1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
(เนื้อหาตอนที่ 3)
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
โดย
อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง สถิตและการวิเคราะห์ข้อมูล
ิ
สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 27 ตอน
ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
2. เนื้อหาตอนที่ 1 บทนา (เนื้อหา)
- ความหมายของสถิติ
- ข้อมูลและการนาเสนอข้อมูล
- การสารวจความคิดเห็น
3. เนื้อหาตอนที่ 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
- ค่ากลางของข้อมูล
4. เนื้อหาตอนที่ 3 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
- แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง
5. เนื้อหาตอนที่ 4 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
- ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
- มัธยฐาน
- ฐานนิยม
- ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
- ค่ากลางฮาร์โมนิก
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การกระจายของข้อมูล
- ตาแหน่งของข้อมูล
7. เนื้อหาตอนที่ 6 การกระจายสัมบูรณ์ 1
- การกระจายสัมบูรณ์และการกระจายสัมพัทธ์
- พิสัย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
8. เนื้อหาตอนที่ 7 การกระจายสัมบูรณ์ 2
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ความแปรปรวน
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. เนื้อหาตอนที่ 8 การกระจายสัมบูรณ์ 3
- พิสัย (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
10. เนื้อหาตอนที่ 9 การกระจายสัมพัทธ์
- สัมประสิทธ์พิสัย
- สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
- สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
- สัมประสิทธ์ของความแปรผัน
11. เนื้อหาตอนที่ 10 คะแนนมาตรฐาน
- คะแนนมาตรฐาน
- การแจกแจงปกติ
12. เนื้อหาตอนที่ 11 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
- ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
13. เนื้อหาตอนที่ 12 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
- ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา
14. เนื้อหาตอนที่ 13 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
- โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
15. เนื้อหาตอนที่ 14 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
- โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
16. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
17. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
18. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
19. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
20. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 5)
21. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
22. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การนาเสนอข้อมูล
23. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดค่ากลางของข้อมูล
24. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดการกระจายของข้อมูล
25. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การแจกแจงปกติ
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
26. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง
27. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงพาราโบลาและความสัมพันธ์เชิงชี้กาลัง
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่
คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชา
คณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล (แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 3 (3/14)
หัวข้อย่อย 1. มัธยฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
2. ค่ากลางอื่นๆ (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
3. การเลือกใช้ค่ากลาง
4. แผนภาพต้น-ใบ
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. สามารถหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ได้
2. สามารถหาค่ากลางอื่นๆ ได้แก่ เรขาคณิต ฮาร์โมนิก และกึ่งกลางพิสัย ของข้อมูลที่ไม่แจก
แจงความถี่ได้
3. สามารถเลือกใช้ค่ากลางได้อย่างเหมาะสม
4. สามารถนาเสนอข้อมูลในรูปแผนภาพต้น-ใบได้
5. สามารถอ่านข้อมูลที่นาเสนอในรูปแผนภาพต้น-ใบและนาไปใช้ในการคานวณค่ากลาง
ต่างๆ ของข้อมูลได้
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายและคานวณค่ามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ได้
2. อธิบายสมบัติของมัธยฐานและนาไปใช้ได้
3. อธิบายความหมายและคานวณค่ากลางอื่นๆ ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ได้
4. ให้เหตุผลในการเลือกใช้ค่ากลางจากข้อมูลที่กาหนดให้ได้
5. นาเสนอข้อมูลด้วยแผนภาพต้น-ใบได้
6. ระบุข้อดีของการนาเสนอข้อมูลในรูปแผนภาพต้น-ใบ และนามาใช้คานวณค่ากลางของ
ข้อมูลได้
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. มัธยฐาน
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. มัธยฐาน
ในสื่อตอนนียังคงมุ่งที่จะคานวณค่ากลางของข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่โดยจะกล่าวถึง มัธยฐาน ค่าเฉลี่ย
้
เรขาคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก และกึ่งกลางพิสัย อีกทั้งการเลือกใช้ค่ากลางให้เหมาะสมกับข้อมูลที่กาหนดให้ และ
สุดท้ายได้กล่าวถึงการนาเสนอข้อมูลอีกรูปแบบหนึ่ง คือการใช้แผนภาพต้น-ใบ
ในช่วงนี้ได้กล่าวถึงบทนิยามและการคานวณหาค่ามัธยฐาน ซึ่งเป็นค่ากลางอีกค่าหนึ่งที่นิยมใช้เป็นตัวแทนของ
ข้อมูล ครูควรย้ากับนักเรียนว่า การหามัธยฐานของข้อมูลนั้นต้องมีการเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก หรือจากมากไป
น้อยก่อน ดังนั้นข้อมูลที่จะนามาหามัธยฐานจึงต้องเป็นข้อมูลที่สามารถเปรียบเทียบกันได้
หมายเหตุ ในสื่อและคู่มือชุดนี้จะเรียงข้อมูลจากน้อยไปมากเท่านั้น
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื่องจากข้อมูลที่สนใจในตอนนี้เป็นข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่นักเรียนน่าจะสังเกตกันได้ไม่ยากว่าหลังจากเรียง
ข้อมูลจากน้อยไปมาก ข้อมูลในตาแหน่งที่เท่าไรจะเป็นข้อมูลที่อยู่ตรงกลางของข้อมูลทั้งหมด สาหรับสัญลักษณ์ที่
ใช้แทนมัธยฐานไม่ว่าข้อมูลนั้นจะเป็นระดับประชากรหรือตัวอย่างอาจใช้ Med หรือ Me ทั้งนี้มาจากคาว่า
Median นั่นเอง นอกจากนี้ครูควรย้ากับนักเรียนว่าสิ่งที่นักเรียนต้องคานวณก่อนเมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก
(หรือจากมากไปน้อย) แล้วคือตาแหน่งของมัธยฐาน แล้วจากตาแหน่งจึงนาไปสู่มัธยฐานซึ่งเป็นคาตอบที่ต้องการ
ในตาราบางเล่มอาจกล่าวว่ามัธยฐานคือจานวนจริงที่เมื่อเรียงข้อมูลที่สนใจจากน้อยไปมาก (หรือจากมากไปน้อย)
แล้ว มีข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับจานวนจริงนี้อยู่ร้อยละ 50 และมีข้อมูลที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับจานวน
จริงนี้อยู่ร้อยละ 50 เช่นกัน ดังนั้นสาหรับบทนิยามของมัธยฐานในลักษณะนี้ ข้อมูล 150, 155, 177, 180 อาจมี
จานวนจริงใดๆ ในช่วง (155,177) เป็นมัธยฐานก็ได้ แต่โดยทั่วไปแล้วจะเลือกให้เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล
สองข้อมูลที่อยู่ระหว่างกลางของข้อมูลทั้งหมดดังที่ได้นาเสนอไปในสื่อชุดนี้
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจให้นักเรียนช่วยกันอภิปรายสถานการณ์ต่อไปนี้ เพื่อให้เข้าใจความหมายของมัธยฐานมาก
ขึ้น
สถานการณ์ ในปี 1980 มีรายงานว่ามัธยฐานของอายุของประชากรในประเทศสหรัฐอเมริกาเท่ากับ 30 ปี แต่ในปี
2011 จะเพิ่มขึ้นเป็น 36 ปี ถ้าอุตสาหกรรมผลิตเครื่องอานวยความสะดวกต่างๆ ของประเทศสหรัฐอเมริกา เจาะ
กลุ่มลูกค้าที่มีอายุอยู่ในช่วง 18 30 ปี แล้วการที่มัธยฐานของอายุของประชากรเพิ่มขึ้นมีผลกระทบกับ
อุตสาหกรรมนี้หรือไม่อย่างไร
นอกจากนีครูอาจให้ตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม
้
ตัวอย่าง 1 สาหรับจานวนจริง a และ d ใดๆ จงหามัธยฐานของข้อมูล a, a d, a 2d, ..., a (N 1)d
วิธีทา สาหรับข้อมูลที่กาหนดให้มีอยู่ทั้งสิ้น N ตัว หาก d เป็นจานวนจริงบวก ข้อมูลชุดนี้จะเรียงจากน้อยไป
มาก หาก d 0 ข้อมูลชุดนี้จะเท่ากันหมด และหาก d เป็นจานวนจริงลบ ข้อมูลชุดนี้จะเรียกจากมากไปน้อย
N 1
ดังนั้นตาแหน่งของมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้คือ
2
N 1
นั่นคือถ้า N เป็นจานวนคี่ มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น a d
2
N N
a d a 1d
2 2 N 1
แต่ถ้า N เป็นจานวนคู่ มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น a d
2 2
สังเกตว่าในกรณีที่ N เป็นจานวนคี่ มัธยฐานมีค่าเท่ากับข้อมูลตัวหนึ่งในชุดนี้ และมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ของข้อมูลชุดนี้เช่นกัน
ตัวอย่าง 2 สาหรับจานวนจริง a และจานวนจริงบวก r ใดๆ จงหามัธยฐานของข้อมูล a, ar, ar 2, ..., ar N 1
วิธีทา สาหรับข้อมูลที่กาหนดให้มีอยู่ทั้งสิ้น N ตัว หาก r (0,1) ข้อมูลชุดนี้จะเรียงจากมากไปน้อย หาก
r 1 ข้อมูลชุดนี้จะเท่ากันหมด และหาก r (1, ) ข้อมูลชุดนี้จะเรียกจากน้อยไปมาก ดังนั้นตาแหน่ง
N 1
ของมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้คือ
2
N 1
นั่นคือถ้า N เป็นจานวนคี่ มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น ar 2
N N
1 N
ar 2
ar 2
1 r
แต่ถ้า N เป็นจานวนคู่ มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น ar 2
2 2
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 3 ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลาดับจากน้อยไปมากได้เป็น 1, 2, 3, 3, a, b, 6, 6, 9, 12 ถ้าฐานนิยมและ
มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น 3 และ 4 ตามลาดับแล้วจงหาค่า ab
วิธีทา จากข้อมูลและโจทย์ที่ว่าฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้เป็น 3 ทาให้ได้ว่า a 3
และตาแหน่งของมัธยฐานคือ 10 1
5.5 ดังนั้นจากโจทย์ที่ว่ามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น 4
2
a b 3 b
ทาให้ได้ว่า 4
2 2
นั่นคือ b 5 จะได้ว่า ab 15
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้ได้ให้สมบัติของมัธยฐานที่สาคัญ จะเห็นว่าสมบัติแรกคล้ายกับสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ว่า
N n
(x i a )2 มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ a แต่ | xi a | มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ a Me
i 1 i 1
โดยอาศัยอสมการสามเหลี่ยม ที่กล่าวว่า สาหรับจานวนจริง a และ b ใดๆ
จะได้ว่า | a b | | a | | b |
ทาให้การพิสูจน์สมบัติข้อ 1 ของมัธยฐานนั้นสามารถแสดงได้ดังนี้
พิสูจน์ ให้ Me เป็นมัธยฐานของข้อมูล x 1, x 2, x 3, ..., x N ที่เรียงจากน้อยไปมากและ a เป็นจานวนจริงใดๆ
กรณี N เป็นจานวนคีจะได้ว่า Me
่ xN 1
ดังนั้น
2
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
N
| xi a|
i 1
| x1 a| | x2 a | ... | x N 1
a | ... | x N 1
a| | xN a|
2
|a x1 | | xN a| |a x2 | | xN 1
a | ... | a xN 1
| | xN 3
a| | xN 1
a|
2 2 2
(x N x1 ) (x N 1
x2 ) ... (x N 3
xN 1) | xN 1
a|
2 2 2
(x N x1 ) (x N 1
x2 ) ... (x N 3
xN 1)
2 2
Me x1 Me x2 ... 0 ... xN 1
Me xN Me
N 1 N 1
พจน์ พจน์
2 2
| x1 Me | | x2 Me | ... | x N 1
Me | ... | x N 1
Me | | xN Me |
2
N
| xi Me |
i 1
xN xN
1
กรณี N เป็นจานวนคี่จะได้ว่า Me 2 2
ดังนั้น
2
N
| xi a|
i 1
| x1 a| | x2 a | ... | x N a| | xN a | ... | x N 1
a| | xN a|
1
2 2
|a x1 | | xN a| |a x2 | | xN 1
a | ... | a xN | | xN a|
1
2 2
(x N x1 ) (x N 1
x2 ) ... (x N xN )
1
2 2
Me x1 Me x2 ... Me xN xN Me ... xN 1
Me xN Me
1
2 2
N N
พจน์ พจน์
2 2
| x1 Me | | x2 Me | ... | x N Me | | xN Me | ... | x N 1
Me | | xN Me |
1
2 2
N
| xi Me |
i 1
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องมัธยฐาน
จงหามัธยฐานของข้อมูลที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. 18, 10, 15, 13, 17, 15, 12, 15, 18, 16, 11
2. 3.2, 2.5, 2.1, 3.7, 2.8, 2.0
3. 7, 2, 3, 3, 0, 4
4. 2, 3, 5, 3, 2, 3, 4, 3, 5, 1, 2, 3, 4
5. จงยกตัวอย่างข้อมูลชุดหนึ่งที่มี 5 ตัว และข้อมูลอีกชุดหนึ่งที่มี 6 ตัว แต่คานวณแล้วได้มัธยฐานของข้อมูลทั้ง
สองนี้เท่ากัน
6. หนูทดลองสิบตัวถูกปล่อยไปในเขาวงกตเพื่อให้วิ่งหาทางออก เวลาที่หนูแปดตัวใช้ในการหาทางออกเป็นดังนี้
100, 38, 122, 95, 116, 56, 135, 104 วินาทีในขณะที่หนูอีกสองตัวยังหาทางออกไม่ได้ จากข้อมูลนี้ จง
พิจารณา
ก. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตสาหรับระยะเวลาที่หนูทดลองทั้งสิบตัวใช้ในการวิ่งหาทางออกจากข้อมูลนี้เป็นไปได้
หรือไม่ ถ้าได้ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและให้ความหมายซึ่งสอดคล้องกับสถานการณ์ที่กาหนดให้นี้
ข. หารหามัธยฐานของระยะเวลาที่หนูทดลองทั้งสิบตัวใช้ในการวิ่งหาทางออกเป็นไปได้หรือไม่ ถ้าได้ จงหา
ค่ามัธยฐานและให้ความหมายซึ่งสอดคล้องกับสถานการณ์ที่กาหนดให้นี้
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ค่ากลางอื่นๆ
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ค่ากลางอื่นๆ
ในช่วงนี้ได้ให้บทนิยามและสูตรในการคานวณค่ากลางอื่นๆ
สาหรับสัญลักษณ์แทนค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของข้อมูลไม่ว่าจะเป็นระดับประชากรหรือตัวอย่างมักจะใช้ G .M . หรือ
GM
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากนักเรียนได้ทราบสูตรในการคานวณค่าเฉลี่ยเรขาคณิตแล้วครูควรให้นักเรียนได้อ่านหมายเหตุดังๆ พร้อม
กัน จากนั้นให้ครูยกตัวอย่างนี้ประกอบ
ตัวอย่าง 4 สาหรับจานวนจริง a และจานวนจริงบวก r ใดๆ จงหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของข้อมูล
a, ar, ar 2, ..., ar N 1
1 2 3 ... (N 1) N 1
วิธีทา G .M . N
a(ar )(ar 2 )...(ar N 1 ) ar N
ar 2
หมายเหตุ 1. ข้อมูลที่กาหนดให้ในตัวอย่าง 4 เรียกว่าลาดับเรขาคณิต ซึ่งนักเรียนจะได้ศึกษาโดยละเอียดในสื่อ
เรื่องลาดับและอนุกรม โดยอาจารย์ศันสนีย์และอาจารย์ไพโรจน์
2. ในกรณีที่ N เป็นจานวนคี่ ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของข้อมูลที่กาหนดให้ในตัวอย่าง 4 จะเท่ากับมัธยฐานของข้อมูล
ชุดนี้ ซึ่งสื่อถึงความเป็น “ค่ากลาง” ของข้อมูลจริงๆ
สาหรับสัญลักษณ์แทนค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกสาหรับข้อมูลระดับประชากรและตัวอย่างนั้นใช้ H .M . หรือ HM
หลังจากที่นักเรียนได้ทราบสูตรในการคานวณค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกแล้ว ครูควรย้าอีกครั้งว่าค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกมี
ความสัมพันธ์อย่างลึกซึ้งกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต กล่าวคือ นาข้อมูลทั้งหมดมากลับเศษเป็นส่วน แล้วหาค่าเฉลี่ยเลข
คณิตของข้อมูลชุดใหม่ จากนั้นกลับนาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลใหม่มากลับเศษเป็นส่วนอีกครั้งเพื่อให้ได้เป็น
ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก นอกจากนี้ครูควรหยุดให้นักเรียนช่วยกันอ่านหมายเหตุสาหรับค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกพร้อมๆ กัน
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากนักเรียนเข้าใจตัวอย่างที่ยกในสื่อชุดนี้แล้วครูควรยกตัวอย่างนี้ประกอบ
1 1 1 1
ตัวอย่าง 5 สาหรับจานวนจริง a และ d ใดๆ ที่ทาให้ , , , ..., เป็น
a a d a 2d a (N 1)d
จานวนจริงบวกทั้งหมด จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกของข้อมูลชุดนี้
N 1
วิธีทา H .M .
a (a d) (a 2d ) ... (a (N 1)d ) N 1
a d
2
สังเกตว่าในกรณีที่ N เป็นจานวนคี่ ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกของข้อมูลที่กาหนดให้ในตัวอย่างนี้จะเป็นข้อมูล
ตาแหน่งตรงกลางของข้อมูลชุดนี้พอดี ในขณะที่เมื่อ N เป็นจานวนคู่ ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกของข้อมูลที่
กาหนดให้ในตัวอย่างนี้จะเป็นจานวนจริงที่เป็นค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกของข้อมูลสองข้อมูลที่อยู่ตาแหน่งตรง
กลางของข้อมูลชุดนี้ ซึ่งสื่อถึงความเป็น “ค่ากลาง” ของข้อมูลชุดนี้นั่นเอง
หมายเหตุ ข้อมูลในตัวอย่าง 5 เป็นลาดับฮาร์โมนิก ซึ่งนักเรียนจะได้ศึกษารายละเอียดของลาดับนี้ในสื่อเรื่อง
ลาดับและอนุกรม โดยอาจารย์ศันสนีย์และอาจารย์ไพโรจน์
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจชวนให้นักเรียนช่วยกันอภิปรายว่าสาหรับข้อมูลชุดใดๆ ที่เลือกมาชุดหนึ่ง หาก
สามารถหาได้ทั้งค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต และค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก แล้วค่าเฉลี่ยทั้งสามนี้จะ
เรียงลาดับกันได้หรือไม่ อย่างไร และจะเป็นจริงเช่นนี้กับข้อมูลทุกๆ ชุดหรือไม่ โดยครูอาจเริ่มจากข้อมูลชุด
ที่มีเพียงสองตัวคือจานวนจริงบวก a และ b ใดๆ ก่อน จะได้ว่า AM . G.M . H .M .
.
พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจานวนจริงบวกใดๆ เนื่องจาก 0 ( a b )2 a 2 ab b
ทาให้ได้ว่า a b
ab นั่นคือ AM .
. G.M . เมื่อ A.M . แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล
2
จะเห็นได้ว่าหาก a b จะได้ว่า A.M . G .M .
2
1 1 1 2 1
ต่อมาเนื่องจาก 0
a b a ab b
2
ทาให้ได้ว่า ab นั่นคือ G.M . H .M .
1 1
a b
จะเห็นได้ว่าหาก a b จะได้ว่า G.M . H .M . ทาให้สรุปได้ว่า AM .
. G.M . H .M .
สาหรับการขยายแนวคิดสู่ข้อมูลที่ประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x N นั้นสามารถทาได้ในทานองเดียวกัน ครู
อาจให้นักเรียนลองพิจารณาเมื่อ N มีค่าน้อยๆ ก่อน
นอกจากนี้ ยังมีค่ากลางอีกแบบหนึ่งที่นักเรียนจะได้ใช้ในสถิติและการวิเคราะห์ข้อมูลระดับมัธยมศึกษาตอน
ปลายกล่าวคือ สาหรับข้อมูลชุดหนึ่งที่ประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x N จะได้ว่าค่ารากกาลังสองเฉลี่ย (root
mean square ใช้ตัวย่อเป็น R.M.S หรือ RMS ) ของข้อมูลชุดนี้คานวณได้โดย
N
xi2
R.M .S . i 1
ค่ากลางชนิดนี้นักเรียนจะได้ใช้ในการวัดการกระจายของข้อมูล ซึ่งอาจารย์กฤษณะ
N
อรรถาธิบายไว้โดยละเอียดในสื่อเรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนดังกล่าว
ข้อสังเกต สาหรับจานวนจริงบวก a และ b จะได้ว่า a 2 2ab b 2 (a b)2 0
ดังนั้น a 2 b 2 2ab นั่นคือ 2(a 2 b 2 ) a 2 2ab b 2 (a b)2
a2 b2 a b
ทาให้ได้ว่า จึงสรุปได้ว่า สาหรับข้อมูลที่ประกอบด้วยจานวนจริงบวก a และ b
2 2
ใดๆ R.M .S . AM . G.M . H .M .
.
ซึ่งอสมการนี้ยังคงเป็นจริงสาหรับข้อมูลที่ประกอบด้วยจานวนจริงบวก x 1, x 2, x 3, ..., x N เช่นกัน
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
มาถึงตอนนีได้พูดถึงบทนิยามและวิธีการคานวณหากึ่งกลางพิสัยของข้อมูลซึ่งเป็นการหาค่ากลางของข้อมูลอย่าง
้
เร็วๆ แต่อาจเป็นค่ากลางที่มีความแม่นยาน้อย นอกจากนี้ยังได้นาค่ากลางต่างๆ ที่ได้กล่าวถึงตั้งแต่สื่อตอนที่แล้ว
จนถึงตอนนี้มารวบรวมเข้าไว้ด้วยกัน
ตัวอย่าง 6 สาหรับจานวนจริงบวก x ใดๆ กาหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งคือ 10, 3, x, 6, 6 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ของข้อมูลชุดนี้เท่ากับกึ่งกลางพิสัยของข้อมูลชุดนี้แล้วจงหาค่า x
10 3 x 6 6 25 x
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า
5 5
กาหนดให้ M แทนกึ่งกลางพิสยของข้อมูลชุดนี้
ั
x 10 25 x x 10
กรณี x 3 จะได้ว่า M ดังนั้น จะได้ว่า x 0
2 5 2
13 25 x 13
กรณี 3 x 10 จะได้ว่า M ดังนั้น จะได้ว่า x 7.5
2 5 2
x 3 25 x x 3
กรณี x 10 จะได้ว่า M ดังนั้น จะได้ว่า x 35 11.67
2 5 2 3
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ยิ่งไปกว่านั้นในสื่อตอนนี้ได้พยายามขยายแนวคิดสู่การหาค่ากลางของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว โดยตัวอย่างที่
ยกให้ในสื่อยังเป็นข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว แต่ไม่ได้อยู่ในรูปอันตรภาคชั้น ทาให้การหาค่ากลางต่างๆ ของ
ข้อมูลเหล่านี้ไม่ซับซ้อนและสามารถนาหลักในการหาค่ากลางสาหรับข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่มาใช้ได้
อย่างไรก็ดีในการหาตาแหน่งของมัธยฐานนั้น หากเป็นข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว จะถือว่าข้อมูลมีอยู่เป็นจานวน
N
มหาศาลทาให้ N และ N 1 มีค่าใกล้เคียงกันมาก ทาให้ตาแหน่งของมัธยฐานในกรณีนี้จะใช้สูตร แทน
2
N 1
แต่ครูไม่ควรยึดสิ่งเหล่านี้เป็นสรณะในการตัดสินว่านักเรียนหามัธยฐานผิดหรือถูก เนื่องจากในที่สุดแล้ว
2
N N 1
มัธยฐานที่ได้จะเป็นค่าประมาณ และการได้ค่ามัธยฐานจากข้อมูลตาแหน่งที่ หรือ นั้นไม่ทาให้
2 2
ความหมายของมัธยฐานในแง่ของการเป็นตาแหน่งที่แบ่งข้อมูลออกเป็นสองส่วน ส่วนละประมาณ 50%
เปลี่ยนแปลงไป
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. การเลือกใช้ค่ากลาง
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. การเลือกใช้ค่ากลาง
ก่อนที่จะให้ข้อสรุปเกี่ยวกับการเลือกใช้ค่ากลางแบบต่างๆ ของข้อมูลที่กาหนดให้ ครูควรทบทวนก่อนว่าค่ากลาง
ที่ได้เรียนรู้มามีแบบไหนบ้าง จากนั้นควรหยุดให้นักเรียนได้อ่านข้อสังเกตเกี่ยวกับข้อดีข้อเสียของค่ากลางแต่ละ
แบบพร้อมๆ กัน เพื่อให้นักเรียนเลือกใช้ค่ากลางแบบต่างๆ ได้อย่างเหมาะสมกับลักษณะของข้อมูล และสิ่งที่
ต้องการวิเคราะห์ นอกจากนี้ควรถามกระตุ้นนักเรียนถึงเหตุผลว่าทาไมข้อดีหรือข้อเสียจึงเป็นเช่นที่สื่อได้นาเสนอ
ไว้
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. แผนภาพต้น-ใบ
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. แผนภาพต้น-ใบ
ในช่วงสุดท้ายได้พูดถึงการนาเสนอข้อมูลอีกแบบหนึ่งในรูปของแผนภาพต้น-ใบ ซึ่งการนาเสนอแบบนี้ทาให้การ
คานวณค่ากลางของข้อมูลสะดวกขึ้น
เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจให้ตัวอย่างเพิ่มเติม
ตัวอย่าง 7 ถ้าน้าหนัก (เป็นกิโลกรัม) ของสมาชิกในครอบครัวสองครอบครัวที่มีอยู่ครอบครัวละหกคน
เขียนเป็นแผนภาพต้น-ใบได้ดังนี้
ครอบครัวที่ 1 ครอบครัวที่ 2
8 6 4 3 4 9
8 6 6 4 2 2 4
5 3
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยมของน้าหนักของครอบครัวทั้งสองนี้
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
30(3) 40(3) 8 6 4 8 6 6 124
วิธีทา ครอบครัวที่ 1 จะได้ 41.33
6 3
38 46
กิโลกรัม ต่อมาเนื่องจากข้อมูลเรียงจากน้อยไปมากแล้วจึงได้ว่า มัธยฐาน 42 กิโลกรัม
2
และฐานนิยมคือ 46 กิโลกรัม
30(2) 40(3) 50(1) 4 9 2 2 4 3 127
ครอบครัวที่ 2 จะได้ 42.33
6 3
42 42
กิโลกรัม ต่อมาเนื่องจากข้อมูลเรียงจากน้อยไปมากแล้วจึงได้ว่า มัธยฐาน 42 กิโลกรัม และ
2
ฐานนิยมคือ 42 กิโลกรัม
แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องแผนภาพต้น-ใบ
จากแผนภาพต้น-ใบของข้อมูลที่กาหนดให้ต่อไปนี้ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยมของข้อมูล
ชุดดังกล่าว
1.
1 3 5 7
2 3 4 6
3 0 1 2 2
4 0 1
2.
1 1 1 4 6 9
2 2 5 5 7 8
3 4 4 6 8
4 2 3 3 3
5 4 6
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. ข้อมูลชุดหนึ่งเมื่อเรียงจากน้อยไปมากแล้วอยู่ในรูป 15, 15, a, b, 20 ถ้ามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้คือ 16
และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 17 แล้วจงหา ab
2. นักเรียนกลุ่มหนึ่งมีสี่คน โดยมีสองคนที่น้าหนักเท่ากัน และน้าหนักน้อยกว่านักเรียนอีกสองคนที่เหลือ
ถ้าน้าหนักของนักเรียนทั้งสี่คนนี้มีฐานนิยม มัธยฐาน และกึ่งกลางพิสัย เป็น 45, 47.5 และ 48.5 กิโลกรัม
ตามลาดับแล้ว จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้าหนักของนักเรียนทั้งสี่คนนี้
20
3. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x 20 โดยมีสมบัติว่า (x i a )2 มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ
n 1
20
a 8 และ | xi b | มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ b 5 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
n 1
ก. ข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตน้อยกว่ามัธยฐาน ข. ผลรวมของข้อมูลชุดนี้ทั้งหมดเท่ากับ 100
4. ค่าแรงงานต่อวัน (เป็นบาท) ของคนงานกลุ่มหนึ่งจานวน 8 คนเมื่อเรียงจากน้อยมากแล้วได้เป็น
150, 152, 158, 162, 170, 177, x, 180
จงหาค่า x ที่ทาให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าแรงงานต่อวันของคนงานกลุ่มนี้เท่ากับมัธยฐานของค่าแรงงาน
ต่อวันของคนงานกลุ่มนี้
5. กาหนดให้ข้อมูล x 1, x 2, x 3, ..., x 10 ที่เรียงจากน้อยไปมากแล้วอยู่ในรูป
a, 5, 5, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 15 ถ้ากึ่งกลางพิสัยของข้อมูลชุดนี้คือ 9 และ
10 10
กาหนดให้ b และ c เป็นจานวนจริงที่ทาให้ (x i b)2 มีค่าน้อยที่สุดและ | xi c | มีค่าน้อยที่สุด
n 1 n 1
ตามลาดับแล้ว จงหา abc
6. กล่องห้าใบมีน้าหนักเป็น 15.5, 14.8, 14.5, 15.2, a กิโลกรัม โดยค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้าหนักกล่อง
ทั้งห้าใบนี้เป็น 15 จงหามัธยฐานและกึ่งกลางพิสัยของน้าหนักกล่องทั้งห้าใบนี้
7. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5 เมื่อเรียงจากน้อยไปมากได้เป็น 1.5, 4, a, 6, 13.5 และ
5
| xi 6| 15 จงหามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้
i 1
8. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x 13 โดยที่ x n |5 n| ทุก n {1, 2, 3, ..., 13} จง
13
หาจานวนจริง a ที่ทาให้ | xi a | มีค่าน้อยที่สุด
n 1
9. แผนภาพต้น-ใบของข้อมูลแสดงน้าหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้
4 2 1 0
5 0 8 3 2 2
6 0 3 1 4
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ถ้าสุ่มเลือกนักเรียนมา 2 คนจากนักเรียนกลุ่มนี้ ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่มีน้าหนักมากกว่าฐานนิยม
ของน้าหนักของนักเรียนกลุ่มนี้เป็นเท่าใด
10. กาหนดข้อมูลสองชุดดังนี้
ข้อมูลชุด A : 1, 3, 2, 2, 5, 3, 4, 4, 3
ข้อมูลชุด B : 1, 2, 4, 1, 2, 5, 2, 5, 1, 5, 5, 3
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของข้อมูลทั้งสองชุดนี้
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องมัธยฐาน
่
1. 15 2. 2.65 3. 3 4. 3
5. ข้อมูลชุดที่หนึ่งที่เรียงจากน้อยไปมากแล้วเป็น x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5 และ
ข้อมูลชุดที่สองที่เรียงจากน้อยไปมากแล้วเป็น x 1, x 2, x 3, x 3, x 5, x 6
6. ก. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตสาหรับระยะเวลาที่หนูทดลองทั้งสิบตัวใช้ในการวิ่งหาทางออกเป็นไปไม่ได้
เนื่องจากข้อมูลมีไม่ครบสิบตัว
ข. มัธยฐานของระยะเวลาที่หนูทดลองทั้งสิบตัวใช้ในการวิ่งหาทางออกได้เท่ากับ 110 วินาที หมายความว่า
ในกลุ่มนี้มีหนูประมาณ 50% ที่ใช้เวลาวิ่งหาทางออกน้อยกว่า 110 วินาที และอีกประมาณ 50% ที่ใช้
เวลาวิ่งหาทางออกมากกว่า 110 วินาที
เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องแผนภาพต้น-ใบ
่
1. 27 ; Me 28 ; Mo 32 2. 31.05 ; Me 31 ; Mo 43
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 304 2. 48 กิโลกรัม 3. ก. และ ข. ผิด 4. 179 บาท 5. 192
6. Me 15 กิโลกรัม; กึ่งกลางพิสัย 15 กิโลกรัม
1
7. 5 8. 3 9.
11
10. A
3 ; MeA 3 และ B
3 ; MeB 2.5
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
37