1. 1
โรงเรียนเฉลิมพระเกียรติสมเด็จพระศรีนครินทร์ กาญจนบุรี
เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม GP3 รหัสวิชา ค30205
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2555
หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 เรื่อง วิธีเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่
ผลการเรียนรู้ แก้โจทย์ปัญหาโดยใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ วิธีเรียงสับเปลี่ยน และวิธีจัดหมู่
*********************************************************************************************
ชื่อ-สกุล.......................................................................................................................ชั้น ม.6/............... เลขที่ ........................
*********************************************************************************************
2.1 กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
เราสามารถนับจานวนวิธีของเหตุการณ์หนึ่ง ๆ ได้โดยใช้แผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram) ซึ่งแผนภาพต้นไม้แบ่งได้
เป็น 2 แบบ คือ
1. แผนภาพต้นไม้ที่แตกกิ่งออกอย่างเป็นระเบียบ
ตัวอย่างที่ 1 นักเรียนคนหนึ่งมีกางเกง 3 ตัว เสื้อ 2 ตัว และถุงเท้า 2 คู่ นักเรียนคนนี้จะแต่งกายด้วยกางเกง
เสื้อ และถุงเท้าได้กี่วิธี
วิธีทา ก หมายถึง กางเกง, ส หมายถึง เสื้อ และ ถ หมายถึง ถุงเท้า
ถ1
ส1 ถ2
ก1
ส2 ถ1
ถ2
ถ1
ส1 ถ2
ก2
ส2 ถ1
ถ2
ถ1
ส1 ถ2
ก3
ส2 ถ1
ถ2
ดังนั้น นักเรียนคนนี้สามารถแต่งกายได้ 12 วิธี 

2. 2
2. แผนภาพต้นไม้ที่แตกกิ่งออกอย่างไม่เป็นระเบียบ
ตัวอย่างที่ 1 ในการเล่นพนันครั้งหนึ่ง เล่นได้ไม่เกิน 5 ครั้ง แดงมีเงินเพียง บาท เมื่อเริ่มเล่น และจะเลิกเล่นเมื่อมี
กาไร 2 บาท หรือหมดเงิน แดงจะมีวิธีเล่นได้กี่วิธี (ถ้าชนะจะได้ครั้งละ 1 บาท และถ้าแพ้จะเสียครั้งละ 1 บาท
เช่นกัน)
วิธีทา ช แทน แดงเล่นชนะ; พ แทน แดงเล่นแพ้
 
เริ่มเล่น ช ช
  
ช ช ช
  
พ พ
พ  
 พ พ
ดังนั้น แดงจะมีวิธีเล่นได้ 6 วิธี 
กฎการนับเบื้องต้น
จากการนับจานวนวิธี โดยอาศัยแผนภาพต้นไม้ที่แตกกิ่งออกอย่างเป็นระเบียบ สามารถสรุปกฎการนับเบื้องต้นได้
ดังนี้
1. กฎการบวก
ในการทางานอย่างหนึ่งมีวิธีการทางานได้ k แบบ (แต่ละแบบงานเสร็จโดยไม่ต่อเนื่องกับแบบอี่น)
แบบที่ 1 มีวิธีทางานได้ n1 วิธี
แบบที่ 2 มีวิธีทางานได้ n2 วิธี
แบบที่ 3 มีวิธีทางานได้ n3 วิธี
. .
. .
. .
แบบที่ k มีวิธีทางานได้ nk วิธี
จานวนวิธีทางานทั้งหมด = n1 + n2 + n3 +  + nk
ตัวอย่างที่ 2 นักเรียน 3 คน ต้องการเข้าและออกห้องห้องหนึ่งซึ่งมีประตู 3 บาน โดยนักเรียนคนที่หนึ่ง เข้าและ
ออกโดยใช้ประตูบานเดียวกัน นักเรียนคนที่สอง เข้าและออกโดยไม่ใช้ประตูบานเดิม และนักเรียนคนที่สาม เข้าและออก
โดยใช้ประตูบานใดก็ได้ จงหาจานวนวิธีที่นักเรียนทั้งสามคนเข้าและออกห้องนี้
วิธีทา นักเรียนคนที่ 1 มีวิธีเข้าและออกได้ 3 วิธี
นักเรียนคนที่ 2 มีวิธีเข้าและออกได้ …….. วิธี
นักเรียนคนที่ 3 มีวิธีเข้าและออกได้ …….. วิธี
ดังนั้น วิธีที่นักเรียนทั้งสามคนเข้าและออกห้องนี้มีทั้งหมด ........................................... วิธี 

3. 3
2. กฎการคูณ
ในการทางานอย่างใดอย่างหนึ่งตั้งแต่เริ่มต้นจนงานเสร็จมี k ขั้นตอนต่อเนื่องกัน โดยที่
ขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีทางานได้ n1 วิธี
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่หนึ่ง มีวิธีทางานขั้นตอนที่สองได้ n2 วิธี
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่สอง มีวิธีทางานขั้นตอนที่สามได้ n3 วิธี
. .
. . .
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ k – 1 มีวิธีทางานขั้นตอนที่ k ได้ nk วิธี
จานวนวิธีทางานทั้ง k ขั้นตอน = n1n2n3nk
ตัวอย่างที่ 3 ในการจัดกระเช้าของขวัญ ซึ่งจะประกอบด้วยผลไม้ อาหารกระป๋อง และเครื่องดื่ม อย่างละชนิด ถ้ามี
ผลไม้อยู่ 3 ชนิด อาหารกระป๋อง 5 ชนิด และเครื่องดื่ม 2 ชนิด จะมีวิธีจัดกระเช้าได้กี่แบบ
วิธีทา ในการจัดกระเช้าของขวัญ มี 3 ขั้นตอน คือ
ขั้นตอนที่ 1 เลือกผลไม้ได้ 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกอาหารกระป๋องได้ ............ วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเครื่องดื่มได้ ............ วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีจัดกระเช้า = ………………………………….. 
ตัวอย่างที่ 4 บริษัทผลิตเสื้อผ้าแห่งหนึ่งผลิตเสื้อ 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4 แบบ ถ้าจะจัดแต่งตัว
ให้กับหุ่นเพื่อนาไปโชว์หน้าร้าน จะสามารถแต่งเป็นชุดต่าง ๆ กันได้กี่ชุด
วิธีทา
ตัวอย่างที่ 5 สมาคมแห่งหนึ่งมีสมาชิก 50 คน ถ้าต้องการเลือกคณะกรรมการชุดหนึ่ง ซึ่งประกอบด้วยนายกสมาคม
อุปนายกสมาคม เลขาธิการ และเหรัญญิก ตาแหน่งละ 1 คน โดยที่กรรมการคนเดียวกันจะทาหน้าที่ 2 ตาแหน่งไม่ได้
จะมีวิธีเลือกคณะกรรมการได้กี่วิธี
วิธีทา
ตัวอย่างที่ 6 ต้องการสร้างจานวนที่มีสามหลักจากเลขโดด 2, 4, 6, 7, 8 โดยที่แต่ละหลักใช้เลขโดดไม่ซ้ากัน จะ
สร้างได้ทั้งหมดกี่จานวน
วิธีทา

4. 4
ตัวอย่างที่ 7 ต้องการสร้างจานวนคู่ที่มี 3 หลัก โดยสร้างจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 หรือ 5 โดยเลขแต่ละหลัก
ไม่ซ้ากันจะสร้างได้ทั้งหมดกี่จานวน
วิธีทา กรณีที่ 1 จานวนคู่ที่มีหลักหน่วยเป็น 0
เลือกตัวเลขหลักหน่วยได้ 1 วิธี
เลือกตัวเลขหลักสิบได้ 5 วิธี
เลือกตัวเลขหลักร้อยได้ 4 วิธี
จานวนวิธีสร้างจานวนคู่ได้ = 154 = 20 วิธี
กรณีที่ 2 จานวนคู่ที่มีหลักหน่วยไม่เป็น 0
เลือกตัวเลขหลักหน่วยได้ 2 วิธี
เลือกตัวเลขหลักสิบได้ 4 วิธี
เลือกตัวเลขหลักร้อยได้ 4 วิธี
จานวนวิธีสร้างจานวนคู่ได้ = 244 = 32 วิธี
ดังนั้น สามารถสร้างจานวนคู่ 3 หลัก โดยเลขโดดแต่ละหลักไม่ซ้ากันได้ 20  32 = 52 วิธี 
ตัวอย่างที่ 8 จานวนเต็มบวกห้าหลัก ที่เป็นจานวนคู่และแต่ละหลักใช้เลขโดดไม่ซ้ากันมีทั้งหมดกี่จานวน
วิธีทา

5. 5
แบบฝึกหัดที่ 1.1
1. จงหาเส้นทางจาก X ไป Y ในทิศตามลูกศรของแผนภาพต่อไปนี้
X
A C
B
D E F G
Y
2. จงหาจานวนเส้นทางจาก N ไปยัง S ในทิศตามลูกศรของแผนภาพต่อไปนี้
N
S
3. กาหนดเส้นทางจาก A ไปยัง E โดยผ่าน B, C, D ในทิศทางตามลูกศร ดังแผนภาพ ต่อไปนี้
จงหา
1) จานวนเส้นทางการเดินทางจาก A ไป B
A E 2) จานวนเส้นทางการเดินทางจาก B ไป C
B C D 3) จานวนเส้นทางการเดินทางจาก C ไป D
4) จานวนเส้นทางการเดินทางจาก D ไป E
5) จานวนเส้นทางการเดินทางจาก A ไป E
4. ในรูปต่อไปนี้ AD และ FC เป็นส่วนของเส้นตรงซึ่งตั้งฉากกันที่จุด C
F 1) จงหาจานวนของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก XCY โดย
E ที่จุดยอด X และ Y ได้มาจาก A, B, D, E, F
ตอบ .....................................................................
...............................................................................
2) จงหาจานวนของรูปสามเหลี่ยมโดยมีจุดยอด 3
A B C D จุด จาก A, B, C, D, E, F
ตอบ .....................................................................
...............................................................................

6. 6
5. จงหาจานวนวิธีที่แตกต่างกันทั้งหมด ในการวางสี่เหลี่ยมขนาด 2  1 ตารางหน่วยจานวน 9 รูป เพื่อปกคลุม
รูปต่อไปนี้
1 หน่วย
2 หน่วย
6. กาหนดจุด a1, a2, b1, b2, b3, c1, c2, c3 บนด้านของรูปสามเหลี่ยม ABC ดังนี้
C จงหาจานวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดดังกล่าวเป็นจุดยอด
b3
a1
b2
a2
b1
A C1 C2 C3 B
7. จงหาจานวนวิธีสร้างคาที่ไม่คานึงถึงความหมาย ซึ่งประกอบด้วยอักษรภาษาอังกฤษ 5 ตัว โดยที่ตัวอักษร 2 ตัว
ที่ติดกันต้องแตกต่างกัน
8. กาหนด U = {1, 2, 3, … , 100} จงหาจานวนสับเซตทั้งหมดของ U ที่มีสมาชิก 2 ตัว {a, b} โดยที่
a - b 7
9. วิธีสร้างจานวนสามหลักที่มากกว่า 300 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยเลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้ากัน
มีทั้งหมดกี่วิธี

7. 7
10. ข้อสอบประเภทให้เลือกตอบว่าจริงหรือเท็จชุดหนึ่งมี 10 ข้อ นักเรียนที่ทาข้อสอบนี้จะมีวิธีตอบข้อสอบชุดนี้ได้
ต่าง ๆ กันกี่วิธี สมมติว่าต้องตอบคาถามทุกข้อโดยไม่มีการเว้น
11. บัตรเข้าชมกีฬาของสนามกีฬาแห่งหนึ่งกาหนดหมายเลขที่นั่งโดยใช้ตัวเลขแสดงตอนที่นั่งตั้งแต่ 1 ถึง 20 อักษร
แสดงแถวที่นั่งใช้ A ถึง Z และอักษรซ้า AA ถึง ZZ และตัวเลขแสดงตาแหน่งที่นั่งตั้งแต่ 1 ถึง 30 จงหา
จานวนที่นั่งทั้งหมดในสนามกีฬาแห่งนี้
12. การจัดระบบรหัสหนังสือของห้องสมุดแห่งหนึ่งประกอบด้วย ตัวอักษรภาษาอังกฤษ 2 ตัว เลขโดด 3 ตัว และ
ตัวอักษรภาษาอังกฤษ 1 ตัว เลขโดด 2 ตัว เช่น QA 510 B73 จงหาจานวนหนังสือทั้งหมดที่จะจัดได้โดยใช้
ระบบรหัสนี้ และถ้าตัวอักษรภาษาอังกฤษ 2 ตัวแรกแสดงชนิดหนังสือซึ่งจัดไว้เป็นตอน จงหาจานวนหนังสือใน
แต่ละตอน