Downloaded 2,272 times
Uploaded bysawed kodnara
บทที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.ต้น
สรุปเนื้อหาอัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.ต้น พร้อมโจทย์ฝึกทักษะจำนวน 40 ข้อ
More Related Content
Similar to บทที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.ต้น
บทที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.ต้น
- 1. 1 ครู เสวตร บทที่ 1อัตราส่ วนตรีโกณมิติ คำว่ำ “ ตรีโกณมิติ ” ตรงกับภำษำอังกฤษว่ำ “ Trigonometry ” หมำยถึง การวัดรู ปสามเหลี่ยม ได้มีกำรนำควำมรู ้วชำ ิ ตรี โกณมิติไปใช้ในกำรหาระยะทาง พืนที่ มุม และ ทิศทางที่ยำกแก่กำรวัดโดยตรง เช่น ้ กำรหำควำมสูงของภูเขำ กำรหำควำมกว้ำงของแม่น้ ำ ทบทวนเนื้อหาที่เกียวข้ อง ่ กำหนดรู ปสำมเหลี่ยม ABC ที่มีมุม C เป็ นมุมฉำก ดังรู ป B จากทฤษฎีบทปี ทาโกรัส จะได้ วา ่ c a 2 b2 c 2 a A C b ตัวอย่ างที่ 1 กำหนดรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำกดังต่อไปนี้ B 1) จงหาค่า x 5 4 A x C B 2) จงหาค่า y 13 y A 12 C
- 2. 2 ครู เสวตร อัตราส่ วนตรีโกณมิติ พิจำรณำสำมเหลี่ยมมุมฉำกABC ที่มีมุม C เป็ นมุมฉำก ดังรู ป B AB BC a A เป็ นด้ านที่อยูตรงข้ ามมุม A ยาว a หน่วย ่ AC c เป็ นด้ านที่อยูตรงข้ ามมุมฉาก ยาว c หน่วย ่ เป็ นด้ านประชิดมุม A ยาว b หน่วย C b ความยาวของด้ านตรงข้ ามมุม A ความยาวของด้ านตรงข้ ามมุมฉาก ความยาวของด้ านประชิดมุม A ความยาวของด้ านตรงข้ ามมุมฉาก ไซน์ของมุม A คือ โคไซน์ของมุม A คือ เขียนแทนด้วย เขียนแทนด้วย cos A เขียนแทนด้วย ความยาวของด้ านตรงข้ ามมุม A แทนเจนต์ของมุม A คือ ความยาวของด้ านประชิดมุม A sin A tan A นอกจำกนี้ยงมีอตรำส่วนตรี โกณมิติที่เป็ นส่วนกลับของ sin A , cos A , tan A ดังนี้ ั ั - 1 sin A 1 s ecA cos A 1 cot A tan A cos ecA เมื่อ sin A 0 เมื่อ cos A 0 เมื่อ tan A 0 หมายเหตุ โดยปกตินิยมเขียน sin แทน ไซน์ เช่น ไซน์ของมุม 30 o เขียนแทนด้วย sin 30o cos แทน โคไซน์ เช่น โคไซน์ของมุม 60 o เขียนแทนด้วย cos 60 o tan แทน แทนเจนต์ เช่น แทนเจนต์ของมุม 45o เขียนแทนด้วย tan 45o ่ ดังนั้นจะได้วำ sin A a c , cos A b c และ tan A a b
- 3. 3 ตำรำงแสดงค่ำของ 30 o 1 2 sin 3 2 1 cos tan sin e, cos ine 45 o 2 2 2 2 ตัวอย่ างที่ 2 จงหำค่ำของ tan gent ของมุม 30 o , 45o และ 60 o 60 o 3 2 1 2 3 1 3 และ ครู เสวตร sin A , cos A , tan A ,cos ecA,sec A และ cot A จำกรู ปต่อไปนี้ B x 15 A C 8 ตัวอย่ างที่ 3 จงหำค่ำของ a จำกรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำกที่กำหนดให้ในข้อต่อไปนี้ 1) B a 4 30 o C A 2) B 2 3 60o A a C
- 4. 4 ครู เสวตร ตัวอย่ างที่4 จงหำค่ำของแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. sin 45o cos30o cos 45o sin 30o 2. 3sin 30o 4sec 60o 2 tan 45o 3. tan 2 60o sin 2 30o cot 2 60o cos2 60o 3sin 45o cos 45o ตัวอย่ างที่ 5 ถ้ำ ก. ข. ค. ง. sec2 5 3 แล้วค่ำของ cos2 ( ) tan 2 ( ) sin 2 ( ) tan 2 ( ) คือข้อใดต่อไปนี้ ตัวอย่ างที่ 6 ให้ ABC เป็ นสำมเหลี่ยมมุมฉำก โดยมีมุม ABC เป็ นมุมฉำก และมุม CAB กำง องศำ ถ้ำผลบวกของควำมยำวด้ำน AB กับ AC เท่ำกับ หน่วย แล้ว CB จะยำวเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ ก. ( ) หน่วย ข. หน่วย ค. หน่วย ง. หน่วย
- 5. 5 ตัวอย่ างที่ 7กำหนดให้ ก. ข. ค. ง. ง. ข. ค. ง. sin c o s tan c o s ec มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ คือข้อใดต่อไปนี้ 4 1 3tan 2 30o cos 2 30o sec3 60o 3 8 cos 4 5 แล้วค่ำของ 5 tan 4sec2 คือข้อใดต่อไปนี้ 4 8 10 20 ตัวอย่ างที่ 10 เมื่อดวงอำทิตย์ทำมุม ก. แล้ว . ตัวอย่ างที่ 9 ถ้ำ ก. ข. ค. ง. 5 3 . ตัวอย่ างที่ 8 ค่ำของ ก. ข. ค. sec ครู เสวตร o กับแนวระนำบแล้ว ตึกสูง 150 เมตร จะทอดเงำยำวเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
- 6. 6 ตัวอย่ างที่ 11ถ้ำรู ปสำมเหลี่ยมหน้ำจัวมีฐำนยำว ่ ก. o ข. 60o ค. 90o ง. 120o ตัวอย่ างที่ 12 กำหนดให้สำมเหลี่ยม เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ ก. 10 นิ้ว ข. 9 นิ้ว ค. 8 นิ้ว ง. 7 นิ้ว ABC มีดำน ้ ตัวอย่ างที่ 13 จำกจุด A วัดมุมเงยของยอดเขำได้ 60o ภูเขำนี้ เท่ำใด และสูง BC 45o ครู เสวตร 1 เมตร แล้วมุมยอด จะเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ ยำว 18 นิ้ว มุม B 30o และมุม C 60o แล้วด้ำน AC เมื่อเขำเดินเข้ำหำยอดเขำตำมแนวรำบ 1,818 เมตร วัดมุมเงยได้ ยำว
- 7. 7 ครู เสวตร แบบฝึ กทักษะพืนฐานอัตราส่วนตรีโกณมิติ ้ 1) สำมเหลี่ยมรู ปหนึ่งมีดำนยำว 17 , 15 และ 8 เซนติเมตร ถ้ำสำมเหลี่ยมอีกรู ปหนึ่งซึ่งคล้ำยกับสำมเหลี่ยมรู ปนี้มีดำน ้ ้ สั้นที่สุดยำว 4 เซนติเมตร ด้ำนอีก 2 ด้ำนยำวกี่เซนติเมตร ก. 6.5 , 7.5 ข. 7.5 , 8 ค. 8.5 , 7.5 ง. 8.5 , 9.5 2) สำมเหลี่ยมรู ปหนึ่งมีดำนยำว 13 , 12 และ 5 เซนติเมตร ถ้ำสำมเหลี่ยมรู ปหนึ่งซึ่งคล้ำยกับสำมเหลี่ยมรู ปนี้มีดำนยำว ้ ้ ที่สุดยำว 18 เซนติเมตร ด้ำนอีก 2 ด้ำนยำวกี่เซนติเมตร ก. 6.5 , 16.5 ข. 6.9 , 16.6 ค. 7.5 , 16.9 ง. 7.5 , 17.5 3) ถ้ำ sin A 1 2 แล้ว มุม A เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ ก. 30o ข. 45o ค. 60o ง. 90o 4) ถ้ำ tan A 3 แล้ว มุม A เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ ก. 30o ข. 45o ค. 60o ง. 90o 5) ถ้ำ cos A 0.8 แล้ว sin A จะมีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ ก. 0.4 ข. 0.5 ค. 0.6 ง. 0.8
- 8. 8 6) ถ้ำ ก. ข. ค. ง. 7) ถ้ำ ก. ข. ค. ง. tanA ข. ค. ง. ค. ง. ค. ง. 4 5 แล้ว ค่ำของ sin A cos A tan A เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 2 5 1 2 5 1 sin A 1 15 1 2 5 11 2 15 14 3 15 1 และ sin A 0o A 90o และ 4 tan A 3 ค่ำของ sin A และ cos A มีค่ำเท่ำใด 5 13 แล้ว มีค่ำเท่ำใด 0o A 90o tan A cos A 5 13 6 13 7 13 8 13 5 3 4 4 5 3 5 5 4 , 5 3 , 5 3 , 4 10) สำมเหลี่ยม ก. 2 1 ข. แล้ว sin A cos A มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 1 9) กำหนดให้ ก. 3 , 4 ข. 3 4 0 8) กำหนดให้ ก. ครู เสวตร 3 2 2 3 1 3 3 2 3 3 ABC มี C เป็ นมุมฉำก และ 5cos A 3 แล้ว tan A cot B มีค่ำเท่ำใด
- 9. 9 11) ค่ำของ sinA และ cos A จะเท่ำกันเมื่อมุม ก. 30o ข. 45o ค. 60o ง. 90o 12) tan 30 มีค่ำเท่ำกับ cos กี่องศำ A กำงกี่องศำ o sec30 ก. ข. ค. ง. 13) ค. ง. ค. ง. 15) ถ้ำ ก. ข. ค. ง. 1 1 12 2 2 1 2 มีค่ำเท่ำใด 6 6 1 2 7 7 1 2 tan 30o cos 30o 1 x แล้ว 1 2 3 4 sin 30o cos 45o 2 1 2 tan 45o ก. มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด 1 3sec2 45o 2cos2 30o ก. ข. 16) 30o 45o 60o 90o sin 2 45o tan 2 30o cos2 60o ก. ข. 14) o ข. 1 2 2 ค. ง. 1 2 1 2 มีค่ำเท่ำใด x มีค่ำเท่ำใด ครู เสวตร
- 10. 10 17) sin 45o cos45o sin 30o cos30o ก. ข. ค. ง. 18) 3 3 2 2 sin 2 45o tan 2 30o cos2 60o ก. ข. ค. ง. 19) 2 3 2 4 1 3 1 2 ค. ง. มีค่ำเท่ำใด 1 1 1 12 2 2 1 2 3sec2 45o 2cos2 30o ก. ข. มีค่ำเท่ำใด มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด 6 6 1 2 7 7 1 2 20) ถ้ำ x cos30 tan 30 1 แล้ว x มีค่ำเท่ำใด ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 21) sin 45 tan 30 มีค่ำเท่ำใด o o o o cos 30 ก. ข. ค. ง. 22) o 1.4 1.5 1.6 1.7 sin 45o cos30o cos 45o sin 30o มีค่ำเท่ำใด ก. ข. ค. ง. 0.25 1.25 2 2.25 ครู เสวตร
- 11. 11 23) สำมเหลี่ยมมุมฉำกซึ่งมีมุม Bเป็ นมุมฉำก ถ้ำ ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 2 2 24) ถ้ำ ก. ข. ค. ง. 25) ถ้ำ ก. ข. ค. ง. 26) ถ้ำ ก. ข. ค. ง. tan A 3 7 แล้ว 2cos A sin A cos A 1 sin 2 A sin A cos 2 A tan A 1 ครู เสวตร แล้ว cos A มีค่ำเท่ำใด มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด 3 7 4 7 7 3 7 4 sin 2 A cos2 A 1 แล้ว sin 2 ( A 60o ) cos2 A 60o มีค่ำเท่ำใด 0 1 1 2 1 2 tan A 2 3 แล้ว cos A(sec A cos A) sin A(co sec A sin A) มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด 1 3 3 2 3 4 9 ่ ่ ่ 27) เด็กคนหนึ่งยืนอยูบนท่ำเรื อซึ่งอยูสูงกว่ำระดับน้ ำทะเล 120 ฟุต มองเห็นเรื อเป็ นมุมก้ม 30 องศำ เรื อจะอยูห่ำงจำก ท่ำเรื อเท่ำใด ก. 200 ฟุต ข. 207.8 ฟุต ค. 212.5 ฟุต ง. 220 ฟุต
- 12. 12 ครู เสวตร ่ 28) ชำย2 คน ยืนอยูตรงข้ำมกันและห่ำงจำกอำคำรหลังหนึ่งซึ่งสูง 80 เมตร ทั้งสองวัดมุมเงยของอำคำรได้ 30 องศำ และ 45 องศำตำมลำดับ ชำยสองคนนี้ยนอยูห่ำงกันเท่ำใด ื ่ ก. 180 เมตร ข. 200 เมตร ค. 218.5 เมตร ง. 221.8 เมตร ่ 29) ชำยคนหนึ่งยืนอยูบนหน้ำผำริ มทะเลซึ่งสูง 250 ฟุต มองเห็นเรื อสองลำเป็ นมุม 30 องศำและ 45 องศำ ตำมลำดับ เรื อสองลำนี้ห่ำงกันเท่ำใด ก. 180 ฟุต ข. 183 ฟุต ค. 190 ฟุต ง. 195 ฟุต 30) จำกจุดหนึ่งริ มทะเลซึ่งสูงกว่ำระดับน้ ำทะเล 80 เมตร จะมองเห็นเรื อสองลำ จอดในแนวเดียวกันเป็ นมุม 30 องศำและ ่ 60 องศำ ตำมลำดับ เรื อทั้งสองลำนี้อยูห่ำงกันเท่ำใด ก. 82 เมตร ข. 90 เมตร ค. 92.3 เมตร ง. 95.61 เมตร ่ 31) มำนะกับมำนี ยืนอยูคนละด้ำนของปรำงค์องค์หนึ่ง ทั้งสองมองเห็นยอดปรำงค์เป็ นมุมเงย 45 องศำ และ 60 องศำ ่ ตำมลำดับ ถ้ำทั้งสองอยูห่ำงกัน 100 เมตร ปรำงค์องค์น้ ีสูงเท่ำใด(ตอบเป็ นจำนวนเต็ม) ก. 60 เมตร ข. 63 เมตร ค. 70 เมตร ง. 73 เมตร 32) สำมเหลี่ยมมุมฉำกรู ปหนึ่งมีมุม ก. sin A ข. cos A ค. tan A ง. sec A A ่ เท่ำกับ 45 องศำ ค่ำของอัตรำส่วนตรี โกณมิติในข้อใดต่อไปนี้มีคำมำกสุด
- 13. 13 ครู เสวตร 33) จำกจุดหนึ่งบนฝั่งแม่น้ำตรงข้ำมกับต้นไม้บนอีกฝั่งหนึ่ง วัดมุมเงยของต้นไม้ได้ 60 องศำ ครั้นถอยหลังไปอีก 100 ฟุต มุมเงยของต้นไม้เป็ น 30 องศำ แม่น้ ำนี้กว้ำงเท่ำใด ก. 40 ฟุต ข. 50 ฟุต ค. 60 ฟุต ง. 70 ฟุต 34) จำกข้อ 33) ต้นไม้สูงเท่ำใด(ตอบเป็ นจำนวนเต็ม) ก. 60 ฟุต ข. 72 ฟุต ค. 80 ฟุต ง. 86 ฟุต 35) เฮลิคอปเตอร์ลำหนึ่งขึ้นตรงดิ่งจำกที่รำบแห่งหนึ่ง เมื่อไปได้ระยะหนึ่งคนขับมองลงมำเห็นบ้ำนหลังหนึ่งมีมุมก้ม 30 องศำ เมื่อบินตรงไปอีก 100 เมตร ก็เห็นมุมก้มของบ้ำนหลังนั้นเป็ นมุม 60 องศำ เฮลิคอปเตอร์ข้ ึนไปสูงกี่เมตร เมื่อมองเห็นบ้ำนครั้งแรก ก. 40 เมตร ข. 45 เมตร ค. 50 เมตร ง. 55 เมตร 36) จำกข้อ 35) บ้ำนหลังนั้นไกลจำกที่เฮลิคอปเตอร์ข้ ึนไปประมำณกี่เมตร ก. 85 เมตร ข. 86 เมตร ค. 87 เมตร ง. 88 เมตร 37) สมบัติยนบนตึก เมื่อมองลงไปยังถนนหน้ำตึกเห็นรถยนต์คนหนึ่งแล่นตรงเข้ำมำขณะที่รถแล่นถึงจุด A มีมุมก้ม 15 ื ั อีก 6 วินำที แล่นถึงจุด B มีมุมก้ม 30 ถ้ำตึกที่ยนอยูสูงชั้นละ 3 1 เมตร และรถยนต์แล่นได้ชวโมงละ 60 ื ่ ั่ o o 3 กิโลเมตร จุด ก. 80 ข. 100 ค. 120 ง. 140 A และ จุด B ห่ำงกันกี่เมตร
- 14. 14 ครู เสวตร 38) จำกจุดหนึ่งห่ำงจำกเชิงของหอคอย50 ฟุต มองเห็นยอดของหอคอยเป็ นมุมเงย 50 องศำ หอคอยสูงกี่ฟุต (กำหนดให้ tan 50 1.2 ) ก. 30 ฟุต ข. 40 ฟุต ค. 50 ฟุต ง. 60 ฟุต o 39) สมศักดิ์สูง 6 ฟุต ยืนหำกจำกเสำธง 8 ฟุต เงำของเขำทอดยำวเป็ น 2 เท่ำของควำมสูงของเขำ ดวงไฟบนเสำสูงจำก พื้นดินกี่ฟุต ก. 10 ฟุต ข. 15 ฟุต ค. 18 ฟุต ง. 19 ฟุต ่ ่ 40) นันทนำยืนอยูบนหน้ำผำแห่งหนึ่ง มองเห็นทุ่น 2 ทุ่นในทะเลด้วยมุมก้ม 45 องศำ และ 60 องศำ ถ้ำทุ่นทั้งสองอยูห่ำง กัน 220 ฟุต หน้ำผำจะสูงเท่ำใด ก. 500 ฟุต ข. 520 ฟุต ค. 530 ฟุต ง. 540 ฟุต