก
เปนสามกลุม ๆ ละ p, q และ r สิ่ง โดยที่ p ≠ q ≠ r จะมีทั้งหมด
p q r q r
p q
+ + +⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
= (p q r)! (q r)!
p!(q r)! q!r!
+ + +
×
+
= (p q r)!
p!q!r!
+ +
ในทํานองเดียวกัน ถาตองการแบงของ n สิ่ง ซึ่งแตกตางกันทั้งหมด
ออกเปน k กลุม ๆ ละ n1, n2, ..., nk สิ่ง โดยที่ n1 ≠ n2 ≠ ... ≠ nk และ n1 + n2 + ...+ nk = n
จํานวนวิธีแบงทั้งหมดเทากับ
1 2 k
n!
n !n ! n !L
ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดแบงนักเรียน 20 คน ใหขึ้นรถยนต 3 คัน โดยที่
รถยนตแตละคันบรรทุกได 5, 7 และ 8 คน ตามลําดับ
วิธีคิด การจัดแบงนักเรียน 20 คน ใหขึ้นรถยนต 3 คันนี้ก็คือ การแบงนักเรียน 20 คน
ออกเปนสามกลุม ๆ ละ 5, 7 และ 8 คน เมื่อแบงแลวใหแตละกลุมขึ้นรถยนต

10. 123
ตามขนาดบรรทุกที่กําหนด เชนกลุมที่มีนักเรียน 5 คน ก็ขึ้นรถยนตคันที่บรรทุก
ได 5 คน จึงไมตองมีการสลับกลุมเพื่อขึ้นรถยนต และในรถยนตแตละคัน
นักเรียนไมตองสลับที่กันนั่ง เพราะจะสลับกันอยางไรก็อยูในรถยนตคันเดียวกัน
นั่นเอง
วิธีทํา จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดแบงนักเรียนใหขึ้นรถยนตได 20!
5!7!8!
= 99,768,240 วิธี
7. การนําเขาสูบทเรียนเรื่องปริภูมิตัวอยาง ควรใหผูเรียนเขียนผลลัพธที่เปน
ไปไดทั้งหมด ซึ่งอาจใชการเขียนแผนภาพตนไมชวย แลวจึงบอกใหผูเรียนทราบวา เซตของ
ผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดคือปริภูมิตัวอยาง
8. ในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ E ที่เปนสับเซตของปริภูมิตัวอยาง
โดยใชบทนิยาม P(E) = n
N
เมื่อ n เปนจํานวนสมาชิกของเหตุการณ และ N เปนจํานวน
สมาชิกของปริภูมิตัวอยาง S จะใชไดก็ตอเมื่อ S เปนเซตจํากัดและแตละสมาชิกในปริภูมิ
ตัวอยาง S มีโอกาสเกิดขึ้นไดเทา ๆ กัน เชน
ก. ในถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 10 ลูก สีขาว 5 ลูก หยิบลูกบอลมา 1 ลูก
สนใจสีของลูกบอลที่หยิบได ปริภูมิตัวอยาง คือ
S = {สีแดง, สีขาว}
ถาสนใจเหตุการณ E ที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดง
E = {สีแดง}
ถาใชสูตรโดยไมพิจารณาเงื่อนไขจะได P(E) = 1
2
ซึ่งผิด เนื่องจากแตละสมาชิกในปริภูมิ
ตัวอยาง S มีโอกาสเกิดขึ้นไดไมเทากัน เพราะในถุงมีลูกบอลสีแดงมากกวาสีขาว
ดังนั้น โอกาสที่จะไดลูกบอลสีแดงจึงมีมากกวาโอกาสที่หยิบไดลูกบอลสีขาว แตถาเขียน S
และ E ใหมดังนี้
S = {x⏐x เปนลูกบอลในถุง}
E = {x⏐x เปนลูกบอลสีแดงในถุง}
จะใชสูตร P(E) = n
N
ได เพราะสมาชิกแตละตัวใน S มีโอกาสที่จะถูกหยิบไดเทา ๆ กัน
ดังนั้น จะได P(E) = 10
15

11. 124
ถา E เปนเหตุการณที่จะไดผลรวมของแตมเปน 3 จากการทอดลูกเตา 2 ลูก 1 ครั้ง
จะหา P(E) โดยใชปริภูมิตัวอยาง S = {2, 3, 4, ..., 12} ไมได เนื่องจากแตละ
สมาชิกในปริภูมิตัวอยาง S มีโอกาสเกิดขึ้นไดไมเทากัน เชน การที่จะไดผลรวมเปน 2 มี
โอกาสเกิดขึ้นไดวิธีเดียวคือ ลูกแรกขึ้น 1 และลูกหลังขึ้น 1 ดวย แตการที่จะไดผลรวมเปน
3 มีได 2 วิธี คือ
ลูกแรกขึ้น 1 และลูกหลังขึ้น 2
ลูกแรกขึ้น 2 และลูกหลังขึ้น 1
จะเห็นวา การที่จะไดผลรวมของแตมเปน 3 มีโอกาสที่จะเกิดขึ้นไดมากกวาที่จะ
ไดผลรวมของแตมเปน 2 ดังนั้น ในการหาความนาจะเปนโดยใชสูตร P(E) = n
N
ปริภูมิตัวอยาง S จะตองประกอบดวยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นไดเทา ๆ กันคือ
S = {(1, 1), (1, 2), ...., (1, 6), ...
(6, 1), (6, 2), ..., (6, 6)}
E = {(1, 2), (2, 1)}
9. ผูสอนควรใหผูเรียนใชกฎที่สําคัญบางประการของความนาจะเปน และชี้ใหเห็น
วาปญหาบางปญหาอาจทําไดทั้ง 2 วิธี แตบางครั้งการใชกฎทําใหหาคําตอบไดรวดเร็วกวา เชน
การทอดลูกเตา 3 ลูก ใหหาความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมบนหนาลูกเตามากกวา 3
ให E1 เปนเหตุการณที่ผลบวกของแตมเปน 3
E2 เปนเหตุการณที่ผลบวกของแตมมากกวา 3
( ){ }1E = 1,1,1
ในการทอดลูกเตา 3 ลูก 1 ครั้ง จํานวนวิธีที่จะเกิดผลลัพธมีได
6 × 6 × 6 = 63
วิธี
P(E1) = 3
1
6
แต E2 เปนคอมพลีเมนตของเหตุการณ E1
ดังนั้น P(E2) = 3
1
1
6
−
10. ในการใชสูตร
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)

12. 125
ผูสอนควรชี้ใหเห็นวา สูตรนี้ใชไดเมื่อ E1 และ E2 เปนเหตุการณที่ไมเกิด
รวมกันเทานั้น ผูสอนควรใหผูเรียนยกตัวอยางเหตุการณ E1, E2 แลวหาวา E1 ∩ E2 เปน
เซตวางหรือไม ถา E1 ∩ E2 = ∅ แสดงวา เหตุการณ E1 และ E2 เปนเหตุการณที่ไมเกิด
รวมกัน บางครั้งเปนการยากที่จะแจกแจงเซต E1, E2 ซึ่งทําใหพิจารณาจาก E1 ∩ E2 ไมได
การพิจารณาวา E1 และ E2 เปนเหตุการณที่เกิดรวมกันหรือไม จึงตองพิจารณาสมบัติของ
สมาชิกใน E1 วาเปนสมาชิกใน E2 ไดหรือไม ถาไดแสดงวา E1 และ E2 เปนเหตุการณที่
เกิดรวมกันจึงตองใชสูตร
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)
ผูสอนอาจยกตัวอยางของการพิจารณาวาเหตุการณ 2 เหตุการณเปนเหตุการณ
ที่ไมเกิดรวมกัน เชน
ดึงไพ 2 ใบ จากไพสํารับหนึ่งซึ่งมี 52 ใบ จงหาความนาจะเปนที่หยิบไดไพ
โพดํา 2 ใบ หรือโพแดงอยางนอย 1 ใบ
ให E1 เปนเหตุการณซึ่งไดโพดํา 2 ใบ
E2 เปนเหตุการณซึ่งไดโพแดงอยางนอย 1 ใบ
จะหา P(E1 ∪ E2)
เนื่องจากสมาชิกของเหตุการณใน E1 ไมมีสมบัติที่จะเปนสมาชิกในเหตุการณ
E2 เพราะในการหยิบไพ 2 ใบ เมื่อหยิบไดโพดํา 2 ใบ แลวจะหยิบไพโพแดงอยางนอยอีก
1 ใบ ยอมเปนไปไมได ดังนั้น E1 และ E2 จึงเปนเหตุการณที่ไมเกิดรวมกัน
จะได P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
วิธีที่จะหยิบไพ 2 ใบ จากไพ 52 ใบ มี 52
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
วิธี
วิธีที่จะหยิบไพ 2 ใบ และเปนโพดําทั้งคูมี 13
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
วิธี
ดังนั้น P(E1) =
13
2
52
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
วิธีที่จะหยิบไพ 2 ใบ ใหไดโพแดงอยางนอย 1 ใบ เทากับ จํานวนวิธีที่จะหยิบ
ไพโพแดง 1 ใบ และไพอื่น ๆ 1 ใบ รวมกับจํานวนวิธีที่จะหยิบไพ 2 ใบ ไดโพแดงทั้ง 2 ใบ
ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะไดโพแดงอยางนอย 1 ใบ เทากับ 13
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
39
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ 13
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

13. 126
จะได P(E2) =
13 39 13
1 1 2
52
2
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ดังนั้น P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
=
13 13 39 13
2 1 1 2
52 52
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
กิจกรรมเสนอแนะ
กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
1. ในการสอนเรื่องนี้ ผูสอนอาจใหตัวอยางโจทยปญหาที่ใชกฎเกณฑเบื้องตน
เกี่ยวกับการนับ โดยใหผูเรียนแสดงวิธีทําหลาย ๆ วิธีเชน
1.1 โดยอาศัยแผนภาพตนไม
1.2 โดยอาศัยผลคูณคารทีเซียน
1.3 โดยอาศัยกฎการบวก และกฎการคูณของกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
2. ผูสอนยกตัวอยางโจทยที่มีเงื่อนไขบางอยางในตัว เชน ใชตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4
และ 5 เขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูไดทั้งหมดกี่จํานวน ถา
1) ตัวเลขในแตละหลักซ้ํากันได
2) ตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากัน
กอนที่ผูสอนจะใหผูเรียนหาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูซึ่งเขียนไดโดยใช
ตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 และตัวเลขในแตละหลักซ้ํากันได ผูสอนอาจใชคําถามเพื่อชวยให
ผูเรียนหาคําตอบไดงายขึ้น ดังนี้
2.1 ผูสอนใหผูเรียนอธิบายความหมายของจํานวนที่มีสามหลักซึ่งผูเรียนอาจ
อธิบายไดวา หมายถึงจํานวนที่ประกอบดวยเลขโดด 3 ตัว โดยที่ตัวเลขในหลักรอยตองไม
เปน 0
2.2 ผูสอนถามผูเรียนวาคําวาตัวเลขในแตละหลักซ้ํากันได หมายความวาอยางไร
พรอมทั้งใหผูเรียนยกตัวอยาง ซึ่งผูเรียนควรตอบไดวาตัวเลขในหลักหนวยหลักสิบหรือหลักรอย
อาจเหมือนกันได เชน 221, 303, 444 เปนตน

14. 127
2.3 ผูสอนถามผูเรียนวาจํานวนคูหมายความวาอยางไร พรอมทั้งใหยกตัวอยาง
จํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคู ผูเรียนควรตอบไดวา หมายถึงจํานวนที่ 2 หารลงตัว
2.4 ผูสอนถามวา สําหรับปญหาขางตนผูเรียนคิดวาตัวเลขในหลักหนวยควรเปน
ตัวเลขอะไรไดบาง ซึ่งผูเรียนควรตอบไดวา 0, 2 และ 4 พรอมทั้งยกตัวอยางจํานวนคูที่มี
สามหลัก เชน 344, 430, 552
ผูสอนถามผูเรียนตอไปวา จากตําแหนงของตัวเลขในสามหลักนี้ จะเขียน
ตัวเลขในหลักหนวยไดกี่วิธี นักเรียนควรตอบไดวามี 3 วิธี (คือ 0, 2 หรือ 4) ผูสอนถาม
ตอไปวาในแตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยจะเขียนตัวเลขในหลักสิบไดกี่วิธี ผูเรียนควร
ตอบไดวา 6 วิธี (คือตัวเลขทุกตัว) ผูสอนถามตอวา ในทํานองเดียวกันจะเขียนตัวเลขใน
หลักรอยไดกี่วิธี ผูเรียนควรตอบไดวา 5 วิธี (คือ 1, 2, 3, 4 หรือ 5)
ผูสอนใหผูเรียนหาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขดังกลาว โดยเริ่มจากวิธีเขียนตัวเลขใน
หลักรอยหรือหลักสิบกอน ซึ่งผูเรียนจะเห็นวาไดคําตอบเทากัน
ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวา เนื่องจากตัวเลขในแตละหลักซ้ํากันได
ดังนั้น การหาหลักใดกอนหลังก็ได
การหาจํานวนคูที่มีสามหลักที่แตละหลักซ้ํากันได จึงควรเปนดังนี้
เขียนตัวเลขในหลักหนวยได 3 วิธี (คือ 0, 2, 4)
แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยเขียนตัวเลขในหลักสิบได 6 วิธี (คือ 0, 1,
2, 3, 4, 5) แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยและหลักสิบ เขียนตัวเลขในหลักรอยได 5 วิธี
(คือ 1, 2, 3, 4, 5)
ดังนั้น จํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูและตัวเลขในแตละหลักซ้ํากันได จึงมี
ทั้งหมด 5 × 6 × 3= 90 จํานวน
ผูสอนถามผูเรียนวาการหาจํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคู
ควรเริ่มที่หลักใด เพราะเหตุใด
ผูสอนและผูเรียนลองทําโจทย โดยเริ่มจากหลักหนวยกอนซึ่งจะพบปญหาวา
ถาหลักหนวยเปน 2 หรือ 4 ที่ไมใช 0 แลวจะทําใหเกิดความยุงยากเมื่อหาจํานวนที่เขียนตัวเลข
ในหลักรอย เพราะการที่หลักหนวยเปน 0 หรือหลักหนวยเปน 2 หรือ 4 ทําใหจํานวนวิธี
เขียนตัวเลขในหลักรอยไมเทากัน การพิจารณาจึงตองแยกออกเปน 2 กรณี คือ กรณีที่ 1
เมื่อหลักหนวยเปน 0 แลวหาจํานวนวิธีหลักอื่น ๆ ที่เหลือ โดยจะหาหลักใดกอนก็ได
กรณีที่ 2 เมื่อหลักหนวยเปน 2 หรือ 4 ตองหาจํานวนวิธีเขียนตัวเลขในหลักรอยกอน (เพื่อ

15. 128
ไมให 0 อยูในหลักนี้) แลวจึงหาวิธีเขียนหลักสิบ
ดังนั้น ในการหาจํานวนดังกลาวควรทําดังนี้
กรณีที่ 1 เมื่อหลักหนวยเปน 0
ตัวเลขในหลักหนวยเขียนได 1 วิธี
แตละวิธีที่ตัวเลขในหลักหนวยเปน 0 เขียนตัวเลขในหลักสิบได 5 วิธี
(คือ 1, 2, 3, 4, 5)
แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยและหลักสิบ เขียนตัวเลขในหลักรอยได 4 วิธี
ดังนั้น จํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคู ซึ่งหลักหนวยเปน 0 และตัวเลข
ในแตละหลักไมซ้ํากันได มีทั้งหมด 4 × 5 × 1 = 20 จํานวน
กรณีที่ 2 เมื่อหลักหนวยเปน 2 หรือ 4
ตัวเลขในหลักหนวยเขียนได 2 วิธี (คือ 2 หรือ 4)
แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวย จะเขียนตัวเลขในหลักรอยได 4 วิธี
(คือ 1, 2, 3, 5 หรือ 1, 3, 4, 5)
แตละวิธีที่เขียนตัวเลขในหลักหนวยและหลักรอย เขียนตัวเลขในหลักสิบ
ได 4 วิธี (คือตัวเลขที่เหลือ)
นั่นคือ จํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูซึ่งหลักหนวยเปน 2 หรือ 4 และ
ตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากันได มีทั้งหมด 4 × 4 × 2 = 32 จํานวน
ดังนั้น จํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูและตัวเลขในแตละหลักไมซ้ํากัน
มีทั้งหมด 20 + 32 = 52 จํานวน
แฟกทอเรียล n
1. ผูสอนใหความหมายของสัญลักษณ n! วา หมายถึง ผลคูณของจํานวนเต็มบวก
ตั้งแต 1 ถึง n จากนั้นผูสอนใหผูเรียนฝกหาจํานวนตาง ๆ ที่อยูในรูปแฟกทอเรียล เชน
9! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ... 8 ⋅ 9
(n + 1)! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ... n(n + 1)
(n – 1)! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ... (n – 2)(n – 1)
2. ผูสอนฝกใหผูเรียนเขียนจํานวนที่อยูในรูปแฟกทอเรียลใหอยูในรูปที่ไมมี
แฟกทอเรียลปรากฏอยู เชน กําหนดจํานวน 7!3!
5!
, (n 1)!
n!
−
ใหผูเรียนเขียนจํานวนเหลานี้

16. 129
ในรูปที่ไมมีแฟกทอเรียลปรากฎอยู
3. ผูสอนใหผูเรียนฝกแกสมการที่มีรูปแฟกทอเรียลปรากฏอยู พรอมทั้งอาจชี้ให
เห็นดวยวา ผูเรียนอาจทําไดโดยใชอีกวิธีหนึ่งดังนี้
ถา (n 3)!
(n 1)!
+
+
= 30 จงหา n
(n 3)(n 2)(n 1)!
(n 1)!
+ + +
+
= 30
(n + 3)(n + 2) = 30 ---------- (1)
เนื่องจากจํานวนทางซายของเครื่องหมาย “เทากับ” ในสมการ (1) เปนผลคูณ
ของจํานวนเต็มบวก 2 จํานวนที่ตางกันอยู 1 ดังนั้น เราจึงพยายามเขียนจํานวนที่อยูทางขวา
ของเครื่องหมาย “เทากับ” ใหอยูในรูปผลคูณของจํานวนเต็มบวก 2 จํานวน ที่ตางกันอยู 1
เหมือนทางซาย
นั่นคือ จะเขียนสมการ (1) ใหมเปน (n + 3)(n + 2) = 6 × 5
จะได n + 3 = 6 และ n + 2 = 5
ดังนั้น n = 3
วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู
มีธงสีตาง ๆ อยู 5 สี ธงละหนึ่งสี จงหาจํานวนวิธีที่จะสงสัญญาณธงโดย
อาศัยการสลับที่ธง 3 ธง เรียงตามแนวดิ่ง
1. ในการสอนตามโจทยตัวอยางขางตน ผูสอนอาจเตรียมอุปกรณเปนธงกระดาษสี
ตาง ๆ 5 สี เพื่อใชประกอบคําอธิบายความหมายของสัญลักษณธงตามโจทย เมื่อผูเรียนเขาใจ
วิธีทําแลวอาจใหทํากิจกรรมตอเนื่องจากตัวอยางตามลําดับขั้นตอนตอไปนี้
1.1 แบงกลุมผูเรียนออกเปน 5 กลุม เรียกชื่อกลุมวา กลุมที่ 1, 2, 3, 4 และ 5
ตามลําดับ แลวใหแตละกลุมตอบคําถามตอไปนี้
ก. ถาให ส1, ส2, ส3, ส4 และ ส5 แทนสีของธงแตละผืน แลวจะมีวิธีให
สัญญาณธงกี่วิธี ถากําหนดวาตองใชสีที่กํากับดวยตัวเลขเดียวกันกับชื่อของกลุมในตําแหนงที่
หนึ่งของสัญญาณ
ข. ถาตองการใหแสดงสัญญาณธงที่เปนไปไดทั้งหมด จากโจทยตัวอยาง
ขางตน ซึ่งมี 60 วิธี โดยการตัดกระดาษสี 5 สี เปนรูปสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ขนาดเทา ๆ กัน ติดลง

17. 130
บนกระดาษขาว จะตองตัดกระดาษแตละสีเปนจํานวนเทาไร
ค. ถาจะแบงกระดาษสีในขอ ข ใหแตละกลุมที่แบงไวเพื่อใชแสดงสัญญาณ
ธงของแตละกลุมตามคําถามขอ ก จะตองแบงกระดาษสีใหแตละกลุมอยางไร
ง. ถาใหใชกระดาษสีตามที่แบงในขอ ค ติดลงบนกระดาษขาว เพื่อแสดง
สัญญาณธงทั้งหมดที่กลุมคํานวณไดในคําถามขอ ก วิธีหนึ่งที่ทําไดคือติดกระดาษสีลงไป
โดยแผนแรกเปนสีที่ตัวเลขแสดงลําดับตรงกับลําดับของกลุม แผนที่สองและสามเลือกใช
กระดาษสีไมซ้ํากัน เนื่องจากจํานวนกระดาษสีที่แบงตามขอ ค พอดีกับจํานวนวิธีอยูแลวจะ
สามารถติดกระดาษสีแสดงสัญญาณไดครบพอดี แตถาจะติดกระดาษสีใหสอดคลองกับกฎ
เกณฑเบื้องตนของการนับควรจะทําอยางไร
ใหแตละกลุมรายงานผลการพิจารณาหาคําตอบปญหา ก ถึง ง เมื่อเห็น
วาคําตอบถูกตองดีแลว และตองการใหผูเรียนฝกปฏิบัติ ผูสอนอาจเตรียมอุปกรณที่ตองใช
เพื่อใหผูเรียนปฏิบัติจริงตามคําตอบขอ ง ก็ได ในกรณีที่จําเปนอาจใหใชวิธีระบายสีแทนการ
ติดกระดาษลงบนกระดาษขาวก็ได
1.2 การเสนอปญหาอภิปรายรวมในหอง
ก. ถาผูสอนตองการใหผูเรียนแบงกลุมกันติดกระดาษสี เพื่อแสดงสัญญาณธง
ที่เปนไปไดทั้งหมดในโจทยตัวอยางขางตน ซึ่งมีทั้งหมด 60 วิธี โดยใหเริ่มตั้งแตการตัดกระดาษ
สีจากแผนใหญเปนชิ้นเล็ก ๆ วิธีที่งายที่สุดคือ แจกกระดาษสีใหแตละกลุม ๆ ละ 3 แผนใหญ
แผนละสี กระดาษสีของแตละกลุมจะเหมือนกันทั้งหมดไมได จากกระดาษสีที่มีสีเปน ส1, ส2,
ส3, ส4 และ ส5 ผูสอนถามผูเรียนวาจะจัดแบงกลุมไดทั้งหมดกี่กลุม และแตละกลุมไดกระดาษ
สีใดบาง
ข. ถาแบงกลุมตามขอ ก แตละกลุมจะติดกระดาษสีแสดงสัญญาณธงได
กี่สัญญาณ
หลังการอภิปรายในขอ 1.2 ผูสอนอาจนําอภิปรายเพื่อสรุปวาการเรียงสับเปลี่ยน
และการจัดหมูมีความสัมพันธกันอยางไร โดยบอกวาในปญหาขอ ก นั้น เปนการจัดหมูของ
3 สิ่ง จาก 5 สิ่ง ซึ่งจํานวนวิธีเขียนดวยสัญลักษณเปน C5, 3 สวนปญหาในขอ ข นั้นเปนการ
นําสิ่งที่จัดหมูแลวมาจัดเรียงลําดับซึ่งแตละหมูจะจัดได 3! วิธี ทําใหไดวา
3! C5, 3 = P5, 3
และในกรณีทั่วไปจะไดวา
r! Cn, r = Pn, r

18. 131
หรือ Cn, r = n,rP
r!
วิธีดังกลาวเปนการเชื่อมโยงการสอนเรื่องเดิมไปสูการสอนเรื่องใหมซึ่งเปนวิธี
การเริ่มตนสอนเนื้อหาใหมวิธีหนึ่ง
หมายเหตุ 1. แนวตอบคําถามในกิจกรรม 1.1 และ 1.2 มีดังนี้
1.1 ก. แตละกลุมควรไดคําตอบเทากับ 1 × 4 × 3 = 12 วิธี
ข. เนื่องจากตองแสดงสัญญาณทั้งสิ้น 60 สัญญาณ แตละสัญญาณใช
กระดาษ 3 ชิ้นเล็ก จึงเปนกระดาษชิ้นเล็กทั้งหมด 180 ชิ้น
ดังนั้น แตละสีจึงตองตัดไว 36 ชิ้น
ค. แตละกลุมจะไดรับแบงกระดาษสีดังนี้
สีที่ตัวเลขแสดงลําดับตรงกับลําดับของกลุมจะไดรับ 12 ชิ้น สวนสี
อื่นที่เหลือไดรับสีละ 6 ชิ้น
ง. ใชแผนภาพตนไมชวย เชน แผนภาพตนไมของกลุมที่ 1 และ 2
จะเปนไดดังนี้
ตําแหนงที่ 1 2 3
ส3 ส1 ส2 ส3
ส2 ส4 ส1 ส2 ส4
ส5 ส1 ส2 ส5
ส4 ส1 ส3 ส4
ส3 ส5 ส1 ส3 ส5
ส2 ส1 ส3 ส2
ส1
ส5 ส1 ส4 ส5
ส4 ส2 ส1 ส4 ส2
ส3 ส1 ส4 ส3
ส2 ส1 ส5 ส2
ส5 ส3 ส1 ส5 ส3
ส4 ส1 ส5 ส4

19. 132
ตําแหนงที่ 1 2 3
ส4 ส2 ส3 ส4
ส3 ส5 ส2 ส3 ส5
ส1 ส2 ส3 ส1
ส5 ส2 ส4 ส5
ส4 ส1 ส2 ส4 ส1
ส3 ส2 ส4 ส3
ส2
ส1 ส2 ส5 ส1
ส5 ส3 ส2 ส5 ส3
ส4 ส2 ส5 ส4
ส3 ส2 ส1 ส3
ส1 ส4 ส2 ส1 ส4
ส5 ส2 ส1 ส5
จากแผนภาพตนไมจะไดวิธีติดกระดาษสีใหสอดคลองกับกฎเกณฑเบื้องตนของ
การนับโดยเริ่มติดกระดาษสีดังนี้
1. ติดกระดาษสีที่ตัวเลขแสดงลําดับตรงกับลําดับของกลุมในตําแหนงที่หนึ่งของ
สัญญาณทั้ง 12 สัญญาณ
2. ติดกระดาษสีอีกสี่สีที่เหลือในตําแหนงที่สองของสัญญาณโดยติดสีละ 3
สัญญาณ (ดูแผนภาพตนไมประกอบ)
3. ติดกระดาษสีอีกสามสีที่เหลือในตําแหนงที่สามของสัญญาณโดยเลือกสีที่ไม
ซ้ํากับสองสีแรก
1.2 ก. 10 กลุม เชน กลุมที่ 1 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส1 ส2 ส3
กลุมที่ 2 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส1 ส2 ส4
กลุมที่ 3 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส1 ส2 ส5
กลุมที่ 4 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส2 ส3 ส4

20. 133
กลุมที่ 5 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส2 ส3 ส5
กลุมที่ 6 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส3 ส4 ส5
กลุมที่ 7 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส1 ส3 ส4
กลุมที่ 8 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส1 ส3 ส5
กลุมที่ 9 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส1 ส4 ส5
กลุมที่ 10 ไดรับกระดาษ 3 สี คือ ส2 ส4 ส5
จากคําตอบขอนี้จะไดวา ถาตองการเตรียมกระดาษสีแผนใหญใหทํากิจกรรมตอง
เตรียมไวสีละ 6 แผน
ข. 6 สัญญาณ
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. ญาดาทอดลูกเตาสองลูก 1 ครั้ง จงหาความนาจะเปนที่จะไดแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองดังนี้
(1) แตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเทากัน
(2) ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเปนจํานวนคู
2. ภากรสุมหยิบไพ 1 ใบ จากไพสํารับหนึ่ง ซึ่งมี 52 ใบ จงหาความนาจะเปนของเหตุการณ
ที่ภากรจะหยิบไดไพหนาหัวใจหรือไพหนา King
3. บัตรหมายเลข 1 – 50 มีบัตรที่ใหรางวัลอยู 6 ใบ ถาสุมหยิบบัตรขึ้นมา 6 ใบ
จงหาความนาจะเปนที่จะไดบัตรที่ไดรับรางวัลทั้งหมด
4. เอกสะสมเหรียญสิบบาทไวในกระปุกออมสินดังนี้ เปนเหรียญสิบบาท พ.ศ. 2539
จํานวน 10 อัน และเหรียญสิบบาท พ.ศ. 2545 จํานวน 20 อัน ถาสุมหยิบเหรียญสิบบาท
ขึ้นมา 2 เหรียญ จงหาความนาจะเปนที่เอกจะหยิบไดเหรียญสิบบาท พ.ศ. 2539
ทั้งสองเหรียญ
5. ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 8 ลูก ลูกแกวสีฟา 3 ลูก ลูกแกวสีเขียว 6 ลูก และลูกแกว
สีเหลือง 3 ลูก ถาอภิรดีสุมหยิบลูกแกวครั้งละ 1 ลูก โดยไมใสคืนจํานวนสองครั้ง
จงหาความนาจะเปนที่อภิรดีจะหยิบไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก

21. 134
6. สมาคมแหงหนึ่ง ตองการจะหาเงินชวยสถานสงเคราะหผูปวยโรคหัวใจ จึงออกสลาก
การกุศลจํานวน 500 ใบ เพื่อขายใหกับสมาชิกของสมาคมโดยขายในราคาใบละ 100 บาท
และมีรางวัลพิเศษใหกับสมาชิกที่ซื้อสลาก 1 รางวัล เปนจักรยาน 1 คัน ถานวพลซื้อสลาก
การกุศลครั้งนี้ 10 ใบ จงหาความนาจะเปนที่นวพลจะไดรับรางวัลเปนรถจักรยาน 1 คัน
7. นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5/2 ของโรงเรียนแหงหนึ่ง เปนนักเรียนชาย 19 คน และ
นักเรียนหญิง 21 คน ถาตองการเลือกตัวแทนของนักเรียนในหองนี้โดยการสุมครั้งละ
1 คน จงหาความนาจะเปนที่จะไดตัวแทนนักเรียนชาย 1 คน และนักเรียนหญิง 1 คน
8. ตารางตอไปนี้แสดงจํานวนนักเรียนที่เดินทางมาโรงเรียนโดยการขี่จักรยานและนั่งรถ
ประจําทางมา และมีบางขอมูลขาดหายไป
พาหนะ
จํานวนนักเรียน
จักรยาน รถประจําทาง
นักเรียนชาย
นักเรียนหญิง
.......
38
32
46
รวม 122 .........
จงหาความนาจะเปนที่จะสุมนักเรียนมา 1 คน และเปนนักเรียนชายหรือนักเรียนที่นั่ง
รถประจําทางมาโรงเรียน
9. จงหาความนาจะเปนที่ณัฐจะโยนเหรียญ 1 เหรียญ และตกลงบนพื้นที่สวนที่แรเงา
10. การแขงขันเตะตะกรอของทีมสองทีมที่มีความสามารถเทาเทียมกัน 5 ครั้ง ทีมชนะเลิศ
จะตองเปนทีมแรกที่ชนะคูแขง 3 ครั้ง ถาทีม A ชนะการแขงขันครั้งแรก จงหาความนาจะเปน
ที่ทีม A จะเปนทีมที่ชนะเลิศ

22. 135
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ
1. ให S เปนปริภูมิตัวอยาง
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(S) = 36
ให E1 แทนเหตุการณที่ไดแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเทากัน
E1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
n(E1) = 6
ให E2 แทนเหตุการณที่ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเปนจํานวนคู
E2 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6),
(3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6),
(5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
n(E2) = 18
P(E1) = 6
36
= 1
6
และ P(E2) = 18
36
= 1
2
ดังนั้น ความนาจะเปนของเหตุการณที่จะไดแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเทากัน เทากับ 1
6
และความนาจะเปนของเหตุการณที่ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเปนจํานวนคู
เทากับ 1
2
2. ไพสํารับหนึ่ง มีไพหนาหัวใจจํานวน 13 ใบ และไพหนา King 4 ใบ
แตในไพหนาหัวใจจะมีไพหนา King รวมอยูดวย 1 ใบ
ดังนั้น ไพหนาหัวใจหรือไพหนา King มีจํานวน 13 + 4 – 1 = 16 ใบ
ให S เปนปริภูมิตัวอยาง
ดังนั้น n(S) = 52
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 52

23. 136
ให E แทนเหตุการณที่ไดไพหนาหัวใจหรือไพหนา King
n(E) = 16
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 16
P(E) = 16
52
= 4
13
ดังนั้น ความนาจะเปนของเหตุการณที่ภากรจะหยิบไดไพหนาหัวใจหรือไพหนา King
เทากับ 4
13
3. บัตรหมายเลข 1 – 50 มีจํานวนทั้งหมด 50 ใบ
ให S เปนปริภูมิตัวอยาง
ดังนั้น n(S) = 50
6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 50!
6!44!
= 15,890,700
ให E แทนเหตุการณที่หยิบไดบัตรที่ไดรับรางวัลทั้งหกใบ
n(E) = 6
6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 6!
6!0!
= 1
ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะหยิบไดบัตรที่ไดรับรางวัลทั้งหมดเทากับ 1
15,890,700
4. เหรียญสิบบาทมีทั้งหมด 10 + 20 = 30 อัน
ให S เปนปริภูมิตัวอยาง
ดังนั้น n(S) = 30
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 435
ให E แทนเหตุการณที่เอกหยิบไดเหรียญสิบบาท พ.ศ. 2539 ทั้งสองเหรียญ
n(E) = 10
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 45
P(E) = n(E)
n(S)
= 45
435
= 9
87
ดังนั้น ความนาจะเปนที่เอกจะหยิบไดเหรียญสิบบาท พ.ศ. 2539 ทั้งสองเหรียญเทากับ 9
87
5. ลูกแกวทั้งหมดมี 8 + 3 + 6 + 3 = 20 ลูก
ให S เปนปริภูมิตัวอยาง
n(S) = 20 19
1 1
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
= 380
ให E แทนเหตุการณที่อภิรดีหยิบไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก
n(E) = 8 7
1 1
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
= 56

24. 137
P(E) = n(E)
n(S)
= 56
380
= 14
95
ดังนั้น ความนาจะเปนที่อภิรดีจะหยิบไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูกเทากับ 14
95
6. สลากการกุศลจํานวน 500 ใบ
ให S เปนปริภูมิตัวอยาง
n(S) = 500
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 500
ให E แทนเหตุการณที่นวพลจะไดรับรางวัลพิเศษ
n(E) = 10
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 10
P(E) = 10
500
= 1
50
= 0.02
ดังนั้น ความนาจะเปนที่นวพลจะไดรับรางวัลพิเศษเปนรถจักรยานเทากับ 0.02
7. จํานวนนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5/2 มีทั้งหมด 19 + 21 = 40 คน
ให S เปนปริภูมิตัวอยาง
n(S) = 40
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
39
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1,560
ให E แทนเหตุการณที่สุมไดนักเรียนชาย 1 คน และนักเรียนหญิง 1 คน
n(E) = 19
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
20
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 380
P(E) = 380
1,560
= 19
78
ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะไดตัวแทนนักเรียนชาย 1 คน และนักเรียนหญิง 1 คน
เทากับ 19
78
8. จากตารางในโจทย จํานวนนักเรียนชายมี 122 – 38 = 84 คน
และจํานวนนักเรียนที่นั่งรถประจําทางมี 32 + 46 = 78 คน
ดังนั้น จํานวนนักเรียนทั้งหมด 84 + 38 + 32 + 46 = 200 คน
ให S เปนปริภูมิตัวอยาง
n(S) = 200
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 200
จํานวนนักเรียนชายหรือนักเรียนที่นั่งรถประจําทางมาโรงเรียน 84 + 32 + 46 = 162 คน

25. 138
ให E เปนเหตุการณที่สุมไดนักเรียนชายหรือนักเรียนที่นั่งรถประจําทางมาโรงเรียน
n(E) = 162
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 162
P(E) = 162
200
= 81
100
= 0.81
ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะสุมนักเรียน 1 คน ที่เปนนักเรียนชายหรือนักเรียนที่นั่งรถ
ประจําทางมาโรงเรียนเทากับ 0.81
9. รูปสี่เหลี่ยมผืนผามีดานยาว 12 หนวย และมีดานกวาง 10 หนวย
พื้นที่ทั้งหมดเทากับ 12 × 10 = 120 ตารางหนวย
พื้นที่สวนที่แรเงาเทากับ 1 1
8 3 8 5
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
× × + × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 12 + 20 = 32 ตารางหนวย
ดังนั้น ความนาจะเปนที่ณัฐจะโยนเหรียญ 1 เหรียญ ตกบนพื้นที่สวนที่แรเงาเทากับ
32
120
= 4
15
10. ความนาจะเปนที่ทีมแตละทีมจะชนะเทากับ 1
2
ความนาจะเปนที่ทีม A ชนะจากการแขงขัน 3 ครั้ง เทากับ 3
1
2
= 1
8
ดังนั้น ในการแขงขัน 5 ครั้ง เมื่อทีม A เปนทีมที่ชนะในการแขงขันครั้งแรก
ความนาจะเปนของเหตุการณที่เกิดขึ้นมีดังนี้
AA 1
4
ABA 1
8
ABBA 1
16
BAA 1
8
BABA 1
16
BBAA 1
16
ดังนั้น ความนาจะเปนที่ทีม A จะเปนทีมที่ชนะเลิศเทากับ 1 1 1 1 1 1
4 8 8 16 16 16
+ + + + +
= 4 2 2 1 1 1
16
+ + + + +
= 11
16

26. 139
เฉลยแบบฝกหัด 3.1
1. เสนทางจาก X ไปยัง Y โดยผาน A มีเสนทางได 3 เสนทาง
เสนทางจาก X ไปยัง Y โดยผาน B มีเสนทางได 4 เสนทาง
เสนทางจาก X ไปยัง Y โดยผาน C มีเสนทางได 3 เสนทาง
ดังนั้น มีจํานวนเสนทางจาก X ไปยัง Y ทั้งหมด 10 เสนทาง
D Y
A E Y
F Y
D Y
E Y
X B F Y
G Y
E Y
C F Y
G Y
2. จํานวนเสนทางจาก N ไปยัง S มีทั้งหมด 5 + 3 + 5 = 13 เสนทาง
โดยมีรายละเอียดดังแผนภาพ
S
N
1
A B C
I
D E
J
2 3
F G H
K

27. 140
จากแผนภาพขางตนสามารถเขียนเปนแผนภาพตนไมไดดังนี้
A I S
A I S
1 B I S
C I S
C I S
D J S
N 2 E J S
E J S
F K S
G K S
3 G K S
H K S
G K S
3. (1) จํานวนเสนทางการเดินทางจาก A ไป B มี 3 เสนทาง
(2) จํานวนเสนทางการเดินทางจาก B ไป C มี 1 เสนทาง
(3) จํานวนเสนทางการเดินทางจาก C ไป D มี 5 เสนทาง
(4) จํานวนเสนทางการเดินทางจาก D ไป E มี 6 เสนทาง
(5) จํานวนเสนทางการเดินทางจาก A ไป E มี 90 เสนทาง
4. (1) จุดยอด X อยูที่จุด E หรือ F จํานวนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 × 3 = 6 รูป
จุดยอด Y อยูที่จุด E หรือ F จํานวนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 × 3 = 6 รูป
ดังนั้น จํานวนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก XCY มี 12 รูป
(2) จํานวนรูปสามเหลี่ยมโดยมีจุดยอด 3 จุด จาก A, B, C, D, E, F มี 15 รูป
5. จากรูป ชวงที่ 1 มีจํานวนวิธีวางไดตางกัน 3 วิธี
ชวงที่ 2 มีจํานวนวิธีวางไดตางกัน 2 วิธี
ชวงที่ 3 มีจํานวนวิธีวางไดตางกัน 5 วิธี
ดังนั้น จํานวนวิธีทั้งหมด 3 × 2 × 5 = 30 วิธี
ชวงที่ 1
ชวงที่ 2
ชวงที่ 3

28. 141
6. มีจุดยอดอยูบนดาน 3 ดาน เกิดรูปสามเหลี่ยมได 3 × 2 × 3 = 18 รูป
มีฐานเปน 2 จุดใด ๆ บนดาน AC เกิดรูปสามเหลี่ยมได 3 × 5 = 15 รูป
มีฐานเปน 2 จุดใด ๆ บนดาน BC เกิดรูปสามเหลี่ยมได 1 × 6 = 6 รูป
มีฐานเปน 2 จุดใด ๆ บนดาน AB เกิดรูปสามเหลี่ยมได 3 × 5 = 15 รูป
ดังนั้น มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 18 + 15 + 6 + 15 = 54 รูป
7. เมื่อไมมีอักษร 2 ตัวติดกันซ้ํากัน
อักษรตัวที่หนึ่งเลือกได 26 วิธี
อักษรตัวที่สองเลือกได 25 วิธี
อักษรตัวที่สามเลือกได 25 วิธี
อักษรตัวที่สี่เลือกได 25 วิธี
อักษรตัวที่หาเลือกได 25 วิธี
ดังนั้น จะสรางคําไดทั้งหมด 26 × 254
คํา
8. จํานวนสับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว {a, b} โดยที่ a = 1, 2, 3, ... 93 เทากับ 93 × 7 = 651
จํานวนสับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว โดยที่ a = 94, 95, 96, ... 99 เทากับ
6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 สับเซต
ดังนั้น จํานวนสับเซตทั้งหมด 651 + 21 = 672 สับเซต
9. ในการสรางจํานวน 3 หลัก ที่มีคามากกวา 300
หลักรอย เลือกตัวเลขได 3 วิธี คือ 3 หรือ 4 หรือ 5
หลักสิบ เลือกตัวเลขได 5 วิธี
หลักหนวย เลือกตัวเลขได 4 วิธี
ดังนั้น จํานวนวิธีสรางจํานวน 3 หลัก ที่มีคามากกวา 300 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4
และ 5 มี 3 × 5 × 4 = 60 วิธี
10. ขอสอบขอที่ 1 มีวิธีเลือกตอบได 2 วิธี
ขอสอบขอที่ 2 มีวิธีเลือกตอบได 2 วิธี
ขอสอบขอที่ 3 มีวิธีเลือกตอบได 2 วิธี
M

29. 142
ขอสอบขอที่ 10 มีวิธีเลือกตอบได 2 วิธี
ดังนั้น จํานวนวิธีตอบขอสอบทั้ง 10 ขอ 210
วิธี
11. ตัวเลขที่แสดงตอนที่นั่งมี 20 วิธี
อักษรที่แสดงแถวที่นั่งมี 52 วิธี
ตัวเลขแสดงตําแหนงที่นั่งมี 30 วิธี
ดังนั้น จํานวนที่นั่งทั้งหมดมี 31,200 ที่นั่ง
12. ตัวอักษรตัวแรกเปนไปได 26 วิธี
ตัวอักษรตัวที่สองเปนไปได 26 วิธี
ตัวเลข 3 ตัว เปนไปได 10 × 10 × 10 วิธี
ตัวอักษรอีก 1 ตัว เปนไปได 26 วิธี
ตัวเลขอีก 2 ตัว เปนไปได 10 × 10 วิธี
ดังนั้น จํานวนหนังสือทั้งหมดในระบบนี้มี 263
× 105
เลม
ถาตัวอักษร 2 ตัวแรก แสดงหนังสือที่จัดไวเปนตอน
ดังนั้น หนังสือในแตละตอนมี 1 × 10 × 10 × 10 × 26 × 10 × 10 = 2,600,000 เลม
แบบฝกหัด 3.2 ก
1. (1) 210 (2) 1680 (3) 380
2. n = 6
3. พิสูจน Pn, 1 + Pm, 1 = Pn+m, 1
Pn, 1 + Pm, 1 = n! m!
(n 1)! (m 1)!
+
− −
= n + m
= (n m)!
((n m) 1)!
+
+ −
= Pn+m, 1
4. สรางจํานวนที่มี 4 หลัก จากเลขโดด 5 ตัว
ดังนั้น จะสรางได P5, 4 = 5!
(5 4)!−
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 จํานวน

30. 143
5. มีตําแหนงวางที่เปนชาย 3 ตําแหนง มีผูสมัครเปนชาย 6 คน
ดังนั้น มีจํานวนวิธีจัดชายเทากับ P6, 3 = 6!
3!
= 6 × 5 × 4 = 120 วิธี
มีตําแหนงวางที่เปนหญิง 2 ตําแหนง มีผูสมัครเปนหญิง 5 คน
ดังนั้น มีจํานวนวิธีจัดหญิงเทากับ P5, 2 = 5!
3!
= 5 × 4 = 20 วิธี
จะได วิธีจัดคนที่มาสมัครเขาทํางาน 120 × 20 = 2400 วิธี
6. จัดชาย 6 คน ยืนเรียงแถวหนากระดานได 6! = 720 วิธี
ช1 ช2 ช3 ช4 ช5 ช6
จัดชาย 6 คน ยืนหนากระดานจะมีที่ใหผูหญิงแทรกได 7 ที่
ผูหญิง 3 คน จะเลือกที่แทรกได 7 × 6 × 5 = 210 วิธี
ดังนั้น จํานวนวิธีจัดทั้งหมด 720 × 210 = 151200 วิธี
7. แยกเปน 2 กรณี
กรณีที่ 1 หลักรอย เปนเลขคี่ คือ 3, 5 และ 7
หลักรอย เลือกตัวเลขได 3 วิธี
หลักหนวย เลือกตัวเลขได 4 วิธี หลักหนวยเปนเลขคี่และตัวเลขใน
แตละหลักไมซ้ํากัน
หลักสิบ เลือกตัวเลขได 8 วิธี
มีวิธีสรางจํานวนได 3 × 4 × 8 = 96 วิธี
กรณีที่ 2 หลักรอย เปนเลขคู คือ 4, 6, 8
หลักรอย เลือกตัวเลขได 3 วิธี
หลักหนวย เลือกตัวเลขได 5 วิธี หลักหนวยเปนเลขคี่และตัวเลขใน
แตละหลักไมซ้ํากัน
หลักสิบ เลือกตัวเลขได 8 วิธี
มีวิธีสรางจํานวนได 3 × 5 × 8 = 120 วิธี
ดังนั้น จํานวนคี่ที่มีคามากกวา 300 แตนอยกวา 900 โดยที่ตัวเลขใน
แตละหลักไมซ้ํากันมี 96 + 120 = 216 จํานวน