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2013年度春学期　画像情報処理　第４回「離散フーリエ変換」

関西大学総合情報学部　2013年度春学期　画像情報処理　第４回／第１部・画像のサンプリングと周波数「離散フーリエ変換」 担当・浅野晃　2013/5/1 （注・第５回は予備日のため、第５回のスライドはありません）

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A.Asano,KansaiUniv. 2013年度春学期 画像情報処理 浅野 晃 関西大学総合情報学部 離散フーリエ変換 第４回
A.Asano,KansaiUniv.
A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) = f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x = 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) = f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x = 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) = f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x = 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並 べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。 さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため，fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」はコンヴォリューション （convolution, 畳み込み積分）という演算で， f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) = f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x = 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並 べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。 さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため，fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」はコンヴォリューション （convolution, 畳み込み積分）という演算で， f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13 ＝
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) = f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x = 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並 べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。 さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため，fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」はコンヴォリューション （convolution, 畳み込み積分）という演算で， f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13 ＝ サンプリングされた関数のフーリエ変換
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) = f(x)combT (x) （図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x = 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x = 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか？ 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。この とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について，この節でみてみましょう。 ここでも，簡単のため画像を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のくし型 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は， F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並 べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。 さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため，fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」はコンヴォリューション （convolution, 畳み込み積分）という演算で， f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13 ＝ 換 は，連続な関数を扱うほうが簡単な場合が多いのですが，コンピュータで けです。そこで，サンプリングによって離散化された関数のフーリエ変換 法について考えてみましょう。 関数 f(t) を間隔 T でサンプリングした関数 fT (t) は，前回説明した，デル 形関数 combT (x) を使って fT (x) = f(x)combT (x) された関数 fT (x) のフーリエ変換は，FT でフーリエ変換を表すとして FT[fT (x)](ν) = FT[f(x)combT (x)](ν) = ∞ −∞ f(x)combT (x) exp(−i2πνx)dx サンプリングされた関数のフーリエ変換
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ... ... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ... ... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ... ... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換こちらは離散的だが
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ... ... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換こちらは離散的だが こちらは離散的でない →コンピュータで扱えない
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s]
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で，１周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s]
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で，１周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s]
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で，１周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] N 点のサンプリングをする
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる？ x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる？ x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる 周波数空間でサンプリング→実空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる？ x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる 周波数空間でサンプリング→実空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1 / T [1/s] フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換 とはだいぶ違う
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのその関数の値を デルタ関数の並びを積分 x[s]
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのその関数の値を デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を x[s]
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのその関数の値を デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を x[s]
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのその関数の値を デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を  合計するだけ x[s]
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのその関数の値を デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を  合計するだけ u(n) = fT (nT) までの説明で述べたように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 みなしていますから，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわ だけを計算することにします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとあ する形になっています。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以 ら，ある関数とデルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数 値だけを切り出したものになります。 ，離散的に計算する場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのそ ります。したがって，(2) 式のフーリエ変換のかわりに U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 。(4) 式を離散フーリエ変換 (discrete Fourier transformation, DFT) と 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて，サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT (nT) ように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 NT の周期関 ，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに，u(n) の にします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0，積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数からインパル ものになります。 場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのその関数の値を デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は，そこの値を  合計するだけ u(n) = fT (nT) までの説明で述べたように，f(x) は，間隔 T でサンプリングされ，周期 みなしていますから，(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわ だけを計算することにします。また，(2) 式は，デルタ関数の並びとあ する形になっています。一方，デルタ関数は「インパルスのある場所以 ら，ある関数とデルタ関数との積を実数全体で積分すると，その関数 値だけを切り出したものになります。 ，離散的に計算する場合は，積分の代わりに，インパルスの位置でのそ ります。したがって，(2) 式のフーリエ変換のかわりに U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 。(4) 式を離散フーリエ変換 (discrete Fourier transformation, DFT) と 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
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2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x)とみると T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) と見ると 1 / T [1/s] フーリエ変換 u(n)とみると 1[刻み] = 1[Ts] n k[刻み] U(k) とみると 1[刻み] x[s] n[刻み] N[刻み] = N[Ts]     = NT[s]周期の 周期関数とみなしている 離散フーリエ変換 ［実空間］ ［周波数空間］ FT[fT(x)](n) とみると 1 / NT [1/s] ν [1/s] 図 1: 離散フーリエ変換．
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 第２部へ 第２部は画像データ圧縮 画像の細かいところを，見た目にはわからないよ うにごまかして，データ量を減らす
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 第２部へ 第２部は画像データ圧縮 画像の細かいところを，見た目にはわからないよ うにごまかして，データ量を減らす 「細かいところ」はどのように表現されるか？   →周波数で表現される
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 第２部へ 第２部は画像データ圧縮 画像の細かいところを，見た目にはわからないよ うにごまかして，データ量を減らす 「細かいところ」はどのように表現されるか？   →周波数で表現される そういうわけで，もう少しフーリエ変換とおつき あいください。
2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 第２部へ 第２部は画像データ圧縮 画像の細かいところを，見た目にはわからないよ うにごまかして，データ量を減らす 「細かいところ」はどのように表現されるか？   →周波数で表現される そういうわけで，もう少しフーリエ変換とおつき あいください。 もっと一般的な原理から説明します。まずは 数学の「行列」から。

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