1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
สถิติและการวิเคราะหขอมูล
(เนือหาตอนที่ 11)
้
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 27 ตอน
ซึ่งประกอบดวย
1. บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
2. เนื้อหาตอนที่ 1 บทนํา (เนื้อหา)
- ความหมายของสถิติ
- ขอมูลและการนําเสนอขอมูล
- การสํารวจความคิดเห็น
3. เนื้อหาตอนที่ 2 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
- คากลางของขอมูล
4. เนื้อหาตอนที่ 3 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
- แนวโนมเขาสูสวนกลาง
5. เนื้อหาตอนที่ 4 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
- คาเฉลี่ยเลขคณิต
- มัธยฐาน
- ฐานนิยม
- คาเฉลี่ยเรขาคณิต
- คากลางฮารโมนิก
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การกระจายของขอมูล
- ตําแหนงของขอมูล
7. เนื้อหาตอนที่ 6 การกระจายสัมบูรณ 1
- การกระจายสัมบูรณและการกระจายสัมพัทธ
- พิสัย (ขอมูลไมแจกแจงความถี่)
- สวนเบี่ยงเบนควอไทล (ขอมูลไมแจกแจงความถี่)
- สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ขอมูลไมแจกแจงความถี่)
8. เนื้อหาตอนที่ 7 การกระจายสัมบูรณ 2
- สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ขอมูลไมแจกแจงความถี่)
- ความแปรปรวน
1

3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
9. เนื้อหาตอนที่ 8 การกระจายสัมบูรณ 3
- พิสัย (ขอมูลแจกแจงความถี) ่
- สวนเบี่ยงเบนควอไทล (ขอมูลแจกแจงความถี่)
- สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ขอมูลแจกแจงความถี) ่
- สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ขอมูลแจกแจงความถี่)
10. เนื้อหาตอนที่ 9 การกระจายสัมพัทธ
- สัมประสิทธพิสัย
- สัมประสิทธของสวนเบี่ยงเบนควอไทล
- สัมประสิทธของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
- สัมประสิทธของความแปรผัน
11. เนื้อหาตอนที่ 10 คะแนนมาตรฐาน
- คะแนนมาตรฐาน
- การแจกแจงปกติ
12. เนื้อหาตอนที่ 11 ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
- ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล
13. เนื้อหาตอนที่ 12 ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
- ความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลา
14. เนื้อหาตอนที่ 13 โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
- โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
15. เนื้อหาตอนที่ 14 โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
- โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
16. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)
17. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)
18. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 3)
19. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 4)
20. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 5)
21. แบบฝกหัด (ขันสูง)
้
22. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การนําเสนอขอมูล
23. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การวัดคากลางของขอมูล
24. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การวัดการกระจายของขอมูล
25. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การแจกแจงปกติ
2

4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
26. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความสัมพันธเชิงเสนตรง
27. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความสัมพันธเชิงพาราโบลาและความสัมพันธเชิงชี้กําลัง
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง สถิติและการ
วิเคราะหขอมูล นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได
ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด
ในตอนทายของคูมือฉบับนี้
3

5. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล (ความสัมพันธระหวางขอมูล 1)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 11 (11/14)
หัวขอยอย ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียน
1. เขาใจในมโนทัศนของความสัมพันธระหวางขอมูล
2. เขาใจความหมายและหาความสัมพันธระหวางขอมูลทีกราฟเปนเสนตรงได
่
3. เขาใจความหมายและหาความสัมพันธระหวางขอมูลทีกราฟเปนพาราโบลาและ
่
เอกซโพเนนเชียลได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

ผูเรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของตัวแปรอิสระและตัวแปรตามได
2. อธิบายความหมายของความสัมพันธระหวางขอมูลได
3. อธิบายวิธีการหาและหาความสัมพันธระหวางขอมูลที่กราฟเปนเสนตรงได
4. อธิบายวิธีการหาและหาความสัมพันธระหวางขอมูลที่กราฟเปนพาราโบลาและ
เอกซโพเนนเชียลได
4

6. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
5

7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล
6

8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล
ในสื่อการสอนตอนนี้ เราจะศึกษา “ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล” ซึ่งเปนการศึกษา
ความสัมพันธของตัวแปรสองตัว โดยมีวัตถุประสงคหลัก คือ ใชตัวแปรตัวหนึ่งซึ่งเรียกวาตัวแปรอิสระไป
ประมาณคาอีกตัวแปรหนึ่งซึ่งเรียกวาตัวแปรตาม
โดยในสื่อการสอนจะเริ่มดวยการกลาวถึงเนื้อหาคราว ๆ ที่จะไดเรียนในสื่อตอนนี้ ซึ่งเริ่มดวยการยก
ตัวอยาง โดยนําขอมูลที่ตัวอยางกําหนดใหมาเขียนแผนภาพการกระจายเพื่อดูแนวโนมความสัมพันธระหวางสอง
ตัวแปร จากนั้นจึงหาสมการความสัมพันธดังกลาว ซึงทําใหเราสามารถประมาณคาตัวแปรตามไดหากรูคาของ
่ 
ตัวแปรอิสระ
7

9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
จากนั้น ในสื่อการสอนไดใหความหมายพรอมทั้งยกตัวอยางของตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม
ในสื่อการสอนนี้ เราจะศึกษาความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูล โดยแบงเปน 2 ประเภทใหญ ๆ คือ
1. ความสัมพันธเชิงฟงกชันที่กราฟเปนเสนตรง
2. ความสัมพันธเชิงฟงกชันที่กราฟไมเปนเสนตรง
2.1 กราฟเปนพาราโบลา
2.2 กราฟเปนเอกซโพเนนเชียล
8

10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนจบแลว ผูสอนอาจอธิบายแนวคิดของวิธกําลังสองนอยสุด(method of
ี
least square) เพิ่มเติม ดังนี้
ให x เปนตัวแปรอิสระและ y เปนตัวแปรตาม
n
แนวคิดของวิธการนี้คือ การทําให ∑ ( yi − yi )2 มีคานอยที่สุด
ี ˆ
i =1
n
ให SSE = ∑ ( yi − yi ) 2
ˆ
i =1
n
เนื่องจาก y = ax + b
ˆ ดังนั้น SSE = ∑ (axi + b − yi )2
i =1
จากนั้นใชความรูเรื่องแคลคูลัสในการหาคา a และ b ที่ทําให SSE มีคานอยสุด ดังนี้
∂ ( SSE ) n
= 2∑ (axi + b − yi ) xi
∂a i =1
∂ ( SSE ) n
= 2∑ (axi + b − yi )
∂b i =1
9

11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
∂ ( SSE ) ∂ ( SSE )
จากทฤษฎีบทการหาคาต่ําสุด เราตองการหาคา a และ b ที่ทําให =0 และ =0
∂a ∂b
ดังนั้น
n n
∑ (ax + b − y ) x
i =1
i i i =0 และ ∑ (axi + b − yi ) = 0
i =1
นั่นคือ คาคงตัว a และ b ตองสอดคลองสมการ
n n
∑y i =1
i = a ∑ xi + nb
i =1
n n n
∑ xi yi = a∑ xi2 + b∑ xi
i =1 i =1 i =1
โดยสมการขางตนที่ไดจากวิธีกําลังสองนอยสุด เรียกวา สมการปกติ(normal equations)
จากนั้นในสื่อการสอนผูเรียนจะไดชมตัวอยางการวาดแผนภาพการกระจายและการหาความสัมพันธเชิง
ฟงกชันที่กราฟเปนเสนตรง ดังนี้
10

12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
หมายเหตุ
1. ถาตองการประมาณคาของตัวแปรใดตองใหตัวแปรนั้นเปนตัวแปรตามและตัวแปรอีกตัวหนึ่งเปน
ตัวแปรอิสระ
2. สําหรับสมการความสัมพันธเชิงฟงกชันของตัวแปร x และตัวแปร y เราจะใสสัญลักษณ “ ^ ” ไว
เหนือตัวแปรตาม นั่นคือ
ตัวแปร สมการความสัมพันธ
x เปนตัวแปรอิสระ และ y เปนตัวแปรตาม y = ax + b
ˆ (1)
x เปนตัวแปรตาม และ y เปนตัวแปรอิสระ x = ay + b
ˆ (2)
โดยคาคงตัว a และ b ในสมการ (1) และ (2) ไมจําเปนตองเทากัน ซึ่งผูเรียนจะไดชมจากตัวอยาง
ตอไปนี้ในสื่อการสอน
11

13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สําหรับสองตัวอยางขางตน จะพบวาขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเปนขอมูลชุดเดียวกัน เพียงแตคาถาม
ํ
แตกตางกัน
ตัวอยาง โจทยตองการหาสมการเสนตรงที่ สมการเสนตรงที่ได
1 ประมาณรายจายจากรายได y = 0.7 x + 0.9
ˆ
2 ประมาณรายไดจากรายจาย x = 0.5 y + 1.5
ˆ
โดยในตัวอยางแรก ถาทราบรายได ( x ) สามารถประมาณรายจาย ( y ) จากสมการ y = 0.7 x + 0.9 แต
ˆ
ถาหากทราบรายจาย ( y ) แลวตองการประมาณรายได ( x ) ตองใชสมการ x = 0.5 y + 1.5 ในตัวอยางที่ 2
ˆ
ดังนั้นในการหาสมการความสัมพันธ ผูเรียนตองระมัดระวังวาตัวแปรใดเปนตัวแปรอิสระและตัวแปร
ใดเปนตัวแปรตาม จากนันจึงหาคาคงตัว a และ b ซึ่งสรุปไดดังนี้
้
12

14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เพื่อใหผูเรียนเขียนแผนภาพการกระจายและหาสมการความสัมพันธเชิงฟงกชันไดคลองยิ่งขึ้น ผูสอน
อาจใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอยาง ขอมูลแสดงคาซอมบํารุงรถยนต(ตอป)และอายุการใชงานรถยนตของบริษทแหงหนึ่งจํานวน 7 คัน
ั
เปนดังนี้
อายุการใชงาน 1 4 3.5 3 5 3 1.5
คาซอมบํารุง(พันบาท) 1 5 3.5 2.5 6.5 3.5 1.5
1. จงเขียนแผนภาพการกระจายของขอมูลชุดนี้
2. จงหาสมการเสนตรงที่ประมาณคาซอมบํารุงจากอายุการใชงานของรถยนต
3. ถารถยนตคันหนึ่งมีอายุการใชงาน 4 ป จงประมาณคาซอมบํารุงของรถยนตคันนี้
วิธีทํา กําหนดให x แทนอายุการใชงานของรถยนต และ y แทนคาซอมบํารุงของรถยนต
1. นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขียนแผนภาพการกระจายไดดังนี้
คาซอมบํารุง(พันบาท)
อายุการใชงาน
2. สมการเสนตรงที่ประมาณคาซอมบํารุงจากอายุการใชงานของรถยนต คือ
y = ax + b
ˆ
โดยคาคงตัว a และ b หาไดจากสมการ
13

15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
n n
∑y
i =1
i = a ∑ xi + nb
i =1
n n n
∑ xi yi = a∑ xi2 + b∑ xi
i =1 i =1 i =1
เมื่อ n = 7
xi yi xi2 xi yi
1 1 1 1
4 5 16 20
3.5 3.5 12.25 12.25
3 2.5 9 7.5
5 6.5 25 32.5
3 3.5 9 10.5
1.5 1.5 2.25 2.25
7 7 7 7
∑ xi = 21
i =1
∑ yi = 23.5
i =1
∑ xi2 = 74.5
i =1
∑ x y = 86
i =1
i i
ดังนัน
้
23.5 = 21a + 7b
86 = 74.5a + 21b
ทําใหไดวา a = 1.3478 และ b = −0.6863
ดังนัน สมการเสนตรงที่ประมาณคาซอมบํารุงจากอายุการใชงานของรถยนต คือ
้
y = 1.3478 x − 0.6863
ˆ
3. ถารถยนตคันหนึ่งมีอายุการใชงาน 4 ป ดังนั้น
y = 1.3478(4) − 0.6863 = 4.7050
ˆ
นั่นคือ คาซอมบํารุงของรถยนตคันนี้ประมาณ 4,705 บาทตอป
14

16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตอไปผูเรียนจะไดศกษาการหาสมการความสัมพันธที่กราฟไมเปนเสนตรง โดยจะศึกษาในกรณีทกราฟ
ึ ี่
เปนพาราโบลาและกราฟเปนเอกซโพเนนเชียล ดังนี้
จากนั้นผูเรียนจะไดชมตัวอยางความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูลที่กราฟเปนเอกซโพเนนเชียล โดย
ผูสอนอาจทบทวนสมบัติพนฐานของเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึมใหผูเรียนกอนชมตัวอยางตอไปนี้
ื้
15

17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องความสัมพันธเชิงฟงกชันที่กราฟเปนเอกซโพเนนเชียลไดดยิ่งขึ้น ผูสอนควรให
ี
ผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนีเ้ พิ่มเติม
ตัวอยาง ขอมูลแสดงจํานวนชั่วโมงในการทบทวนบทเรียน(ตอวัน) และคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรที่ได
เปนดังนี้
จํานวนชั่วโมงในการทบทวนบทเรียน 0.5 1 2 2.5 3 3.5
คะแนนสอบ 2 2.5 3.5 4.5 7 9.5
1. จงเขียนแผนภาพการกระจายของขอมูลชุดนี้
2. จงหาสมการเอกซโพเนนเชียลที่ประมาณคะแนนสอบจากจํานวนชัวโมงในการทบทวนบทเรียน
่
3. ถานักเรียนคนหนึ่งทบทวนบทเรียน 1 ชั่วโมง 30 นาที ตอวัน จงประมาณคะแนนสอบที่นักเรียนคนนี้ได
วิธีทํา กําหนดให x แทนอายุการใชงานของรถยนต และ y แทนคาซอมบํารุงของรถยนต
1. นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขียนแผนภาพการกระจายไดดังนี้
คะแนนสอบ
จํานวนชัวโมงในการ
่
ทบทวนบทเรียน
16

18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. สมการเอกซโพเนนเชียลที่ประมาณคะแนนสอบจากจํานวนชัวโมงในการทบทวนบทเรียน คือ
่
y = ab x
ˆ
ดังนั้น log y = log a + x log b
ˆ
โดยคาคงตัว a และ b หาไดจากสมการ
n n
∑ log yi = n log a + log b∑ xi
i =1 i =1
n n n
∑ x log y
i =1
i i = log a ∑ xi + log b∑ xi2
i =1 i =1
เมื่อ n = 6
xi yi log yi xi2 xi log yi
0.5 2 0.3010 0.25 0.1505
1 2.5 0.3979 1 0.3979
2 3.5 0.5441 4 1.0882
2.5 4.5 0.6532 6.25 1.6330
3 7 0.8451 9 2.5353
3.5 9.5 0.9772 12.25 3.4223
6 6 6 6
∑ xi = 12.5
i =1
− ∑ log yi = 3.7191
i =1
∑ xi2 = 32.75
i =1
∑ x log y = 9.2272
i =1
i i
ดังนัน
้ 3.7191 = 6 log a + 12.5log b
9.2272 = 12.5log a + 32.75log b
ทําใหไดวา log a = 0.1605 และ log b = 0.2205
ดังนัน
้ log y = 0.1605 + 0.2205 x
ˆ
ทําใหไดวา สมการเอกซโพเนนเชียลที่ประมาณคะแนนสอบจากจํานวนชัวโมงในการทบทวนบทเรียน
 ่
คือ
y = 100.1605+0.2205 x
ˆ
3. ถานักเรียนคนหนึ่งทบทวนบทเรียน 1 ชั่วโมง 30 นาที ตอวัน ดังนั้น
y = 100.1605+0.2205(1.5) = 100.49125 = 3.1
ˆ
นั่นคือ นักเรียนคนนีจะไดคะแนนประมาณ 3.1 คะแนน
้
17

19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สําหรับตัวอยางสุดทายในสื่อการสอนนี้เปนตัวอยางความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูลที่อยูในรูป
พาราโบลา เนื่องดวยเวลาในสื่อการสอนมีจํากัดจึงไมไดเฉลยวิธทําใหผูเรียนชม ดังนั้นผูสอนควรใหผูเรียน
ี 
ชวยกันคิดหาคําตอบกอน จากนั้นผูสอนจึงแสดงใหผูเรียนดู ดังนี้
ตัวอยาง จากขอมูล
xi 1 2 3
yi 1 5 10
1. จงหาสมการพาราโบลาที่ทํานายคา y จากคา x
2. จงทํานายคา y เมื่อ x = 6
วิธีทํา 1. ตองการทํานายคา y จากคา x ดังนั้น x เปนตัวแปรอิสระและ y เปนตัวแปรตาม
ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการอยูในรูป
y = ax 2 + bx + c
ˆ
โดยคาคงตัว a, b และ c หาไดจากสมการ
n n n
∑ yi = a∑ xi2 + b∑ xi + cn
i =1 i =1 i =1
(1)
n n n n
∑x y
i =1
i i = a ∑ xi3 + b∑ xi2 + c∑ xi
i =1 i =1 i =1
(2)
n n n n
∑ xi2 yi = a∑ xi4 + b∑ xi3 + c∑ xi2
i =1 i =1 i =1 i =1
(3)
สําหรับตัวอยางนี้ n = 3
18

20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
xi yi xi2 xi3 xi4 xi yi xi2 yi
1 1 1 1 1 1 1
2 5 4 8 16 10 20
3 10 9 27 81 30 90
3 3 3 3 3 3 3
∑ xi = 6
i =1
∑ yi = 16
i =1
∑ xi2 = 14
i =1
∑ xi3 = 36
i =1
∑ xi4 = 98
i =1
∑ xi yi = 41
i =1
∑x
i =1
2
y = 111
i i
นําคาในตารางไปแทนในสมการ (1), (2) และ (3) จะไดวา

16 = 14a + 6b + 3c
41 = 36a + 14b + 6c
111 = 98a + 36b + 14c
จากการแกสมการขางตน จะไดวา
a = 0.5 b = 2.5 c = −2
ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ทํานายคา y จากคา x คือ
y = 0.5 x 2 + 2.5 x − 2
ˆ
2. เมื่อ x=6 จะไดวา y = 0.5(62 ) + 2.5(6) − 2 = 31
ˆ
หมายเหตุ จากตัวอยางขางตน ผูเรียนตองหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสน 3 ตัวแปร ซึ่งการคํานวณคอนขาง
ยุงยาก ดังนัน ผูสอนควรทบทวนผูเรียนเรื่องการใชเมทริกซในการแกระบบสมการ ซึ่งจะทําใหหาคําตอบได
้
สะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น
จากระบบอสมการ
16 = 14a + 6b + 3c
41 = 36a + 14b + 6c
111 = 98a + 36b + 14c
นํามาเขียนในรูปเมทริกซไดดังนี้
19

21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
14 6 3   a   16 
36 14 6   b  =  41 
    
98 36 14   c  111
    
โดยกฎของคราเมอร จะไดวา

16 6 3 14 16 3 14 6 16
41 14 6 36 41 6 36 14 41
111 36 14 −2 98 111 14 −10 98 36 111 8
a= = = 0.5 , b= = = 2.5 , c= = = −2
14 6 3 −4 14 6 3 −4 14 6 3 −4
36 14 6 36 14 6 36 14 6
98 36 14 98 36 14 98 36 14
20

22. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล
1. ขอมูลแสดงงบโฆษณา(แสนบาท) และรายไดตอเดือน(ลานบาท) ของน้ําผลไมยี่หอหนึ่ง เปนดังนี้

งบโฆษณา(แสนบาท) 2.5 3.5 4 2.5 1.5 5 6 7
รายได(ลานบาท) 4 7 7 5 2 9 12 14
1.1 จงเขียนแผนภาพการกระจายของขอมูลชุดนี้
1.2 จงหาสมการเสนตรงที่ประมาณรายไดจากงบโฆษณาของน้ําผลไมยี่หอนี้
1.3 จงประมาณรายไดของน้ําผลไมยี่หอนี้หากทุมงบโฆษณา 1,000,000 บาท
2. กําหนดขอมูลดังตารางตอไปนี้
x -2 -1 0 1
y 1 2 3 2
2.1 จงเขียนแผนภาพการกระจายของขอมูลชุดนี้
2.2 จงหาสมการพาราโบลาที่ประมาณคา y จากคา x
2.3 จงประมาณคา y เมื่อกําหนดให x = 2
3. ขอมูลแสดงอายุ(ป) และน้ําหนัก (กิโลกรัม) ของสัตวชนิดหนึ่ง เปนดังนี้
น้ําหนัก(กิโลกรัม) 3 4 6 10 16
อายุ(ป) 1 1.5 2 2.5 3
3.1 จงเขียนแผนภาพการกระจายของขอมูลชุดนี้
3.2 จงหาสมการเอกซโพเนนเชียลที่ประมาณน้ําหนักจากอายุของสัตวชนิดนี้
3.3 ถาสัตวชนิดนีตัวหนึ่งมีอายุ 4 ป จงประมาณน้ําหนักของสัตวตวนี้
้ ั
(ตอบเปนทศนิยม 4 ตําแหนง)
21

23. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
4. กําหนดใหยอดขายของพนักงานขายประกัน ( y : หนวยเปนหมื่นบาท) ในบริษัทประกันแหงหนึ่งกับ
ประสบการณขาย( x : หนวยเปนป) มีความสัมพันธที่มีกราฟเปนเสนตรง เก็บขอมูลของพนักงาน 10 คน
จากบริษัทแหงนี้ ไดขอมูลดังนี้
10 10 10 10
∑ xi = 30,
i =1
∑ yi = 43,
i =1
∑ xi yi = 143.5,
i =1
∑ x = 104.5
i =1
2
i
4.1 ถาพนักงานคนหนึ่งมีประสบการณขาย 6 ป จงประมาณยอดขายประกันของพนักงานคนนี้
4.2 ถาหากพนักงานมีประสบการณขายเพิ่มขึน 1 ป จงประมาณยอดขายประกันทีเ่ พิ่มขึ้น
้
5. ถาความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางรายได ( x : หนวยเปนบาท) และรายจาย( y : หนวยเปนบาท) คือ
y = 0.6 x + b
ˆ
โดยใชความสัมพันธน้ี ปรากฏวานายมัธยัสถซึ่งมีรายไดเดือนละ 20,000 บาท จะมีรายจายประมาณ
13,500 บาท จงประมาณรายจายของนายประหยัดถาเขามีรายไดเดือนละ 25,000 บาท
22

24. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
23

25. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
ในสื่อการสอนเรื่องสถิติและการวิเคราะหขอมูล ตอนที่ 11 เราไดศึกษาเรื่องความสัมพันธเชิงฟงกชัน
ของขอมูล 2 ตัวแปร โดยมีวัตถุประสงคหลัก คือ ใชตวแปรหนึ่งซึ่งเรียกวาตัวแปรอิสระไปประมาณคาอีกตัวแปร
ั
หนึ่งซึ่งเรียกวาตัวแปรตาม โดยสามารถสรุปคราว ๆ ไดดังนี้
1. ถาตองการประมาณคาของตัวแปรใดตองใหตวแปรนั้นเปนตัวแปรตามและตัวแปรอีกตัวหนึ่งเปน
ั
ตัวแปรอิสระ
2. นําขอมูลที่มีมาเขียนแผนภาพการกระจายเพื่อดูแนวโนมความสัมพันธ โดยความสัมพันธซ่งเราศึกษา
ึ
ในสื่อการสอนนี้สามารถแบงไดเปน 2 ประเภทใหญ ๆ คือ
1. ความสัมพันธเชิงฟงกชันที่กราฟเปนเสนตรง
2. ความสัมพันธเชิงฟงกชันที่กราฟไมเปนเสนตรง
2.1 กราฟเปนพาราโบลา
2.2 กราฟเปนเอกซโพเนนเชียล
3. หาสมการความสัมพันธโดยวิธีกําลังสองนอยสุด
4. เมื่อกําหนดคาของตัวแปรอิสระสามารถประมาณคาตัวแปรตามไดจากสมการความสัมพันธที่ไดใน
ขอ 3
24

26. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เอกสารอางอิง
สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี, สถาบัน (2553) หนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม 1 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6. พิมพครั้งที่ 7. กรุงเทพมหานคร :
โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
25

27. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ภาคผนวก
เฉลยแบบฝกหัด
26

28. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล
1. 1.1 รายได(แสนบาท)
รายได(ลานบาท)
1.2 y = 2.12 x − 0.98
ˆ
เมื่อ x แทนงบโฆษณา(หนวยเปนแสนบาท) และ y แทนรายได(หนวยเปนลานบาท)
1.3 20, 220, 000 บาท
2. 2.1 y
x
2.2 y = −0.5 x 2 − 0.1x + 2.7
ˆ
2.3 0.5
27

29. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3. 3.1 น้ําหนัก(กิโลกรัม)
อายุ(ป)
3.2 log y = 0.0715 + 0.3704 x , y = 100.0715+ 0.3704 x
ˆ ˆ
เมื่อ x แทนอายุ(หนวยเปนป) และ y แทนน้ําหนัก(หนวยเปนกิโลกรัม)
3.3 101.5531 กิโลกรัม, 35.7355 กิโลกรัม
4. 4.1 73, 000 บาท
4.2 13, 000 บาท
5. 16,500 บาท
28

30. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร
จํานวน 92 ตอน
29

31. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั
ความสัมพันธ
30

32. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชน ั
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม
ั ึ
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
31

33. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
. การนับเบื้องตน
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา เนื้อหา
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
การกระจายของขอมูล
การกระจายสัมบูรณ 1
การกระจายสัมบูรณ 2
การกระจายสัมบูรณ 3
การกระจายสัมพัทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบื้องที่ยืดหดได
32