2015年度秋学期　応用数学（解析）　第１３回　孤立特異点と留数 (2015. 12. 17)

A.Asano,KansaiUniv.
2015年度秋学期応用数学（解析）
浅野晃
関西大学総合情報学部
第４部・複素関数論ダイジェスト
孤立特異点と留数
第１３回

A.Asano,KansaiUniv.
なにをするんでしたっけ？

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
こんな積分は
積分
∞
−∞
1
x4 + 1
dx を求めることを考えます。そのために，
の
1
z4 + 1
の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる
上では |z| r であることを用います。
辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
r
0
1
r4 + 1
dy =
r
r4 + 1
∞
1 π

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
こんな積分は
まっとうには計算できません。積分
∞
−∞
1
x4 + 1
の
1
z4 + 1
辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
r
0
1
r4 + 1
dy =
r
r4 + 1
∞
1 π

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
こんな積分は
まっとうには計算できません。
そこで
積分
∞
−∞
1
x4 + 1
の
1
z4 + 1
辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
r
0
1
r4 + 1
dy =
r
r4 + 1
∞
1 π

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
こんな積分は
そこで
積分
∞
−∞
1
x4 + 1
の
1
z4 + 1
辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
r
0
1
r4 + 1
dy =
r
r4 + 1
∞
1 π
x
数直線を

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
こんな積分は
そこで
積分
∞
−∞
1
x4 + 1
の
1
z4 + 1
辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
r
0
1
r4 + 1
dy =
r
r4 + 1
∞
1 π
x
数直線を
y

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
こんな積分は
そこで
積分
∞
−∞
1
x4 + 1
の
1
z4 + 1
辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
r
0
1
r4 + 1
dy =
r
r4 + 1
∞
1 π
x
数直線を
y
複素平面に拡張

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
こんな積分は
そこで
積分
∞
−∞
1
x4 + 1
の
1
z4 + 1
辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
r
0
1
r4 + 1
dy =
r
r4 + 1
∞
1 π
x
数直線を
実部
y 虚部
複素平面に拡張 z = x + yi

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
こんな積分は
そこで
積分
∞
−∞
1
x4 + 1
の
1
z4 + 1
辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
r
0
1
r4 + 1
dy =
r
r4 + 1
∞
1 π
x
数直線を
実部
y 虚部
こういう周C上で
C

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
こんな積分は
そこで
積分
∞
−∞
1
x4 + 1
の
1
z4 + 1
辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
r
0
1
r4 + 1
dy =
r
r4 + 1
∞
1 π
x
数直線を
実部
y 虚部
C
=
(1+i√
2
−
=
−1 −
4
√
2
となり，同様に Res(
−1 + i
√
2
; f) =
1 − i
4
√
2
となり
よって，(25) 式より，
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1
で，すなわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
が得られます
浅野晃／応用数学（解析）（2013 年度春学期）第１３回
を計算すると

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
こんな積分は
そこで
積分
∞
−∞
1
x4 + 1
の
1
z4 + 1
辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
r
0
1
r4 + 1
dy =
r
r4 + 1
∞
1 π
x
数直線を
実部
y 虚部
C
=
(1+i√
2
−
=
−1 −
4
√
2
−1 + i
√
2
; f) =
1 − i
4
√
2
となり
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1
で，すなわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
が得られます
浅野晃／応用数学（解析）（2013 年度春学期）第１３回
を計算すると
上の積分も求まる

A.Asano,KansaiUniv.
前回の復習
コーシーの積分定理

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で
経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば
b) − F(a)
(14)
，経路によらず
C
f(z)dz = 0 である
記のコーシーの積分定理です。
http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f(z) = ez

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で
経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば
b) − F(a)
(14)
，経路によらず
C
f(z)dz = 0 である
記のコーシーの積分定理です。
http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f(z) = ez
積分は0

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ここからの話は
正則でない点を囲んで積分したら？
f(z) = 1 / z
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) = 1 / z
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
積分は？

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) = 1 / z
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
積分は？
正則でない「穴」によって決まる

A.Asano,KansaiUniv.
f(z) = zn の積分

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
zn の積分を考える
関数をべき級数で表して，
各項の積分を考えるため

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) = zn を，単位円周C に沿って正の向きに
回って積分する

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
複素平面において
原点を中心とする
半径１の円周

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
半径１の円周
実軸
虚軸
1
1

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
半径１の円周
実軸
虚軸
1
1
正の向き

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
n = 0, 1, 2, … のとき
f(z) = z0, z1, z2, … は単位円周C の内部で正則
f(z) = zn の積分
今日の問題のような積分を考えるため
準備として，f(z) = zn を，単位円周（複
の向きにまわって積分した時の値を考え
C を単位円周とします。まず，n = 0,
分定理により
C
f(z)dz = 0 です。
一方，n = −1, −2, . . . のとき，あらた
f(z) は正則ではありません。この場合は
表されるので，
C
コーシーの積分定理により

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
n = –1, –2, –3, … のとき
ややこしいので，あらためて
えます。
, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシ
ためて f(z) =
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z
は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ <
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
2π
とおいて n = 1, 2, 3, …とする

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
n = –1, –2, –3, … のとき
えます。
ためて f(z) =
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
2π
とおいて n = 1, 2, 3, …とする
考えるために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えます。その
単位円周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）にそって正
の値を考えます。
ず，n = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシーの積
です。
とき，あらためて f(z) =
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で
。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) と
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
= 1 のとき
1 2π

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
n = –1, –2, –3, … のとき
えます。
ためて f(z) =
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
2π
とおいて n = 1, 2, 3, …とする
です。
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
= 1 のとき
1 2π
実軸
虚軸
1
1
C

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
n = –1, –2, –3, … のとき
えます。
ためて f(z) =
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
2π
とおいて n = 1, 2, 3, …とする
です。
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
= 1 のとき
1 2π
経路 C 上で
実軸
虚軸
1
1
C

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
n = –1, –2, –3, … のとき
えます。
ためて f(z) =
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
2π
とおいて n = 1, 2, 3, …とする
です。
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
= 1 のとき
1 2π
経路 C 上で
るために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えま
周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）に
を考えます。
= 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コー
。
あらためて f(z) =
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき
場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
e−inθ
ieiθ
dθ
ない点、いわば「穴」があいている場合はどうなるか，が今回の話題です。
分を考えるために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えます。その
，単位円周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）にそって正
た時の値を考えます。
。まず，n = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシーの積
= 0 です。
のとき，あらためて f(z) =
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で
ん。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) と
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ (1)
実軸
虚軸
1
1
C

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
n = –1, –2, –3, … のとき
えます。
ためて f(z) =
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
2π
とおいて n = 1, 2, 3, …とする
です。
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
= 1 のとき
1 2π
経路 C 上で
るために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えま
周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）に
を考えます。
= 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コー
。
あらためて f(z) =
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき
場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
e−inθ
ieiθ
dθ
ない点、いわば「穴」があいている場合はどうなるか，が今回の話題です。
分を考えるために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えます。その
，単位円周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）にそって正
た時の値を考えます。
。まず，n = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシーの積
= 0 です。
のとき，あらためて f(z) =
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で
ん。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) と
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ (1)
実軸
虚軸
1
1
C
置換積分

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
について n = 1のときためて f(z) =
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0
は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π)
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
き
1 2π
=
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
，n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
ときは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
− 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。
る半径 1 の円周を C とするとき，
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
(4)
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
きは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。
半径 1 の円周を C とするとき，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
き
1 2π
=
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
，n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
ときは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
(4)
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
きは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
n = 1

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
き
1 2π
=
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
，n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
ときは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
(4)
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
きは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
n = 1
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
は，n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
ときは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
する半径 1 の円周を C とするとき，
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
(4)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
き
1 2π
=
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
，n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
ときは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
(4)
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
きは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
n = 1
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
ときは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
(4)
n = 2, 3, … のとき

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
き
1 2π
=
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
，n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
ときは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
(4)
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
きは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
n = 1
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
ときは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
(4)
n = 2, 3, … のとき
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(
分は，n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (
のときは
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
(
2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。
とする半径 1 の円周を C とするとき，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
き
1 2π
=
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
，n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
ときは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
(4)
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
きは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
n = 1
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
ときは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
(4)
n = 2, 3, … のとき
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (
のときは
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
(
f(z) は正則ではありません。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
となります。この積分は，n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi
となり，n = 2, 3, . . . のときは
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
で，e2(1−n)πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 ですより

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
1
zn
(n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
き
1 2π
=
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
，n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
ときは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
(4)
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
きは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
n = 1
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(1)
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (2)
ときは
C
1
zn
dz = i e2(n−1)πi
− 1 (3)
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
(4)
n = 2, 3, … のとき
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
(
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi (
のときは
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
(
f(z) は正則ではありません。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z
C
f(z)dz =
2π
0
e−inθ dz
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi
となり，n = 2, 3, . . . のときは
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
で，e2(1−n)πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 ですより
一方，n = −1, −2, . . . のとき，あらためて f(z
f(z) は正則ではありません。この場合は，単位円
C
f(z)dz =
=
=
C
1
z
dz =
となり，n = 2, 3, . . . のときは
C
1
zn
dz =
i(
C
f(z)dz =
0
e−inθ
dθ
dθ
=
2π
0
e−inθ
ieiθ
dθ
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
ます。この積分は，n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi
，n = 2, 3, . . . のときは
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
1−n)πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 で

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
つまり
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi
= 2, 3, . . . のときは
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の
a を中心とする半径 1 の円周を C とするとき，
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3,
1 − n
)πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分
，a を中心とする半径 1 の円周を C とするとき，
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
す。
用数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) ht
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。
= i
0
ei(1−n)θ
dθ
= i
2π
0
dθ = 2πi
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
つまり
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi
= 2, 3, . . . のときは
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3,
1 − n
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
す。
用数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) ht
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
= i
0
ei(1−n)θ
dθ
= i
2π
0
dθ = 2πi
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
また，a を中心とする半径1の円周を
C とすると

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
つまり
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi
= 2, 3, . . . のときは
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3,
1 − n
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
す。
用数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) ht
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
= i
0
ei(1−n)θ
dθ
= i
2π
0
dθ = 2πi
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
C とすると
実軸
虚軸
C
a

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
つまり
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi
= 2, 3, . . . のときは
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3,
1 − n
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
す。
用数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) ht
= i
2π
0
ei(1−n)θ
dθ
のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
= i
0
ei(1−n)θ
dθ
= i
2π
0
dθ = 2πi
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
C とすると
= i
0
e dθ
，n = 1 のとき
C
1
z
dz = i
2π
0
dθ = 2πi
きは
C
1
zn
dz =
i
i(1 − n)
ei(1−n)θ
2π
0
=
1
1 − n
e2(1−n)πi
− 1
n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。
C
1
(z − a)n
dz =
2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . . 実軸
虚軸
C
a

A.Asano,KansaiUniv.
コーシーの積分公式

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
正則関数の任意の点での値は，
その点を囲む閉曲線上の値だけできまる
領域 D で正則な関数fの点 z における値 f(z) は，
D 内で点 z を囲み，正の方向に１周する閉曲線 C 上の積分
図 1: コーシーの積分公式
，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が，D 内で点 z を囲み
に沿った積分を使って
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ
す。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線と
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ
，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってし
関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたよ
での関数の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それ
で表される
z = 0 のときは
原点を囲み，正の方向に１周する閉曲線 C 上の積分
P
，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が，D 内で点 z を囲み
沿った積分を使って
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ
す。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線と
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ
，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってし
で表される

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f(z) = ez

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f(z) = ez
正則関数は
「折り目なく」
曲がっているから，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f(z) = ez
正則関数は
「折り目なく」
曲がっているから，
周囲（囲む閉曲線上）の
値によって
その中心の値が決まって
しまっても不思議ではない

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) =
2πi C ζ − z
dζ (5)
に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ (6)
数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ
軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも
の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不
1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円
を考えます。関数
f(ζ)
ζ
は原点で正則ではありませんが，P から C を正
きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内
て，コーシーの積分定理により
Q
f(ζ) f(ζ) P
f(ζ)
を考える
O
C
Cr
P
Q

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) =
2πi C ζ − z
dζ (5)
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ (6)
f(ζ)
ζ
Q
f(ζ) f(ζ) P
f(ζ)
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) =
2πi C ζ − z
dζ (5)
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ (6)
f(ζ)
ζ
Q
f(ζ) f(ζ) P
f(ζ)
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路で

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) =
2πi C ζ − z
dζ (5)
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ (6)
f(ζ)
ζ
Q
f(ζ) f(ζ) P
f(ζ)
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
を積分
シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が，
周する閉曲線 C に沿った積分を使って
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ
れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ
ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値
しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り
考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう，
はありません。
式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側
れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数
f(ζ)
ζ
は原点で正則ではあり
に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この
関数

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) =
2πi C ζ − z
dζ (5)
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ (6)
f(ζ)
ζ
Q
f(ζ) f(ζ) P
f(ζ)
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
原点では正則でないが
を積分
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ
f(ζ)
ζ
関数

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) =
2πi C ζ − z
dζ (5)
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ (6)
f(ζ)
ζ
Q
f(ζ) f(ζ) P
f(ζ)
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
グレーの部分では正則
を積分
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ
f(ζ)
ζ
関数

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) =
2πi C ζ − z
dζ (5)
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ (6)
f(ζ)
ζ
Q
f(ζ) f(ζ) P
f(ζ)
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
グレーの部分では正則
を積分
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ
f(ζ)
ζ
関数
コーシーの積分定理により，
積分＝０

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
O
C
Cr
P
Q
グレーの部分では正則コーシーの積分定理により，
両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数
ζ
は原点で正則ではありませんが，P か
周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線
ζ)
は正則です。よって，コーシーの積分定理により
C
f(ζ)
ζ
dζ +
Q
P
f(ζ)
ζ
dζ +
−Cr
f(ζ)
ζ
dζ +
P
Q
f(ζ)
ζ
dζ = 0
の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は
に沿った積分となるので，
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
。r → 0 のとき，上式の右辺は
Cr
f(0)
ζ
dζ に収束し 1，前節で説明した
1
z
の積分
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0)
するのかは，参考文献を参照してください。
数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
O
C
Cr
P
Q
ζ
ζ)
C
f(ζ)
ζ
dζ +
Q
P
f(ζ)
ζ
dζ +
−Cr
f(ζ)
ζ
dζ +
P
Q
f(ζ)
ζ
dζ = 0
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
Cr
f(0)
ζ
1
z
の積分
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0)
同じ経路を逆方向だから
打ち消し合う

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
O
C
Cr
P
Q
ζ
ζ)
C
f(ζ)
ζ
dζ +
Q
P
f(ζ)
ζ
dζ +
−Cr
f(ζ)
ζ
dζ +
P
Q
f(ζ)
ζ
dζ = 0
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
Cr
f(0)
ζ
1
z
の積分
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0)
C とは逆回りだからマイナス
打ち消し合う

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
O
C
Cr
P
Q
ζ
ζ)
C
f(ζ)
ζ
dζ +
Q
P
f(ζ)
ζ
dζ +
−Cr
f(ζ)
ζ
dζ +
P
Q
f(ζ)
ζ
dζ = 0
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
Cr
f(0)
ζ
1
z
の積分
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0)
打ち消し合う
の向きに１周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると
部で関数
f(ζ)
ζ
C
f(ζ)
ζ
dζ +
Q
P
f(ζ)
ζ
dζ +
−Cr
f(ζ)
ζ
dζ +
P
Q
f
で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方
の正の方向に沿った積分となるので，
−Cr
f(ζ)
ζ
dζ = −
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
浅野晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) htt

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
O
C
Cr
P
Q
ζ
ζ)
C
f(ζ)
ζ
dζ +
Q
P
f(ζ)
ζ
dζ +
−Cr
f(ζ)
ζ
dζ +
P
Q
f(ζ)
ζ
dζ = 0
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
Cr
f(0)
ζ
1
z
の積分
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0)
打ち消し合う
の向きに１周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると
部で関数
f(ζ)
ζ
C
f(ζ)
ζ
dζ +
Q
P
f(ζ)
ζ
dζ +
−Cr
f(ζ)
ζ
dζ +
P
Q
f
−Cr
f(ζ)
ζ
dζ = −
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
浅野晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) htt
つまり
の」と考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まっ
思議ではありません。
(6) 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C
Cr，それに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数
f(ζ)
ζ
は原点で正
の向きに１周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考え
部で関数
f(ζ)
ζ
C
f(ζ)
ζ
dζ +
Q
P
f(ζ)
ζ
dζ +
−Cr
f(ζ)
ζ
dζ +
で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
となります。r → 0 のとき，上式の右辺は
f(0)
dζ に収束し 1，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
O
C
Cr
P
Q
積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は (−1) × C
ので，
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ (8
式の右辺は
Cr
f(0)
ζ
1
z
の積分を使うと
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0) (9
照してください。
学期）第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
O
C
Cr
P
Q
内側の円の半径→0とすると
ので，
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ (8
式の右辺は
Cr
f(0)
ζ
1
z
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0) (9

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
O
C
Cr
P
Q
ので，
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ (8
式の右辺は
Cr
f(0)
ζ
1
z
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0) (9
で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
Cr
f(0)
ζ
dζ に収束し 1，前節で説明
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0)
1
なぜ収束するのかは，参考文献を参照してください。
浅野晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) http://r
に収束する
（詳細略）

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
O
C
Cr
P
Q
ので，
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ (8
式の右辺は
Cr
f(0)
ζ
1
z
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0) (9
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
Cr
f(0)
ζ
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0)
1
に収束する
（詳細略）
C ζ P ζ −Cr
ζ Q
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
Cr
f(0)
ζ
dζ に収束し 1，前節
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0)
1
浅野晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) ht

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
O
C
Cr
P
Q
ので，
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ (8
式の右辺は
Cr
f(0)
ζ
1
z
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0) (9
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
Cr
f(0)
ζ
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0)
1
に収束する
（詳細略）
C ζ P ζ −Cr
ζ Q
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
Cr
f(0)
ζ
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0)
1
よって

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
O
C
Cr
P
Q
ので，
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ (8
式の右辺は
Cr
f(0)
ζ
1
z
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0) (9
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
Cr
f(0)
ζ
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0)
1
に収束する
（詳細略）
C ζ P ζ −Cr
ζ Q
C
f(ζ)
ζ
dζ =
Cr
f(ζ)
ζ
dζ
Cr
f(0)
ζ
Cr
f(0)
ζ
dζ = f(0)
Cr
1
ζ
dζ = 2πif(0)
1
よって
P
コーシーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における
向に１周する閉曲線 C に沿った積分を使って
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ
と表されるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲
f(0) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ
dζ
となります。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む
とを示しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃと

A.Asano,KansaiUniv.
孤立特異点と
ローラン級数展開

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ここからの見通し
孤立特異点とは
f(z) = 1 / z
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
こういう，正則関数にあいた「穴」
（１点を除いて正則）

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ここからの見通し
孤立特異点をもつ関数について
孤立特異点の周りの積分を使って
関数が級数に展開できる（ローラン級数展開）
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
ローラン級数を
積分することで
孤立特異点の周りの
積分は「留数」で
表されることがわかる
留数を別途求められれば，積分が簡単に求まる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
孤立特異点の周りの経路で積分
前と同じ考えで，コーシーの積分公式より
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
図 2: 孤立特異点とローラン級数展開
前と同じ経路で
り，今日の最初に述べた「穴」です。
のとき，a を中心とする円周 C と，その内部にありやはり a を中心とする円
に，P から C を正の向きに１周→ PQ → C′ を逆向きに１周→ QP という閉
と，経路の内部で f(z) は正則ですから，f(z) をコーシーの積分公式を用いて
と同様の関係を考慮すると
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
ります。
こで，(10) 式の第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は
| < |ζ − a| です。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
形すると，右辺の 2 つめの分数は初項 1，公比
z − a
ζ − a
の等比級数の和で表され

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ローラン級数展開f(z) は正則ですから，f(z) をコーシーの積分公式を用いて表すことができま
考慮すると
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は C の内部にある
。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
の 2 つめの分数は初項 1，公比
z − a
ζ − a
の等比級数の和で表され，
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
考慮すると
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。
(10) 式の第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は C
− a| です。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
と，右辺の 2 つめの分数は初項 1，公比
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·
。同様に，(10) 式の第２項の積分の過程では，ζ が内側の経路 C′ を動き

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
等比級数の形
f(z) は正則ですから，f(z) をコーシーの積分公式を用いて表すことができま
考慮すると
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
等比級数の形
考慮すると
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·
ζ は外側の経路上だから
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
等比級数の形
考慮すると
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
絶対値が１より小さく，収束する

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
等比級数の形
考慮すると
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
絶対値が１より小さく，収束する
考慮すると
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ (10
第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は C の内部にあるので
。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
(11
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · · (12
，(10) 式の第２項の積分の過程では，ζ が内側の経路 C′ を動き，z は C′ の外部に

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
考慮すると
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·
す。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
(1
辺の 2 つめの分数は初項 1，公比
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · · (1
に，(10) 式の第２項の積分の過程では，ζ が内側の経路 C′ を動き，z は C′ の外部
を参照してください。
）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp/ 3/7 ペー

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
考慮すると
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·
こちらの ζ は内側の経路上
す。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
(1
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · · (1
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
考慮すると
f(z) =
1
2πi C
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)
ζ − z
dζ
。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · ·
こちらの ζ は内側の経路上
す。そこで，
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1
1 −
z − a
ζ − a
(1
z − a
ζ − a
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1 +
z − a
ζ − a
+
z − a
ζ − a
2
+ · · · (1
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
あるので |ζ − a| < |z − a| で，
1
ζ − z
=
−1
ζ − a
1 +
ζ − a
z − a
+
ζ − a
z − a
2
+ · · ·
と表されます。
(12) 式，(13) 式を (11) 式に代入すると，
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z −

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
以上から
1
ζ − z
=
−1
ζ − a
1 +
ζ − a
z − a
+
ζ − a
z − a
+ · · ·
ます。
，(13) 式を (10) 式に代入すると，
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
す 3。
，図 2 の円環領域で f(z) は正則なので，コーシーの積分定理により
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
ζ − z
=
ζ − a
1 +
z − a
+
z − a
+ · · ·
ます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
す 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
以上から
1
ζ − z
=
−1
ζ − a
1 +
ζ − a
z − a
+
ζ − a
z − a
+ · · ·
ます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
す 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
ζ − z
=
ζ − a
1 +
z − a
+
z − a
+ · · ·
ます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
す 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
孤立特異点 a のまわりのローラン級数

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ローラン級数展開れます。
式，(13) 式を (10) 式に代入すると，
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
(14)
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) (15)
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . ) (16)
ます 3。
で，図 2 の円環領域で f(z) は正則なので，コーシーの積分定理により
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0 (17)
，これを使うと，(15) 式と (16) 式を合わせて
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) (18)
ことができます。
f(z) をこのような級数で表すことを，f(z) の孤立特異点 a のまわりのローラン (Laurent) 級数
いいます。
されます。
) 式，(13) 式を (10) 式に代入すると，
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
(14)
し
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) (15)
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . ) (16)
ります 3。
こで，図 2 の円環領域で f(z) は正則なので，コーシーの積分定理により
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0 (17)
り，これを使うと，(15) 式と (16) 式を合わせて
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) (18)
すことができます。
数 f(z) をこのような級数で表すことを，f(z) の孤立特異点 a のまわりのローラン (Laurent) 級数
といいます。
数 f(z) と孤立特異点 a について，|f(z)| → ∞ (z → a) のとき，a を f(z) の極といいます。これは，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
(14)
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) (15)
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . ) (16)
ます 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0 (17)
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) (18)
いいます。
されます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
(14)
し
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) (15)
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . ) (16)
ります 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0 (17)
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) (18)
といいます。
ところで

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
(14)
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) (15)
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . ) (16)
ます 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0 (17)
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) (18)
いいます。
されます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
(14)
し
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) (15)
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . ) (16)
ります 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0 (17)
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) (18)
といいます。
ところで
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
となりますから，(6) 式が得られました。これをさらに z だけ（積分経路も含めて）平行移動すると，(5)
式が得られます 2。

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
(14)
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) (15)
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . ) (16)
ます 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0 (17)
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) (18)
いいます。
されます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
(14)
し
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) (15)
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . ) (16)
ります 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0 (17)
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) (18)
といいます。
ところで
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
(12) 式，(13) 式を (10) 式に代入すると，
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
ただし
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
となります 3。
ここで，図 2 の円環領域で f(z) は正則なので，コーシーの積分定理により
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
であり，これを使うと，(15) 式と (16) 式を合わせて
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . )
と表すことができます。
関数 f(z) をこのような級数で表すことを，f(z) の孤立特異点 a のまわりのロー

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
(14)
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) (15)
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . ) (16)
ます 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0 (17)
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) (18)
いいます。
されます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
(14)
し
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) (15)
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . ) (16)
ります 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0 (17)
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) (18)
といいます。
ところで
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
グレーの部分で f(z) は正則なので，
コーシーの積分定理より
(12) 式，(13) 式を (10) 式に代入すると，
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
ただし
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . )

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
(14)
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) (15)
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . ) (16)
ます 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0 (17)
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) (18)
いいます。
されます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
(14)
し
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . ) (15)
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . ) (16)
ります 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0 (17)
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . ) (18)
といいます。
ところで
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
グレーの部分で f(z) は正則なので，
コーシーの積分定理より
(12) 式，(13) 式を (10) 式に代入すると，
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
ただし
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . )
よって
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ ·
し
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
ります 3。
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
an =
1
2πi C
f(ζ)(ζ − a)−n−1
dζ (n = 0, ±1, ±2, . . . )

A.Asano,KansaiUniv.
留数と「n位の極」

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
留数 1
ζ − z
=
−1
ζ − a
1 +
ζ − a
z − a
+
ζ − a
z − a
2
+ · · ·
ます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
す 3。
1
2πi
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi ′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
関数 f(z) を展開して，
C′′ に沿って積分
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
となりますから，(6) 式が得られました。これをさらに z だけ（積分経
孤立特異点とローラン級数展開
領域 D において，関数 f(z) が１点 a を除いて正則であるとき，a
つまり，今日の最初に述べた「穴」です。
このとき，a を中心とする円周 C と，その内部にありやはり a を中
ように，P から C を正の向きに１周→ PQ → C′ を逆向きに１周→ Q
すると，経路の内部で f(z) は正則ですから，f(z) をコーシーの積分公
図 1 と同様の関係を考慮すると
f(z) =
1
2πi
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi ′
f(ζ
ζ −

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
留数 1
ζ − z
=
−1
ζ − a
1 +
ζ − a
z − a
+
ζ − a
z − a
2
+ · · ·
ます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
す 3。
1
2πi
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi ′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
f(z) =
1
2πi
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi ′
f(ζ
ζ −
ここしか残らない
積分すると 2πi

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
留数 1
ζ − z
=
−1
ζ − a
1 +
ζ − a
z − a
+
ζ − a
z − a
2
+ · · ·
ます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
す 3。
1
2πi
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi ′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
f(z) =
1
2πi
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi ′
f(ζ
ζ −
つまり

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
留数 1
ζ − z
=
−1
ζ − a
1 +
ζ − a
z − a
+
ζ − a
z − a
2
+ · · ·
ます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
す 3。
1
2πi
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi ′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
f(z) =
1
2πi
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi ′
f(ζ
ζ −
部分の中にある円周 C′′ に沿って正の向きに１周して積分することを考
開したものの各項を積分すると考えると，今回の最初に説明した「zn の
はすべて 0 となり，
a−1 =
1
2πi C′′
f(z)dz
分」を「積分の無限級数」に置き換えられるのは，当然ではありませんが，ここでは
度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp/ 4/7 ペ
つまり

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
留数 1
ζ − z
=
−1
ζ − a
1 +
ζ − a
z − a
+
ζ − a
z − a
2
+ · · ·
ます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
す 3。
1
2πi
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi ′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
f(z) =
1
2πi
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi ′
f(ζ
ζ −
a−1 =
1
2πi C′′
f(z)dz
つまり
f(z) の孤立特異点 a における
［留数 (residue)］という

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
留数 1
ζ − z
=
−1
ζ − a
1 +
ζ − a
z − a
+
ζ − a
z − a
2
+ · · ·
ます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
す 3。
1
2πi
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi ′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
f(z) =
1
2πi
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi ′
f(ζ
ζ −
a−1 =
1
2πi C′′
f(z)dz
つまり
，f(z) の孤立特異点 a における留数 (residue) といい，Res(a; f) で表します。
n 位の極であるとき
z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · · (20)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
留数 1
ζ − z
=
−1
ζ − a
1 +
ζ − a
z − a
+
ζ − a
z − a
2
+ · · ·
ます。
f(z) = · · · +
a−n
(z − a)n
+
a−(n−1)
(z − a)n−1
+ · · · +
a−1
z − a
+
a0 + a1(z − a) + · · · + an−1(z − a)n−1
+ an(z − a)n
+ · · ·
an =
1
2πi C
f(ζ)
(ζ − a)n+1
dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =
1
2πi C′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ (n = 1, 2, . . . )
す 3。
1
2πi
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ −
1
2πi ′
f(ζ)(ζ − a)n−1
dζ = 0
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
f(z) =
1
2πi
f(ζ)
ζ − z
dζ −
1
2πi ′
f(ζ
ζ −
a−1 =
1
2πi C′′
f(z)dz
つまり
，f(z) の孤立特異点 a における留数 (residue) といい，Res(a; f) で表します。
n 位の極であるとき
z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · · (20)
留数を別の方法で求められれば，積分は簡単に計算できる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
「n位の極」と留数
ローラン級数がa-nから始まるような
孤立特異点を，［n位の極］という
の a−1 を，f(z) の孤立特異点 a における留数 (residue) といい，
異点 a が n 位の極であるとき
f(z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · ·
，
)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z −
が得られます。したがって，両辺を (n − 1) 回微分すると，
1
1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z −

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · ·
，
)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z −
1
1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z −
ります 4。この a−1 を，f(z) の孤立特異点 a における留数 (residue) といい，Res(a; f) で表
こで，孤立特異点 a が n 位の極であるとき
f(z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · ·
されますから，
(z − a)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z − a)n
+ · · ·
う，べき級数が得られます。したがって，両辺を (n − 1) 回微分すると，
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
り，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
両辺を (n – 1) 回微分すると
f(z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · ·
，
)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z −
1
1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z −
f(z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · ·
(z − a)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z − a)n
+ · · ·
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
り，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · ·
，
)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z −
1
1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z −
f(z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · ·
(z − a)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z − a)n
+ · · ·
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
り，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
f(z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · ·
(z − a)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z − a)n
+ · · ·
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
り，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
f(z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · ·
，
)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z −
1
1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z −
f(z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · ·
(z − a)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z − a)n
+ · · ·
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
り，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
f(z) =
a−n
(z − a)n
+ · · · +
a−1
z − a
+ a0 + a1(z − a) + · · ·
(z − a)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z − a)n
+ · · ·
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
り，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
微分によって，a-1 の手前の項まで消える

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
(z − a) f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a) + a0(z − a) + · · ·
，べき級数が得られます。したがって，両辺を (n − 1) 回微分すると，
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
れます。これらのことは，孤立特異点つまり「穴」を囲んだ閉曲線上の積分が，留数で
数は上の式が計算できれば求められることを表しています。
，閉曲線 C の内部で，関数 f(z) が有限個の孤立特異点 b1, b2, . . . を除いて正則である
き，b1, b2, . . . のそれぞれを囲み C の内部にある円周を正の向きに一周する経路を C
，これまでと同様の考えで，コーシーの積分定理により
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ら，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ら，
z→a のとき，これらの項は0

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ら，
よって

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ら，
よって
− a) f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a) + a0(z − a) +
数が得られます。したがって，両辺を (n − 1) 回微分すると，
−1
n−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
これらのことは，孤立特異点つまり「穴」を囲んだ閉曲線上の積分が，留
式が計算できれば求められることを表しています。
C の内部で，関数 f(z) が有限個の孤立特異点 b1, b2, . . . を除いて正則
. . . のそれぞれを囲み C の内部にある円周を正の向きに一周する経路
でと同様の考えで，コーシーの積分定理により

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ら，
よって
−1
n−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
孤立特異点を囲んだ閉曲線上の積分は
留数で表される

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ら，
よって
−1
n−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
関数 f(z) と孤立特異点 a について，|f(z)| → ∞ (z → a) のとき，a を f(z) の
ローラン級数の負のべきの項が有限，すなわち級数が a−n (n 1) から始まるこ
略）。このとき，a を n 位の極といいます。なお，負のべきの項が無限に現れると
とよばれます。
留数
図 2 において，f(z) を円環部分の中にある円周 C′′ に沿って正の向きに１周し
ます。f(z) をローラン級数展開したものの各項を積分すると考えると，今回の最
分」により，
1
z − a
の項以外はすべて 0 となり，
a−1 =
1
2πi C′′
f(z)dz
3
本当は，ここで「無限級数の積分」を「積分の無限級数」に置き換えられるのは，当然ではあ
は略します。

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · ·
，
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ら，
よって
−1
n−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z)
関数 f(z) と孤立特異点 a について，|f(z)| → ∞ (z → a) のとき，a を f(z) の
ローラン級数の負のべきの項が有限，すなわち級数が a−n (n 1) から始まるこ
略）。このとき，a を n 位の極といいます。なお，負のべきの項が無限に現れると
とよばれます。
留数
図 2 において，f(z) を円環部分の中にある円周 C′′ に沿って正の向きに１周し
ます。f(z) をローラン級数展開したものの各項を積分すると考えると，今回の最
分」により，
1
z − a
の項以外はすべて 0 となり，
a−1 =
1
2πi C′′
f(z)dz
3
本当は，ここで「無限級数の積分」を「積分の無限級数」に置き換えられるのは，当然ではあ
は略します。
n位の極については，留数は別途求まる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
孤立特異点がいくつあっても
b1
C
C1
b2
C2
b3
C3
図 3: 有限個の孤立特異点を含む場合
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
b1
C
C1
b2
C2
b3
C3
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
このとき，b1, b2, . . . のそれぞれを囲み C の内部にある円周を正の向きに一周
すると，これまでと同様の考えで，コーシーの積分定理により
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ですから，
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·
がなりたちます。このことは，いくつかの「穴」を囲んだ閉曲線上の積分は，
数がわかれば求められることを示しています。
留数と定積分
留数の考えを使って，図 4 に示す，幅 2r・高さ r の長方形の経路 C に沿った
考えます。
1
z4 + 1
=
1
(z − 1+i√ )(z − −1+i√ )(z − −1−i√ )(z − 1−i√ )

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
b1
C
C1
b2
C2
b3
C3
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ですから，
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·
留数と定積分
考えます。
1
z4 + 1
=
1
(z − 1+i√ )(z − −1+i√ )(z − −1−i√ )(z − 1−i√ )
1 2
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ですから，
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·
がなりたちます。このことは，いくつかの「穴」を囲んだ閉曲線上の積分は，そ
留数と定積分
考えます。
1
z4 + 1
=
1
(z − 1+i√
2
)(z − −1+i√
2
)(z − −1−i√
2
)(z − 1−i√
2
)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
いくつかの孤立特異点を囲んだ
閉曲線上の積分は
それぞれの孤立特異点での
留数がわかれば求められる
b1
C
C1
b2
C2
b3
C3
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ですから，
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·
留数と定積分
考えます。
1
z4 + 1
=
1
(z − 1+i√ )(z − −1+i√ )(z − −1−i√ )(z − 1−i√ )
1 2
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ですから，
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·
がなりたちます。このことは，いくつかの「穴」を囲んだ閉曲線上の積分は，そ
留数と定積分
考えます。
1
z4 + 1
=
1
(z − 1+i√
2
)(z − −1+i√
2
)(z − −1−i√
2
)(z − 1−i√
2
)

A.Asano,KansaiUniv.
ようやく，最初の問題へ

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
複素関数にして積分する
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1 + i
√
2
; f) + Res(
−1 + i
√
2
; f) = −
なわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
が得られます。
／応用数学（解析）（2013 年度春学期）第１３回 (2013. 7. 9) http://
を計算する
経路は
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
図 4: 留数と定積分
図 4 の経路 C の内部に入っている極は，
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
だけです。ここで，(23) 式よ
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1 + i
√
2
; f) + Res(
−1 + i
√
2
; f) = −
なわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
を計算する
経路は
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·
このことは，いくつかの「穴」を囲んだ閉曲線上の積分は，それぞれ
られることを示しています。
って，図 4 に示す，幅 2r・高さ r の長方形の経路 C に沿った f(z) =
1
z4 + 1
=
1
(z − 1+i√
2
)(z − −1+i√
2
)(z − −1−i√
2
)(z − 1−i√
2
)
f(z) の孤立特異点
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
,
−1 − i
√
2
,
1 − i
√
2
は，すべて１位の極

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1 + i
√
2
; f) + Res(
−1 + i
√
2
; f) = −
なわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
を計算する
経路は
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·
1
z4 + 1
=
1
(z − 1+i√
2
)(z − −1+i√
2
)(z − −1−i√
2
)(z − 1−i√
2
)
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
,
−1 − i
√
2
,
1 − i
√
2
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0 (24
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · · (25
ます。このことは，いくつかの「穴」を囲んだ閉曲線上の積分は，それぞれの「穴」での留
ば求められることを示しています。
分
を使って，図 4 に示す，幅 2r・高さ r の長方形の経路 C に沿った f(z) =
1
z4 + 1
の積分を
1
z4 + 1
=
1
(z − 1+i√
2
)(z − −1+i√
2
)(z − −1−i√
2
)(z − 1−i√
2
)
(26
つある f(z) の孤立特異点
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
,
−1 − i
√
2
,
1 − i
√
2
は，すべて１位の極です。孤立特異点は，すべて1位の極

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1 + i
√
2
; f) + Res(
−1 + i
√
2
; f) = −
なわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
を計算する
経路は
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·
1
z4 + 1
=
1
(z − 1+i√
2
)(z − −1+i√
2
)(z − −1−i√
2
)(z − 1−i√
2
)
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
,
−1 − i
√
2
,
1 − i
√
2
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0 (24
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · · (25
ます。このことは，いくつかの「穴」を囲んだ閉曲線上の積分は，それぞれの「穴」での留
ば求められることを示しています。
分
を使って，図 4 に示す，幅 2r・高さ r の長方形の経路 C に沿った f(z) =
1
z4 + 1
の積分を
1
z4 + 1
=
1
(z − 1+i√
2
)(z − −1+i√
2
)(z − −1−i√
2
)(z − 1−i√
2
)
(26
つある f(z) の孤立特異点
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
,
−1 − i
√
2
,
1 − i
√
2
は，すべて１位の極です。孤立特異点は，すべて1位の極
展開するまでもなく

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
経路の内部にある孤立特異点は２つ
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
だけです。ここで，(2
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)
それぞれ留数を求める

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)
，
a)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z − a)n
+ · · · (21)
−1
−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · · (22)
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) (23)
れらのことは，孤立特異点つまり「穴」を囲んだ閉曲線上の積分が，留数で表され，し
が計算できれば求められることを表しています。
の内部で，関数 f(z) が有限個の孤立特異点 b1, b2, . . . を除いて正則であるとします。
. . のそれぞれを囲み C の内部にある円周を正の向きに一周する経路を C1, C2, . . . と
と同様の考えで，コーシーの積分定理により
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0 (24)
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · · (25)
このことは，いくつかの「穴」を囲んだ閉曲線上の積分は，それぞれの「穴」での留

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)
，
a)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z − a)n
+ · · · (21)
−1
−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · · (22)
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) (23)
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0 (24)
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · · (25)
n=1だから微分しなくてよい

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)
，
a)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z − a)n
+ · · · (21)
−1
−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · · (22)
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) (23)
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0 (24)
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · · (25)
0 r
x
√2 √2
–r
C
の内部に入っている極は，
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
だけです。ここで，(23) 式より
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)
=
1
(1+i√
2
− −1+i√
2
)(1+i√
2
− −1−i√
2
)(1+i√
2
− 1−i√
2
)
=
−1 − i
4
√
2
(27)
Res(
−1 + i
√
2
; f) =
1 − i
4
√
2
となります。

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)
，
a)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z − a)n
+ · · · (21)
−1
−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · · (22)
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) (23)
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0 (24)
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · · (25)
また，閉曲線 C の内部で，関数 f(z) が有限個の孤立特異点 b1, b2, . . . を除い
このとき，b1, b2, . . . のそれぞれを囲み C の内部にある円周を正の向きに一周す
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ですから，
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·
留数と定積分
考えます。
1
z4 + 1
=
1
(z − 1+i√
2
)(z − −1+i√
2
)(z − −1−i√
2
)(z − 1−i√
2
)
ですから，4 つある f(z) の孤立特異点
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
,
−1 − i
√
2
,
1 − i
√
2
は，すべて
4
こう言えるのは，ローラン級数が「一様収束」しているからです。詳細は略します。
浅野晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) http://rac
0 r
x
√2 √2
–r
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)
=
1
(1+i√
2
− −1+i√
2
)(1+i√
2
− −1−i√
2
)(1+i√
2
− 1−i√
2
)
=
−1 − i
4
√
2
(27)
Res(
−1 + i
√
2
; f) =
1 − i
4
√
2
となります。

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)
，
a)n
f(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · · + a−1(z − a)n−1
+ a0(z − a)n
+ · · · (21)
−1
−1
(z − a)n
f(z) = (n − 1)!a−1 +
n!
1!
a0(z − a) +
(n + 1)!
2!
a1(z − a)2
+ · · · (22)
Res(a; f) = a−1 =
1
(n − 1)!
lim
z→a
dn−1
dzn−1
(z − a)n
f(z) (23)
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0 (24)
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · · (25)
また，閉曲線 C の内部で，関数 f(z) が有限個の孤立特異点 b1, b2, . . . を除い
このとき，b1, b2, . . . のそれぞれを囲み C の内部にある円周を正の向きに一周す
C
f(z)dz −
C1
f(z)dz −
C2
f(z)dz − · · · = 0
ですから，
1
2πi C
f(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·
留数と定積分
考えます。
1
z4 + 1
=
1
(z − 1+i√
2
)(z − −1+i√
2
)(z − −1−i√
2
)(z − 1−i√
2
)
ですから，4 つある f(z) の孤立特異点
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
,
−1 − i
√
2
,
1 − i
√
2
は，すべて
4
こう言えるのは，ローラン級数が「一様収束」しているからです。詳細は略します。
浅野晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) http://rac
–r
図 4
1 +
√
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→1+i√
2
(
=
(1+i√
2
−
=
−1 −
4
√
2
−1 + i
√
2
; f) =
1 − i
4
√
2
となり同様に
0 r
x
√2 √2
–r
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
Res(
1 + i
√
2
; f) = lim
z→ 1+i√
2
(z −
1 + i
√
2
)f(z)
=
1
(1+i√
2
− −1+i√
2
)(1+i√
2
− −1−i√
2
)(1+i√
2
− 1−i√
2
)
=
−1 − i
4
√
2
(27)
Res(
−1 + i
√
2
; f) =
1 − i
4
√
2
となります。

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
よって
b2
C2
b3
C3
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
だけです。ここで，
2 4 2
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1 + i
√
2
; f) + Res(
−1 + i
√
2
; f) = −
i
2
√
2
，すなわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
野晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.miken
2 4 2
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1 + i
√
2
; f) + Res(
−1 + i
√
2
; f)
で，すなわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
浅野晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期）第１４回 (2015. 1. 8) h

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
よって
b2
C2
b3
C3
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
2 4 2
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1 + i
√
2
; f) + Res(
−1 + i
√
2
; f) = −
i
2
√
2
，すなわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
2 4 2
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1 + i
√
2
; f) + Res(
−1 + i
√
2
; f)
で，すなわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
では実関数の積分
∞
−∞
1
x4 + 1
の辺での
1
z4 + 1
の積分が，実軸上以外では r → ∞ のとき 0 になるこ
外の辺上では |z| r であることを用います。
側の立辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
は？

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
よって
b2
C2
b3
C3
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
2 4 2
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1 + i
√
2
; f) + Res(
−1 + i
√
2
; f) = −
i
2
√
2
，すなわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
2 4 2
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1 + i
√
2
; f) + Res(
−1 + i
√
2
; f)
で，すなわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
∞
−∞
1
x4 + 1
の辺での
1
z4 + 1
側の立辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
は？
r→∞ のとき，
実軸上以外は0
（略，プリントで）

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
よって
b2
C2
b3
C3
y
0
–1+i
r
x
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1 + i
√
2
,
−1 + i
√
2
2 4 2
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1 + i
√
2
; f) + Res(
−1 + i
√
2
; f) = −
i
2
√
2
，すなわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
2 4 2
1
2πi C
f(z)dz = Res(
1 + i
√
2
; f) + Res(
−1 + i
√
2
; f)
で，すなわち
C
1
z4 + 1
dz =
π
√
2
∞
−∞
1
x4 + 1
の辺での
1
z4 + 1
側の立辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
は？
r→∞ のとき，
実軸上以外は0
（略，プリントで）
を使って，実関数の積分
∞
−∞
1
x4 + 1
dx を求めることを考えます。
，それぞれの辺での
1
z4 + 1
の積分が，実軸上以外では r → ∞ のと
は，実軸以外の辺上では |z| r であることを用います。
長方形の右側の立辺では
r+ri
r
1
z4 + 1
dz
r+ri
r
1
|z|4 + 1
d|z|
r
0
1
r4 + 1
dy =
r
r4 + 1
のとき 0 になります。他の辺でも同様で，
∞
−∞
1
x4 + 1
dx =
π
√
2
がよって

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
今日のまとめ
孤立特異点の周りの積分を使って
関数を級数に展開することができる
留数
ローラン級数の形で積分すると
孤立特異点の周りの積分は留数で表せる
留数を使って積分を求める
n位の極については，留数を別の方法で
求めることで，積分が簡単に求められる

2015年度秋学期 応用数学（解析） 第１３回 孤立特異点と留数 (2015. 12. 17)

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