1. ตัวหารรวมมาก และ ตัวคูณรวมนอย
1. ตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. )
ตัวหารรวม หรือ ตัวประกอบรวม คือ จํานวนที่สามารถหารจํานวนที่กําหนดใหไดลงตัวทุก
จํานวน เชน
15 มีตวหารคือ 1 , 3 , 5 , 15
ั
45 มีตวหารคือ 1 , 3 , 5 , 9 , 15 , 45
ั
เราจะเรียก 1 , 3 , 5 , 15 เปนตัวหารรวมของ 15 และ 45 เพราะวา 1 , 3 , 5 , 15
ตางก็หาร 15 และ 45 ไดลงตัว
ตัวหารรวมมากที่สุด ( ห.ร.ม.) คือ ตัวหารรวมที่มีคามากที่สุดในตัวหารรวมทั้งหมด ซึ่ง
หารทุกจํานวนในกลุมจํานวนที่กําหนดใหไดลงตัวเชน
25 มีตวหาร คือ 1 , 5 , 25
ั
40 มีตวหาร คือ 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10 , 20 , 40
ั
ตัวหารรวม ของ 25 และ 40 คือ 1 , 5 แตตัวหารรวมที่มากที่สุด คือ 5
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 25 และ 40 คือ 5
เราสามารถหา ห.ร.ม. ได 2 วิธี คือ
1. โดยวิธีแยกตัวประกอบของจํานวนที่กําหนดให
ขั้นที่ 1. แยกตัวประกอบของจํานวนทุกจํานวนที่กําหนดให
ขั้นที่ 2. หาตัวหารรวมที่มีคามากที่สุด โดยการนําตัวประกอบที่ซ้ํามาคูณกัน ผลคูณที่ไดจะ
เปน ห.ร.ม.

2. ตัวอยางเชน จงหา ห.ร.ม. ของ 24 และ 36
วิธีทํา 24 = 2 x 2 x 2 x 3
36 = 2 x 2 x 3 x 3
ดังนัน ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 คือ 2 x 2 x 3
้ = 12
2. โดยวิธีตั้งหารสั้น มีหลักดังนี้
ขั้นที่ 1. ใหจํานวนทุกจํานวนทีกําหนดใหเปนตัวตั้ง
่
ขั้นที่ 2. นําจํานวนที่สามารถหารทุกจํานวนในขั้นที่ 1. ลงตัว มาเปนตัวหาร และทําการ
หารแบบหารสั้น
ขั้นที่ 3. ทําแบบขั้นที่ 2. ไปเรื่อยๆ จนกระทังไมมีจํานวนใดหารทุกจํานวนลงตัว ผลคูณ
่
ของตัวหารทุกตัว คือ ห.ร.ม.
วิธีนนิยมใชหา ห.ร.ม. เมื่อกําหนดจํานวนมาใหหลายจํานวน
ี้
ตัวอยาง เชน จงหา ห.ร.ม. ของ 234 , 288 , 270
วิธีทํา
2 ) 234 288 270
3 ) 117 144 135
3 ) 39 48 45
13 16 15 บรรทัดนี้ไมมีจํานวนใดหาร
ลงตัว นอกจาก 1
ดังนั้น ตัวหารทั้งหมด คือ 2 , 3 , 3
ผลคูณของตัวหารทั้งหมด คือ 2 x 3 x 3 = 18
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 234 , 288 , 270 คือ 18

3. เทคนิคและการแกโจทยปญหา เรือง ห.ร.ม.
 ่
การนํา ห.ร.ม. ไปใชในการแกโจทยปญหา
โจทยปญหาที่ใช ห.ร.ม.
การแบงกลุมคน หรือ สิ่งของใหเทาๆกัน แตไดจํานวนมากที่สุด
การแบงเชือก หลายๆ เสน ออกเปนทอนๆ ที่ยาวเทากัน และมีความยาว
ที่สุด เชน...
ตัวอยางที่ 1
โรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียนชั้น ม.1 = 240 คน
“ ม.2 = 225 คน
“ ม.3 = 210 คน
ถาจะแบงนักเรียนออกเปนกลุมๆ ที่มีจํานวนนักเรียนมากที่สุด จะไดกี่กลุม แตละ

กลุมมีนักเรียนกี่คน
240 = 3 x 5 x 2 x 2 x 2 x 2
225 = 3 x 5 x 3 x 5
210 = 3 x 5 x 7 x 2
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ 3 x 5 = 15
ม.1 = 240 = 16 กลุม
15
ม.2 = 225 = 15 กลุม
15
ม.3 = 210 = 14 กลุม
15
รวม = 45 กลุม
นั่นคือ แบงนักเรียนเปนกลุมใหญที่สุดได 45 กลุม แตละกลุมมีนักเรียน 15 คน


4. ตัวอยางที่ 2
หองหนึ่งกวาง 7.50 เมตร ยาว 12.5 เมตร ถาขีดเสนใตเปนตารางที่ใหญที่สุด จะ
ไดกี่ตาราง แตละตารางมีขนาดเทาไร
ก. = 7.50 ม.. = 750 cm = 5 x 5 x 5 x 2 x 3
ข. = 12.50 ม. = 1250 cm = 5 x 5 x 5 x 2 x 5
ดังนั้น ห.ร.ม. = 5 x 5 x 5 x 2 = 250
ก. = 750 cm = 750 = 3
250
ข. = 1250 cm = 1250 = 5
250
รวม 15
นั่นคือ แบงออกเปนตารางใหญที่สุดได 15 ตาราง
แตละตาราง มีขนาดดานละ 250 cm หรือดานละ 2.5m
ตัวอยางที่ 3
นักเรียน ม.1/1 มี 56 คน
นักเรียน ม.1/2 มี 48 คน
นักเรียน ม.1/3 มี 48 คน
นักเรียน ม.1/4 มี 40 คน
จะแบงเปนหมูลูกเสือ ไดกี่หมู ถาใหแตละหมู มีจํานวนลูกเสือ มากที่สดและแตละหมูมี
ุ
ลูกเสือกี่นาย
นักเรียน ม.1/1 มี 56 คน = 2 x 2 x 2 x 7
นักเรียน ม.1/2 มี 48 คน = 2 x 2 x 2 x 2 x 3
นักเรียน ม.1/3 มี 48 คน = 2 x 2 x 2 x 2 x 3

5. นักเรียน ม.1/4 มี 40 คน = 2 x 2 x 2 x 5
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ 2 x 2 x 2 = 8
ดังนั้น ม.1/1 = 56 = 7 หมู
8
ม.1/2 = 48 = 6 หมู
8
ม.1/3 = 48 = 6 หมู
8
ม.1/4 = 40 = 5 หมู
8
รวม 24 หมู
นั่นคือ แบงหมูลูกเสือได 24 หมู
แตละหมูมีลูกเสือ 8 นาย

ตัวอยางที่ 4 มีเชือก 4 เสน ยาว 132,84,180 และ 240 ซม. ถาตองการแบงเชือกทั้ง 4
เสน ออกเปนทอนๆ ใหแตละทอนยาวเทากัน และใหยาวที่สุด จะไดกี่ทอน และแตละ
ทอนยาวเทาไร
132 = 12 x 11
84 = 12 x 7
180 = 12 x 15
240 = 12 x 20
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ 12
จํานวนทอน = 11 + 7 +15 + 20 = 53 ทอน
นั่นคือ แบงเชือกได 53 ทอน แตละทอนยาว 12 ซม.

6. ตัวอยางที่ 5 จงหาจํานวนที่มากที่สุด เมือนําไปหาร 545 เหลือเศษ 1 แตเมื่อนําไปหาร
่
436 เหลือเศษ 11
นําไปหาร 545 เศษ = 1 ดังนั้น 545 – 1 = 544
นําไปหาร 436 เศษ = 11 ดังนั้น 436 – 11 = 425
544 = 17 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
425 = 17 x 5 x 5
ห.ร.ม. = 17
นั่นคือ จํานวนที่มากที่สุดจํานวนนี้คือ 17
ตัวอยางที่ 6
ที่แปลงหนึ่งกวาง 50 m ยาว 150 m ถาลอมลวดหนามโดยรอบแลวจะตองปก
เสาอยาง
นอยกี่ตน
กวาง 50 m = 50 x 1
ยาว 150 m = 50 x 3
ดังนั้น ห.ร.ม. = 50 *
เสนรอบรูป = 2 ( ก + ย )
= 2( 50 + 150 )
= 40 m*
นั่นคือ จํานวนเสาที่นอยที่สุด = 4005
= 8 ตน

7. 2. ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น.)
ตัวคูณรวมนอย หมายถึง จํานวนที่มีคานอยที่สุด เมื่อนําจํานวนที่กําหนดใหทั้งหมดมาหารจํานวน
นั้นไดลงตัว เชน
จํานวนที่มี 6 เปนตัวประกอบ คือ 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 …
จํานวนที่มี 9 เปนตัวประกอบ คือ 9 , 18 , 27 , 36 , 45 …
จะเห็นวา ตัวคูณรวมของ 6 และ 9 ไดแก 18 , 36 และจํานวนอื่นๆ อีกหลายจํานวน
เนื่องจาก 18 เปนจํานวนที่นอยที่สุดทีนํา 6 , 9 ไปหารแลวลงตัว ดังนั้น ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. )
่
ของ 6 , 9 คือ 18
วิธีหาตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. )
1. วิธีแยกตัวประกอบ มีหลักดังนี้
1.1 ใหแยกตัวประกอบของจํานวนทุกจํานวนที่กาหนดให
ํ
1.2 ตัวประกอบใดที่ซ้ํากับตัวประกอบของจํานวนอื่นๆ ใหนํามาใชเพียงตัวเดียว และตัว
ประกอบใดที่ไมซ้ํากันใหนํามาใชใหหมด
1.3 ค.ร.น. เทากับผลคูณของทุกๆ จํานวนทีนํามาใช
่
ตัวอยางที่ 1 จงหา ค.ร.น. ของ 18 , 45 , 84
วิธีทํา 18 = 3 x 3 x 2
45 = 3 x 3 x 5
84 = 3 x 2 x 2 x 7
ค.ร.น. ของ 18 , 45 , 84 คือ 3 x 3 x 2 x 2 x 5 x 7 = 1,260
ตัวอยางที่ 2 จงหา ค.ร.น. ของ 12 , 24
วิธีทํา 12 = 2 x 2 x 3
24 = 2 x 2 x 2 x 3
ค.ร.น. ของ 12 , 24 คือ 2 x 2 x 2 x 3 = 24
ถาจํานวนที่กําหนดใหทุกจํานวนเปนจํานวนเฉพาะ การหา ค.ร.น. ใหนําจํานวนที่
ขอสังเกต
กําหนดใหทั้งหมดมาคูณกับ ผลคูณที่ได คือ ค.ร.น. เชน
- ค.ร.น. ของ 2 กับ 7 คือ 2 x 7 = 14
- ค.ร.น. ของ 5 กับ 19 คือ 5 x 19 = 95

8. 2. วิธีตั้งหาร มีหลักดังนี้
2.1 ใหจํานวนทุกจํานวนที่กําหนดใหเปนตัวตั้ง
2.2 นําจํานวนเฉพาะที่สามารถหารจํานวนที่กําหนดใหอยางนอย 1 จํานวนลงตัวมาเปน
ตัวหารและทําการหารแบบหารสั้น
2.3 จํานวนที่หารไมลงตัวใหคงไวตามเดิม และใหนําลงมาเปนตัวตั้งของการหารครั้งตอไป
2.4 ทําไปเรือยๆ จนไดผลหารของทุกจํานวนเปนจํานวนเฉพาะที่ไมเหมือนกันหรือเปน 1
่
2.5 ค.ร.น. คือ ผลคูณของจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารทุกตัวกับผลหารที่ไดในบรรทัดสุดทาย
ทุกตัว
ตัวอยางที่ 3 จงหา ค.ร.น. ของ 12 , 20 , 24
วิธีทํา 2) 12 20 24
2) 6 10 12
3) 3 5 6
1 5 2
ค.ร.น. ของ 12 , 20 , 24 = 2 x 2 x 3 x 1 x 5 x 2 = 120
การนํา ค.ร.น. ไปใชในการแกโจทยปญหา
โจทยปญหา ที่ใช ค.ร.น.
การหาวา ระฆังจะกลับมาตีพรอมกัน
การหาวา นาฬิกาจะเดินมาพรอมกัน
การหาวา นักกีฬา จะวิ่งกลับมาพรอมกันอีก ที่จุดๆ หนึ่ง

9. ตัวอยางที่ 1. จงหาจํานวนที่นอยที่สุด เมื่อหารดวย 25 และ 35 แลว
เหลือเศษ 2 เทากัน
วิธีทํา 25 = 5x5
35 = 5x7
ดังนั้น ค.ร.น. = 5x5x7 =175
นั่นคือ จํานวนๆ นัน คือ 175+2 = 177
้
ตัวอยางที่ 2. มีระฆัง 3 ใบ ใบที่ 1 ตีทุกๆ 5 นาที ใบที่2 ตีทกๆ 9 นาที
ุ
ใบที่ 3 ตีทุกๆ 15 นาที เมื่อเริ่มตีพรอมกัน อีกนานเทาไร
จึงจะกลับมาตีพรอมกันอีก
วิธีทํา 5 = 5
9 = 3x3
15 = 5x3
ดังนั้น ค.ร.น. คือ 5x3x3 = 45
นันคือ อีก 45 นาที จะกลับมาตีพรอมกันอีก
่
ความสัมพันธ ของจํานวนสองจํานวน กับ ค.ร.น. , ห.ร.ม.
ผลคูณของจํานวนสองจํานวน จะเทากับ ผลคูณของ ค.ร.น. และ ห.ร.ม.
ของสองจํานวนนั้น หรือ AB = HO
ถา A และ B คือ จํานวนสองจํานวน , H คือ ห.ร.ม. , O คือ ค.ร.น.