รวมข้อสอบคณิตศาสตร์เตรียมทหาร ม.3

ตัวอย่างข้อสอบ
โรงเรียนเตรียมทหาร

วิชาคณิตศาสตร์

รวบรวมโดย คุณครูพี่อั๋น
http://CoolAun.com

เตรียมสอบเตรียมทหาร

-1-


สมบัติของจานวนนับ (ค.ร.น. และ ห.ร.ม.)
ตัวประกอบ ของจำนวนนับใดๆ คือจำนวนนับที่หำรจำนวนนับนั้นได้ลงตัว
จำนวนนับที่มี 2 เป็นตัวประกอบ เรียกว่ำ จานวนคู่ ส่วนจำนวนนับอื่น ๆ ที่ไม่ใช่จำนวนคู่ เรียกว่ำ
จานวนคี่
จานวนเฉพาะ
จำนวนเฉพำะ: จำนวนนับที่มำกกว่ำ 1 และมีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวมันเอง
จำนวนประกอบ (Composite Number): จำนวนนับที่มำกกว่ำ 1 ซึ่งไม่เป็นจำนวนเฉพำะ
ตัวอย่าง
3 เป็นจานวนเฉพาะ เพราะ 3 มีตัวประกอบเพียงสองตัว คือ 1, 3
4 เป็นจานวนประกอบ เพราะ 4 มีตัวประกอบมากกว่าสองตัว คือ 1, 2, 4
การตรวจสอบว่าจานวนที่กาหนดให้เป็นจานวนเฉพาะหรือไม่
ทำได้โดยนำจำนวนเฉพำะไปหำรจำนวนนับที่กำหนดให้ และเมื่อหำจำนวนเฉพำะที่มำกที่สุดที่ยก
กำลังสองแล้วไม่เกินจำนวนนับที่มำกที่สุดนั้น จะได้จำนวนเฉพำะตัวนั้น เป็นตัวสุดท้ำยที่จะเป็นตัวประกอบ
ของจำนวนนับที่กำหนดให้ เช่น จำกตัวอย่ำงข้ำงต้น จำนวนนับที่มำกที่สุด คือ 50 จำนวนเฉพำะที่มำกที่สุด
ที่ยกกำลังสองแล้วไม่เกิน 50 คือ 7 (72 = 49) ดังนั้น 7 เป็นจำนวนสุดท้ำยที่เรำใช้เป็นตัวประกอบ
ถ้า n เป็นจานวนนับ ซึ่งไม่มีจานวนเฉพาะ p ใด ๆ ที่หาร n ได้ลงตัว โดยที่ p x p < n แล้ว
n เป็นจานวนเฉพาะ
สรุปว่า ถ้ำเรำต้องกำรตรวจสอบว่ำ จำนวนนับ n ที่กำหนดให้เป็นจำนวนเฉพำะหรือไม่ เรำจะมี
วิธีกำรดังนี้
1) รวบรวม p ซึง p x p < n
่
2) นำ p ที่รวบรวมได้ไปหำร n ถ้ำไม่มีจำนวนเฉพำะ p ใด ๆ หำร n ได้ลงตัวแล้ว n จะเป็น
จำนวนเฉพำะ

การตรวจสอบการหารลงตัวของจานวนเต็ม


จานวนเต็มที่หารด้วย 2 ลงตัว ได้แก่ จำนวนคู่ หรือจำนวนเต็มที่ลงท้ำยด้วย 0, 2, 4, 6 และ 8
ตัวอย่าง จำนวนที่หำรด้วย 2 ลงตัว เช่น 12, 54, 296, 568, 1000 เป็นต้น
 จานวนเต็มที่หารด้วย 3 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำเลขโดดทุกตัวมำรวมกันไปเรื่อยๆ จนได้
ผลลัพธ์เป็นจำนวนหลักเดียว หรือสองหลัก แล้วดูว่ำจำนวนที่ได้นั้นหำรด้วย 3 ลงตัวหรือไม่
ตัวอย่าง 3 หำร 27 ลงตัว
เพรำะ 2 + 7 = 9
ซึง 3 หำร 9 ลงตัว
่
3 หำร 147 ลงตัว
เพรำะ 1 + 4 + 7 = 12
ซึง 3 หำร 12 ลงตัว
่
3 หำร 134 ไม่ลงตัว เพรำะ 1 + 3 + 4 = 8
ซึง 3 หำร 8 ไม่ลงตัว
่

ไม่มีใครสามารถท่าให้คุณรู้สึกตาต้อยได้ ถ้าคุณไม่ยินยอม
่

เอลีนอร์ รูสเวลต์


-2-


 จานวนเต็มที่หารด้วย 5 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่ลงท้ำยด้วย 0 และ 5 เท่ำนั้น (ลองสังเกตสูตร
คูณแม่ 5 ดูก็ได้ครับ)
ตัวอย่าง จำนวนเต็มที่หำรด้วย 5 ลงตัว เช่น 25, 350, 2455, 5670 เป็นต้น
 จานวนเต็มที่หารด้วย 7 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำจำนวนในหลักหน่วยมำคูณด้วย 2 แล้ว
นำไปลบออกจำกจำนวนที่เหลือจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนที่ 7 หำรลงตัว
เพรำะ 18 – (2  2) = 18 – 4 = 14
ซึง
่
เพรำะ 47 – (6  2) = 47 – 12 = 35
ซึง
่
7 หำร 576 ไม่ลงตัว เพรำะ 57 – (6  2) = 57 – 12 = 45
ซึง
่
7 หำร 45 ไม่ลงตัว
 จานวนเต็มที่หารด้วย 11 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำผลรวมของเลขโดดในหลักคู่ (หลักที่
2: หลักสิบ, หลักที่ 4: หลักพัน, หลักที่ 6: หลักแสน, ...) ลบด้วย ผลรวมของเลขโดดในหลักคี่ (หลักที่ 1:
หลักหน่วย, หลักที่ 3: หลักร้อย, หลักที่ 5: หลักหมื่น, ...) แล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนที่ 11 หำรลงตัว เช่น
ผลลัพธ์เป็น 0, 11, -11 เป็นต้น
ตัวอย่าง 11 หำร 253 ลงตัว เพรำะ 5 – (2 + 3) = 0 และ 11 หำร 0 ลงตัว
11 หำร 2794 ลงตัว เพรำะ (2 + 9) – (7 + 4) = 0 และ 11 หำร 0 ลงตัว
11 หำร 45876 ไม่ลงตัว เพรำะ (5 + 7) – (4 + 8 + 6) = -6 ซึ่ง 11 หำร -6 ไม่ลงตัว
 จานวนเต็มที่หารด้วย 13 ลงตัว ได้แก่ จำนวนจำนวนเต็มที่เมื่อนำเลขโดดตัวสุดท้ำย (เลขโดดใน
หลักหน่วย) คูณด้วย 4 แล้วบวกด้วยจำนวนที่เหลือ แล้วดูว่ำ 13 หำรลงตัวหรือไม่ ถ้ำจำนวนยังมำกอยู่ก็ให้
ดำเนินกำรในทำนองเดียวกันไปเรื่อยๆ จนเหลือจำนวนที่น้อยและตรวจได้ว่ำหำรด้วย 13 ลงตัวหรือไม่
ตัวอย่าง 13 หำร 546 ลงตัว เพรำะ 54 + (6  4) = 54 + 24 = 78 (ยังเยอะอยู่)
7 + (8  4) = 7 + 32 = 39 ซึ่ง 13 หำร 39 ลงตัว
13 หำร 7618 ลงตัว เพรำะ 761 + (8  4) = 761 + 32 = 793 (ยังเยอะอยู่)
79 + (3  4) = 79 + 12 = 91 (ตรวจต่อก็ได้)
9 + (1  4) = 9 + 4 = 13 ซึ่ง 13 หำร 13 ลงตัว
13 หำร 12564 ไม่ลงตัว เพรำะ 1256 + (4  4) = 1256 + 16 = 1272
127 + (2  4) = 127 + 8 = 135
13 + (5  4) = 13 + 20 = 43 ซึ่ง 13 หำร 43 ไม่ลงตัว

่



-3-


 จานวนเต็มที่หารด้วย 17 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำจำนวนในหลักสุดท้ำยไปคูณด้วย 5
แล้วนำจำนวนที่เหลือมำตั้ง แล้วลบด้วยผลคูณของจำนวนในหลักสุดท้ำยกับ 5 (ถ้ำจำนวนยังมำกอยู่ให้
ดำเนินกำรในทำนองเดียวกันต่อไปเรื่อย) แล้วดูว่ำผลลัพธ์ที่ได้หำรด้วย 17 ลงตัวหรือไม่
เพรำะ 8 – (5  5) = 8 – 25 = -17 ซึ่งหำรด้วย 17 ลงตัว
17 หำร 612 ลงตัว เพรำะ 61 – (2  5) = 61 – 10 = 51
5 – (1  5) = 5 – 5 = 0 ซึ่งหำรด้วย 17 ลงตัว
17 หำร 2295 ลงตัว เพรำะ 229 – (5  5) = 229 – 25 = 204
20 – (4  5) = 20 – 20 = 0 ซึ่งหำรด้วย 17 ลงตัว
21 – (1  5) = 21 – 5 = 16 ซึ่งหำรด้วย 17 ไม่ลงตัว
692 – (8  5) = 692 – 40 = 652
65 – (2  5) = 65 – 10 = 55
5 – (5  5) = 5 – 25 = -20 ซึ่งหำรด้วย 17 ไม่ลงตัว
 จานวนเต็มที่หารด้วย 19 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำจำนวนในหลักสุดท้ำย (หลักสิบ, หลัก
หน่วย) คูณด้วย 2 จำกนั้นนำไปบวกกับจำนวนที่เหลือ (ถ้ำจำนวนยังมำกอยู่ให้ดำเนินกำรในทำนอง
เดียวกันต่อไปเรื่อย) แล้วดูว่ำหำรด้วย 19 ลงตัวหรือไม่
ตัวอย่าง 19 หำร 152 ลงตัว เพรำะ 15 + (2  2) = 15 + 4 = 19
ซึง
่
19 หำร 741 ลงตัว เพรำะ 74 + (1  2) = 74 + 2 = 76
7 + (6  2) = 7 + 12 = 19
ซึง
่
15 + (8  2) = 15 + 16 = 31
ซึง
่
58 + (5  2) = 58 + 10 = 68
6 + (8  2) = 6 + 16 = 22
ซึง
่

่



-4-


ตัวอย่ำง 157 เป็นจำนวนเฉพำะหรือไม่
วิธีทำ จำนวนเฉพำะ p ซึง p x p < n ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11
่
จะพบว่ำ
ดังนั้น 157 เป็นจำนวนเฉพำะ
ตัวอย่ำง จงตรวจสอบว่ำ จำนวนนับที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นจำนวนเฉพำะหรือไม่
1) 167
วิธีทำ จำนวนเฉพำะ p ซึง p x p < n ได้แก่
่

ดังนั้น
2) 701
วิธีทำ จำนวนเฉพำะ p ซึง p x p < n ได้แก่
่

ดังนั้น
การแยกตัวประกอบ
การแยกตัวประกอบ ของจำนวนนับใดๆ คือประโยคที่แสดงกำรเขียนจำนวนนั้นในรูปกำรคูณของ
ตัวประกอบเฉพำะ
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 18
วิธีทา 18 = 2  3  3

่



-5-


ในกำรแยกตัวประกอบของจำนวนที่มีตัวประกอบหลำยๆ จำนวนเรำอำจหำตัวประกอบทีละ 2 ตัว
หลำยๆ ขั้นจนขั้นสุดท้ำยได้ตัวประกอบทุกตัวเป็นจำนวนเฉพำะ เช่นต้องกำรแยกตัวประกอบของ 420 ก็มี
วิธีคิดดังนี้คือ
420 = 2  210
= 2  2  105
= 2  2  3  35
=22357
นั่นคือแยกตัวประกอบของ 420 ได้เป็น 420 = 2  2  3  5  7
ตัวหารร่วมมาก
จำนวนที่หำรทั้ง 12 และ 18 ลงตัว ซึ่งได้แก่ 1,2,3 และ 6 เรียกว่ำตัวหารร่วม หรือ ตัวประกอบร่วม
ของ 12 และ 18
ตัวอย่าง จงหำตัวประกอบร่วมของ 16 และ 24
วิธีทา ตัวประกอบของ 16 ได้แก่ 1,2,4,8,16
ตัวประกอบของ 24 ได้แก่ 1,2,3,4,6,8,12,24
ดังนั้น ตัวประกอบร่วมของ 16 และ 24 ได้แก่ 1, 2, 4 และ 8
ตัวประกอบร่วมที่มำกที่สุดของ 16 และ 24 คือ 8 เรียก 8 ว่ำ ตัวหารร่วมมาก ของ 16 และ 24
เขียนย่อ ว่ำ ห.ร.ม. ของ 16 และ 24
ตัวอย่างที่ จงหำ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18
วิธีทา 12 = 2  2  3
18 = 2  3  3
จำกกำรแยกตัวประกอบของ 12 และ 18 จะเห็นว่ำตัวประกอบร่วม (ยกเว้น 1) ของ 12 และ18
ได้แก่ 2, 3 และ 2  3 (ดูตัวเลขในกรอบ)
ดังนั้น ตัวประกอบร่วมที่มำกที่สุดของ 12 และ 18 คือ 2  3 หรือ 6
นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6
ตัวอย่างที่ จงหำ ห.ร.ม. ของ 9 และ 14
วิธีทา แยกตัวประกอบของ 9 และ 14 ได้เป็น
9=33
14 = 2  7

่



-6-


จำกกำรแยกตัวประกอบของ 9 และ 14 จะเห็นว่ำไม่มีจำนวนนับที่มำกกว่ำ 1 เป็นตัวประกอบร่วม
ของ 9 และ 14 แต่ 1 เป็นตัวประกอบร่วมของทุก ๆ จำนวน ดังนั้น 1 เป็นตัวประกอบร่วมที่มำกที่สุดของ
9 และ 14 นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 9 และ 10 คือ 1
ตัวอย่างที่ 8 ห้องประชุมกว้ำง 18 เมตร ยำว 24 เมตร จะติดพัดลมเพดำนให้แต่ละตัวห่ำงเท่ำๆ กัน และ
ตัวที่อยู่ใกล้ฝำผนังอยู่ห่ำงจำกฝำผนังเท่ำกับที่อยู่ห่ำงจำกพัดลมตัวอื่นๆ ด้วย จงหำว่ำ
1. จะติดพัดลมให้ห่ำงกันได้มำกที่สุดกี่เมตร
2. จะติดพัดลมได้ทั้งหมดกี่ตัว
วิธีทา

ตัวคูณร่วมน้อย
พิจำรณำจำนวนนับที่มี 4 และ 6 เป็นตัวประกอบต่อไปนี้
จำนวนนับที่มี 4 เป็นตัวประกอบได้แก่ 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
จำนวนนับที่มี 6 เป็นตัวประกอบได้แก่ 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
จำนวนนับใดบ้ำงที่มีทั้ง 4 และ 6 เป็นตัวประกอบ
เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มี 4 และ 6 เป็นตัวประกอบ เรียก 12 ว่ำ ตัวคูณร่วมน้อย ของ 4 และ
6 เขียนย่อ ๆ ว่ำ ค.ร.น. ของ 4 และ 6
กำรหำ ค.ร.น. ทำได้หลำยวิธี เช่น หำ ค.ร.น. ของ 8 และ 12 ได้ดังนี้
วิธีที่ 1 หำ ค.ร.น. ของ 8 และ 12 โดยเลือกจำกจำนวนนับที่มี 8 และ 12 เป็นตัวประกอบ
จำนวนนับที่มี 8 เป็นตัวประกอบได้แก่ 8, 16, 24, 32, …
จำนวนนับที่มี 12 เป็นตัวประกอบได้แก่ 12, 24, 36, 48, …
2) เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มี 8 และ 12 เป็นตัวประกอบ
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 8 และ 12 คือ 24
วิธีที่ 2 หำ ค.ร.น. ของ 8 และ 12 โดยวิธีแยกตัวประกอบ
8=222
12 = 2  2  3
8

2 2 23
12
่



-7-


ดังนั้น ค.ร.น. ของ 8 และ 12 คือ 24
วิธีที่ 3 หำ ค.ร.น. ของ 8 และ 12 โดยวิธีตั้งหำร
2) 8, 12
2) 4, 6
2, 3
กำรหำ ค.ร.น. โดยวิธีตั้งหำรทำได้ดังนี้
1. หำตัวประกอบร่วมเฉพำะ คือ 2 ไปหำร 8 และ 12 ได้ 4 และ 6
2. หำตัวประกอบร่วมเฉพำะ คือ 2 ไปหำร 4 และ 6 ได้ 2 และ 3
3. เมื่อผลลัพธ์ คือ 2 และ 3 ไม่มีตัวประกอบร่วมเฉพำะแล้วจึงหยุดกำรหำร
4. นำตัวหำรในข้อ 1, ข้อ 2 และผลลัพธ์ที่ได้ในข้อ 3 ทั้งหมดมำคูณกัน ผลคูณที่ได้คือ ค.ร.น.
ของ 8 และ 12
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 8 และ 12 คือ 2  2  2  3 หรือ 24

1. มีแอปเปิลและส้มอยู่จำนวน 209 ผล และ 117 ผล ตำมลำดับ แบ่งแอปเปิลให้เด็กกลุ่มหนึ่งทุกคนจะ
ได้แอปเปิลเท่ำกันพอดี และเมื่อแบ่งส้มให้กับทุกคนเท่ำกัน ปรำกฏเหลือส้ม 3 ผล เด็กแต่ละคนได้รับ
แอปเปิลและส้มคนละกี่ผล(ทบ.49)
1) แอปเปิล 11 ผล ส้ม 6 ผล

2. ดำวเทียม 3 ดวง ถูกยิงขึ้นไปสู่อวกำศพร้อมกัน ดวงที่หนึ่งใช้เวลำโคจรรอบโลกนำน 1.8 สัปดำห์ ดวงที่
สองใช้เวลำโคจรรอบโลก 2.1 สัปดำห์ ดวงที่สำมใช้เวลำโคจรรอบโลก 3.8 สัปดำห์ อยำกทรำบว่ำ
หลังจำกปล่อยพร้อมกันแล้วนำนเท่ำใดดำวเทียมทั้งสำมจึงจะโคจรมำในแนวเดียวกันอีกครั้ง (ทอ.49)
1. 0.092 ปี
2. 4.600 ปี
3. 0.920 ปี
4. 0.460 ปี
5. 9.200 ปี

่



-8-


3. เลขจำนวนที่มำกที่สุดที่หำร 279 และ 592 แล้วเหลือเศษ 6 และ 7 ตำมลำดับ คืออะไร (ทร.50)
1) 39
2) 40
3) 67
4) 79

4. ไม้อัดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉำก กว้ำง 0.72 เมตร และยำว 0.84 เมตร ถ้ำต้องกำรตัดไม้อัดนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยม
จัตุรัสขนำดเท่ำ ๆ กัน ให้มีพื้นที่มำกที่สุด จะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสกี่รูป (ทร.50)
1) 12
2) 24
3) 42
4) 54

5. ถ้ำให้ m และ n เป็น ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ a และ b แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง (ตร.50)
1) n x ( a x b ) = m
2) a x b = m x n
3) a x m = b x n
4) m x( a x b )=n

6. กำหนดให้จำนวน 15, 60 และ e ให้ ถ้ำ 15 เป็น ห.ร.ม. ของจำนวนทั้ง 3 และ 60 เป็น ค.ร.น. ของ
จำนวนทั้ง 3 e มีค่ำเท่ำไร (ตร.50)
1) 90
2) 15
3) 30
4) 60

่



-9-


7. รถโดยสำร 2 คันใช้เวลำรับส่งผู้โดยสำรแต่ละรอบ (คิดเวลำทั้งเที่ยงไปและกลับ) เท่ำกับ 1 ชั่วโมง และ
1 ชั่วโมง 12 นำที ตำมลำดับ ถ้ำรถทั้งสองคันนี้ออกจำกจุดเริ่มต้นเดียวกันเวลำ 07.45 น. เวลำใดที่รถ
ทั้งสองคันจะกลับมำที่จุดเริ่มต้นพร้อมกัน (ทบ.51)
1) 13.45 น.
2) 13.50 น.
3) 13.55 น.
4) 14.00 น.
5) 14.05 น.

8. ห.ร.ม. และ ค.ร.น.ของจำนวนบวกสองจำนวน คือ 15 และ 725 ตำมลำดับ ถ้ำจำนวนแรก
คือ 29  3  5 แล้ว จำนวนที่สองจะอยู่ในข้อใด(ทบ.51)
1) 3  7  5 2) 3 5
3) 7  5
4) 5 5
5) 3 7

9. ถ้ำ a เป็นจำนวนน้อยที่สุดซึ่งเมื่อนำ 8, 9, 10, 12 ไปหำรจะเหลือเศษ 3 เสมอแล้ว จงหำ
51)
1) 33
2) 36
3) 38
4) 43

3a

(ทร.

10. มีเชือกอยู่ 3 เส้น มีควำมยำว 80 เซนติเมตร 64 เซนติเมตร และ 40 เซนติเมตร ตำมลำดับ ต้องกำร
ตัดเชือกเป็นท่อน ๆ ให้ยำวเท่ำ ๆ กัน จะได้เชือกยำวที่สุดเท่ำใด และได้เชือกกี่เส้น (ทร.51)
1) 8 เซนติเมตร จำนวน 23 เส้น

่



-10-

15
11. 0.72 , 16 , 2 7 มี ค.ร.น. เป็นที่เท่ำของ ห.ร.ม. (ทร.52)
8
1) 34500
2) 467
3) 321


4) 690

12. ผู้บริจำคสิ่งของให้โรงเรียนต่ำงๆมีหนังสือ 670 เล่ม มีสมุด 404 เล่ม มีดินสอ 1,145 แท่ง เขำต้องกำร
บริจำคให้โรงเรียนละเท่ำๆกันให้ได้จำนวนมำกที่สุด โดยสิ่งของทุกชนิดจะเก็บไว้เป็นตัวอย่ำงในปีหน้ำ
อย่ำงละ 5 ชิ้น จงหำว่ำเขำจะนำไปบริจำคได้กี่โรงเรียน (ทร.52)
1) 19 โรงเรียน

13. หลอดไฟ 5 หลอดเป็นไฟกระพริบ ถ้ำทั้ง 5 หลอดใช้เวลำในกำรกระพริบ ดังนี้ 2 ,3 ,4 ,5 ,6 วินำทีต่อ
ครั้ง ถ้ำเริ่มต้นกระพริบพร้อมกัน และจะกระพริบพร้อมกันอีกครั้งนำนกี่นำที
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5) 5

่



-11-


ระบบตัวเลขฐานต่างๆ
จำกที่ได้ศึกษำมำแล้วนั้น ปัจจุบันระบบเลขฐำน 10 เป็นระบบที่นิยมในปัจจุบัน แต่ยังมีระบบ
ตัวเลขฐำนอื่น ๆ อีกที่เคยใช้และยังใช้อยู่ในปัจ จุบัน เช่น ระบบตัวเลขฐำนสอง (ในคอมพิวเตอร์) ฐำนแปด
ฐำนสิบสอง ฐำนสิบหก เป็นต้น
ในหัว ข้อนี้ เรำจะได้ศึกษำเกี่ยวกับกำรเปลี่ ยนฐำนของเลขฐำนต่ำง ๆ มำเป็นฐำนสิ บ และกำร
เปลี่ยนเลขสิบให้เป็นตัวเลขฐำนต่ำง เช่น เปลี่ยนเลขฐำนสองให้เป็นเลขฐำนสิบ , เปลี่ยนเลขฐำนสิบให้เป็น
เลขฐำนแปด เป็นต้น
 ระบบตัวเลขฐานสอง
ในระบบตัวเลขฐำนสอง มีสัญลักษณ์พื้นฐำนเพียง 2 ตัว คือ 0 และ 1 กำรเขียนตัวเลขฐำนสอง
จะต้องเขียน 2 กำกับไว้ เช่น 102 (หรือเขียน 10สอง ก็ได้) ซึ่งอ่ำนว่ำ หนึ่งศูนย์ในฐำนสอง
ตัวเลขฐำนสองมีวิธีกำรเขียนเหมือนตัวเลขฐำนสิบ คือ ยึดตำแหน่งเป็นหลัก โดยแต่ละตำแหน่งมี
ชื่อและมีค่ำประจำหลักดังนี้
ตำแหน่งที่
…
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
ค่ำประจำหลัก
…
2
2
2
2
2
20
เทียบกับตัวเลขฐำนสิบ
…
32
16
8
4
2
1
 การเปลี่ยนตัวเลขฐานสิบให้เป็นตัวเลขฐานสอง
วิธีกำรเปลี่ยนตัวเลขฐำนสิบให้เป็นตัวเลขฐำนสอง สำมำรถทำได้ 2 วิธี ดังต่อไปนี้
1. วิธีการตั้งหาร
กำรตั้งหำรทำได้โดยกำรนำสองไปหำรตัวเลขฐำนสิบ แล้วเขียนเศษไว้ แล้วนำสองไปกำรผลหำรอีก
เขียนเศษที่ได้ไว้ ทำไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งได้ผลหำรเป็นศูนย์ แล้วนำเศษที่ได้จำกกำรหำรมำเขียนเป็น
คำตอบ โดยเขียนจำกล่ำงขึ้นบน ดังตัวอย่ำง
ตัวอย่าง 1
จงเปลี่ยน 63 ให้เป็นตัวเลขฐำนสอง โดยวิธีกำรตั้งหำร
วิธีทา
2 ) 63
2 ) 31
เศษ 1
2 ) 15
เศษ 1
2)7
เศษ 1
2)3
เศษ 1
2)1
เศษ 1
0
เศษ 1
 63 = 1111112
่



วิธีทา


-12-

จงเปลี่ยน 86 ให้เป็นตัวเลขฐำนสอง โดยวิธีกำรตั้งหำร

2. การเขียนจานวนในรูปผลบวกของสองยกกาลังต่าง ๆ
จงเปลี่ยน 63 ให้เป็นตัวเลขฐำนสอง
วิธีทา 63
=
32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
=
25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20
=
(1 x 25) + 1 x 24) + (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20)
=
1111112
 63 = 1111112
จงเปลี่ยน 80 ให้เป็นตัวเลขฐำนสอง
วิธีทา

แบบฝึกหัด
1. จงเปลี่ยนตัเลขฐำนสิบต่อไปนี้ให้เป็นเลขฐำนสองโดยวิธีตั้งหำร
1) 55
2) 64

่




-13-

3) 70

4) 89

5) 105

6) 164

2. จงเปลี่ยนตัวเลขฐำนสิบต่อไปนี้ให้เป็นตัวเลขฐำนสอง โดยไม่ใช้กำรตั้งหำร
1) 19
2) 23

3) 30

่

4) 35




-14-

 การเปลี่ยนตัวเลขฐานสองให้เป็นตัวเลขฐานสิบ
กำรเปลี่ยนตัวเลขฐำนสองให้เป็นตัวเลขฐำนสิบนั้นทำได้โดยกำรเขียนตัวเลขฐำนสองให้อยู่ในรูป
ผลบวกของกำรกระจำยตัวเลขโดดในเลขฐำนสองคูณกับค่ำประจำหลัก ดังนี้

จงเปลี่ยนตัวเลขฐำนสองที่กำหนดให้เป็นตัวเลขฐำนสิบ
1) 110012 = (1 x 24) + (1 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)
= 16 + 8 + 0 + 0 + 1
= 25
2) 10102
=
=
=
3) 1011102 =
=
=
4) 1100112 =
=
=
5) 11112
=
=
=
6) 11100102 =
=
=
7) 110110102 =
=
=
8) 1111112 =
=
=
9) 100100112 =
=
=

่



-15-


 ระบบตัวเลขฐานอื่น ๆ
นอกจำกระบบตั ว เลขฐำนสองและฐำนสิ บ ดั ง ที่ เ รำได้ เ รี ย นรู้ ม ำแล้ ว ยั ง มี ร ะบบตั ว เลขฐำน
อื่น ๆ อี กมำกมำยที่ส ำมำรถใช้เ ขีย นแทนจำนวนได้ และตั ว เลขฐำนอื่น ๆ ก็จะมีลั กษณะคล้ ำยกับตั ว
เลขฐำนสองและฐำนสิบ ดังแสดงในตำรำง
ื้
ตาแหน่งที่
…
6
5
4
3 2 1 ระบบเลขฐานและสัญลักษณ์พนฐาน
ค่ำประจำหลัก …
25
24
23
22 21 20
ฐำนสอง
สัญลักษณ์ 0, 1,
เทียบกับฐำนสิบ …
32
16
8
4 2 1
35
34
33
32 31 30
ฐำนสำม
สัญลักษณ์ 0, 1, 2,
เทียบกับฐำนสิบ … 243
81
27
9 3 1
5
4
4
2
1
0
4
4
4
4 4 4
ฐำนสี่
สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3
เทียบกับฐำนสิบ … 1,024 256 64 16 4 1
55
54
53
52 51 50
ฐำนห้ำ
สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3, 4
เทียบกับฐำนสิบ … 3,125 625 125 25 5 1
65
64
63
62 61 60
ฐำนหก
สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3, 4, 5
เทียบกับฐำนสิบ … 7,776 1,296 216 36 6 1
5
4
3
2
1
0
7
7
7
7 7 7
ฐำนเจ็ด
สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
เทียบกับฐำนสิบ … 16,807 2,401 343 49 7 1
5
4
3
2
1
0
8
8
8
8 8 8
ฐำนแปด
สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
เทียบกับฐำนสิบ … 32,768 4,096 512 64 8 1
95
94
93
92 91 90
ฐำนเก้ำ
เทียบกับฐำนสิบ … 50,049 6,561 729 81 9 1 สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
ฐำนสิบ
105
104 103 102 101 100
เทียบกับฐำนสิบ … 100,000 10,000 1,000 100 10 1 สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
วิธีกำรเปลี่ยนตัวเลขฐำนสิบให้เป็นตัวเลขฐำนต่ำง ๆ และกำรเปลี่ยนตัวเลขฐำนต่ำง ๆ ให้เป็นตัว
เลขฐำนสิบ สำมำรถทำได้เช่นเดียวกับตัวเลขฐำนสอง ดังตัวอย่ำงต่อไปนี้
จงเปลี่ยนตัวเลขฐำนต่ำง ๆ ที่กำหนดให้ให้เป็นตัวเลขฐำนสิบ
1) 546
= (5 x 61) + (4 x 60)
= 30 + 4 = 34
2) 1134
=
=
3) 102023 =
=
่



-16-


4) 10207

วิธีทา

=
=
5) 40029
=
=
6) 657
=
=
=
7) 108809 =
=
=
8) 1122113 =
=
=
9) 134315 =
=
=
10) 12146
=
=
=
1) จงเปลี่ยน 535 ให้เป็นตัวเลขฐำน 7 โดยวิธีกำรตั้งหำร

2) จงเปลี่ยน 7454 ให้เป็นตัวเลขฐำน 5 โดยวิธีกำรตั้งหำร
วิธีทา

่





-17-

จงเปลี่ยนตัวเลขฐำนสิบต่อไปนี้ให้เป็นตัวเลขฐำนต่ำง ๆ ที่กำหนดให้
ข้อ
1.
2.
3.
4.
5.
6.

ฐำนสิบ
8
15
35
68
185
215

ฐำนแปด

ฐำนหก

ฐำนห้ำ

ฐำนสำม

 การหาผลลัพธ์ของการบวกเลขฐานต่าง ๆ ที่ไม่ใช่ตัวเลขฐานสิบ
สำมำรถทำได้โดยกำรตั้งบวกแบบตัวเลขฐำนสิบ แต่มีหลักกำรทดดังนี้
1. เมื่อบวกกันได้เท่ำกับฐำนให้ใส่ผลลัพธ์ 0 และทดไว้ 1 เช่นในฐำน 5 เมื่อนำ 3 + 2 จะได้ 5 ให้
ใส่ 0 ที่ผลลัพธ์แล้วทดไว้ 1
2. เมื่อบวกกันได้มำกกว่ำฐำนให้กว่ำเกิ นจำกฐำนไปเท่ำใด ให้ค่ำที่เกินนั้นเป็นผลลัพธ์ แล้วทดไว้
1 เช่น ในฐำน 5 เมื่อนำ 4 + 3 จะได้ 7 ซึ่งเกิน 5 ไป 2 ให้ใส่ 2 ที่ผลลัพธ์ และทดไว้ 1
จงหำ 110112 + 111012
ตัวอย่าง 10 จงหำผลลัพธ์ 866549 + 211549
วิธีทา

วิธีทา
1 1 1 1 1
1 1 0 1 12 
1 1 1 0 12
1 1 1 0 0 02

1 1 1 1
8 6 6 5 49

2 3 4 5 49
1 2 1 2 1 89

จงหำผลลัพธ์ของ
1) 6628 + 5208
วิธีทา

3) 1308 + 258
วิธีทา

2) 5407 + 4217
วิธีทา

4) 11001112 + 10001012
วิธีทา

่




-18-

5) 65617 + 3667
วิธีทา

11) 346 + 246 + 556 + 106
วิธีทา

6) 15456 + 326
วิธีทา
12) 4657 + 2527 + 6647
วิธีทา
7) 4889 + 189
วิธีทา
13) 5628+ 1078
วิธีทา
8) 21013 + 1023
วิธีทา
14) 11012 + 11112
วิธีทา

9) 110324 + 20214
วิธีทา

15) 32712 + 9812
วิธีทา

10) 142035 + 21345
วิธีทา

16) JJJ12 + 12112
วิธีทา

่




-19-

17) 456 + 1246 + 5056
วิธีทา

18) 112 + 102 + 112 + 112
วิธีทา

 การหาผลลัพธ์ของการลบเลขฐานต่าง ๆ ที่ไม่ใช้ตัวเลขฐานสิบ
ตัวอย่าง 11 จงหำผลลัพธ์ของ 7678 – 5438
วิธีทา วิธีที่ 1 เปลี่ยนจำนวนในระบบตัวเลขฐำน 8 ให้เป็นจำนวนในระบบตัวเลขฐำน 10 ก่อน เมื่อหำ
ผลลัพธ์ได้แล้วจึงเปลี่ยนกลับให้จำนวนในระบบตัวเลขฐำน 8
7678 =
=
5438 =
=

7678 – 5438 =
=
=
วิธีที่ 2 เขียนให้อยู่ในรูปกระจำยแล้วหำผลลัพธ์
7678 =
5438 =
 7678 – 5438
=
ตัวอย่าง 12 จงหำผลลัพธ์ของ 5368 – 2638
วิธีทา
5368 =
2638 =
หรือ

5 3 68
- 2 6 38
8



5368 – 2638 =

่




-20-

จงหาผลลัพธ์ของแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 4316 – 3146
วิธีทา

2) 21013 – 12103
วิธีทา

3) 50009 – 32459
วิธีทา

4) 125 – 35
วิธีทา

5) 438 – 48
วิธีทา

6) 11012 – 1112
วิธีทา

7) 40245 – 10135
วิธีทา

8) 6527- 5617
วิธีทา

9) 9200812 – 2J14Q12 (J = 10, Q = 11)
วิธีทา

10) 402037 – 124157
วิธีทา

 การหาผลลัพธ์ของการคูณเลขฐานต่าง ๆ ที่ไม่ใช้ตัวเลขฐานสิบ
กำรคูณจำนวนระบบตัวเลขฐำนต่ำง ๆ ที่ไม่ใช่ฐำน 10 นั้น ข้อควรระวังคือกำรทด กำรทดนั้นทำได้
เมื่อคูณจำนวน 2 จำนวน ได้ผลลัพธ์เท่ำใด ให้นำผลลัพธ์ที่ได้หำรด้วยฐำน เหลือเศษเท่ำใดให้ใส่เศษที่
ผลลัพธ์ ได้ผลหำรเท่ำใดให้ทดไว้ ดังตัวอย่ำงต่อไปนี้

่




วิธีทา


-21-

จงหำผลลัพธ์ของแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 59  44
=
2) 67  37
=
3) 24  34
=
4) 26  36
=
5) 46  36
=
จงหำผลลัพธ์ของ 4256  36
4 2 56
 36
6


วิธีทา

4256  36 =
จงหำผลลัพธ์ของ 4315  235
4 3 15
 2 35

5



4315  235 =

1) 5267  347
วิธีทา

2) 101102  102
วิธีทา

3) 5839  279
วิธีทา

่




-22-

4) 4227  417
วิธีทา

8) 4327  167
วิธีทา

5) 1011012  112
วิธีทา

9) 110112  11102
วิธีทา

6) 4829  379
วิธีทา

10) 401356  436
วิธีทา

7) 4045  3445
วิธีทา

11) 124148  768
วิธีทา

 การหาผลลัพธ์ของการหารเลขฐานต่าง ๆ ที่ไม่ใช้ตัวเลขฐานสิบ
กำรหำผลลัพธ์ของกำรหำรเลขฐำนต่ำง ๆ ที่ไม่ใช้ตัวเลขฐำนสิบ สำมำรถทำได้ในทำนองเดียวกัน
กับกำรหำรจำนวนในระบบตัวเลขฐำน 10 คือ กำรหำรยำว (กำรตั้งหำร) โดยกำรหำจำนวนมำกคูณกับ
ตัวหำร แล้วได้ผลลัพธ์เท่ำกับตัวตั้ง ดังตัวอย่ำงต่อไปนี้
ตัวอย่าง 16 จงหำผลลัพธ์ของ 32678  458
วิธีทา



458 32678

32678  458 =

่




-23-

1) 536  46

5) 160537  257

2) 619  59

6) 12203  103

3) 110112  102

7) 41245  425

4) 6748  78

8) 67718  68
วิธีทา

่



-24-


 การหาฐานของระบบตัวเลขฐานต่าง ๆ
ตัวอย่าง 17 จงหำ b ที่ทำให้ 35b = 26
วิธีทา จำก
35b = 26
จะได้
3b + 5 = 26
3b = 21
b = 7
 357 = 26
ตัวอย่าง 18 จงหำ b ที่ทำให้ 65b = 10134
วิธีทา

วิธีทา

จงหำ b ที่ทำให้ 4b  5b  3b = 27b

จงหาค่า b ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. 57b = 52
วิธีทา

2. 423b = 159
วิธีทา

่



-25-


3. 34b = 28
วิธีทา

4. 100b = 36
วิธีทา

5. 203b = 35
วิธีทา

6. 101b = 50
วิธีทา

7. 2120b = 69
วิธีทา

8. 221b = 61
วิธีทา

่



-26-


9. 63b = 3912
วิธีทา

10. 24b = 317
วิธีทา

11. 1115 = 1011b
วิธีทา

12. 11011012 = 91b
วิธีทา

13. 3b  7b + 4b = 31b
วิธีทา

่



-27-


14. 4b  3b = 14b
วิธีทา

15. 5b  2b + 4b = 20b
วิธีทา

16. 210b = 442b
วิธีทา

17. 2020b/4 = 50b
วิธีทา

่



-28-


51

18. 15 b = 3
b
วิธีทา

ของแถมจ้าาาาาาา
จงหาผลลัพธ์ของ
1. จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปกระจำย
1.1 5131/2 =
1.2 2173 –8 =
1.3 252.126 =
1.4 3.02148 =
2. จงเปลี่ยนจำนวนต่อไปนี้ให้เป็นจำนวนในระบบตัวเลขฐำน 10
2.1 6321/2 =
=
=
=
2.2 214 –5 =
=
=
=
3. 61.38 + 4.358
=
4. 47.29 – 6.359
=
5. 43.26  0.256

่



-29-


6. 222.557  0.417

1. ผลบวกของจำนวนเลขฐำน 2 สองจำนวนคือ 1100111 + 1010101 มีค่ำเท่ำกับจำนวนเลขฐำน 8 ใน
ข้อใด (ทบ.49)
1) 253
2) 262
3) 265
4) 270
5) 274

2. กำหนด 2433  4226  10023  x7 จงหำค่ำ x (ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 152
2. 243 3. 354 4. 406
5. 526

3. พิจำรณำจำนวนเลขฐำน 11110112  112213  13334 มีค่ำเท่ำใด (ทบ.50)
1) 117
2) 118
3) 119
4) 120

5) 121

่




-30-

4. กำหนดจำนวน 111n  111112 ดังนั้น ค่ำของ n2  1 มีค่ำเท่ำกับเลขฐำน 2 ในข้อใด (ทบ.50)
1) 10001
2) 10101
3) 10100
4) 11010
5) 100101

5. ในระบบเลขฐำน กำหนดให้ 220 x  130 x  110 y แล้วค่ำของ x 2  y 2 เท่ำกับข้อใด(ทอ.50)
1. y + 2
2. 0
3. 1
4. 2y
5. 2y + 1

6. ในระบบเลขฐำน ถ้ำ 10101010102  10011110002  n10 แล้ว n มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด (ทบ.51)
1) 46
2) 48
3) 50
4) 52
5) 54

7. นินจำมีเงิน 4728 บำท ถ้ำนำจำมีเงิน 40315 บำท ถ้ำเขำคนต้องกำรรวมเงินกันซื้อรถบังคับวิทยุ
รำคำ 80010 บำท จะมีเงินเหลืออยู่กี่บำท (ทบ.51)
1) 2810
2) 1125
3) 2223
4) 1324
5) 111112

3
8. ถังน้ำใบหนึ่งมีน้ำอยู่ 4 ถัง หลังจำกใช้น้ำไป 1000112 ลูกบำศก์เมตรเหลือน้ำอยู่

กี่ลูกบำศก์เมตร (ตร.51)
1. 35 ลูกบำศก์เมตร
3. 105ลูกบำศก์เมตร

่

1
2

ถัง ถังใบนี้จุน้ำ

2. 70 ลูกบำศก์เมตร
4. 140ลูกบำศก์เมตร



-31-

9. 23. เลข 5 ใน 54326 กับเลข 5 ใน 452318 มีค่ำต่ำงกันเท่ำไร (ทบ.52)
1) 480
2) 760
3) 1080
4) 1240
1480

่


5)



-32-


ระบบจานวนเต็ม
สมบัติการบวกและการคูณของจานวนเต็มบวก
จำนวนนับ เรียกอีกอย่ำงหนึ่งว่ำ จำนวนเต็มบวก
สมบัติต่างๆของจานวนเต็มบวก
1.สมบัติกำรสลับที่
การบวก
การคูณ
ให้ a และ b แทนจำนวนเต็มบวกใดๆ
ให้ a และ b แทนจำนวนเต็มบวกใดๆ
a+b=b+a
axb=bxa
2.สมบัติกำรเปลี่ยนกลุ่ม
การบวก
การคูณ
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ
(a + b) +c =a+(b + c)
(a x b) x c = a x (b x c)
3.สมบัติกำรแจกแจง
ให้ a, b และ c แทนจำนวนเต็มบวกใดๆ
a x (b+ c ) =( a + b )+ ( a x c)
(b + c) x a = (b x a ) +(c x a )
การบวกจานวนเต็ม
1.กำรบวกระหว่ำงจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ
ในกำรหำผลบวกระหว่ำงจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่ำสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบแต่ละ
จำนวนมำบวกกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ
2.กำรบวกระหว่ำงจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ
ในกำรหำผลบวกระหว่ำงจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่ำสัมบูรณ์ไม่เท่ำกัน ให้นำค่ำสัมบูรณ์
มำลบกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบ ตำมจำนวนที่มีค่ำสัมบูรณ์มำกกว่ำ
หลักเกณฑ์กำรบวกจำนวนเต็มมีดังนี้
1.กำรหำผลบวกระหว่ำงจำนวนเต็มบวก ให้นำค่ำสัมบูรณ์มำบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวก
2.กำรหำผลบวกระหว่ำงจำนวนเต็มลบ ให้นำค่ำสัมบูรณ์มำบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ
3.กำรหำผลบวกระหว่ำงจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่ำสัมบูรณ์ไม่เท่ำกัน ให้นำค่ำสัมบูรณ์มำ
ลบกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบ ตำมจำนวนที่มีค่ำสัมบูรณ์มำกกว่ำ
การลบจานวนเต็ม
ในการลบจานวนเต็มอาศัยการบวกตามข้อตกลงดังนี้
ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จานวนตรงข้ามของตัวลบ

่



-33-


การคูณจานวนเต็ม
1.กำรคูณจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ
จำนวนเต็มบวกคูณกับจำนวนเต็มลบ ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่ำสัมบูรณ์เท่ำกับผลคูณ
ของค่ำสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น
2.กำรคูณจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มลบคูณกับจำนวนเต็มบวก ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบ ที่มีค่ำสัมบูรณ์เท่ำกับผลคูณ
3. กำรคูณจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ
จำนวนเต็มลบคูณกับจำนวนเต็มลบ ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก ที่มีค่ำสัมบูรณ์เท่ำกับผลคูณ
การหารจานวนเต็ม
กำรหำรจำนวนเต็มให้นำค่ำสัมบูรณ์ของตัวตั้งและของตัวหำรมำหำรกัน
ถ้ำทั้งตัวตั้งและตัวหำรเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งคู่หรือจำนวนเต็มลบทั้งคู่จะได้คำตอบเป็นจำนวน
เต็มบวก
ถ้ำตัวตั้งหรือตัวหำรตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็มลบโดยที่อีกตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกจะได้
คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบ
สมบัติของหนึ่ง
1. จำนวนใดๆคูณกับหนึ่งจะได้จำนวนนั้น
2. จำนวนใดๆหำรด้วยหนึ่งจะได้จำนวนนั้น
สมบัติองศูนย์
1. จำนวนใดๆบวกกับ 0 จะได้จำนวนนั้น
2. จำนวนใดๆคูณกับ 0 จะได้ 0
3. 0 หำรด้วยจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ 0 จะได้
4. ถ้ำผลคูณของจำนวนใดๆ เท่ำกับ 0 จำนวนใดจำนวนหนึ่งอย่ำงน้อยหนึ่งจำนวนต้องเป็น 0
เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย
สำหรับเรำ ๆ ท่ำน ๆ อำจจะคิดว่ำกำรบวกจำนวนใด ๆ ด้วย 0 นั้นเป็นเรื่องง่ำย ๆ แต่ว่ำสำหรับ
นักคณิตศำสตร์แล้ว คงไม่มีอะไรเรียกว่ำเป็นเรื่องง่ำย ๆ พวกเขำใช้เวลำเป็นพัน ๆ ปีกว่ ำที่จะตกลงกันได้
ว่ำถ้ำเรำรวมจำนวนใด ๆ เข้ำกับศูนย์แล้วจะได้ผลลัพธ์จำนวนจำนวนนั้น เช่น 5 + 0 = 5
Kjartan Poskitt (คณิตศำสตร์โหด มัน ฮำ : + –   พิสดำรเลขคณิต)

่




-34-

เศษส่วนและทศนิยม
3.1 ค่าประจาหลักของทศนิยม
พิจำรณำกำรเขียน 0.746 ให้อยู่ในรูปกำรกระจำยต่อไปนี้
0.746 = 0.7 + 0.047 + 0.006
6
7 4
7
หรือ 0.746 = 10  100  1000
= 10  42  63
10 10
1
หรือ 0.746 = (7  10 )  4  12 )  (6  13 )
10
10
1
จำกรูปกระจำย 0.746 = (7  10 )  4  12 )  (6  13 ) แสดงถึงค่ำของเลขโดดที่อยู่
10
10
3.2 การเปรียบเทียบทศนิยม
พิจำรณำจำนวน 0.521 และ 0.524
521
เรำทรำบว่ำ
0.521 = 1000
524
และ 0.524 = 1000
เรำจะได้ว่ำ 0.524 > 0.521 ทั้งนี้เพรำะ
524 521
1000 > 1000
ในกำรเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ำกัน เศษส่วนที่มีตัวเศษมำกกว่ำจะมีค่ำมำกกว่ำ
หลักเกณฑ์กำรเปรียบเทียบทศนิยมโดยไม่ต้องเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วน โดยพิจารณาเฉพาะเลข
โดดในตาแหน่งเดียวกันคู่แรกที่ไม่เท่ากัน เช่น ต้องกำรเปรียบเทียบ 0.8295 กับ 0.8278
จะเห็นว่ำเลขโดดในตำแหน่งเดียวกันคู่แรกที่ไม่เท่ำกัน คือ 9 กับ 7
เลขโดดในตำแหน่งเดียวกันคู่แรกที่ไม่เท่ำกัน
0 . 8 2 9 5
0 . 8 2 7 8
เลขโดดในตำแหน่งเดียวกันคู่ที่สองที่ไม่เท่ำกัน
เปรียบเทียบเลขโดดในตำแหน่งเดียวกันคู่แรกที่ไม่เท่ำกัน ถ้ำเลขโดดในตำแหน่งนั้นตัวใดมีค่ำ
มำกกว่ำ ทศนิยมที่มีเลขโดดตัวนั้นจะมำกกว่ำทศนิยมอีกตำแหน่งหนึ่ง
นั่นคือ 0.8295 > 0.8278

่



-35-


การบวกและการลบทศนิยม
ในกำรบวกและกำรลบทศนิยม ใช้หลักกำรเดียวกับกำรบวกและกำรลบจำนวนนับ คือจัดเลขโดด
ที่อยู่ในหลักหรือตำแหน่งเดียวกันให้ตรงกัน แล้วบวกหรือลบกัน
การคูณและการหารทศนิยม
การคูณทศนิยม
จำนวนตำแหน่งทศนิยมของผลคูณเท่ำกับผลบวกของจำนวนตำแหน่งทศนิยมของตัวตั้งและตัว
คูณ
ในกำรคูณทศนิยมมีหลักดังนี้
1. คูณเช่นเดียวกับคูณจำนวนนับ
2. ถ้ำตัวตั้งเป็นทศนิยม a ตำแหน่ง ตัวคูณเป็นทศนิยม b ตำแหน่ง ผลคูณจะเป็นทศนิยมที่มี a
+ b ตำแหน่ง
การหารทศนิยม
1. เมื่อตัวหารเป็นจานวนนับ
เมื่อเปรียบเทียบวิธีกำรหำรจำนวนนับด้วยจำนวนนับ กับกำรหำรทศนิยมด้วยจำนวนนับ จะเห็น
ว่ำวิธีกำรเหมือนกัน
โดยทั่วไปกำรหำรทศนิ ย มด้ว ยจำนวนนับ นิยมเขียนจุดทศนิยมของตัว ตั้งและผลหำรเท่ำนั้น
ตำแหน่งของจุดทศนิยมของผลหำรจะอยู่ตรงกับตำแหน่งของจุดทศนิยมของตัวตั้งเสมอ ส่วนจุดทศนิยม
อื่น ๆ อำจไม่เขียนก็ได้
ในกรณีที่กำรหำรมีเศษ ให้เติมศูนย์ที่ตัวตั้ง แล้วหำรต่อไปจนเศษเป็นศูนย์ หรือจนได้ผลหำรที่มี
จำนวนตำแหน่งทศนิยมตำมควำมต้องกำร ดังตัวอย่ำงต่อไปนี้
2. เมื่อตัวหารเป็นทศนิยม
กำรหำรเมื่อตัวหำรเป็นทศนิยมนั้น กระทำได้เช่นเดียวกับกำรหำรทศนิยมด้วยจำนวนนับ โดยทำ
ตัวหำรให้เป็นจำนวนนับเสียก่อน
ตัวอย่ำง
จงหำผลหำร 0.299  1.3
.
วิธีทำ
0.299  1.3 = 01299
.3
.
= 01299  10
.3  10
2.99
= 13
= 2.99  13
สรุปได้ว่ำกำรหำรทศนิยมมีหลักดังนี้
1. ถ้ำตัวหำรเป็นจำนวนนับ ให้หำรเสมือนว่ำเป็นกำรหำรจำนวนนับด้วยจำนวนนับ แต่ใส่จุด
ทศนิยมที่ผลหำรให้ตรงกับตำแหน่งจุดทศนิยมของตัวตั้ง
่



-36-


2. ถ้ำตัวหำรเป็นทศนิยม ทำตัวหำรให้เป็นจำนวนนับ โดยนำ 10 หรือ 100 หรือ 1000 ฯลฯ มำ
คูณทั้งตัวตั้งและตัวหำร เมื่อได้ตัวหำรเป็นจำนวนนับแล้ว หำผลหำรตำมวิธีกำรในข้อ 1
การแทนเศษส่วนด้วยทศนิยม
เรำเขียนจำนวนที่อยู่ในรูปเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้โดยกำรหำรตัวเศษด้วยตัวส่วน เช่น

4 = 4  5 = 0.8
5
พิจำรณำ 2 เมื่อเขียนจำนวนในรูปทศนิยมโดยกำรหำรจะได้ว่ำเกิดกำรหำรไปเรื่อย ๆ โดยไม่
9
สิ้นสุด และมีตัวเลขซ้ำกัน เพรำะหำรเหลือเศษเท่ำกันทุกครั้ง ทศนิยมที่ได้ในข้อนี้เรียกว่ำทศนิยมซ้า
2 = 0.2222… ทศนิยมนี้ซ้ำด้วย 2 ทุกตัวไม่สิ้นสุด
9

เขียนสั้น ๆ ว่ำ 0.2 และอ่ำนว่ำ ศูนย์จุดสอง สองซ้ำ
เมื่อเขียนจำนวนที่อยู่ในรูปเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยม โดยนำตัวส่วนไปหำรตัวเศษและกำรหำร
นั้นสิ้นสุดลงเพรำะเศษที่เกิดจำกกำรหำรเป็นศูนย์ดังในข้อ 1 นั้น ถ้ำหำรต่อไปจะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ซ้ำกัน
โดยไม่สิ้นสุด ผลหำรที่ได้จึงเป็นทศนิยมซ้ำศูนย์
จึงกล่ำวได้ว่ำ เศษส่วนทุกจำนวนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำ
การเปรียบเทียบเศษส่วน
กำรเปรียบเทียบเศษส่วนที่เป็นบวกสองจำนวนว่ำเท่ำกัน ไม่เท่ำกัน มำกกว่ำ หรือน้อยกว่ำกัน
พิจำรณำได้ดังนี้
1.เมื่อตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองนั้นเท่ำกัน ให้พิจำรณำตัวเศษ คือถ้ำตัวเศษเท่ำกัน เศษส่วนทั้ง
สองนั้นเท่ำกัน แต่ถ้ำตัวเศษไม่เท่ำกัน เศษส่วนที่มีตัวเศษมำกกว่ำจะมำกกว่ำเศษส่วนที่มีตัวเศษ
น้อยกว่ำ
2.เมื่อตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองนั้นไม่เท่ำกัน ให้ทำเศษส่วนทั้งสองเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ำกัน
แล้วเปรียบเทียบตัวเศษโดยใช้หลักเกณฑ์ตำมข้อ 1
การบวกเศษส่วน
วิธีหำผลบวกของเศษส่วนที่เป็นบวกสองจำนวนใดๆ
ถ้ำตัวส่วนเท่ำกัน นำตัวเศษมำบวกกัน ถ้ำตัวส่วนไม่เท่ำกันทำตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองให้เท่ำกัน
โดยทั่วไปจะทำให้เท่ำกับ ค.ร.น.ของตัวส่วนแล้วนำตัวเศษมำบวกกัน
การลบเศษส่วน
วิธีหำผลบวกของเศษส่วนที่เป็นลบสองจำนวนใดๆใช้ข้อตกลงเดียวกันกับที่ใช้ในกำรหำผลลบของ
จำนวนเต็ม

่




-37-

การคูณเศษส่วน
เมื่อ a และ
b

และข้อตกลงต่อไปนี้

c
เป็นเศษส่วน
d
a c
a c
 
b d
b d

ผลคูณของ a และ
b

c
d

หำได้จำกหลักเกณฑ์กำรคูณจำนวนเต็ม

การหารเศษส่วน
เมือ
่

a
b
a c
a d
  
b d
b c

และ

c
d

แทนเศษส่วนใดๆผลหำรของ

a
b

และ

c
d

หำได้จำกข้อตกลงต่อไปนี้

5
1. จงหำค่ำของ 2 3  1 6  14  8  39  (ทร.49)
8
3
9
3
1) 4
2) 11
4
3)  1
8
9
4)  5
1
2. กำหนด 1  4  2  1 = x จงหำค่ำของ 3 (ทร.49)
2
5 8
x
1) 1.16
2) 2.16
3) 2.35
4) 2.78

11  3 1
3. กำหนดให้ x = 3 26 และ y = 2.45 + 2.25 – 0.65 ข้อใดถูกต้อง (ทร.49)
733

1) x : y = 1 : 3
2) x – y = 2.04
3) x + y = 5.55
4) xy = 5.4765
1
4. จงหำผลลัพธ์ของ  4 1  1 4   2 1  1 1 ว่ำตรงกับข้อใด (แนวตร.49)
2
2 2
1) - 6
2) 6
3) -4
4) 4
่



-38-


5. ในกำรสอบเข้ำเป็นนักเรียนเตรียมทหำร ด.ช สุธี เหลือเวลำเตรียมตัวสอบอีกแค่ 17 วัน เขำได้บันทึก
1
กำรอ่ำนหนังสือของตนเองไว้ดังนี้ ใน 5 วันแรกเขำอ่ำนได้ 4 ของจำนวนหน้ำทั้งหมด 7 วัน วันต่อมำ
5
เขำอ่ำน 3 ของจำนวนหน้ำที่อ่ำนได้ใน 5 วันแรก ซึ่งเมื่อนับจำนวนหน้ำดูแล้วปรำกฏว่ำมำกกว่ำที่
อ่ำนได้ใน 5 วันแรกอยู่ 150 หน้ำ ถำมว่ำในวันที่เหลือ ถ้ำ ด.ช.สุธี จะอ่ำนหนังสือในจำนวนหน้ำที่
เท่ำๆกันทุกวันต้องอ่ำนวันละกี่หน้ำ (ทอ.49)
1) 65
2) 60
3) 70
4) 75
5) 80
6. ครอบครัวสุขนิรันดร์มีรำยได้ต่อเดือน 85,000 บำท เสียค่ำใช้จ่ำย 2 ของรำยได้ต่อเดือน ฝำกธนำคำร
5
1 ของรำยได้ที่เหลือเงินเหลือจำกนั้นจะแบ่งให้ลูกๆ 3 คน คนละเท่ำๆ กัน ดังนั้นในแต่
เป็นเงินออม 4
ละเดือนลูกแต่ละคนจะได้รับเงินคนละเท่ำไร (ตร.50)
1) 8,500 บำท
2) 9,750 บำท
3) 12,750 บำท
4) 21,250 บำท
7. ข้อใดถูกต้อง(ตร.50)
1)   4    1  10   1   83 1
2
8
2
2)  0.32  ( 0.64)  ( 6)  ( 0.003)  640
3) ( -0.42 ) + ( 1.3 ) = 42 ÷ ( -13 )
4)  3 1   4 2    3   4  1  2 
2
3
2 3
1
1
8. กำหนด 1 
เท่ำกับเท่ำใด (ทบ.50)
 45 ดังนั้น ค่ำของ 1 
1
31
a 1 1
a
b2
b 11
1
1)
2)
3)
4)
5)

1
12

2

1
4
5
12
15
31
16
31

่




-39-

9. ไม้ยำวท่อนหนึ่งปักในแนวตรงอยู่ในสระน้ำ โดยส่วนที่ปักอยู่ในโคลนก้นสระใต้น้ำคิดเป็น

1
12

ของ

ควำมยำวทั้งท่อน และมีส่วนของท่อนไม้ที่โผล่พ้นผิวน้ำเท่ำกับ 3 ของควำมยำวที่เหลือ โดยที่สระน้ำนี้
7

10.

11.

12.

13.

14.

มีผู้วัดแล้วว่ำควำมลึกของสระจำกผิวน้ำถึงโคลนก้นสระมีระยะ 1.21 เมตร จงหำควำมยำวของไม้ท่อน
นี้ (ทร.50)
1) 2.31 เมตร
2) 2.36 เมตร
3) 2.54 เมตร
4) 3.08 เมตร
1
3
41  3  3 4  2 4  1 โดยประมำณเท่ำกับเท่ำใด (ทร.51)
2 5
2
1) 0.52
2) 0.643
3) 0.73
4) 0.82
กำหนดให้ 3 2  1.260, 3 3  1.442, 3 5  1.710 จงหำค่ำประมำณของ 3 3750 (ตร.51)
1) 15.00
2) 15.08
3) 15.11
4) 15.53


จำนวน 1.34  0.482 มีค่ำเท่ำใด (ทร.50)

1) 0.478

2) 0.852

3) 0.858

4) 0.860
ข้อใดต่อไปนี้เรียงลำดับจำกน้อยไปมำก (ทร.51)
3
1)  3 , 2 , 4 , 7
5 3
5
7 , 3 , 2 , 2
2)  5 4 3 5
3
3)  3 , 4 , 2 , 7
5
3 5
7 , 3 , 3 , 2
4)  5 4 5 3
5
รถคันหนึ่งมีน้ำมันอยู่ในถัง 6 ของถัง ถ้ำขับไปเรื่อย ๆ จนน้ำมันถูกใช้ไป 2 ของน้ำมันที่มีอยู่ แล้ววัด
3
น้ำมันเหลืออยู่ 15 ลิตร ถังน้ำมันของรถคันนี้มีปริมำตรควำมจุกี่ลิตร(ทบ.51)
1) 34

่



2)
3)
4)
5)


36
42
48
54

1)
2)
3)
4)

15.

-40-

4
5
16
37
3
7
11
23

 3 1   2 2  ตรงกับข้อใด (ทร.52)
5
5
ค่ำของ
5  18   3 1  11 
 5 9 25 7 14

1
3
1
10 2  12 4  15 4
16. ค่ำของ
ตรงกับข้อใด (ทบ.52)
5 1
28 32
1) 2 2
3
2) 4 3
5
2
3) 6 3
4) 8 2
5
5) 10 2
3

่




-41-

เลขยกกาลัง
ความหมายของเลขยกกาลัง
บทนิยาม

ถ้ำ a เป็นจำนวนใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
“a ยกกำลัง n” หรือ “a กำลัง n” เขียนแทนด้วย an มีควำมหมำยดังนี้
an  a  a  a
a  ...
n ตัว

n

เรียก a ว่ำ เลขยกกำลังที่มี a เป็นฐำน และ n เป็นเลขชี้กำลัง
ในกรณีที่เลขยกกำลังมีเลขชี้กำลังเป็น 1 เช่น a1 จะหมำยถึง a

สมบัตของเลขยกกาลังเกี่ยวกับการคูณและการหาร
ิ
กำรคูณเลขยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ และ m, n เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่ำ a m  a n  a m  n
พิสูจน์

am  an

= a  a  ...  a  a  ...
a   a a   a


m ตัว

= a  a  ...
a   a


n ตัว

.......... ..... ตัว
mn

= a
สัญลักษณ์ อำจเขียน am  an หรือ aman หรือ (am )(an ) แทน am  an
สำหรับกำรหำรเลขยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
ตัวอย่างที่ 1
วิธีทา



จงหำผลคูณของ 54  56
54  56 = 54 + 6
= 510

ตอบ

จงหำผลคูณของ a4  a6  a
a4  a6  a = a4 + 6 + 1
= a11
ทฤษฎีบทที่ 2 กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ โดยที่ a  0 และ m, n เป็นจำนวนเต็ม
วิธีทา

ตอบ

a m mn
จะได้ว่ำ n  a
a

่



am
an

พิสูจน์


-42-

= a  a  ...  a  a  ...
a   a a   a


m ตัว

= a  a  ...
a   a


เมื่อ m > n

n ตัว

= amn



m  nตตั


ถ้ำ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้ว a0 = 1

a m mn
เพื่อให้สมบัติ n  a
ใช้ได้เมื่อ m < n จึงให้บทนิยำมของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น
a
จำนวนเต็มลบดังนี้
1
ถ้ำ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว a  n  n
a
วิธีทา
วิธีทา

วิธีทา

จงหำผลหำรของ x7  x4
x7  x4 = x7 – 4
= x3

ตอบ

x4  x4 =
=
=

ตอบ

x3  x8 =
=
=

ตอบ

สมบัตอื่นๆ ของเลขยกกาลัง
ิ
เลขยกกำลังที่มีฐำนเป็นเลขยกกำลัง

(am )n  amn
เมื่อ a  0 และ m และ n เป็นจำนวนเต็ม
เลขยกกำลังที่มีฐำนอยู่ในรูปกำรคูณหรือกำรหำรของจำนวนหลำย ๆ จำนวน
(ab)n  anbn
เมื่อ a  0, b  0 และ n เป็นจำนวนเต็ม
n
n
a  a
 
 b  bn
่



-43-


เมื่อ a  0, b  0 และ n เป็นจำนวนเต็ม

การหาผลลัพธ์จากการคูณเลขยกกาลัง
กำรคูณเลขยกกำลังทำได้โดยอำศัยสมบัติต่อไปนี้
1. a m  a n  a m  n
2. ( a m ) n  a mn
3. ( ab ) n  a n b n
วิธีทา

วิธีทา

วิธีทา

  
   





23 22
จงหำผลคูณของ  3  3
2
2
2 2 2
23 22
3  3 = 3  3  3  3  3
2
22 22
= 3  3  3
2 22 22
= 3  3  3
2 2 22
= 3  3
2 24
= 3  3
2 24
= 33
2 1 4
= 3
25
= 3

ตอบ

จงหำผลคูณของ 5  52  125
5  52  125 =
=
=

ตอบ

จงหำผลคูณของ x3  x-5 
x3  x-5 

1
x2

  
  
 






1
x2

=
=
=

่



-44-

=
วิธีทา

จงหำผลคูณของ 53x – 1  5x + 4
53x – 1  5x + 4 = 53x – 1 + x + 4
=
=


ตอบ

ตอบ

ตัวอย่างที่ 10 จงหำผลคูณของ 25x + 1  4x – 2
วิธีทา
25x + 1  4x – 2 = 25x + 1  (22)x – 2
= 25x + 1  22x – 4
=
=
=

ตอบ

ตัวอย่างที่ 11 จงหำผลคูณของ 25x + 1  4x – 2
วิธีทา
25x + 1  4x – 2 = 25x + 1  (22)x – 2
= 25x + 1  22x – 4
=
=
=

ตอบ

การหาผลลัพธ์จากการหารเลขยกกาลัง
กำรหำรเลขยกกำลังทำได้โดยอำศัยสมบัติต่อไปนี้
1. a m  a n  a mn
n
n
a  a
2.  
 b  bn
3. a0 = 1
1
4. a-m = m
a
ตัวอย่างที่ 12 จงหำผลหำรของ 25  4
วิธีทา
25  4 = 25  22
=
=

ตอบ

ตัวอย่างที่ 13 จงหำผลหำรของ 1.17  1.21
่




-45-

1.17  1.21 =
=
=

วิธีทา

ตอบ



1 10 1
ตัวอย่างที่ 14 จงหำผลหำรของ 4  8
10
10
 1 1 =  1  1
วิธีทา
 
 2
8
4 
2 
23
10
3
 1  2 
1 
=      
2 
 2  
=
=
=
=

ตอบ

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์
กำรเขียนแทนจำนวนที่มีค่ำมำกๆ หรือน้อยๆ เช่น ระยะทำงระหว่ำงโลกกับดวงอำทิตย์ประมำณ
150,000,000 กิโลเมตร นั้น บำงครั้งเรำจะเขียนในรูป สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ (Scientific Notation) ซึ่ง
เขียนได้เป็น 1.5  108 กิโลเมตร
เช่น

สัญกรณ์วิทยำศำสตร์ คือ กำรเขียนจำนวนใดๆ ในรูป A  10n
โดยที่ 1  n < 10 และ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ
50,000
1,720,000
0.7
0.00064

=
=
=
=

5  104
1.72  106
7  10-1
6.4  10-4

บันทึกเพิ่มเติม: Trick สังเกตว่ำเรำมีวิธีกำรทำอย่ำงรวดเร็วได้อย่ำงไรครับ???

่




-46-


จงเขียนสัญกรณ์วิทยำศำสตร์ของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้
1) 735  102
= (7.35  102)  102
= 7.35  102 + 2
= 7.35  104
2) 1,365  10-7
=
=
=

การดาเนินการของจานวนที่อยู่ในรูปสัญกรณ์วทยาศาสตร์
ิ
กำรหำผลบวกและผลลบของสั ญ กรณ์ วิ ท ยำศำสตร์ ส ำมำรถท ำได้ เ มื่ อ 10n ของสั ญ กรณ์
วิทยำศำสตร์แต่ละจำนวนมีค่ำเท่ำกัน
ดังนั้น เมื่อพบโจทย์หรือปัญหำเกี่ยวกับกำรบวกและกำรลบสัญกรณ์วิทยำศำสตร์ เรำต้องปรับ
n
10 ของแต่ละสั ญกรณ์ให้เท่ำกันก่อน แล้วจึงนำค่ำ A ของแต่ล ะสัญกรณ์มำบวกหรือลบกันโดยอำศัย
สมบัติกำรแจกแจง
ตัวอย่างที่ 2 จงหำผลบวกและผลลบของ 1.64  103 และ 2.32  102
จำกโจทย์
1.64  103 = 16.4  102
ดังนั้น (1.64  103) + (2.32  102) = (16.4  102) + (2.32  102)
= (16.4 + 2.32)  102
=
=

=
ตอบ
และ
(1.64  103) - (2.32  102) = (16.4  102) - (2.32  102)
= (16.4 - 2.32)  102
=
=

=
ตอบ
2
3
จำกโจทย์
2.32  10 = 0.232  10
ดังนั้น (1.64  103) + (2.32  102) =
=
=
=

=
ตอบ
่



และ




-47-

(1.64  103) - (2.32  102) =
=
=
=
=

ตอบ

ส่วนกำรคูณและกำรหำรจำนวนที่อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยำศำสตร์ทำได้โ ดยนำค่ำ A ของแต่ล ะ
จำนวนมำคูณหรือหำรกัน และนำ 10n ของแต่ละจำนวนมำคูณหรือหำรกัน โดยนำสมบัติของเลขยกกำลัง
ที่เกี่ยวข้องมำใช้
ตัวอย่างที่ 4 จงหำผลคูณและผลหำรของ 6.25  105 และ 2.75  102
วิธีทา
6.25  105  2.75  102 = 6.25  2.75  105  102
= 17.1875  105 + 2
= 1.71875  101  107
=

=
ตอบ
และ

วิธีทา

6.25105
2.75102

6.25 105
= 2.75  2
10

= 0.44 105 2
= 4.4 
=

=
จงหำผลคูณและผลหำรของ 2.982  103 และ 3.55  10-2

ตอบ



=

ตอบ



=

ตอบ

วิธีทา

่



-48-


1. จงหำผลลัพธ์ของ  0.2 6   0.4  7    0.02 3 (ตร.50)


1



1
5

1) ( 20 ) 5
1
2) 20 5
1
3) 20 5
4) ( 20 )

2. ถ้ำจังหวัดหนึ่งมีพื้นที่ประมำณ 4.238 × 10 ตำรำงเมตร มีประชำกรอยู่ 5.78 × 10 คน แล้วควำม
หนำแน่นของประชำกรของจังหวัดนี้ต่อพื้นที่ 1 ตำรำงกิโลเมตรเป็นเท่ำใด (ตร.48)
1) ประมำณ 78 คน
4) ประมำณ 7,332 คน
3. ผลคูณของจำนวน2จำนวนเป็น 1701 a 3b 2 c และ ค.ร.น.ของจำนวนทั้งสองเป็น 567 a 2 bc ค่ำของ
ห.ร.ม.ของจำนวนทั้งสองเป็นเท่ำใด (แนวตร.49)
1) 9a 3b 2
2) 3ab
3) 3a 2bc
4) 1134 a 3b 2 c
4. ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง (ทร.49)
1) a 2b 2 c 2  d 2 เมื่อ d = abc
2) a 2  b 2 3  a 6  b 6
3) a b  c a
c

4)

a



1
c

b



1
ac

เมื่อ a ≠ 0

่


รวมข้อสอบคณิตศาสตร์เตรียมทหาร ม.3

รวมข้อสอบคณิตศาสตร์เตรียมทหาร ม.3

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to รวมข้อสอบคณิตศาสตร์เตรียมทหาร ม.3

Similar to รวมข้อสอบคณิตศาสตร์เตรียมทหาร ม.3 (20)

More from คุณครูพี่อั๋น

More from คุณครูพี่อั๋น (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

รวมข้อสอบคณิตศาสตร์เตรียมทหาร ม.3