Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. • Το άθροισμα Κ + υ = Ε ονομάζεται ολική μηχανική ενέργεια.
• Το έργο που παράγεται από ένατεταμένο ή συμπιεσμένο ελατήριο, το οποίο ασκεί
μία δύναμη Fx = -kx σε ένα σωμάτιο, όπουχ είναι το μέγεθος της έκτασης ή της συ­
μπίεσης, μπορεί να παρασταθεί συναρτήσει μιας συνάρτησης δυναμικής ενέργειας
υ = �kx2:
(7-10)
Αν στο σώμα ασκούνται και άλλες δυνάμεις τότε το έργοτων άλλων δυνάμεων ισού­
ται με την ολική μεταβολή στο άθροισμα της κινητικής ενέργειας και της ελαστικής
δυναμικής ενέργειας:
(7-13)
• Ή εξίσωση (7-13) ισχύει και όταν συνυπάρχουν ελαστικές και βαρυτικές δυνάμεις.
Σε αυτές τις περιπτώσεις το υ είναι η ολική δυναμική ενέργεια, βαρυτική και ελαστι­
κή. Όταν δεν υπάρχουν άλλες δυνάμεις που παράγουν έργο στο σώμα, εκτός από τις
ελαστικές και τις βαρυτικές δυνάμεις, τότε ff'ιοι = Οκαι η ολική ενέργεια Ε = Κ + υ
διατηρείται ή είναι σταθερή:
(7-11)
όπου το υ συμπεριλαμβάνει εν γένει και τη βαρυτική και την ελαστική δυναμική ενέρ­
γεια.
• Μια διατηρητηκή δύναμη είναι μια δύναμη για την οποία η σχέση έργου-ενέργειας
εCναι πλήρως aντιστρεπτή. Το έργο μιας διατηρητικής δύναμης μπορεί πάντα να πα­
ρασταθεί συναρτήσει μιας δυναμικής ενέργειας, ενώ για το έργο μιας μη διατηρητι­
κής δύναμης δεν υπάρχει αυτή η δυνατότητα.
• Για κίνηση κατά μ1Ίκος μιας ευθείας γραμμής, μια διατηρητική δύναμη Fx και η συ­
σχε:rισμένη με αυτήν δυναμική ενέργεια V(x) συνδέονται μέσω της εξίσωσης:
dυ
Fx(x) = - dX. (7-15)
• Σε τρεις διαστάσεις, όπου το Vείναι συνάρτηση των χ, y και z, οι συνιστώσες της
δύναμηςείναι
aυ
Fx = - ax,
ή, σε διανυσματική μορφή,
au
F, = -τz ·
F = _
(aυ ; + aυj + aυ k) =
_
v u.
ax ay az
(7-16)
(7-17)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 191
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ _______________________
Εδάφιο 7-2
Βαρυτική δυναμική ενέργεια
7-1 Πόση είναι η δυναμική ενέργεια ενός ανελκυστήρα μάζας
600 kg στο ψηλότερο σημείο του Empire State Building*, 380 m
πάνω από το επίπεδο του οδοστρώματος; Υποθέστε ότι η δυναμι­
κή ενέργεια είναι μηδέν στο επίπεδο του οδοστρώματος.
7-2 Ένας σάκκος με αλεύρι μάζας 4,00 kg ανυψώνεται κάθε­
τα με σταθερή ταχύτητα 4,00m/s καλύπτοντας καθ' ύψος απόσταση
12,0 m. a) Πόση δύναμη απαιτείται για την ανύψωση; b) Πόσο έργο
παράγεται επίτου σάκκου από την ανυψώνουσα δύναμη; Σε ποιό
μέγεθος απολήγει εν τέλει το έργοαυτό;
7-3 Μια μπάλα του μπέιζμπολ ρίχνεται από τη στέγη ενός κτι­
ρίου ύψους 27,5 m με αρχική ταχύτητα μέτρου 18,5 m/s και με κα­
τεύθυνση που σχηματίζει γωνία 37,0' πάνω από την οριζόντια κα­
τεύθυνση. a) Πόση είναι η ταχύτητα της μπάλας ακριβώς πριν από
την πρόσκρουσή της στο έδαφος; Χρησιμοποιήστε την ενεργειακή
μέθοδο. b) Ποια είναι η απάντηση στο (a), αν η αρχική ταχύτητα
σχηματίζειγωνία 37,0' κάτω από την οριζόντια κατεύθυνση;
' Πρόκειται για έναν ονομαστό ουρανοξύστη στην πόλη της Νέας Υόρκης
(έτος κατασκευής 1930), το ψηλότερο κτίριο του κόσμου ώς το 1973 (ΣτΜ).
ΣΧΗΜΑ 7-23

2. 192 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΔΙΑΤΉΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
7-4 Ένας ταχυδρομικός σάκκος μάζας 120 kg αναρτάται στο
άκρο ενός κάθετου σχοινιού μήκους 8,0 m. a) Πόση οριζόντια δύνα­
μη απαιτείται για να συγκρατήσειτο σάκκο μετατοπισμένο πλαγίως
κατά 4,0 m από την αρχική του θέση (Σχ. 7-23); b) Πόσο έργο πα­
ράγεται από τον μεταφορέα κατά την μετακίνηση του σάκκου ώς
την τελική του θέση;
1,8m/s
Β
ΣΧΗΜΑ 7-24
7-5 Ένας μικρός λίθος μάζας 0,10 kg αφήνεται απότην ηρε­
μία στο σημείοΑ, το οποίο βρίσκεται στο ψηλότερο σημείο του ε­
σωτερικού χείλους μιας ημισφαιρικής λεκάνης ακτίνας R = 0,50 m
(Σχ. 7-24). Όταν ο λίθος φθάσει στο σημείο Β, στον πυθμένα της
λεκάνης, μετρείται η ταχύτητά του, που βρίσκεται ίση προς 1,8 m/s.
Υπολογίστε το έργο που παράγεται απότην τριβή επίτουλίθουκα­
τάτην μετακίνησή του από το σημείοΑ στο σημείο Β. (Σημείωση: Η
δύναμη τριβής δεν είναι σταθερή. Μπορείτε εύκολα να βρείτε το
έργο της τριβής όχι όμως και τη δύναμη της τριβής).
7-6 Ένας μικρός λίθος μάζας m προσδένεται στο άκρο ενός
άμαζου σώματος μήκους 0,60 m ώστε να σχηματιστεί ένα εκκρεμές.
Το εκκρεμές ταλαντώνεται, σχηματίζοντας μέγιστη γωνία 60• από
την κατακόρυφο. Πόση είναιη ταχύτητατου λίθου όταν το τεντωμέ­
νο νήμα διέρχεται απότηνκατακόρυφο;
7-7 Ένας φούρνος μικροκυμάτων μάζας 12,0 kg ωθείται προς
τα πάνω κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου μεταφόρτωσης που
βρίσκεται υπό κλίση 3Τ πάνω από το οριζόντιο επίπεδο. Η (σταθε­
ρή) ωστική δύναμη F έχει μέτρο 120 Ν και ασκείται σε κατεύθυνση
παράλληλη προς το κεκλιμένο επίπεδο. Ο συντελεστής κινητικής
τριβής μεταξύτου φούρνου καιτου κεκλιμένου επιπέδου είναι 0,25.
a) Πόσοέργοπαράγεταιαπότη δύναμη F επίτου φούρνου; b) Πό­
σο έργο παράγεται από τη δύναμη τριβής; c) Υπολογίστε την ε­
παύξηση της δυναμικής ενέργειας του φούρνου κατάτην κίνησή
του. d) Χρησιμοποιήστε τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα (a), (b)
και (c) για να υπολογίσετετην αύξηση της κινητικής ενέργειας του
φούρνου. e) Χρησιμοποιήστε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ΣF =
ma για να υπολογίσετε την ταχύτητά του όταν ο φούρνος καλύψει
16,0 m μετακίνησης. Απότο στοιχείο αυτό λογαριάστε την αύξηση
που επιτεύχθηκε στην κινητική ενέργεια του φούρνου, και συγκρί­
νετε με την απάντηση που δώσατε στο ερώτημα (d).
Εδάφιο 7-3
Ελαστική δυναμική ενέργεια
7-8 Ένα ελατήριο έχει σταθερά k = 300 N/m. Βρείτε το μήκος
της έκτασης του ελατηρίου που αντιστοιχεί σε απόθεμα δυναμικής
ενέργειας 80,0 J στο ελατήριο.
7-9 Μια δύναμη 1400 Ν εκτείνει ένα συγκεκριμένο ελατήριοκα­
τά 0,100 m. a) Πόση είναι η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, ό­
ταν αυτό έχει εκταθείκατά 0,100 m; b) Πόση είναι η δυναμική του
ενέργεια, όταντο ελατήριο έχει συμπιεστεί κατά 0,050 m;
7-10 Μια δύναμη 820Ν εκτείνει ένα συγκεκριμένο ελατήριο κα­
τάαπόσταση 0,150 m. Πόση είναιη δυναμική του ενέργεια όταν μια
μάζα 60,0 kg αναρτηθεί κατακόρυφα από το ελατήριο;
7-1 1 Ένα βιβλίο μάζας 120 kg ρίπτεται από ύψος 0,40 m πάνω
σε ένα ελατήριο σταθεράς k = 1960 N/m. Ναβρείτε το μέγιστο μή­
κος κατάτο οποίο θα συμπιεστείτο ελατήριο.
7-12 Μια σφεντόνα εκσφενδονίζει ένα βότσαλο μάζας 10 g κα­
τακόρυφα προς τα πάνω σε ύψος 35,0 m. a) Πόση δυναμική ενέρ­
γεια έχει εγκλεισθεί στο λάστιχο της σφεντόνας; b) Αν θεωρήσου­
με ότι η ίδια ποσότητα δυναμικής ενέργειας έχει διατηρηθεί στο
λάστιχο, σε πόσο ύψος μπορεί η σφεντόνα να εκσφενδονίσει ένα
βότσαλο μάζας 20 g;
7-13 Ένατούβλο μάζας0,600 kgτοποθετείται πάνω σε κατακό­
ρυφο ελατήριο σταθεράς k = 500 N/m, το οποίο ταυτόχρονα συ­
μπιέζεται συνολικάκατά 0,20 m. Βρείτε το μέγιστο ύψος από την
αρχική του αυτή θέση, στο οποίο φθάνει το τούβλο αν αφεθεί ελεύ­
θερο. (Δεν υπάρχει κανενός είδους πρόσφυση (π.χ. κόλληση) μετα­
ξύ τούβλου και ελατηρίου. Το ελατήριο έχει αμελητέα μάζα).
Εδάφιο 7-5
Δύναμη και δυναμική ενέργεια
* 7-14 Μια δύναμη έχει κατεύθυνση παράλληλη προς τον άξονα
χ και ασκείται σε σωμάτιο που κινείται κατά μήκος αυτού του άξο­
να. Η δύναμη αυτή παράγει δυναμική ενέργεια U(x) της μορφής
U(x) = αχ3, όπου α = 2,5 J/m3.Βρείτε τη δύναμη (το μέτρο και τη
διεύθυνσή της) όταν το σωμάτιο βρίσκεται στη θέσηχ = 1,20 m.
*7-15 Η δυναμική ενέργεια ενός ζεύγους ατόμων υδρογόνου σε
μεγάλη απόσταση μεταξύτουςδίνεται απότη σχέση U(x) = -C6/x6,
όπου C6 είναι μια θετική σταθερά. Βρείτε τη δύναμη που ασκείτο
ένα άτομο στο άλλο. Η δύναμη αυτή είναι ελκτική ή απωστική;
* 7-16 Ένα αντικείμενο πουκινείταιστο επίπεδο.χy υφίσταται μια
διατηρητικήδύναμη που περιγράφεται από τη συνάρτηση δυναμικής
ενέργειας U(x,y) = α(1/χ + l,ly). Να βρείτε μια έκφραση για τη δύ­
ναμη διατυπωμένη συναρτήσειτων μοναδιαίων διανυσμάτωνi καιj.
*7-17 Ένα αντικείμενο που κινείται στο επίπεδοxy υφίσταται
μια διατηρητική δύναμη που περιγράφεται από τη συνάρτηση δυ­
ναμικής ενέργειας U(x, y) = k(x' + y') + k'xy. Να βρείτε μια έκ­
φραση για τη δύναμη διατυπωμένη συναρτήσει των μοναδιαίων
διανυσμάτων i και j.
*7-18 Ένας βώλος κινείται κατά μήκοςτου άξοναχ σε συνάρτηση
δυναμικής ενέργειας που παρουσιάζεται στο Σχ. 7-25. (τα κρίσιμα
σημεία-{J'Ι)ντεταγμένεςτου άξοναχ έχουν χαρακτηριστεί με γράμμα­
τα στο Σχ. 7-25). a) Σε ποιά από τα σημεία α, b, c, dη δύναμη που
υφίσταται ο βώλος είναι μηδέν; b) Ποιο σημείο είναι θέση ευστα­
θούς ισορροπίας; c) Ποιο σημείο είναι θέση aσταθούς ισορροπίας;
U(x)
ΣΧΗΜΑ 7-25
Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α _____________________
7-19 Ένας άνδρας μάζας 65,0 kg κάθεται σε επίπεδη βάση που
αναρτάται απόκινητήτροχαλία, όπως φαίνεται στο Σχ. 7-26, και a­
νυψώνει τον εαυτό του με σταθερή ταχύτητα με τη βοήθεια ενός
σχοινιού που διέρχεται από άλλη στερεωμένη τροχαλία. Η βάση
και οι τροχαλίες έχουν αμελητέα μάζα. Υποθέστε ότι δεν υπάρχουν
απώλειες λόγω τριβών. a) Βρείτε τη δύναμη που πρέπει να εξασκεί
ο άνδρας. b) Βρείτε την αύξηση της ενέργειάςτου,καθώς αυτός a­
νυψώνει τον εαυτότουκατά 1,50 m. (Απαντήστε υπολογίζοντας αρ-

3. ΣΧΗΜΑ 7-26
χικάτην αύξηση της δυναμικήςτου ενέργειας, καθώς και λογαριά­
ζονταςτογινόμενο της δύναμης στο σχοινί επίτο μήκοςτου σχοινι­
ούπου διέρχεται μέσα από τα χέρια του).
7-20 Ένασώμα μάζας 2,00 kg ωθείται συμπιέζοντας ένα ελατή­
ριο σταθεράς k = 400 N/m κατά 0,220 m. Όταντο σώμα αφήνεται
ελεύθερο, κινείται κατά μήκος μιας οριζόντιας επιφάνειας χωρίς
τριβή και στη συνέχεια ανέρχεται κατά μήκος μιας επικλινούς επι­
φάνειας με κλίση 37,0" (Σχ. 7-27). Υποθέστε ότι οι επιφάνειες δεν
εξασκούντριβή στο κινούμενο σώμα. a) Πόση είναι η ταχύτητα του
σώματος καθώς ολισθαίνει κατά μήκος της οριζόντιας επιφάνειας
αφού χάσειτην επαφήτου με το ελατήριο; b) Πόση απόσταση κα­
λύπτει ανερχόμενο το σώμα στην επικλινή επιφάνεια, πριν αρχίσει
να ολισθαίνει και πάλι προς τα κάτω;
m = 2,00kg
37,0"
f-E--0,220m--1
ΣΧΗΜΑ 7-27
7-21 Ένα σώμα μάζας 0,50 kg ωθείται συμπιέζοντας έναοριζό­
ντιο ελατήριο αμελητέας μάζας κατά μία απόσταση 0,20 m (Σχ.
7-28). Όταν αφεθεί ελεύθερο το σώμα, κινείται κατά μήκος της ο­
ριζόντιας επιφάνειας ενός τραπεζιού καλύπτοντας απόσταση 1,00
m πριν ακινητοποιηθεί. Η σταθερά ελατηρίου k είναι 100 N/m. Πό­
σος είναι ο συντελεστής κινητικής τριβής μk μεταξύ του σώματος
καιτου τραπεζιού;
7-22 Εκτέλεση κάθετης ανακύκλωσης (Loop-the­
loop, Ιοοpίηg-λούπινγκ) σε λούνα παρκ Ένα αμαξάκι
σε λούνα-παρκ κυλάει χωρίς τριβές κατά μήκος της ανακυκλούμε-
k = 100N/m m = 0,50kg
ΣΧΗΜΑ 7-28
�0,20m I
Γ--- 1,00m--------1
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 193
νης τροχιάς που φαίνεταιστοΣχ. 7-29. Ξεκινά, ενώ ηρεμεί αρχικά,
από το σημείοΑ, σε ύψος h πάνω από το κατώτατο σημείο της τρο­
χιάς. a) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του h (συναρτήσει του R), ώστε
το αμαξάκι να ολοκληρώσει την ανακύκλωση χωρίς να διακινδυ­
νεύσει πτώση στοψηλότερο σημείο της τροχιάς (σημείο Β); b) Ανh
= 3,50 χ R και R = 30,0 m, υπολογίστε την ταχύτητα, την ακτινική
επιτάχυνση και την εφαπτομενική επιτάχυνση των επιβατών όταν
το αμαξάκι βρίσκεται στο σημείο C, που αντιστοιχείστο άκρο μιας
οριζόντιας διαμέτρου. Δείξτε τις επιταχύνσεις αυτές σε ένα διά­
γραμμα, κατά προσέγγιση υπόκλίμακα.
ΣΧΗΜΑ 7-29
7-23 Το σύστημα του Σχ. 7-30αφήνεται απότην ηρεμία, ενώ το
σώμα μάζας 12,0 kg βρίσκεται σε ύψος 2,00 m πάνω από το δάπε­
δο. Χρησιμοποιήστε την αρχή διατήρησης της ενέργειας για να
βρείτε τηνταχύτητα με τηνοποίατο σώμα προσκρούειστο έδαφος.
Αγν01jστε τις τριβές καθώς καιτην αδράνεια της τροχαλίας.
ΣΧΗΜΑ 7-30
7-24 a) Μια χιονοδρόμος (σκιέρ) μάζας 80,0 kg ξεκινά από την
ηρεμία στην κορυφή μιας επικλινούς παγοδρομικής πίστας ύψους
75,0 m. Υποθέτοντας αμελητέες τριβές μεταξύ των χιονοπεδίλων
(σκι) και του χιονιού, βρείτε την ταχύτητα με την οποία κινείται η
χιονοδρόμος στη βάση της πίστας. b) Στη συνέχεια η χιονοδρόμος,
κινούμενη στο οριζόντιο επίπεδο, διασχίζει μια χιονοσκεπή περιο­
χή με ανώμαλη επιφάνεια όπου ομk = 0,20. Αν η περιοχή έχει εύ­
ρος 225 m, πόση είναι η ταχύτητά της όταν έχει πλέον διαπεράσει
την περιοχή αυτή; c) Η χιονοδρόμος προσκούει σε ακίνητη χιονο­
στιβάδα, στην οποία η σκιέρ εισχωρείκατά 2,5 m πριν ακινητοποιη­
θεί. Πόση είναι η μέση δύναμη που ασκείται στη χιονοδρόμο από τη
χιονοστιβάδα καθώς η χιονοστιβάδα ανακόπτει την ταχύτητάτης;
7-25 Μια χιονοδρόμος (σκιέρ) εκκινεί από την κορυφή μιας
πολύ μεγάλης aτριβούς χιονόσφαιρας με πολύ μικρή αρχική ταχύ­
τητα και χιονοδρομεί ευθύδρομα προς τα κάτω ακολουθώντας τη
συντομότερη διαδρομή (Σχ. 7-31). Σε ποιο σημείο της τροχιάς της
χάνει την επαφή της με τη χιονόσφαιρα και συνεχίζει την κίνησή

4. ΣΧΗΜΑ 7-31
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I /
I '
I /
I /I /
: /
! ///: θ /
:� //I '
I '
' /
I /
I /
I /
I /I /
! /
ι/
της στην κατεύθυνση της εφαπτομένης στο τόξο που έχει ήδη κα­
λύψει η χιονοδρόμος; Πρέπει να βρείτε, δηλαδή, τη γωνία θ που
σχηματίζει μια ακτινική ευθεία από το κέντρο της χιονόσφαιρας
προς τη χιονοδρόμο τη χρονική στιγμή της απώλειας της επαφής
της με τη χιονόσφαιρα.
7-26 Μια ράβδος μήκους ενός μέτρου έχειτη δυνατότητα να πε­
ριστρέφεται περίοριζόντιο άξονα διερχόμενο διατου μέσου τηςκαι
φέρει ένα μεταλλικό σφιγκτήρα μάζας 3,00 kg προσαρτημένο στο έ­
να άκρο της καθώς και ένα άλλοσφιγκτήρα μάζας 2,00 kg προσαρ­
τημένο στο άλλο της άκρο. Η μάζα της ράβδου μπορεί να αγνοηθεί.
Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο, ενώ ηρεμεί, με τη ράβδο παράλλη­
λη προς την οριζόντια διεύθυνση. Πόση είναι η ταχύτητα κάθε σφι­
γκτήρα όταν η ράβδος διέρχεται από μια κατακόρυφη θέση;
7-27 Μια μπάλα μάζας 0,500 kg προσδένεται σε νήμα μήκους
2,00 m, ενώ το άλλο άκρο του νήματος προσδένεται σε ακλόνητο
στήριγμα. Η μπάλα συγκρατείταιοριζόντια σε σχέση με το ακλόνη­
το στήριγμα, με το νήμα τεντωμένο, και στη συνέχεια αφήνεται ε­
λεύθερη. a) Πόση είναι η ταχύτητατης μπάλας στο κατώτατο σημείο
της κίνησής της; b) Πόση είναι ητάση του νήματος στο σημείο αυτό;
7-28 Μια πέτρα προσδένεται σε σχοινί, ενώ το άλλο άκρο του
σχοινιού διατηρείται στερεωμένο σε σταθερή θέση. Προσδίδουμε
στην πέτρα μια αρχική εφαπτομενική ταχύτητα που τη θέτει σε πε­
ριστροφή κατά μήκοςτης περιφέρειας κατακόρυφου κύκλου. Απο­
δείξτε ότι η τάση του σχοινιού στο κατώτατο σημείο της τροχιάς της
πέτρας είναι μεγαλύτερη από τηντάσητου στο ανώτατο σημείο της
τροχιάς της κατάτο [μέγεθος που ισοδυναμεί με το] εξαπλάσιο του
βάρουςτης πέτρας.
7-29 Σε ένα σταθμό μεταφόρτωσης φορτηγών αυτοκινήτων ενός
κτηρίου της ταχυδρομικής υπηρεσίας ένα δέμα μάζας 2,00 kg αφή­
νεται ελεύθερο, ενώ ηρεμεί, στο σημείοΑ για να ακολουθήσει δια­
δρομή επίτόξου τεταρτημορίου κύκλου ακτίνας 1,60 m (Σχ. 7-32).
Ολισθαίνει κατερχόμενο κατά μήκος της διαδρομής αυτής και φθά­
νει στο σημείο Β με ταχύτητα 4,00 rn/s. Αρχίζοντας απότο σημείοΒ,
ολισθαίνει κατά μήκοςμιας ισόπεδης επιφάνειας καλύπτοντας από­
σταση 3,00 m ως το σημείο C, όπου ακινητεί. a) Ποιος είναι ο συ­
ντελεστής κινητικής τριβής στην οριζόντια επιφάνεια; b) Πόσο έργο
παράγεται επί του δέματος από την τριβή, καθώς το δέμα ολισθαί-
ΣΧΗΜΑ 7-32
194
m = 2,00 kg
D
I< 3,00 m --�>j
Β C
νει κατά μήκος του κυκλικού τόξου από το σημείοΑ ωςτο σημείοΒ;
7-30 Μία μεταβλητή δύναμη F διατηρείται εφαπτομενική κατά
μήκος μιας aτριβούς σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας α (Σχ. 7-33).
Επιβάλλοντας βραδεία μεταβολή (του μέτρου) της δύναμης, ένα
σώμα βάρους w κινείται κατά μήκος της επιφάνειας, ενώ το ελατή­
ριο, στο άκρο του οποίου έχει προσκολληθεί το σώμα, εκτείνεται
από τη θέση 1 στη θέση 2. Υπολογίστε το έργο πουπαράγεται από
τη δύναμη Ρ.
α
_____Δ_
ΣΧΗΜΑ 7-33
2
Αρχικό μήκος
ελατηρίου
7-3 1 Ένας μικρός κύβος πάγου μάζας 0,120 kg τοποθετείται
στο άκρο ενός συμπιεσμένου ελατηρίου προσαρτημένου σε οριζό­
ντια επιφάνειατραπεζιούπου απέχει 1,90 m πάνω από το δάπεδο.
Το ελατήριο έχει σταθερά Κ = 2940 N/m και είναι αρχικά συμπιε­
σμένο κατά 0,045 m. Το ελατήριο αποδεσμεύεται και ο κύβος πά­
γου ολισθαίνει κατά μήκος του τραπεζιού, φτάνει την περιμετρική
άκρη του, την υπερπηδά και κινείται προς το δάπεδο. Αν η τριβή
μεταξύ του πάγου και του τραπεζιού είναι αμελητέα, πόση είναι η
ταχύτητα του κύβου όταν φθάσει στο δάπεδο;
7-32 Ένας άνδρας μάζας 80,0 kg πηδά από ύψος 2,50 m πάνω
σε οριζόντια πλατφόρμα στηριγμένη σε ελατήρια. Καθώς συμπιέ­
ζονταιτα ελατήρια, η πλατφόρμα ωθείται προς τα κάτω, καλύπτο­
ντας μια μέγιστη απόσταση 0,200m κάτω από την αρχική της θέση,
και στη συνέχεια αναπηδά. Η πλατφόρμα και τα ελατήρια έχουν
αμελητέα μάζα. a) Πόση είναι η ταχύτητα του άνδρα τη στιγμή κα­
τάτην οποία η πλατφόρμα έχει υποχωρήσει κατά 0,100m (από την
αρχική της θέση); b) Αν ο άνδρας απλώς πατούσε στην πλατφόρμα
με απαλόαλματικό ελιγμό (χωρίς αρχική ταχύτητα) κατά πόση μέ­
γιστη απόσταση θα είχε κατέβει η πλατφόρμαπροςτα κάτω;
7-33 Διαπιστώνεται ότι ένα συγκεκριμένο ελατήριο δεν ακο­
λουθείτο νόμοτου Hooke αλλά ασκεί μιαδύναμη επαναφοράςτης
μορφής Fx(x) = - αχ - βχ'-, όταν εκτείνεται ή συμπιέζεταικατά μή­
κοςχ, όπουα = 70,0 N/mκαιβ = 12,0 N/m'. a) Υπολογίστε τη συ­
νάρτηση δυναμικής ενέργειας U(x) για το ελατήριο αυτό. Υποθέ­
στε ότι U = Ο ότανχ = Ο. b) Ένα αντικείμενο μάζας 2,00 kg προ­
σαρτάται στο άκροτου ελατηρίου αυτού, έλκεται για μήκος 1,00 m
προς τα δεξιά πάνω σε οριζόντια aτριβή επιφάνεια και στη συνέ­
χεια αφήνεται ελεύθερο. Πόση είναι η ταχύτητα του αντικειμένου
όταν βρίσκεται σε απόσταση 0,50 m δεξιά από τη θέση ισορρο­
πίας,όπουχ = Ο;
7-34 Αν ένα ψάρι συνδεθείστο άκρο ενός κατακόρυφου ελατη­
ρίου και καταταθεί αργά οδηγούμενο προς τη θέση ισορροπίας
του, το ελατήριο εκτείνεται κατά μήκος d. Αν το ίδιο ψάρι συνδε­
θεί με το άκρο του ίδιου (ανέκτατου) ελατηρίου και στη συνέχεια
αφεθεί ελεύθερο να πέσει από την ηρεμία, βρείτε το μέγιστο μή­
κος κατά το οποίο εκτείνεται στην περίπτωση αυτή το ελατήριο.
(Υπόδειξη: Υπολογίστε πρώτατη σταθεράτου ελατηρίου συναρτή­
σει της απόστασης dκαι της μάζας m του ψαριού. Η μάζα του ελα­
τηρίου να θεωρηθεί αμελητέα.)

5. m = 2,00kg
ΣΧΗΜΑ 7-34
7-35 Ένας ξύλινος κύβος μάζας 2,00 kg τοποθετείται στο άκρο
ενός συμπιεσμένου ελατηρίου στο κατώτατο σημείο ενός επικλι­
νούς επιπέδου με κλίση 37' (σημείοΑ). Το ελατήριο, όταν αποδε­
σμευθεί, εκτοξεύειτον κύβο προς τα πάνω κατά μήκοςτου επικλι­
νούς επιπέδου. Στη θέση Β, που απέχει 6,00 m κατάτην κατεύθυν­
ση της aνωφέρειας του επικλινούς επιπέδου από το σημείοΑ, ο
κύβος έχει ταχύτητα μέτρου 4,00 m/sec, με διεύθυνση παράλληλη
προς το κεκλιμένο επίπεδο και φορά προς τα πάνω. Ο συντελε­
στής κινητικής τριβής μεταξύ του κύβου καιτης aνωφέρειας είναι
μk = 0,50. Υπολογίστε την ποσότητα της δυναμικής ενέργειας που
είχε αρχικά εναποθηκευθείστο ελατήριο.
7-36 Ένασώμα μάζας 2,00 kg αφήνεται ελεύθερο ενώ βρίσκε­
ται σε μια κατωφέρεια με κλίση 53• και απέχει 4,00 m από το ά­
κρο ενός ελατηρίου μεγάλου μήκους και σταθεράς k = 70,0 N/m
που έχει προσαρτηθεί στο κατώτατο σημείο της κατωφέρειας (Σχ.
7-34). Οι συντελεστές τριβής μεταξύτουσώματοςκαιτης κατωφέ­
ρειας είναιμ, = 0,40 καιμk = 0,20. a) Πόση είναι η ταχύτητα του
σώματος ακριβώς πριν προσκρούσει στο ελεύθερο άκρο του ελα­
τηρίου; b) Πόση είναι η μέγιστη συμπίεση πουυφίσταταιτο ελατή­
ριο; c) Το σώμα αναπηδά προς τα πάνω κατά μήκος της επικλι­
νούς επιφάνειας. Υπολογίστε κατά πόσο το σώμα θα πλησιάσει
την αρχική του θέση, δηλαδή το ελάχιστο διάστημα προσέγγισης
του σώματος στη θέση από την οποία αφέθηκε αρχικά ελεύθερο.
7-37 Ένα σώμα μάζας 0,500 kg που έχει συνδεθεί με το ελεύ­
θερο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου μήκους 0,60 m και σταθε­
ράς k = 40,0 N/m βρίσκεται σε ηρεμία στη θέση Α μιας aτριβούς
οριζόντιας επιφάνειας (Σχ. 7-35). Μια σταθερή οριζόντια δύναμη
F = 20,0 Ν ασκείται στο σώμα και μετακινεί το σώμα προς τα δε­
ξιάκατά μήκοςτης επιφάνειας. a) Πόση είναι η ταχύτητα του σώ­
ματος όταν αυτό φθάσει στο σημείο Β, που βρίσκεται σε απόστα­
ση 0,25 m δεξιά του σημείουΑ; b) Όταν το σώμα φθάσει στο ση­
μείο Β, η δύναμη F αιφνιδίως παύει να ασκείται. Κατά τη διάρ-
m = 0,500kg
1----- 0,60m
>I 0,25m -1
ΣΧΗΜΑ 7-35
Α Β
195
κεια της κίνησης που ακολουθεί, πόση είναι η ελάχιστη απόσταση
προσέγγισης του σώματος στον τοίχο;
* 7-38 Ένα αντικείμενο κινείται κατά μήκος του άξοναχ ενώ α­
σκείται σ' αυτό μια και μόνη διατηρητική δύναμη παράλληλη προς
τον άξοναχ. Η δύναμη αντιστοιχεί στη συνάρτηση δυναμικής ε­
νέργειας που απεικονίζεται στο Σχ. 7-36. Το αντικείμενο αφήνε­
ται από το σημείο Α, όπου αρχικά ηρεμεί. a) Ποια είναι η κατεύ­
θυνση της δύναμης στο σώμα όταν αυτό βρίσκεται στο σημείο Α;
b) Στο σημείο Β; c) Για ποια τιμή τουχ μεγιστοποιείται η κινητική
ενέργεια του σώματος; d) Βρείτε τη δύναμη που ασκείται στο σώ­
μα όταν αυτό βρίσκεται στο σημείο C. e) Ποια είναι η μέγιστη τιμή
του χ στην οποία φθάνει το σώμα κατά τη διάρκεια της κίνησής
του, f) Ποιά ή ποιές τιμέςτουχ αντιστοιχούν σε σημεία ευσταθούς
ισορροπίας; g) Σε σημεία aσταθούς ισορροπίας;
U(x), J
ΣΧΗΜΑ 7-36
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α ______________
7-39 Σε ένα αντικείμενο ασκούνται πολλές δυνάμεις. Μια από
αυτές είναι η F = -αχ/j, που κατευθύνεται προς την κατεύθυνση
-y, ενώ το μέτρο της εξαρτάται από τη θέση του αντικειμένου, η δε
σταθερά α= 3,00 N/m3• Θεωρήστε την μετατόπιση του αντικειμέ­
νου απότηναρχήτωναξόνων ωςτο σημείοχ = 2,00 m,y = 2,00 m.
a) Υπολογίστε το έργοπου παράγεται απότη δύναμη F επίτου α­
ντικειμένου αν η μετατόπιση αυτή γίνεται κατά μήκοςτης ευθείας
y =χ που συνδέει τα δύο αυτά σημεία. b) Υπολογίστε το έργο που
παράγεται από τη δύναμη F επί του αντικειμένου αν η μετατόπιση
αυτή πραγματοποιείται ως εξής: το αντικείμενο κινείται αρχικά a­
πομακρυνόμενο κατά μήκος του άξοναχ ως το σημείοχ = 2,00 m,
y = Ο και στη συνέχεια ακολουθεί πορεία παράλληλη προς τον ά­
ξοναy ωςτοσημείοχ = 2,00 m,y = 2,00 m. c) Συγκρίνετετο έργο
που παρήγαγε η F κατά μήκος των δύο αυτών δρόμων. Μπορείτε
νααποφανθείτε αν η δύναμη F είναι διατηρητική ή μη διατηρητική;
*7-40 Ένα σωμάτιο μάζας m κινείται μονοδιάστατα μέσα σε μια
συνάρτηση δυναμικής ενέργειας που έχειτη μορφή
U(x) =
α
z - /}__
χ χ
Το σωμάτιο αφήνεται ελεύθερο, ενώ αρχικά ηρεμεί, από τη θέση
χ0 = α/β. a) Αποδείξτε ότι η U(x) μπορείνα λάβει τη μορφή
Σχεδιάστε την U(x). Υπολογίστε το U(x0) και εξ αυτού εντοπίστε το
σημείοχ0 στογράφημά σας. b) Να εξαγάγετε η συνάρτηση υ(χ), δη­
λαδή τηνταχύτητατουσωματίου ως συνάρτηση της θέσηςτου.Παρα­
στήστε γραφικάτο υ ως συνάρτηση τουχ, και περιγράψτε ποιοτικά
την κίνησητουσωματίου. c) Για ποιατιμή τουχ μεγιστοποιείταιη τα­
χύτητατου σωματίου; Πόση είναιη μέγιστη αυτή ταχύτητα; d) Βρείτε
τη δύναμη στο σωμάτιο στο σημείο όπου μεγιστοποιείται η ταχύτητά
του. e) Τώρα θεωρήστε ότι το σωμάτιο δεν αφήνεται ελεύθερο στο
σημείοχ0, αλλά στο σημείοχ1 = 3(α!β). Εντοπίστε το σημείοχ, στη
γραφική παράσταση της U(x). Να εξαγάγετε και πάλι την υ(χ), και
να περιγράψετε ποιοτικάτην κίνηση του σωματίου. f) Σε κάθε μία α­
πό τις δύο αυτές περιπτώσεις -δηλαδή τόσο όταντο σωμάτιο αφήνε­
ταιαπότη θέσηχ = χ0,όσοκαι όταντο σωμάτιο αφήνεταιαπότη θέ­
σηχ =χΓ να βρείτετις μέγιστεςκαιτιςελάχιστεςτιμέςτουχπουεπι­
τυγχάνονται κατάτη διάρκειατης κίνησηςτου σωματίου.