1. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
บทที่ 2
ฟงกชัน
( 18 ชั่วโมง )
ฟงกชันเปนสาระการเรียนรูหนึ่งที่มีความสําคัญมาก และเปนประโยชนในการเรียนคณิตศาสตร
ระดับสูงขึ้นไป เชน วิชาแคลคูลัส พีชคณิตนามธรรม นอกจากนี้ฟงกชันยังเปนประโยชนในการแกโจทย
ปญหาตาง ๆ ที่ตองใชตัวแปร สําหรับบทเรียนนี้จะเริ่มตนดวยการแนะนําใหผูเรียนรูจักความสัมพันธ โดเมน
และเรนจของความสัมพันธ ตัวผกผันของความสัมพันธ จากนั้นจึงแนะนําใหผูเรียนรูถึงความหมายของ
ฟงกชันแลวพิจารณาวา ความสัมพันธนั้นเปนฟงกชันหรือไม สําหรับความสัมพันธที่ไมเปนฟงกชัน
จะสามารถหาสับเซตของความสัมพันธโดยที่สับเซตนั้นเปนฟงกชันได แลวจึงเริ่มกลาวถึงฟงกชันโพลิโนเมียล
ฟงกชันคอมโพสิท ฟงกชันผกผันและพีชคณิตของฟงกชันตามลําดับ
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับฟงกชัน เขียนกราฟของฟงกชันและสรางฟงกชันจากโจทยปญหาที่
กําหนดใหได
2. นําความรูเรื่องฟงกชันไปใชแกปญหาได
ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดาน
ความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/กระบวนการทาง
คณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกิดทักษะ/กระบวนการ
ทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อ
ความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยง
คณิตศาสตรกับศาสตรอื่น และการคิดริเริ่มสรางสรรค นอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริม
ใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยาง
เปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง

2. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
86
สําหรับเรื่องฟงกชันในหนังสือเรียนเพิ่มเติม เลม 2 หัวขอใดที่ผูสอนคิดวา ผูเรียนมีความรูแลว
ผูสอนอาจจะขามไปสอนหัวขออื่นไดเลย โดยอาจจะชี้ใหผูเรียนเห็นเพียงประเด็นหรือกรณีที่ควร
ระมัดระวังหรือตั้งขอสังเกตก็ได
ขอเสนอแนะ
1. ในการพิจารณาวา ความสัมพันธที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกเปนฟงกชันหรือไม ผูสอน
อาจใหผูเรียนพิจารณาคูอันดับทั้งหมดของความสัมพันธวา มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันหรือไม ถาไมมีจะสรุป
ไดวาเปนฟงกชัน แตถามีสมาชิกตัวหนาของคูอันดับซ้ํากันโดยที่สมาชิกตัวหลังของคูอันดับ (ที่มีสมาชิก
ตัวหนาซ้ํากัน) นั้นตางกันสรุปไดวา ความสัมพันธนั้นไมเปนฟงกชัน เนื่องจากความสัมพันธเปนเซต
และเซตที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกไมนิยมเขียนสมาชิกซ้ํากัน เชน ไมนิยมเขียน {(1, a), (2, b), (2, b)}
แตเขียนเปน {(1, a), (2, b)} ดังนั้น ในการพิจารณาวา ความสัมพันธที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกนั้นเปน
ฟงกชันหรือไม สามารถทําไดโดยวิธีการดังกลาวมาแลวขางตน
2. ถา f : A → B แลว สามารถหา g ⊂ f โดยที่ g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง และ Rg = Rf
ไดเสมอ ดังตัวอยางตอไปนี้
1) ถา f = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)} สามารถหา g ⊂ f โดยที่ g เปนฟงกชันหนึ่ง
ตอหนึ่ง และ Rg = Rf ได เชน g = {(1, a), (3, b), (4, c)}
2) ถา f = {(x, y)⏐y = x2
} สามารถหา g ⊂ f โดยที่ g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
และ Rg = Rf ได เชน g = {(x, y)⏐y = x2
และ x ≥ 0}
3. สําหรับฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งนั้น ในหนังสือเรียนไดยกตัวอยางการพิจารณาวาฟงกชันที่
เขียนแบบแจกแจงสมาชิกเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งหรือไมโดยใชแผนภาพแสดงการจับคูระหวางสมาชิก
ของเซต A กับสมาชิกของเซต B และอธิบายลักษณะการจับคูที่เปนสมบัติของฟงกชัน 1 – 1 ไววา สมาชิก
แตละตัวของ B ที่ถูกจับคูจะจับคูกับสมาชิกของ A เพียงตัวเดียวเทานั้น สวนการพิจารณาวาฟงกชันที่เขียน
แบบบอกเงื่อนไขเปนฟงกชัน 1 – 1 หรือไมนั้นใหพิจารณาจากกราฟของฟงกชัน หรือพิจารณาโดยอาศัย
บทนิยาม “f เปนฟงกชัน 1 – 1 ก็ตอเมื่อ สําหรับทุก ๆ x1, x2 ในโดเมนของ f ถา f(x1) = f(x2) แลว
x1 = x2”
ขอสังเกต ในการพิจารณาฟงกชัน 1 – 1 โดยการลากเสนตรงขนานกับแกน X แลวพิจารณาวา จุดตัด
กราฟมีเพียงจุดเดียวเทานั้นหรือไม ขอควรระวังในการลากเสนตรง ไมใชวาลากเสนตรงขนานกับแกน X
เพียงเสนเดียวผลปรากฏวามีจุดตัดกราฟเพียงจุดเดียว แลวสรุปวาฟงกชันที่กําหนดใหนั้นเปนฟงกชัน 1 – 1
แตตองพิจารณาวาไมวาจะลากเสนตรงใดใหขนานกับแกน X ก็ตาม เสนตรงแตละเสนจะตองมีจุดตัด
กราฟเพียงจุดเดียวเทานั้น จึงจะสามารถสรุปไดวาฟงกชันที่กําหนดใหนั้นเปนฟงกชัน 1-1

3. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
87
4. การพิจารณาวาฟงกชันใดเปนฟงกชันเพิ่มหรือฟงกชันลดจากบทนิยามที่กลาววา
f เปนฟงกชันเพิ่มใน A ก็ตอเมื่อ สําหรับสมาชิก x1, x2 ใด ๆ ใน A
“ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2)”
f เปนฟงกชันลดใน A ก็ตอเมื่อ สําหรับสมาชิก x1, x2 ใด ๆ ใน A
“ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)” อาจพิจารณาไดยากผูสอนจึงอาจใหผูเรียนพิจารณาได
จากกราฟโดยเริ่มจากซายไปขวา ถาลักษณะของเสนกราฟสูงขึ้นเรื่อย ๆ จะเปนฟงกชันเพิ่ม ถาลักษณะ
ของเสนกราฟลดต่ําลงเรื่อย ๆ จะเปนฟงกชันลด ถาลักษณะเสนกราฟสูงบางต่ําบาง หรือคงที่ ไมเปน
ฟงกชันเพิ่มและไมเปนฟงกชันลด
ผลสรุปตอเนื่องจากการที่เราทราบวา ฟงกชันใดเปนฟงกชันเพิ่ม ฟงกชันใดเปนฟงกชันลด
ก็คือ ฟงกชันนั้นจะเปนฟงกชัน 1 – 1 ดวย ซึ่งพิสูจนไดดังนี้
จากบทนิยาม f เปนฟงกชัน 1 – 1 ก็ตอเมื่อ สําหรับทุก ๆ x1, x2 ในโดเมนของ f
“ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2” ซึ่งสมมูลกับประโยค
“ถา x1 ≠ x2 แลว f(x1) ≠ f(x2)” เราจะใชขอความขางตน
พิสูจนวา ถา f เปนฟงกชันเพิ่มแลว f เปนฟงกชัน 1 – 1 ดังนี้
สิ่งที่กําหนดให f เปนฟงกชันเพิ่ม
จะพิสูจนวา f เปนฟงกชัน 1 – 1
พิสูจน ถา x1 ≠ x2 จะไดวา x1 < x2 หรือ x2 < x1
กรณีที่ 1 ถา x1 < x2 จะไดวา f(x1) < f(x2) เพราะ f เปนฟงกชันเพิ่ม
ดังนั้น f(x1) ≠ f(x2)
กรณีที่ 2 ถา x2 < x1 จะไดวา f(x2) < f(x1) เพราะ f เปนฟงกชันเพิ่ม
ดังนั้น f(x2) ≠ f(x1)
จากทั้งสองกรณี สรุปไดวา ถา x1 ≠ x2 แลว f(x1) ≠ f(x2)
ดังนั้น f เปนฟงกชัน 1 – 1
ในทํานองเดียวกัน เราจะพิสูจนไดวา ถา f เปนฟงกชันลดแลว f จะเปนฟงกชัน 1 – 1
หมายเหตุ ในหนังสือเรียนไดกลาววา ในการพิจารณาฟงกชันที่กําหนดใหวาเปนฟงกชันเพิ่มหรือ
ฟงกชันลดในเซตที่กําหนดให ถาพบวา ไมใชฟงกชันเพิ่ม จะสรุปเอาวาเปนฟงกชันลด
หรือพบวาไมใชฟงกชันลดจะสรุปเอาวาเปนฟงกชันเพิ่มในเซตที่กําหนดใหไมได เพราะมี
บางฟงกชันที่ไมเปนทั้งฟงกชันเพิ่มและฟงกชันลด

4. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
88
ในการเรียนการสอน ถามีผูเรียนสงสัยวา
1) f เปนฟงกชันเพิ่มใน A
2) f ไมเปนฟงกชันเพิ่มใน A
3) f เปนฟงกชันไมเพิ่มใน A
ทั้ง 3 กรณีนี้ มีความแตกตางหรือเหมือนกันอยางไร ผูสอนอาจใหนิยามดังนี้
f เปนฟงกชันเพิ่มใน A (f is increasing function in A) ก็ตอเมื่อ
“สําหรับทุก ๆ x1, x2 ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2)”
f ไมเปนฟงกชันเพิ่มใน A (f is not increasing function in A) ก็ตอเมื่อ
“มี x1, x2 บางตัวใน A ซึ่ง x1 < x2 แต f(x1) < f(x2)”
f เปนฟงกชันไมเพิ่มใน A (f is nonincreasing function in A) ก็ตอเมื่อ
“สําหรับทุก ๆ x1, x2 ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) ≥ f(x2)”
ตัวอยางพิจารณากราฟตอไปนี้
Y
X
s
x1 x20
Y
X
gx1 x20
Y
X
h
x1 x20
Y
X
fx1 x20
Y
X
k
x1 x20

5. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
89
พิจารณาจากกราฟ จะเห็นวา
เปนฟงกชันเพิ่ม ไมเปนฟงกชันเพิ่ม เปนฟงกชันไมเพิ่ม
ฟงกชัน
ใน R ใน [x1, x2] ใน R ใน [x1, x2] ใน R ใน [x1, x2]
s – – – –
g – –
h – – – –
f – –
k – –
สําหรับฟงกชันลดใน A ฟงกชันไมลดใน A และไมเปนฟงกชันลดใน A
มีบทนิยามที่แตกตางกันดังนี้
f เปนฟงกชันลดใน A ก็ตอเมื่อ
“สําหรับทุก x1, x2 ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)”
f ไมเปนฟงกชันลดใน A ก็ตอเมื่อ
“มี x1, x2 บางตัวใน A ซึ่ง x1 < x2 แต f(x1) > f(x2)”
f เปนฟงกชันไมลดใน A ก็ตอเมื่อ
“สําหรับทุก ๆ x1, x2 ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) ≤ f(x2)”
ตัวอยางจากกราฟของฟงกชัน s, g, h, f และ k ที่กลาวมาจะเห็นวา
เปนฟงกชันลด ไมเปนฟงกชันลด เปนฟงกชันไมลด
ฟงกชัน
ใน R ใน [x1, x2] ใน R ใน [x1, x2] ใน R ใน [x1, x2]
s – –
g – – – –
h – –
f – – –
k – –

6. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
90
หมายเหตุ การศึกษาเกี่ยวกับฟงกชันเพิ่ม ฟงกชันลดนี้ ไดประโยชนประการหนึ่งคือ การนําความรู
ไปชวยในการเขียนกราฟของฟงกชันไดใกลเคียงกับความเปนจริง เมื่อทราบจุดบนกราฟ
เพียงบางจุด และทราบวา กราฟในชวงใดเปนกราฟฟงกชันเพิ่มหรือลด เชน กราฟตอไปนี้
ถากําหนดจุดบนกราฟให 4 จุด คือ A, B, C และ D โดยไมทราบวาฟงกชันที่มีกราฟ
ผานจุดดังกลาวเปนฟงกชันเพิ่มหรือลดในชวงใด อาจเขียนกราฟของฟงกชันเดียวกันนี้
ไดหลายแบบ เชน
แตถาทราบวา ฟงกชันที่กําหนดใหเปนฟงกชันลดในชวง [x1, x3] และเพิ่มในชวง [x3, x4] กราฟ h
จะใกลเคียงกวากราฟของฟงกชัน f และฟงกชัน g
5. สําหรับฟงกชันที่ควรรูจักในบทนี้มิไดมุงเนนการจําแนกประเภทของฟงกชันแตจะมุงเนน
ใหเห็นตัวอยางของฟงกชันที่อาจพบบอย อันจะเปนพื้นฐานสําหรับนําไปประยุกตใชแกปญหาในวิชา
แคลคูลัส วิชาวิทยาศาสตร และวิชาเศรษฐศาสตรหรือแมแตในชีวิตประจําวัน
6. สําหรับหนังสือเรียนนี้ไดใหนิยามของฟงกชันคอมโพสิทกวางขึ้นเพื่อประโยชนในการหา
ฟงกชันคอมโพสิท ที่เกิดจากฟงกชันเอกซโพเนนเชียล ฟงกชันลอการิทึม ฟงกชันตรีโกณมิติ หรือ
ฟงกชันอื่น ๆ ซึ่งในบทนิยามกลาววา ถา f และ g เปนฟงกชัน จะมีฟงกชันคอมโพสิทของ f และ g
เมื่อ Rf ∩ Dg ≠ ∅
•
•
•
•
Y
Xx1 x20 x3 x4
D
A
B
f •
•
Y
Xx1 x20 x3 x4
D
A
B
g
• •
C
•
•
Y
Xx1 x20 x3 x4
D
A
B
h
•
•
C
Y
Xx1 x20 x3 x4
• • • •
A B C D
l

7. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
91
7. การหาโดเมนของฟงกชัน g°f จะพิจารณาจากโดเมนของฟงกชัน f อยางเดียวไมได
แตจะตองพิจารณาจากโดเมนของฟงกชัน g ประกอบดวย โดยพิจารณา x ∈ Df ที่ทําให f(x) ∈ Dg ดวย
ซึ่งอาจเปนเรื่องยากสําหรับผูเรียนในระดับนี้ แตถาตองการใหผูเรียนที่มีความสามารถพิเศษสามารถหา
โดเมนและเรนจของ g°f ได อาจยกตัวอยางเพิ่มเติมดังตอไปนี้
ตัวอยางที่ 1 กําหนดให f(x) = 12x +− และ g(x) = x5−−
จงหา (g°f)(x) พรอมทั้งบอกโดเมนของ g°f
วิธีทํา Df = [2, ∞) และ Rf = [1, ∞)
Dg = (–∞, 5] และ Rg = (–∞, 0]
จะได Rf ∩ Dg ≠ ∅
ดังนั้น มี g°f เปนฟงกชันจากโดเมนของ f ไปยังเรนจของ g โดยที่
(g°f)(x) = g(f(x)) และ f(x) ∈ Dg
g(f(x)) = )12x(5 +−−− เมื่อ 512x ≤+−
= 2x4 −−− เมื่อ 42x ≤−
Dgof = }42xx{ ≤−
= {x⏐x ≥ 2 ∧ x ≤ 18}
= [2, 18]
ตัวอยางที่ 2 กําหนดให f(x) = 2x+− , g(x) = –x2
+ 3 จะมี g°f และ f°g หรือไม
ถามี จงหา g°f(x) และ f°g(x) พรอมทั้งบอกโดเมน
วิธีทํา 1) หา (g°f)(x)
Df = [–2, ∞) Rf = (–∞, 0]
Dg = R Rg = (–∞, 3]
เนื่องจาก Rf ∩ Dg ≠ ∅ ดังนั้น มี g°f
และเนื่องจาก Rf ⊂ Dg จะได Dg°f = Df = [–2, ∞)
g°f(x) = g(f(x)) เมื่อ f(x) ∈ Dg
= –(f(x))2
+ 3
= 3)2x( 2
++−− เมื่อ x ∈ [–2, ∞)
= –(x + 2) + 3 เมื่อ x ∈ [–2, ∞)
= –x + 1 เมื่อ x ∈ [–2, ∞)

8. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
92
2) หา (f°g)(x)
เนื่องจาก Rg ∩ Df ≠ ∅ ดังนั้น f°g
(f°g)(x) = f(g(x)) เมื่อ g(x) ∈ Df
= 2)x(g +−
= 2)3x( 2
++−− เมื่อ –x2
+ 3 + 2 ≥ 0
= 5x2
+−− เมื่อ –x2
≥ –5
นั่นคือ (f°g)(x) = 5x2
+−− เมื่อ 5− ≤ x ≤ 5
แตเนื่องจาก Rg ⊄ Df จะหา Df°g ไดโดยพิจารณาคา x ซึ่ง g(x) เปนสมาชิกของ Df
จะได Df°g = ]5,5[−
8. ในกรณีที่ f เปนฟงกชันที่ไมใชฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จะมี h ⊂ f ซึ่ง h เปนฟงกชัน
หนึ่งตอหนึ่ง และจะได h–1
เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งดวย
เชน กําหนดให f = {(x, y)⏐y = x2
} f เปนฟงกชันที่ไมใชฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
แตมี h = {(x, y)⏐y = x2
และ x ≥ 0} ซึ่ง h ⊂ f และ h เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง และจะได
h–1
= {(x, y)⏐y = x } เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งดวย
การหาสับเซต h ของ f โดยที่ h เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง แต f ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอ
หนึ่งนี้ จะนําไปใชในเรื่องฟงกชันอินเวอรสของฟงกชันตรีโกณมิติ และฟงกชันลอการิทึม
9. เมื่อมีฟงกชัน f และอินเวอรสของฟงกชัน f ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณ f–1
ซึ่งอาจจะ
เปนฟงกชันหรือไมเปนฟงกชันก็ได
สําหรับสัญลักษณ f–1
(x) จะใชในกรณีที่ f–1
เปนฟงกชันเทานั้น และ f–1
(x) หมายถึง
คาของฟงกชัน f–1
ที่ x
10. ถา f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จะไดผลสรุปดังตอไปนี้
1) f–1
เปนฟงกชัน
2) (f–1
° f)(x) = x สําหรับ x ∈ fD
3) (f ° f–1
)(x) = x สําหรับ x ∈ 1
f
D −
เชน f(x) = 3x – 2
จะได f–1
(x) = 3
2x+

9. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
93
ดังนั้น (f–1
° f)(x) = f–1
(f(x))
= f–1
(3x – 2)
= 3
2)2x3( +−
= x, x ∈ Df
ซึ่งแสดง f–1
°f เปนฟงกชันที่สมาชิกตัวหนาและสมาชิกตัวหลังของคูอันดับแตละคู
มีคาเทากันและเปนสมาชิกของโดเมน f
และ (f ° f–1
)(x) = f(f–1
(x))
= )
3
2x
(f
+
= 2)
3
2x
(3 −
+
= x, x ∈ Df–1
ซึ่งแสดงวา f ° f–1
เปนฟงกชันที่สมาชิกตัวหนาและสมาชิกตัวหลังของคูอันดับแตละคู
มีคาเทากันและเปนสมาชิกของโดเมน f–1
หรือเปนสมาชิกของเรนจ f
หมายเหตุ สําหรับ f ที่เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งไมจําเปนที่ f ° f–1
จะตองเทากับ f–1
° f เชน
ให f = {(1, a), (2, b), (3, c)}
จะได f–1
= {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}
และ f ° f–1
= {(a, a), (b, b), (c, c)}
f–1
° f = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
จะเห็นวา f ° f–1
≠ f–1
° f
11. จากสมบัติของฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง (f–1
° f)(x) = x
เมื่อ f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง กําหนด (g ° f)(x) และ g(x)
ให โดยที่ g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จะหา f(x) ไดโดยอาศัยสมการ f(x) = g–1
(g(f(x))) ทั้งนี้เพราะ
g–1
(g(f(x)) = (g–1
° g)(f(x)) = f(x)
ตัวอยาง กําหนดให (g ° f)(x) = 2x2
และ g(x) = 2x จงหา f(x)
วิธีทํา เนื่องจาก g(x) = 2x จะได g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
และ g–1
(x) = 2
x
จาก f(x) = (g–1
° g)(f(x))
จะได f(x) = g–1
(g(f(x))
= g–1
((g°f)(x))
= g–1
(2x2
)
= x2
= 2
x2 2

10. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
94
กิจกรรมเสนอแนะ
สําหรับความหมายของฟงกชันไดมีการกลาวไวแลวในคูมือครูคณิตศาสตรพื้นฐาน เลม 2
จึงขออนุญาตไมกลาวถึงอีกในคูมือครูเลมนี้
1. วิธีตรวจสอบวา ความสัมพันธ r ใด ๆ ที่เขียนแบบบอกเงื่อนไขนั้นเปนฟงกชันหรือไม
มีดังนี้
ให (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r ถาสรุปไดวา y = z แสดงวา ความสัมพันธ r เปน ฟงกชัน
ตัวอยางเชน จากความสัมพันธ r1 = {(x, y)⏐y = x2
– 1}
ให (x, y) ∈ r1 และ (x, z) ∈ r2 จะได y = x2
– 1 และ z = x2
– 1
ดังนั้น y = z จึงสรุปไดวา ความสัมพันธ r1 เปนฟงกชัน
แตถาสรุปไดวา มีกรณีที่ y ≠ z แสดงวา ความสัมพันธ r ไมเปนฟงกชัน
ตัวอยางเชน จากความสัมพันธ r2 = {(x, y)⏐y2
= x + 1}
ให (x, y) ∈ r2 และ (x, z) ∈ r2 จะได y2
= x + 1 และ z2
= x + 1
ดังนั้น y2
= z2
จะเห็นวามีกรณีที่ y ≠ z เชน y = 2 และ z = –2 จึงสรุปวา ความสัมพันธ
r2 ไมเปนฟงกชัน
สําหรับกรณี r2 นี้อาจใชเหตุผลวา เนื่องจาก (3, 2) ∈ r2 และ (3, –2) ∈ r2 ดังนั้น r2 ไมเปน
ฟงกชัน ไมจําเปนตองตรวจสอบโดยวิธีให (x, y) ∈ r2 และ (x, z) ∈ r2 แลวดูวา y กับ z เทากัน
ในการพิจารณาวา ความสัมพันธที่กําหนดใหจะเปนฟงกชันหรือไม นอกจากจะอาศัยบทนิยาม
ของฟงกชันแลว ยังสามารถพิจารณาไดจากการหาคา y เมื่อกําหนดคา x ให ซึ่งมีวิธีการโดยสรุปดังนี้
กําหนดให (x, y) ∈ r
ใหผูเรียนเขียน y ในรูปของ x แลวพิจารณาวา สําหรับแตละคาของ x จะหาคา y ไดเพียง
คาเดียวหรือไม
ถาแตละคาของ x หาคา y ไดคาเดียว สรุปวา ความสัมพันธนี้เปนฟงกชันแตถาเมื่อกําหนด
x ใหคาเดียว แลวสามารถหาคา y ไดหลายคา สรุปวา ความสัมพันธดังกลาวไมเปนฟงกชัน เชน
กําหนดให r3 = {(x, y)⏐y = x3
– 1}

11. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
95
ให (x, y) ∈ r3 จะเห็นวา สําหรับแตละคาของ x จะไดคา x3
– 1
เพียงคาเดียว นั่นคือ เมื่อกําหนดคา x ให จะหา y ไดจาก y = x3
– 1 เพียงคาเดียว
ดังนั้น r3 เปนฟงกชัน
พิจารณา r4 = {(x, y)⏐y2
= x – 1}
จะเห็นวา แตละคาของ x จะหาคา y ไดจาก y = 1x−± ซึ่งทําใหไดคา y เปนสองคา
คือ y = 1x−− และ y = 1x− เชน เมื่อ x = 2 จะได y มีคาเปน –1 และ 1
ดังนั้น (2, –1) ∈ r4 และ (2, 1) ∈ r4 นั่นคือ r4 ไมเปนฟงกชัน
2. ผูสอนยกตัวอยางกราฟของความสัมพันธทั้งที่เปนฟงกชันและไมเปนฟงกชัน แลวรวมกัน
หาหลักเกณฑในการพิจารณาจากกราฟ วาความสัมพันธใดเปนฟงกชัน ซึ่งจะสรุปไดวา เมื่อลากเสนขนาน
กับแกน Y แลว ถามีเสนขนานอยางนอยหนึ่งเสนที่ตัดกราฟของความสัมพันธมากกวาหนึ่งจุด ความสัมพันธ
นั้นไมเปนฟงกชัน ทั้งนี้เพราะจุดตัดเหลานั้นมีพิกัดที่หนึ่งเหมือนกัน แตพิกัดที่สองตางกัน กลาวคือมี
(x, y) และ (x, z) ที่เปนสมาชิกของความสัมพันธโดยที่ y ≠ z แตถาไมมีเสนขนานกับแกน Y
เสนใดเลยที่ตัดกราฟมากกวาหนึ่งจุด สรุปไดวาความสัมพันธนั้นเปนฟงกชัน
ฟงกชันจาก A ไป B ฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B และฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
1. ผูสอนกําหนดเซต A และ B เชน
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5}
และกําหนดความสัมพันธจาก A ไป B (เฉพาะที่เปนฟงกชัน) เชน
r1 = {(1, 4), (2, 5), (3, 4)}
r2 = {(1, 5), (2, 4), (3, 5)}
r3 = {(1, 5), (2, 4), (3, 4)}
r4 = {(1, 5), (3, 5)}
ใหผูเรียนตอบคําถามตอไปนี้
1) r1, r2, r3, r4 เปนฟงกชันหรือไม (เปน)
2) โดเมนของความสัมพันธใดเทากับเซต A (โดเมนของ r1, r2, r3)
ผูสอนบอกวา ความสัมพันธจาก A ไป B ที่เปนฟงกชันและมีโดเมนเทากับเซต A
เรียกวาฟงกชันจาก A ไป B เขียนแทนดวยสัญลักษณ f : A → B
ดังนั้น r1, r2, r3 เปนฟงกชันจาก A ไป B
สวน r4 ไมเปนฟงกชันจาก A ไป B เพราะโดเมนของ r4 ไมเทากับเซต A

12. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
96
2. ผูสอนกําหนดเซต A และ B เชน
A = {1, 3, 5}
B = {2, 4}
และกําหนดความสัมพันธ (เฉพาะที่เปนฟงกชันจาก A ไป B) เชน
r1 = {(1, 2), (3, 4), (5, 4)}
r2 = {(1, 4), (3, 2), (5, 2)}
r3 = {(1, 2), (3, 2), (5, 2)}
ใหผูเรียนตอบคําถามตอไปนี้
1) r1, r2, r3 เปนฟงกชันหรือไม (เปน)
2) r1, r2, r3 เปนฟงกชันจาก A ไป B หรือไม (เปน)
3) เรนจของความสัมพันธใดเทากับเซต B (เรนจของ r1, r2)
ผูสอนบอกวา ฟงกชันจาก A ไป B ที่มีเรนจเทากับเซต B เรียกวา ฟงกชันจาก A
ไปทั่วถึง B เขียนแทนดวยสัญลักษณ f : A → B
ดังนั้น r1, r2 เปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B
สวน r3 ไมเปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B เพราะเรนจของ r3 ไมเทากับเซต B
3. ผูสอนยกตัวอยางฟงกชันที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกทั้งที่เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งและ
ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง เชน
f1 = {(2, b), (4, a), (6, a)}
f2 = {(2, c), (4, a), (6, b)}
ผูสอนอาจแสดงแผนภาพของการจับคูระหวางสมาชิกของโดเมนกับสมาชิกของเรนจของ
f1 และ f2 ดังนี้
ทั่วถึง
2
4
6
b
a
f1 2
4
6
a
b
c
f2

13. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
97
ใหผูเรียนพิจารณาคูอันดับในฟงกชันที่กําหนดให โดยผูสอนใชคําถามประกอบเพื่อให
ผูเรียนสรุปไดวา
ใน f2 สมาชิกตัวหลังของแตละคูอันดับไมซ้ํากัน
สวนใน f1 มีบางคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหลังซ้ํากัน
ผูสอนบอกวา ฟงกชัน f2 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
ฟงกชัน f1 ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
ผูสอนยกตัวอยางฟงกชันที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกอีกหลาย ๆ ตัวอยาง แลวใหผูเรียน
พิจารณาวา ฟงกชันใดบางเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปความหมายของฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง และผูสอนบอกวา
ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งที่เปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B นั้นเรียกวา ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง (one-to-one
correspondence)
4. เมื่อกําหนดความสัมพันธ f ซึ่ง f ⊂ A × B มาให
ก. การพิจารณาวา f เปนฟงกชันหรือไม จะพิจารณาแตเพียงวา คูอันดับ (x, y) ใน f
ตองไมมีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันก็เพียงพอแลว สวน Df จะเทาหรือไมเทากับ A ก็ได และ Rf จะเทาหรือ
ไมเทากับ B ก็ได
ข. การพิจารณาวา f เปนฟงกชันจาก A ไป B หรือไม ตองพิจารณา
1) f เปนฟงกชัน
2) Df = A
ค. การพิจารณาวา f เปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B หรือไม ตองพิจารณา
1) f เปนฟงกชัน
2) Df = A
3) Rf = B
ตัวอยาง A = {1, 2, 3, 4}
B = {a, b, c}
f = {(1, a), (2, b), (3, c)}
g = {(1, a), (2, b), (3, b), (4, a)}
h = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)}

14. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
98
เชน f เปนฟงกชัน แตไมเปนฟงกชันจาก A ไป B และไมเปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B
g เปนฟงกชัน และเปนฟงกชันจาก A ไป B แตไมเปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B
h เปนฟงกชัน และเปนฟงกชันจาก A ไป B และเปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B
ฟงกชันคอมโพสิท
กอนสอนเรื่องฟงกชันคอมโพสิท ใหผูสอนทบทวนเรื่องคาของฟงกชันดังนี้
1. กําหนด f(x) = 2x + 1 ใหผูเรียนหา f(3), f(a) และ f(x + 4)
จะได f(3) = 2(3) + 1 = 7
f(a) = 2a + 1
f(x + 4) = 2(x + 4) + 1 = 2x + 9
2. กําหนด f(x) = x + 3, g(x) = 4x – 1 ใหผูเรียนหา f(1), f(–3), f(a), g(f(1)),
g(f(–3)), g(f(a)) และ g(f(x))
จะได f(1) = 4
f(–3) = 0
f(a) = a + 3
g(f(1)) = g(4) = 16 – 1 = 15
g(f(–3)) = g(0) = 0 – 1 = –1
g(f(a)) = g(a + 3) = 4(a + 3) – 1 = 4a + 11
g(f(x)) = g(x + 3) = 4(x + 3) – 1 = 4x + 11
ผูสอนบอกวา g(f(x)) คือคาของฟงกชัน g ที่ f(x)
3. ผูสอนกําหนดฟงกชัน f และ g ดังแสดงในรูป
a
b
c
2
3
4
5
f
2
3
4
r
s
t
g

15. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
99
ผูสอนใหผูเรียนหา g(f(a)), g(f(b)), g(f(c))
จากแผนภาพของฟงกชัน f และ g ขางตน จะเห็นวา Rf ∩ Dg ≠ ∅
และเขียนแผนภาพใหมดังนี้
จากแผนภาพที่ได ใหผูเรียนแจกแจงสมาชิกของเซตของคูอันดับ (x, z) โดยที่ x ∈ Df
และมี y ที่ทําให (x, y) ∈ f และ (y, z) ∈ g ผูเรียนควรจะหาไดวาเซตดังกลาว คือ {(a, t), (b, s),
(c, s)} และผูเรียนควรจะบอกไดวา เซตนี้เปนฟงกชันจากโดเมนของ f ไปเรนจของ g ผูสอนบอกวา
จะเขียนแทนฟงกชันนี้ดวย g°f
นั่นคือ g°f = {(a, t), (b, s), (c, s)}
ผูสอนควรเนนใหผูเรียนเห็นวา ถา (x, z) ∈ g°f จะได
z = (g°f)(x) = g(f(x))
4. ผูสอนยกตัวอยางแผนภาพของฟงกชัน f และ g ซึ่ง Rf ∩ Dg ≠ ∅ ดังนี้
ใหผูเรียนหาคูอันดับ (x, z) ซึ่ง x ∈ Df, (x, y) ∈ f และ (y, z) ∈ g
จะได เซตของคูอันดับที่มีสมบัติดังกลาวคือ {(2, ก), (3, ก)} ผูสอนบอกผูเรียนวา
เซตนี้เปนฟงกชันที่มี x ∈ Df และ f(x) ∈ Dg เขียนแทนฟงกชันดวย g°f และ Dg°f = {2, 3}
a
b
c
f 2
3
4
5
r
s
t
g
1
2
3
f a
b
c
d
ก
ข
ค
g

16. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
100
ผูสอนยกตัวอยางแผนภาพของฟงกชันอื่น ๆ เพื่อใหผูเรียนเกิดความเขาใจความหมายของ
g°f ไดดีขึ้น เชน
จากแผนภาพผูเรียนควรบอกไดวา g°f = {(3, ก), (4, ข)}
และ Dg°f = {3, 4}
5. ผูสอนสรุปบทนิยามของฟงกชันคอมโพสิท และเนนใหผูเรียนเห็นวา ถากําหนดฟงกชัน
f และ g มาให จะหาฟงกชัน g°f ไดก็ตอเมื่อ มีสมาชิก x ในโดเมนของฟงกชัน f ที่ทําใหเกิด f(x)
ในโดเมนของฟงกชัน g หรือกลาวไดวา Rf ∩ Dg ≠ ∅ ดังนั้น ในการพิจารณาวา มีฟงกชันคอมโพสิท
g°f จากฟงกชัน f และ g ที่กําหนดใหหรือไมนั้น จะตองพิจารณากอนวา Rf ∩ Dg เปนเซตวางหรือไม
6. ผูสอนอาจใหผูเรียนพิจารณาแผนภาพขางลางวา จาก f และ g ที่กําหนดใหจะสามารถ
หา g°f ไดหรือไม
ซึ่งผูเรียนควรตอบไดวา Rf = {a, b}
Dg = {d, e, f}
และ Rf ∩ Dg = ∅ จึงทําใหไมสามารถหา g°f ได
7. ผูสอนยกตัวอยางฟงกชัน f, g และ h ที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกแลว ใหผูเรียนหาวา
จะมีฟงกชัน g°f หรือไม เพราะเหตุใด ถามีใหหาฟงกชัน g°f นั้น และผูสอนใชคําถามทํานองเดียวกัน
สําหรับฟงกชัน f°g, f°h, h°f, h°g และ g°h
1
2
3
4
f a
b
c
d
ก
ข
g
1
2
3
f g
ก
ข
ค
a
b
d
e
f

17. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
101
8. ผูสอนยกตัวอยางการหาฟงกชันคอมโพสิทเมื่อกําหนดฟงกชันแบบบอกเงื่อนไขของ
สมาชิก เชน
f(x) = x2
+ 2x – 2 และ g(x) = 1x3 − ใหผูเรียนหา Df , Rf , Dg และ Rg
จากนั้นใหพิจารณาวา มี g°f, f°g หรือไม ถามีใหหา (g°f)(x), (f°g)(x), (g°f)(–1) และ (f°g)( 3
1
)
พรอมทั้งบอกโดเมนของ g°f และ f°g
ผูสอนควรยกตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยาง เพื่อใหผูเรียนเกิดความเขาใจ
9. ผูสอนควรกําหนดฟงกชัน f, g และ h เพื่อใหผูเรียนหาฟงกชันคอมโพสิท (f°g)°h และ
f°(g°h) แลวพิจารณาวาฟงกชันทั้งสองเทากันหรือไม
ฟงกชันผกผัน
1. ผูสอนทบทวนเรื่องตัวผกผันของความสัมพันธและเนื่องจากฟงกชันคือ ความสัมพันธ
ดังนั้นการหาตัวผกผันของฟงกชันจึงใชวิธีเดียวกันกับการหาตัวผกผันของความสัมพันธ
ผูสอนยกตัวอยางความสัมพันธ เชน
f1 = {(1, a), (2, c)}
f2 = {(1, a), (2, a)}
f3 = {(x, y)⏐y = 3x + 1}
f4 = {(x, y)⏐y = x2
}
ผูสอนถามผูเรียนวาความสัมพันธใดเปนฟงกชัน (f1, f2, f3, f4)
ผูสอนใหผูเรียนหาตัวผกผันของฟงกชันเหลานั้น
ผูสอนถามผูเรียนวา ตัวผกผันของฟงกชันเปนฟงกชันเสมอไปหรือไม (ไม) และตัวผกผัน
ของฟงกชันใดบางเปนฟงกชัน (ตัวผกผันของ f1, f3)
ผูสอนบอกผูเรียนวา ตัวผกผันของฟงกชันที่เปนฟงกชันเรียกวา “ฟงกชันผกผัน”
ผูสอนถามผูเรียนวา ฟงกชันที่มีฟงกชันผกผันเปนฟงกชัน 1 – 1 หรือไม (เปน)
ผูสอนถามผูเรียนวา ฟงกชันที่ไมมีฟงกชันผกผันเปนฟงกชัน 1 – 1 หรือไม (ไมเปน)
ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวา ฟงกชันที่จะมีฟงกชันผกผันตองเปนฟงกชัน 1 – 1
2. ผูสอนบอกวา สัญลักษณ f–1
ใชแทนตัวผกผันของฟงกชัน ซึ่ง f–1
อาจจะเปนหรือไมเปน
ฟงกชันก็ได
เชน ถา f(x) = 3x จะได f–1
เปนฟงกชัน
แต ถา f(x) = x2
จะได f–1
ไมเปนฟงกชัน

18. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
102
ตัวอยางกิจกรรม
กิจกรรมเปนสื่อการเรียนการสอนประเภทหนึ่ง ซึ่งการจัดกิจกรรมก็มีไดหลากหลายวิธีดวยกัน
เชน การศึกษานอกสถานที่ การเลาเรื่อง การแสดงบทบาทสมมติ การรองเพลง การใชคําประพันธ
ประเภทรอยกรอง การใชเกม เปนตน
ดังนั้น ในการจัดกิจกรรมเรื่องฟงกชัน ผูสอนสามารถทําไดหลายวิธีเชนเดียวกัน เชน เกมโดมิโน
ซึ่งผูสอนอาจจะเปนผูสรางโจทยขึ้นเองหรือใหผูเรียนชวยกันสรางโจทยก็ได โดยดานหนึ่งของตัวโดมิโน
เปนโจทย และอีกดานหนึ่งเปนคําตอบวิธีเลนก็อาศัยหลักการเดียวกันกับการเลนเกมโดมิโน
นอกจากนี้แลว ผูสอนสามารถหาแนวทางการจัดกิจกรรมไดจากหนังสือหรือเว็บไซตที่เกี่ยวกับ
เกมคณิตศาสตรตางๆ โดยนํามาผสมผสานและประยุกตใชใหเหมาะสมกับผูเรียนของตนเอง

19. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
103
เฉลยแบบฝกหัด 2.1
1. (1) A × B = {(1, 3), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 6), (2, 7)}
(2) A × B = {(–1, 0), (–1, 1), (–1, 2), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}
(3) A × B = {(a, e), (a, f), (b, e), (b, f), (c, e), (c, f)}
(4) A × B = {(–3, 1), (–3, 2), (–3, 3), (–2, 1), (–2, 2), (–2, 3), (–1, 1), (–1, 2), (–1, 3)}
2. จํานวนสมาชิกของเซต A เทากับ n และจํานวนสมาชิกของเซต B เทากับ m ดังนั้น
จํานวนสมาชิกของ A × B เทากับ n⋅m = nm
จํานวนสมาชิกของ B × A เทากับ m⋅n = mn
จํานวนสมาชิกของ A × A เทากับ n⋅n = n2
จํานวนสมาชิกของ B × B เทากับ m⋅m = m2
3. (1) (M × N) ∪ (M × P) = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5)}
(2) M × (N ∪ P) = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}
(3) M × (N ∩ P) = M × ∅ = ∅
(4) (M × N) ∩ (M × P) = ∅
4. เปน
5. (1) r = {(2, 0), (2, 1), (4, 0), (4, 1), (4, 2)}
(2) r = {(x, y) ∈ A × B⏐x > y}
6. r1 = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
Dr1
= {1, 2, 3, 4, 5}
Rr1
= {1, 2, 3, 4, 5}
r2 = {(3, 3), (4, 3), (5, 3)}
Dr2
= {3, 4, 5}
Rr2
= {3}
r3 = ∅
Dr3
= ∅
Rr3
= ∅

20. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
104
7. (1) Dr = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} Rr = {0, 1, 4, 9}
(2) Dr = {–2, –1, 0, 1, 2} Rr = {0, 1, 2 }
(3) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ∈ R}
(4) Dr = {x⏐x ∈ I} Rr = {x⏐x ∈ I}
(5) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ≥ 0}
(6) Dr = {x⏐x ∈ R, x ≥ 0} Rr = {x⏐x ∈ R}
(7) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x = 2 }
(8) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ∈ R}
(9) Dr = {x⏐x ∈ R}
จาก y = x2
+ 1 เมื่อ x เปนจํานวนจริงใด ๆ x2
มีคานอยที่สุดเมื่อ x = 0
ดังนั้น y มีคานอยที่สุดเมื่อ x = 0 นั่นคือ y ≥ 1
จะได Rr = {x⏐x ≥ 1}
(10) Dr = {x⏐x ≥ 0} Rr = {x⏐x ≤ 0}
(11) Dr = {x⏐x ∈ I} Rr = {x⏐x ≥ 0, x ∈ I}
(12) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ≥ 0}
(13) จากสมการ y = 2x2
+ จะเห็นวา x2
+ 2 ≥ 2 เสมอไมวา x จะเปนจํานวนจริงใด ๆ
ดังนั้น Dr = {x⏐x ∈ R}
เพราะวา x2
+ 2 ≥ 2 จะได y ≥ 2
ดังนั้น Rr = {x⏐x ≥ 2 }
(14) จากสมการ y = 1x2
− จะเห็นวา x2
– 1 ตองไมนอยกวาศูนย
นั่นคือ x2
– 1 ≥ 0
(x + 1)(x – 1) ≥ 0
จะได x ≥ 1 หรือ x ≤ –1
ดังนั้น Dr = {x⏐x ∈ R ยกเวน –1 < x < 1}
จาก y = 1x2
− เมื่อ x เปนจํานวนจริงยกเวน –1 < x < 1
จะได y ≥ 0
ดังนั้น Rr = {x⏐x ≥ 0}

21. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
105
(15) จากสมการ y = 2
x1− จะเห็นวา 1 – x2
ตองไมนอยกวาศูนย
นั่นคือ 1 – x2
≥ 0
x2
– 1 ≤ 0
(x – 1)(x + 1) ≤ 0
จะได –1 ≤ x ≤ 1
ดังนั้น Dr = {x⏐–1 ≤ x ≤ 1}
จาก y = 2
x1− เมื่อ –1 ≤ x ≤ 1 จะได 0 ≤ y ≤ 1
ดังนั้น Rr = {x⏐0 ≤ x ≤ 1}
(16) จากสมการ y =
x1
1
−
จะเห็นวา x เปนจํานวนจริงใด ๆ ก็ไดยกเวน 1
ดังนั้น Dr = {x⏐x ≠ 1}
จาก y =
x1
1
−
เพราะวา ⏐1 – x⏐ > 0 เสมอจะได y > 0 เสมอ
ดังนั้น Rr = {x⏐x > 0}
(17) Dr = {x⏐x ≠ 2}
การหาเรนจของความสัมพันธนั้นอาจหาไดจากการจัดสมการใหมโดยหาคาของ x
ในรูปของ y
จาก y = 2x
1
−
จะได x = y
y21+
จะเห็นวา y มีคาใด ๆ ก็ไดยกเวนศูนย
ดังนั้น Rr = {x⏐x ≠ 0}
(18) จากสมการ y = 5x
x3
+
จะเห็นวา x เปนจํานวนจริงใด ๆ ก็ไดยกเวน –5
ดังนั้น Dr = {x⏐x ≠ –5}
จาก y = 5x
x3
+
จะได x = y3
y5
−
จะเห็นวา y มีคาใด ๆ ก็ไดยกเวน 3
ดังนั้น Rr = {x⏐x ≠ 3}

22. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
106
(19) จากสมการ y = 2
x9
1
−
จะเห็นวา 9 – x2
ตองมากกวาศูนย
นั่นคือ x2
– 9 < 0
(x – 3)(x + 3) < 0
จะได –3 < x < 3
ดังนั้น Dr = {x⏐–3 < x < 3}
จาก y = 2
x9
1
−
จะเห็นวา 2
x9− มีคามากที่สุดเมื่อ x = 0
นั่นคือ y จะมีคานอยที่สุด เมื่อ x = 0 จะได y ≥
3
1
ดังนั้น Rr = {x⏐x ≥
3
1
}
เฉลยแบบฝกหัด 2.2
1. (1) Dr = {1, 2, 3, 4} Rr = {1, 2, 3}
r–1
= {(2, 1), (3, 4), (2, 2), (1, 2), (1, 3)}
(2) Dr = {1, 2, 3} Rr = {2, 3, 4}
r–1
= {(2, 2), (3, 2), (4, 1), (2, 3), (3, 3)}
(3) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ∈ R}
r–1
= {(x, y) ∈ R × R⏐y = 2
x1−
}
(4) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ∈ R}
r–1
= {(x, y) ∈ R × R⏐y =
3
x2−
}
(5) Dr = {x ∈ R⏐x ≥ 0} Rr = {x ∈ R⏐x ≥ 0}
r–1
= {(x, y) ∈ R × R⏐y = x2
, x ≥ 0}

23. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
107
2. (1) r–1
= {(3, 1), (4, 2), (7, 3), (7, 6), (10, 6)}
โดเมนของ r–1
= {3, 4, 7, 10} เรนจของ r–1
= {1, 2, 3, 6}
(2) s–1
= { ..., (4, –5), (2, –3), (0, –1), (2, 1), (4, 3), (6, 5), ...}
โดเมนของ s–1
= {0, 2, 4, 6, ...}
เรนจของ s–1
= {..., –5, –3, –1, 1, 3, 5, ...}
(3) t–1
= {(x, y) ∈ R × R⏐y = x – 2}
โดเมนของ t–1
= {x⏐x ∈ R} เรนจของ t–1
= {x⏐x ∈ R}
(4) u–1
= {(x, y) ∈ R × R⏐xy = 1}
โดเมนของ u–1
= {x⏐x ≠ 0} เรนจของ u–1
= {x⏐x ≠ 0}
(5) v–1
= {(x, y) ∈ R × R⏐y < x}
โดเมนของ v–1
= {x⏐x ∈ R} เรนจของ v–1
= {x⏐x ∈ R}
3. (1) r = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
ดังนั้น r–1
= {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)}
หมายเหตุ สําหรับการเขียนแจกแจงสมาชิกของ r และ r–1
(ในกรณีที่เขียนแจกแจงได)
จะชวยใหไมสับสน และเขียนกราฟของ r และ r–1
ไดงายขึ้น
2 4 6
2
4
6
Y
X
r
r–1
0

24. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
108
(2) r = {(–1, –3), (0, –2), (1, –1), (2, 0), (3, 1)}
r–1
= {(–3, –1), (–2, 0), (–1, 1), (0, 2), (1, 3)}
(3) ถา r = {(x, y) ∈ I × I⏐y2
= x}
r–1
= {(x, y) ∈ I × I⏐y = x2
}
หมายเหตุ สําหรับขอนี้ยังมีสมาชิกของ r และ r–1
อีกมาก แตเฉลยเฉพาะสมาชิกใน
โดเมนของ r เมื่อ x ∈ I และ x ≤ 9 และสมาชิกในโดเมนของ r–1
เมื่อ
x ∈ I และ x ≤ 3 เทานั้น
42
Y
X
–2– 4
–2
– 4
2
4
r
r–1
0
4 8 12
4
8
12
Y
X
– 4
– 4
r–1
r
0

25. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
109
(4) ถา r = {(x, y) ∈ R × R⏐y = 2x}
r–1
= {(x, y) ∈ R × R⏐y = 2
x
}
(5) ถา r = {(x, y) ∈ R × R⏐y < x – 1}
r–1
= {(x, y) ∈ R × R⏐y > x + 1}
Y
X
–2 0 2
r–1
r
2
–2
Y
X
– 4 0 4
r–1
r
4
– 4

26. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
110
เฉลยแบบฝกหัด 2.3.1 (ก)
1. (1) {(1, a), (2, b), (3, b), (5, c)}
เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย
(2) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (4, e)}
ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ (4, d), (4, e) ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน แตสมาชิกตัวหลังตางกัน
(3) {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)}
เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับใดที่สมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย
(4) ให r = {(x, y) ∈ A × A⏐y ≥ x} ; A = {1, 2, 3}
A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
ดังนั้น r = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}
ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ (2, 2), (2, 3) ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน แตสมาชิกตัวหลังตางกัน
(5) {(x, y) ∈ B × B⏐y = x – 2} ; B = {–2, –1, 0, 1, 2}
เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย
(6) {(x, y)⏐x = 3}
ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ เชน (3, 1), (3, 2) ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน แตสมาชิกตัวหลังตางกัน
(7) {(x, y)⏐y = –2}
เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย
(8) {(x, y)⏐y = x }
เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย
(9) ให r = {(x, y) ∈ A × B⏐y < x} ; A = {0, 1}, B = {–1, 1}
A × B = {(0, –1), (0, 1), (1, –1), (1, 1)}
ดังนั้น r = {(0, –1), (1, –1)} เปนฟงกชันเพราะไมมีคูอันดับใดที่มีสมาชิกตัวหนา
ซ้ํากันเลย
(10) {(x, y)⏐y = }
ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ (0, 1) และ (0, –1) ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน แตสมาชิก
ตัวหลังตางกัน
1 เมื่อ x ≥ 0
–1 เมื่อ x ≤ 0

27. คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
111
2. f1 = {(x, 1), (y, 1), (z, 1)} f2 = {(x, 0), (y, 0), (z, 0)}
f3 = {(x, 1), (y, 0), (z, 1)} f4 = {(x, 1), (y, 0), (z, 0)}
f5 = {(x, 1), (y, 1), (z, 0)} f6 = {(x, 0), (y, 1), (z, 1)}
f7 = {(x, 0), (y, 0), (z, 1)} f8 = {(x, 0), (y, 1), (z, 0)}
3. (1) เปนฟงกชัน
(2) เปนฟงกชัน
(3) (a) ไมเปนฟงกชัน (b) เปนฟงกชัน
(4) (a) เปนฟงกชัน (b) ไมเปนฟงกชัน
(5) (a) เปนฟงกชัน (b) ไมเปนฟงกชัน
4. –5, –7, 13, a2
+ 3a – 5, a2
+ 2ab + b2
+ 3a + 3b – 5, x2
+ 2xb + b2
+ 3x + 3b – 5, 2x + 3 + h
5. 1, 1, 1, 1, 3 , 2, h
1
− เมื่อ h > 0
6. (1) ไมเทากัน (2) ไมเทากัน