Dokumen tersebut membahas tentang sifat Archimedes dan beberapa teorema yang berkaitan dengan hubungan antara bilangan riil dan bilangan asli, termasuk bukti dari teorema bahwa terdapat bilangan riil positif x sedemikian sehingga x^2 = 2.

1. ANALISIS REAL
(ROBERT G. BARTLE)
2.4.3 SIFAT ARCHIMEDES –
TEOREMA 2.4.7
Disusun oleh :
Nurya Maulida Husna (0401521037)
Eka Anjarwati (0401521048)
M. T. Yusuf Abdullah (0401521049)

2. 2.4.3 SIFAT ARCHIMEDES
 Sifat Archimedes adalah salah satu sifat yang mengaitkan hubungan antara bilangan real dan
bilangan asli. Sifat ini menyatakan bahwa apabila sebarang bilangan real x, maka selalu dapat
ditemukan suatu bilangan asli n yang lebih besar dari x.
 2.4.3 Sifat Archimedes
 Jika 𝑥 ∈ ℝ maka ∃ 𝑛𝑥 ∈ ℕ sehingga 𝑥 ≤ 𝑛𝑥
 Bukti :
 Akan dibuktikan dengan kontradiksi
 Ambil sebarang 𝑥 ∈ ℝ
 Andaikan tidak ada 𝑛 elemen ℕ sedemikian sehingga𝑥 ≤ 𝑛, maka ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 < 𝑥, dengan kata
lain 𝑥batas atas ℕ
 Jadi ℕ subset ℝ, ℕ ≠ ∅ karena 1 ∈ ℕ dan ℕ terbatas di atas

3. Menurut sifat supremum (Definisi 2.3.2):
 Karena 𝑥 batas atas ℕ, maka ℕ mempunyai supremum
 Misalkan 𝑢 = sup ℕ
 Karena 𝑢 − 1 < 𝑢 (berdasarkan Lemma 2.3.4)
Definisi 2.3.2
Jika S terbatas di atas, maka u dapat dikatakan sebagai supremum (atau batas atas terkecil)
dari S jika terdapat kondisi
•u batas atas pada S, dan
•jika v terbatas atas di S, maka u≤v
Lemma 2.3.4
S ∅≠
, S subset R ,u∈R batas atas dari S adalah supremum pada S jika dan hanya jika ∀ε>0 ∃ sε ϵ S∈u- ε<sε

4.  Karena u sup. ℕ , maka u – 1 bukan batas atasℕ
 Maka ∃ 𝑘 ∈ ℕ ∈ 𝑢 − 1 < 𝑘
⟺ 𝑢 − 1 + 1 < 𝑘 + 1 (kedua ruas ditambah 1, Teorema 2.1.7)
⟺ 𝑢 + 0 < 𝑘 + 1 (invers pada penjumlahan)
⟺ 𝑢 < 𝑘 + 1 (identitas pada penjumlahan)
 Karena 𝑘 ∈ ℕ maka 𝑘 + 1 ∈ ℕ (Sifat Keterurutan 2.1.5 (i) atau sifat Induktif
bilanganAsli)
 Jadi 𝑢 < 𝑘 + 1 artinya 𝑢 bukan batas atas ℕ
 Ini kontradiksi dengan 𝑢 = sup ℕ jadi pengandaian salah.
 Jadi ℕ tidak mempunyai batas atas.
 Haruslah 𝑥 ≤ 𝑛𝑥
 Akibatnya, jika𝑥 ∈ ℝ maka ∃ 𝑛𝑥 ∈ ℕ sehingga 𝑥 ≤ 𝑛𝑥

5. 2.4.4 Corollary
Jika 𝑆 =
1
𝑛
; 𝑛 ∈ ℕ , maka inf. 𝑆 = 0
Bukti :
𝑆 ≠ ∅ , terbatas ke bawah dari 0
Kenapa 𝑆 ≠ ∅ karena 𝑆 =
1
𝑛
; 𝑛 ∈ 𝑁 dan bila dimasukan n bilangan asli maka
1
1
,
1
2
, …
maka 𝑆 ≠ ∅
 Jelas 𝑤 ≥ 0
 Untuk sebarang 𝜀 > 0
 Berdasarkan sifat Archimedes, ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∈
1
𝜀
< 𝑛, karena
1
𝑛
> 0

6. Maka
1
𝜀
< 𝑛
⇔
1
𝜀
. 𝜀 < 𝑛. 𝜀 (kedua ruas dikalikan 𝜀 , Teorema 2.1.7)
⇔ 1 < 𝑛. 𝜀 (invers pada perkalian)
⇔
1
𝑛
. 1 <
1
𝑛
. 𝑛. 𝜀 (kedua ruas dikalikan
1
𝑛
)
⇔
1
𝑛
. 1 < 1 . 𝜀 (invers pada perkalian)
⇔
1
𝑛
< 𝜀 (identitas pada perkalian)
Karena 𝑤 ≥ 0 , ε > 0, dan
1
n
< 𝜀
Akibatnya, 0 ≤ 𝑤 ≤
1
n
< 𝜀 (Berdasarkan Teorema 2.1.9, maka w = 0)
Teorema 2.1.9
Jika ∈ ℝ ∈ 0 ≤ 𝑎 < 𝜀 ∀ 𝜀 > 0 , maka 𝑎 = 0
Jadi, inf. S = 0

7. CONTOH SOAL:
1. Buktikan jika diberikan 𝜀 > 0 maka terdapat bilangan asli 𝑛 sehingga
1
𝑛
< 𝜀
Bukti:
Berdasarkan sifat Archimedes, ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∈
1
𝜀
< 𝑛, karena
1
𝑛
> 0
Maka
1
𝜀
< 𝑛
⇔
1
𝜀
. 𝜀 < 𝑛. 𝜀 (kedua ruas dikalikan 𝜀 , Teorema 2.1.7)
⇔ 1 < 𝑛. 𝜀 (invers pada perkalian)
⇔
1
𝑛
. 1 <
1
𝑛
. 𝑛. 𝜀 (kedua ruas dikalikan
1
𝑛
)
⇔
1
𝑛
. 1 < 1 . 𝜀 (invers pada perkalian)
⇔
1
𝑛
< 𝜀 (identitas pada perkalian)
Jadi
1
𝑛
< 𝜀

8. 2.4.5
Corollary (Akibat)
Jika t >0 , terdapat 𝑛𝑡 ∈ ℕ sedemikian sehingga 0 <
1
𝑛𝑡
< 𝑡.
Bukti:
Berdasarkan akibat 2.4.4, jika 𝑆 =
1
𝑛
∶ 𝑛 ∈ ℕ , maka inf.S = 0
Karena inf.
1
𝑛
∶ 𝑛 ∈ ℕ = 0 dan t> 0 ,
Maka 𝑡 bukan batas bawah dari himpunan
1
𝑛
∶ 𝑛 ∈ ℕ
Akibatnya, ∃𝑛𝑡 ∈ ℕ ∈ 0 <
1
𝑛𝑡
< 𝑡

9. 2.4.6
Corollary (Akibat)
Jika > 0 , maka terdapaat 𝑛𝑦 ∈ ℕ sedemikian sehingga𝑛𝑦 − 1 ≤ y ≤ 𝑛𝑦
Bukti:
Misal ∃ ℕ𝑦 = 𝑚 ∈ ℕ ∶ 𝑦 < 𝑚 dengan ℕ𝑦 subset dariℕ
Sifat Archimedes menjamin bahwa subset ℕ𝑦 dari ℕ tidak kosong
Menurut sifat Well-Ordering 1.2.1,
1.2.1. Well-Ordering Property of ℕ
Every nonempty subset of ℕ has a least element
Maka terdapat 𝑛𝑦 ∈ ℕ𝑦 , ℕ𝑦 mempunyai elemen yang paling kecil yang dinotasikan dengan 𝑛𝑦
Berarti 𝑦 < 𝑛𝑦
Karena 𝑛𝑦 sebagai elemen terkecil dari ℕ𝑦, oleh karena itu 𝑛𝑦 − 1 ∉ ℕ𝑦 maka 𝑛𝑦 − 1 ≤ 𝑦.
Andaikan 𝑦 < 𝑛𝑦 − 1 maka 𝑛𝑦 − 1 ∈ ℕ𝑦 hal ini kontradiksi dengan 𝑛𝑦 sebagai elemen terkecil dari ℕ𝑦.
Haruslah 𝑛𝑦 − 1 ≤ 𝑦.
Jadi, diperoleh 𝑛𝑦 − 1 ≤ y < 𝑛𝑦

10. CONTOH SOAL
Untuk setiap bilangan riil 𝑎 dan 𝑏 dengan 𝑎 > 0 maka terdapat bilangan asli
𝑛 sehingga 𝑛𝑎 > 𝑏
 Bukti:
 Akan dibuktikan dengan kontradiksi
 Andaikan tidak demikian, maka terdapat bilangan riil 𝑎 dan 𝑏 dengan 𝑎 > 0 maka
terdapat bilangan asli 𝑛 sehingga 𝑛𝑎 ≤ 𝑏
 Dibuat himpunan 𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 = 𝑛𝑎, 𝑛 ∈ ℕ .
 Jelas S tidak kosong dan S terbatas di atas dengan b suatu batas atasnya.
 Misalkan c = Sup.S
 Karena c = Sup.S maka terdapat 𝑦 ∈ 𝑆 dan 𝑐 − 𝑎 < 𝑦.
 Jadi terdapat 𝑚 ∈ ℕ dan 𝑐 − 𝑎 < 𝑚𝑎 = 𝑦
 𝑐 − 𝑎 < 𝑚𝑎

11. ⟺ 𝑐 − 𝑎 + 𝑎 < 𝑚𝑎 + 𝑎(penambahan dengan a, teorema 2.1.7)
⟺ 𝑐 + 0 < 𝑚𝑎 + 𝑎 (invers pada penjumlahan)
⟺ 𝑐 < 𝑎(𝑚 + 1) (identitas pada penjumlahan, distributif)
Karena 𝑚 ∈ ℕ maka 𝑚 + 1 ∈ ℕ, (sifat keterurutan 2.1.5 (i))
Hal ini kontradiksi dengan c =Sup.S
Maka pengandaian salah haruslah 𝑛𝑎 > 𝑏
Jadi Untuk setiap bilangan riil𝑎 dan 𝑏 dengan 𝑎 > 0 maka terdapat bilangan asli
𝑛 sehingga 𝑛𝑎 > 𝑏

12. 2.4.7 Teorema : Ada bilangan Riil positif x
sedemikian hingga x2 = 2
Misalkan S = {s ∈ R I 0 ≤ s, s 2 < 2}. Karena 1 ∈ s, maka S bukan himpunan kosong.
Juga, S terbatas di atas oleh 2, karena bila t > 2, maka 𝑡2
> 4 sehingga t ∉ S. Karena
itu, menurut sifat supremum, S mempunyai supremum di R, katakan x = sup S. Catatan
: x > 1.
Kita akan buktikan bahwa 𝑥2 = 2 dengan menanggalkan dua kemungkinan x2 < 2 dan
x2 > 2
Kemungkinan I: Untuk 𝑥2 < 2
Karena 𝑥2
< 2, maka 2 − 𝑥2
> 0.
Perhatikan bahwa untuk setiap 𝑛 ∈ Ν , berlaku
1
𝑛2 ≤
1
𝑛
, maka
𝑥 +
1
𝑛
2
= 𝑥2 +
2
𝑛
𝑥 +
1
𝑛2
≤ 𝑥2 +
1
𝑛
2𝑥 + 1 .
Karena 2 − 𝑥2
> 0 dan 2𝑥 + 1 > 0, maka
2−𝑥2
2𝑥+1
> 0. Menurut akibat Sifat Archimedes
dapat ditemukan 𝑛 ∈ Ν sehingga

13. 1
𝑛
<
2 − 𝑥2
2𝑥 + 1
Akibatnya
1
𝑛
2𝑥 + 1 < 2 − 𝑥2
Dan
𝑥 +
1
𝑛
2
= 𝑥2
+
1
𝑛
2𝑥 + 1 ≤ 𝑥2
+ 2 − 𝑥2
= 2
Diperoleh bahwa 𝑥 +
1
𝑛
2
< 2, yang berarti bahwa 𝑥 +
1
𝑛
𝜖 𝑆. Kontradiksi dengan x =
Sup S. Oleh karena itu, tidak mungkin x2 < 2.

14. Kemungkinan II: Untuk 𝑥2
> 2
Karena 𝑥2 > 2, maka 𝑥2 − 2 > 0. Perhatikan bahwa untukk sebarang bilangan asli m
𝑥 +
1
𝑚
2
= 𝑥2
+
2𝑥
𝑚
+
1
𝑚2 ≤ 𝑥2
+
2𝑥
𝑚
.
Karena 𝑥2
− 2 > 0 dan 2𝑥 > 0, maka dipilih 𝑚 𝜖 Ν sedemikian sehingga
𝑚 >
2𝑥
𝑥2 − 2
𝑎𝑡𝑎𝑢
2𝑥
𝑚
< 𝑥2
− 2
Akibatnya
𝑥 +
1
𝑚
2
> 𝑥2
−
2𝑥
𝑚
> 𝑥2
− (𝑥2
−2) = 2.
Diperoleh bahwa 𝑥 +
1
𝑚
2
> 2, yang berarti bahwa 𝑥 +
1
𝑚
∉ 𝑆 yaitu 𝑥 −
1
𝑚
batas atas.
Kontradiksi dengan x = Sup S. Oleh karena itu, tidak mungkin x2 > 2.
Jadi pengandaiannya salah, yang benar adalah x2 = 2.

15. CONTOH SOAL
Diberikan himpunan A =
𝑛+1
𝑛
: 𝑛 ∈ ℕ
Tunjukkan bahwa inf A = 1.
Bukti:
Sebelum menunjukkan supremum dan infimum,
himpunan A dapat dinyatakan dalam bentuk lain
yaitu 1 +
1
𝑛
: 𝑛 ∈ ℕ atau dengan mendaftar elemennya
yaitu
2,1
1
2
, 1
1
3
, 1
1
4
, …

16. Untuk menunjukkan inf A = 1, perhatikan bahwa untuk sembarang n ∈ N berlaku
𝑛 + 1 ≥ 𝑛
⟺
1
𝑛
. 𝑛 + 1 ≥
1
𝑛
. 𝑛 (perkalian dengan
1
𝑛
, Teorema 2.1.7)
⟺
𝑛+1
𝑛
≥ 1 (invers pada perkalian)
Akibatnya 1 merupakan batas bawah A.
Selanjutnya, andaikan terdapat w batas bawah A yang lebih besar dari 1. Karena w > 1,
maka w – 1 > 0 dan
1
𝑤−1
> 0
Berdasarkan sifat Archimedean terdapat 𝑘 ∈ ℕ sedemikian sehingga
1
𝑤−1
< 𝑘
⟺
1
𝑤−1
. 𝑤 − 1 < 𝑘. (𝑤 − 1) (perkalian dengan (w - 1) teorema 2.1.7)
⟺ 1 < 𝑘. (𝑤 − 1) (invers pada perkalian)
⟺ 1 < 𝑘𝑤 − 𝑘 (sifat distributif)
⟺ 1 + 𝑘 < 𝑘𝑤 − 𝑘 + 𝑘 (penambahan dengan k, teorema 2.1.7)

17. ⟺ 1 + 𝑘 < 𝑘𝑤 + 0 (invers pada penjumlahan)
⟺ 1 + 𝑘 < 𝑘𝑤 (identitas terhadap penjumlahan)
⟺ 𝑘 + 1 < 𝑘𝑤 (komutatif terhadap penjumlahan)
⟺
1
𝑘
. 𝑘 + 1 <
1
𝑘
. 𝑘𝑤 (perkalian dengan
1
𝑘
, teorema 2.1.7)
⟺
𝑘+1
𝑘
< 1. 𝑤 (invers pada perkalian)
⟺
𝑘+1
𝑘
< 𝑤 (identitas pada perkalian)
Karena 𝑘 ∈ ℕ, diperoleh
𝑘+1
𝑘
∈ ℕ (Sifat Keterurutan 2.1.5 (i) atau sifat Induktif bilangan
Asli).
Akibatnya, w bukan bukan batas bawah A. Jadi inf A = 1

18. Terima Kasih
Kelompok 5

19. Soal latihan
1.Tunjukkan bahwa sup= { 1-1/n : n ∈N} } = 1
2.Misalkan S:={1/n–1/m :n, m ∈ N}, tentukan inf S dan sup S.