2015年度秋学期 応用数学（解析） 第１３回 孤立特異点と留数 (2015. 12. 17)
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関西大学総合情報学部 「統計学」（担当：浅野晃）
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- 4. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx を求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π
- 5. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx を求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π
- 6. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx を求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π
- 7. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx を求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を
- 8. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx を求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を y
- 9. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx を求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を y 複素平面に拡張
- 10. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx を求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi
- 11. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx を求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi こういう周C上で C
- 12. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx を求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi こういう周C上で C = (1+i√ 2 − = −1 − 4 √ 2 となり，同様に Res( −1 + i √ 2 ; f) = 1 − i 4 √ 2 となり よって，(25) 式より， 1 2πi C f(z)dz = Res( 1 で，すなわち C 1 z4 + 1 dz = π √ 2 が得られます 浅野 晃／応用数学（解析）（2013 年度春学期） 第１３回 を計算すると
- 13. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dx を求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi こういう周C上で C = (1+i√ 2 − = −1 − 4 √ 2 となり，同様に Res( −1 + i √ 2 ; f) = 1 − i 4 √ 2 となり よって，(25) 式より， 1 2πi C f(z)dz = Res( 1 で，すなわち C 1 z4 + 1 dz = π √ 2 が得られます 浅野 晃／応用数学（解析）（2013 年度春学期） 第１３回 を計算すると 上の積分も求まる
- 16. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez
- 17. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez
- 18. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez 積分は0
- 19. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ここからの話は 正則でない点を囲んで積分したら？ f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20
- 20. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ここからの話は 正則でない点を囲んで積分したら？ f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20
- 21. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ここからの話は 正則でない点を囲んで積分したら？ f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 積分は？
- 22. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ここからの話は 正則でない点を囲んで積分したら？ f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 積分は？ 正則でない「穴」によって決まる
- 24. A.Asano,KansaiUniv. f(z) = zn の積分
- 26. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える 関数をべき級数で表して， 各項の積分を考えるため f(z) = zn を，単位円周C に沿って正の向きに 回って積分する
- 27. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える 関数をべき級数で表して， 各項の積分を考えるため f(z) = zn を，単位円周C に沿って正の向きに 回って積分する 複素平面において 原点を中心とする 半径１の円周
- 28. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える 関数をべき級数で表して， 各項の積分を考えるため f(z) = zn を，単位円周C に沿って正の向きに 回って積分する 複素平面において 原点を中心とする 半径１の円周 実軸 虚軸 1 1
- 29. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える 関数をべき級数で表して， 各項の積分を考えるため f(z) = zn を，単位円周C に沿って正の向きに 回って積分する 複素平面において 原点を中心とする 半径１の円周 実軸 虚軸 1 1
- 30. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える 関数をべき級数で表して， 各項の積分を考えるため f(z) = zn を，単位円周C に沿って正の向きに 回って積分する 複素平面において 原点を中心とする 半径１の円周 実軸 虚軸 1 1 正の向き
- 31. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える n = 0, 1, 2, … のとき f(z) = z0, z1, z2, … は単位円周C の内部で正則 f(z) = zn の積分 今日の問題のような積分を考えるため 準備として，f(z) = zn を，単位円周（複 の向きにまわって積分した時の値を考え C を単位円周とします。まず，n = 0, 分定理により C f(z)dz = 0 です。 一方，n = −1, −2, . . . のとき，あらた f(z) は正則ではありません。この場合は 表されるので， C コーシーの積分定理により
- 32. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える n = –1, –2, –3, … のとき ややこしいので，あらためて えます。 , 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシ ためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ 2π とおいて n = 1, 2, 3, …とする
- 33. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える n = –1, –2, –3, … のとき ややこしいので，あらためて えます。 , 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシ ためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ 2π とおいて n = 1, 2, 3, …とする 考えるために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えます。その 単位円周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）にそって正 の値を考えます。 ず，n = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシーの積 です。 とき，あらためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で 。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) と C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) = 1 のとき 1 2π
- 34. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える n = –1, –2, –3, … のとき ややこしいので，あらためて えます。 , 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシ ためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ 2π とおいて n = 1, 2, 3, …とする 考えるために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えます。その 単位円周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）にそって正 の値を考えます。 ず，n = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシーの積 です。 とき，あらためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で 。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) と C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) = 1 のとき 1 2π 実軸 虚軸 1 1 C
- 35. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える n = –1, –2, –3, … のとき ややこしいので，あらためて えます。 , 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシ ためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ 2π とおいて n = 1, 2, 3, …とする 考えるために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えます。その 単位円周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）にそって正 の値を考えます。 ず，n = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシーの積 です。 とき，あらためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で 。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) と C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) = 1 のとき 1 2π 経路 C 上で 実軸 虚軸 1 1 C
- 36. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える n = –1, –2, –3, … のとき ややこしいので，あらためて えます。 , 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシ ためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ 2π とおいて n = 1, 2, 3, …とする 考えるために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えます。その 単位円周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）にそって正 の値を考えます。 ず，n = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシーの積 です。 とき，あらためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で 。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) と C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) = 1 のとき 1 2π 経路 C 上で るために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えま 周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）に を考えます。 = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コー 。 あらためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき 場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π e−inθ ieiθ dθ ない点、いわば「穴」があいている場合はどうなるか，が今回の話題です。 分を考えるために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えます。その ，単位円周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）にそって正 た時の値を考えます。 。まず，n = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシーの積 = 0 です。 のとき，あらためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で ん。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) と C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ (1) 実軸 虚軸 1 1 C
- 37. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える n = –1, –2, –3, … のとき ややこしいので，あらためて えます。 , 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシ ためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ 2π とおいて n = 1, 2, 3, …とする 考えるために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えます。その 単位円周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）にそって正 の値を考えます。 ず，n = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシーの積 です。 とき，あらためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で 。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) と C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) = 1 のとき 1 2π 経路 C 上で るために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えま 周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）に を考えます。 = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コー 。 あらためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき 場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π e−inθ ieiθ dθ ない点、いわば「穴」があいている場合はどうなるか，が今回の話題です。 分を考えるために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えます。その ，単位円周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）にそって正 た時の値を考えます。 。まず，n = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシーの積 = 0 です。 のとき，あらためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で ん。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) と C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ (1) 実軸 虚軸 1 1 C 置換積分
- 38. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える n = –1, –2, –3, … のとき ややこしいので，あらためて えます。 , 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシ ためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ 2π とおいて n = 1, 2, 3, …とする 考えるために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えます。その 単位円周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）にそって正 の値を考えます。 ず，n = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシーの積 です。 とき，あらためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で 。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) と C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) = 1 のとき 1 2π 経路 C 上で るために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えま 周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）に を考えます。 = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コー 。 あらためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき 場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π e−inθ ieiθ dθ ない点、いわば「穴」があいている場合はどうなるか，が今回の話題です。 分を考えるために，関数を級数で表して，各項に対する積分を考えます。その ，単位円周（複素平面における，原点を中心とする半径 1 の円周）にそって正 た時の値を考えます。 。まず，n = 0, 1, 2, . . . の場合は，円周内で zn は正則ですから，コーシーの積 = 0 です。 のとき，あらためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 で ん。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) と C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ (1) 実軸 虚軸 1 1 C 置換積分
- 39. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える について n = 1のときためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ き 1 2π = 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) ，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) ときは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) − 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 る半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . (4) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) きは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 半径 1 の円周を C とするとき，
- 40. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える について n = 1のときためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ き 1 2π = 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) ，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) ときは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) − 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 る半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . (4) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) きは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 半径 1 の円周を C とするとき， n = 1
- 41. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える について n = 1のときためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ き 1 2π = 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) ，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) ときは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) − 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 る半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . (4) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) きは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 半径 1 の円周を C とするとき， n = 1 C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) は，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) ときは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) − 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 する半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . (4)
- 42. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える について n = 1のときためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ き 1 2π = 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) ，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) ときは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) − 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 る半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . (4) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) きは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 半径 1 の円周を C とするとき， n = 1 C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) は，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) ときは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) − 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 する半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . (4) n = 2, 3, … のとき
- 43. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える について n = 1のときためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ き 1 2π = 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) ，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) ときは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) − 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 る半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . (4) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) きは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 半径 1 の円周を C とするとき， n = 1 C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) は，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) ときは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) − 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 する半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . (4) n = 2, 3, … のとき C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ ( 分は，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi ( のときは C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 ( 2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 とする半径 1 の円周を C とするとき，
- 44. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える について n = 1のときためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ き 1 2π = 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) ，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) ときは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) − 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 る半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . (4) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) きは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 半径 1 の円周を C とするとき， n = 1 C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) は，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) ときは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) − 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 する半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . (4) n = 2, 3, … のとき C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ ( 分は，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi ( のときは C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 ( 2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 とする半径 1 の円周を C とするとき， f(z) は正則ではありません。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z 表されるので， C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ となります。この積分は，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi となり，n = 2, 3, . . . のときは C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 で，e2(1−n)πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 ですより
- 45. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える について n = 1のときためて f(z) = 1 zn (n = 1, 2, . . . ) とおきます。このとき，z = 0 は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z = eiθ (0 θ < 2π) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ き 1 2π = 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) ，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) ときは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) − 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 る半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . (4) C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) きは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 半径 1 の円周を C とするとき， n = 1 C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ (1) は，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi (2) ときは C 1 zn dz = i e2(n−1)πi − 1 (3) − 1)π) + i sin(2(n − 1)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 する半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . (4) n = 2, 3, … のとき C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ ( 分は，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi ( のときは C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 ( 2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 とする半径 1 の円周を C とするとき， f(z) は正則ではありません。この場合は，単位円周 C を正の向きにまわる z が z 表されるので， C f(z)dz = 2π 0 e−inθ dz dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ となります。この積分は，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi となり，n = 2, 3, . . . のときは C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 で，e2(1−n)πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 ですより 一方，n = −1, −2, . . . のとき，あらためて f(z f(z) は正則ではありません。この場合は，単位円 表されるので， C f(z)dz = = = となります。この積分は，n = 1 のとき C 1 z dz = となり，n = 2, 3, . . . のときは C 1 zn dz = i( C f(z)dz = 0 e−inθ dθ dθ = 2π 0 e−inθ ieiθ dθ = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ ます。この積分は，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi ，n = 2, 3, . . . のときは C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 1−n)πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 で
- 46. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える つまり C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi = 2, 3, . . . のときは C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の a を中心とする半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, 1 − n )πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分 ，a を中心とする半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . す。 用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) ht = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 = i 0 ei(1−n)θ dθ = i 2π 0 dθ = 2πi i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 )π) = 1 ですから上の積分は 0 です。
- 47. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える つまり C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi = 2, 3, . . . のときは C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の a を中心とする半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, 1 − n )πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分 ，a を中心とする半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . す。 用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) ht = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 = i 0 ei(1−n)θ dθ = i 2π 0 dθ = 2πi i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 )π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 また，a を中心とする半径1の円周を C とすると
- 48. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える つまり C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi = 2, 3, . . . のときは C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の a を中心とする半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, 1 − n )πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分 ，a を中心とする半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . す。 用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) ht = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 = i 0 ei(1−n)θ dθ = i 2π 0 dθ = 2πi i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 )π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 また，a を中心とする半径1の円周を C とすると 実軸 虚軸 C a
- 49. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. zn の積分を考える つまり C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi = 2, 3, . . . のときは C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の a を中心とする半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, 1 − n )πi = cos(2(1 − n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分 ，a を中心とする半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . す。 用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) ht = i 2π 0 ei(1−n)θ dθ のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 = i 0 ei(1−n)θ dθ = i 2π 0 dθ = 2πi i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 )π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 また，a を中心とする半径1の円周を C とすると = i 0 e dθ ，n = 1 のとき C 1 z dz = i 2π 0 dθ = 2πi きは C 1 zn dz = i i(1 − n) ei(1−n)θ 2π 0 = 1 1 − n e2(1−n)πi − 1 n)π) + i sin(2(1 − n)π) = 1 ですから上の積分は 0 です。 半径 1 の円周を C とするとき， C 1 (z − a)n dz = 2πi n = 1 0 n = 2, 3, . . . 実軸 虚軸 C a
- 52. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 正則関数の任意の点での値は， その点を囲む閉曲線上の値だけできまる 領域 D で正則な関数fの点 z における値 f(z) は， D 内で点 z を囲み，正の方向に１周する閉曲線 C 上の積分 図 1: コーシーの積分公式 ，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が，D 内で点 z を囲み に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ す。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線と f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってし 関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたよ での関数の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それ で表される z = 0 のときは 原点を囲み，正の方向に１周する閉曲線 C 上の積分 P 図 1: コーシーの積分公式 ，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が，D 内で点 z を囲み 沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ す。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線と f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってし で表される
- 57. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式
- 58. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式
- 59. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点
- 60. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で
- 61. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で を積分 シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が， 周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値 しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り 考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう， はありません。 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側 れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではあり に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この 関数
- 62. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で を積分 シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が， 周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値 しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り 考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう， はありません。 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側 れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではあり に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この 関数
- 63. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で を積分 シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が， 周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値 しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り 考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう， はありません。 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側 れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではあり に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この 関数
- 64. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で を積分 シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が， 周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値 しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り 考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう， はありません。 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側 れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではあり に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この 関数
- 65. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で を積分 シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が， 周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値 しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り 考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう， はありません。 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側 れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではあり に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この 関数
- 66. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で を積分 シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が， 周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値 しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り 考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう， はありません。 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側 れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではあり に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この 関数
- 67. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で を積分 シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が， 周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値 しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り 考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう， はありません。 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側 れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではあり に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この 関数
- 68. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で を積分 シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が， 周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値 しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り 考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう， はありません。 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側 れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではあり に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この 関数
- 69. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で を積分 シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が， 周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値 しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り 考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう， はありません。 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側 れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではあり に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この 関数
- 70. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で 原点では正則でないが を積分 シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が， 周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値 しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り 考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう， はありません。 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側 れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではあり に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この 関数
- 71. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で 原点では正則でないが グレーの部分では正則 を積分 シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が， 周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値 しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り 考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう， はありません。 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側 れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではあり に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この 関数
- 72. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 f(z) = 2πi C ζ − z dζ (5) に z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に一周する閉曲線として f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ (6) 数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値だけで決まってしまうこ 軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り目がなく曲げたようなも の値が周囲での値によって決まってしまう，というのは，それほど不 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側で原点を囲む半径 r の円 を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではありませんが，P から C を正 きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線で，その内 て，コーシーの積分定理により Q f(ζ) f(ζ) P f(ζ) を考える O C Cr P Q 図 1: コーシーの積分公式 原点 こういう経路で 原点では正則でないが グレーの部分では正則 を積分 シーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における値 f(z) が， 周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ れるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲み正の方向に f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ ます。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む閉曲線上の値 しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃとどこにも折り 考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まってしまう， はありません。 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C とその内側 れに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正則ではあり に１周→ PQ → C を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この 関数 コーシーの積分定理により， 積分＝０
- 73. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， 両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 ζ は原点で正則ではありませんが，P か 周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線 ζ) は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) するのかは，参考文献を参照してください。 数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp
- 74. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， 両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 ζ は原点で正則ではありませんが，P か 周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線 ζ) は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) するのかは，参考文献を参照してください。 数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp
- 75. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， 両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 ζ は原点で正則ではありませんが，P か 周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線 ζ) は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) するのかは，参考文献を参照してください。 数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp
- 76. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， 両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 ζ は原点で正則ではありませんが，P か 周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線 ζ) は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) するのかは，参考文献を参照してください。 数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp
- 77. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， 両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 ζ は原点で正則ではありませんが，P か 周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線 ζ) は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) するのかは，参考文献を参照してください。 数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp 同じ経路を逆方向だから 打ち消し合う
- 78. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， 両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 ζ は原点で正則ではありませんが，P か 周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線 ζ) は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) するのかは，参考文献を参照してください。 数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp 同じ経路を逆方向だから 打ち消し合う
- 79. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， 両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 ζ は原点で正則ではありませんが，P か 周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線 ζ) は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) するのかは，参考文献を参照してください。 数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp 同じ経路を逆方向だから 打ち消し合う
- 80. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， 両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 ζ は原点で正則ではありませんが，P か 周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線 ζ) は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) するのかは，参考文献を参照してください。 数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp C とは逆回りだからマイナス 同じ経路を逆方向だから 打ち消し合う
- 81. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， 両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 ζ は原点で正則ではありませんが，P か 周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線 ζ) は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) するのかは，参考文献を参照してください。 数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp C とは逆回りだからマイナス 同じ経路を逆方向だから 打ち消し合う の向きに１周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると 部で関数 f(ζ) ζ は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方 の正の方向に沿った積分 となるので， −Cr f(ζ) ζ dζ = − Cr f(ζ) ζ dζ C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) htt
- 82. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により， 両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 ζ は原点で正則ではありませんが，P か 周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると，この経路は閉曲線 ζ) は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f(ζ) ζ dζ = 0 の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) するのかは，参考文献を参照してください。 数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp C とは逆回りだからマイナス 同じ経路を逆方向だから 打ち消し合う の向きに１周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考えると 部で関数 f(ζ) ζ は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + P Q f で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方 の正の方向に沿った積分 となるので， −Cr f(ζ) ζ dζ = − Cr f(ζ) ζ dζ C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) htt つまり の」と考えれば，ある点での関数の値が周囲での値によって決まっ 思議ではありません。 (6) 式の意味を考えるため，図 1 のような，原点を囲む閉曲線 C Cr，それに両者を結ぶ線分 PQ を考えます。関数 f(ζ) ζ は原点で正 の向きに１周→ PQ → Cr を逆向きに１周→ QP という経路を考え 部で関数 f(ζ) ζ は正則です。よって，コーシーの積分定理により C f(ζ) ζ dζ + Q P f(ζ) ζ dζ + −Cr f(ζ) ζ dζ + で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の の正の方向に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ となります。r → 0 のとき，上式の右辺は f(0) dζ に収束し 1，
- 83. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q 積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は (−1) × C ので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ (8 式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分を使うと Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) (9 照してください。 学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ
- 84. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると 積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は (−1) × C ので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ (8 式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分を使うと Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) (9 照してください。 学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ
- 85. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると 積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は (−1) × C ので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ (8 式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分を使うと Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) (9 照してください。 学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ
- 86. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると 積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は (−1) × C ので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ (8 式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分を使うと Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) (9 照してください。 学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に の正の方向に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ となります。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 1 なぜ収束するのかは，参考文献を参照してください。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://r に収束する （詳細略）
- 87. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると 積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は (−1) × C ので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ (8 式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分を使うと Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) (9 照してください。 学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に の正の方向に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ となります。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 1 なぜ収束するのかは，参考文献を参照してください。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://r に収束する （詳細略） C ζ P ζ −Cr ζ Q で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方 の正の方向に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ となります。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 1 なぜ収束するのかは，参考文献を参照してください。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) ht
- 88. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると 積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は (−1) × C ので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ (8 式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分を使うと Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) (9 照してください。 学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に の正の方向に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ となります。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 1 なぜ収束するのかは，参考文献を参照してください。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://r に収束する （詳細略） C ζ P ζ −Cr ζ Q で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方 の正の方向に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ となります。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 1 なぜ収束するのかは，参考文献を参照してください。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) ht
- 89. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると 積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は (−1) × C ので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ (8 式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分を使うと Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) (9 照してください。 学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に の正の方向に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ となります。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 1 なぜ収束するのかは，参考文献を参照してください。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://r に収束する （詳細略） C ζ P ζ −Cr ζ Q で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方 の正の方向に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ となります。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 1 なぜ収束するのかは，参考文献を参照してください。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) ht
- 90. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると 積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は (−1) × C ので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ (8 式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分を使うと Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) (9 照してください。 学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に の正の方向に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ となります。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 1 なぜ収束するのかは，参考文献を参照してください。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://r に収束する （詳細略） C ζ P ζ −Cr ζ Q で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方 の正の方向に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ となります。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 1 なぜ収束するのかは，参考文献を参照してください。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) ht よって
- 91. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分公式 O C Cr P Q 内側の円の半径→0とすると 積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に沿った積分は (−1) × C ので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ (8 式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明した 1 z の積分を使うと Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) (9 照してください。 学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方向）に の正の方向に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ となります。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節で説明 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 1 なぜ収束するのかは，参考文献を参照してください。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) http://r に収束する （詳細略） C ζ P ζ −Cr ζ Q で，P → Q の積分と Q → P の積分は打ち消し合い，−Cr（Cr の負の方 の正の方向に沿った積分 となるので， C f(ζ) ζ dζ = Cr f(ζ) ζ dζ となります。r → 0 のとき，上式の右辺は Cr f(0) ζ dζ に収束し 1，前節 Cr f(0) ζ dζ = f(0) Cr 1 ζ dζ = 2πif(0) 1 なぜ収束するのかは，参考文献を参照してください。 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度春学期） 第１４回 (2015. 1. 8) ht よって P 図 1: コーシーの積分公式 コーシーの積分公式 コーシーの積分公式は，領域 D で正則な関数 f の点 z における 向に１周する閉曲線 C に沿った積分を使って f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ と表されるというものです。とくに z = 0 のとき，C を原点を囲 f(0) = 1 2πi C f(ζ) ζ dζ となります。この公式は，正則関数 f の点 z での値は，z を囲む とを示しています。正則関数を「軟らかい板を，ぐにゃぐにゃと
- 94. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ここからの見通し 孤立特異点とは f(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 こういう，正則関数にあいた「穴」 （１点を除いて正則）
- 96. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ローラン級数展開 孤立特異点の周りの経路で積分 前と同じ考えで，コーシーの積分公式より a C Cʹ P Q Cʹʹ 図 2: 孤立特異点とローラン級数展開 前と同じ経路で り，今日の最初に述べた「穴」です。 のとき，a を中心とする円周 C と，その内部にありやはり a を中心とする円 に，P から C を正の向きに１周→ PQ → C′ を逆向きに１周→ QP という閉 と，経路の内部で f(z) は正則ですから，f(z) をコーシーの積分公式を用いて と同様の関係を考慮すると f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ ります。 こで，(10) 式の第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は | < |ζ − a| です。そこで， 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a 形すると，右辺の 2 つめの分数は初項 1，公比 z − a ζ − a の等比級数の和で表され
- 97. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ローラン級数展開 孤立特異点の周りの経路で積分 前と同じ考えで，コーシーの積分公式より a C Cʹ P Q Cʹʹ 図 2: 孤立特異点とローラン級数展開 前と同じ経路で り，今日の最初に述べた「穴」です。 のとき，a を中心とする円周 C と，その内部にありやはり a を中心とする円 に，P から C を正の向きに１周→ PQ → C′ を逆向きに１周→ QP という閉 と，経路の内部で f(z) は正則ですから，f(z) をコーシーの積分公式を用いて と同様の関係を考慮すると f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ ります。 こで，(10) 式の第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は | < |ζ − a| です。そこで， 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a 形すると，右辺の 2 つめの分数は初項 1，公比 z − a ζ − a の等比級数の和で表され
- 98. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ローラン級数展開 孤立特異点の周りの経路で積分 前と同じ考えで，コーシーの積分公式より a C Cʹ P Q Cʹʹ 図 2: 孤立特異点とローラン級数展開 前と同じ経路で り，今日の最初に述べた「穴」です。 のとき，a を中心とする円周 C と，その内部にありやはり a を中心とする円 に，P から C を正の向きに１周→ PQ → C′ を逆向きに１周→ QP という閉 と，経路の内部で f(z) は正則ですから，f(z) をコーシーの積分公式を用いて と同様の関係を考慮すると f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ ります。 こで，(10) 式の第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は | < |ζ − a| です。そこで， 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a 形すると，右辺の 2 つめの分数は初項 1，公比 z − a ζ − a の等比級数の和で表され
- 99. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ローラン級数展開f(z) は正則ですから，f(z) をコーシーの積分公式を用いて表すことができま 考慮すると f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は C の内部にある 。そこで， 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a の 2 つめの分数は初項 1，公比 z − a ζ − a の等比級数の和で表され， 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · ·
- 100. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ローラン級数展開f(z) は正則ですから，f(z) をコーシーの積分公式を用いて表すことができま 考慮すると f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は C の内部にある 。そこで， 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a の 2 つめの分数は初項 1，公比 z − a ζ − a の等比級数の和で表され， 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · ·
- 101. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ローラン級数展開f(z) は正則ですから，f(z) をコーシーの積分公式を用いて表すことができま 考慮すると f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は C の内部にある 。そこで， 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a の 2 つめの分数は初項 1，公比 z − a ζ − a の等比級数の和で表され， 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · · f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 。 (10) 式の第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は C − a| です。そこで， 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a と，右辺の 2 つめの分数は初項 1，公比 z − a ζ − a の等比級数の和で表され， 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · · 。同様に，(10) 式の第２項の積分の過程では，ζ が内側の経路 C′ を動き
- 102. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ローラン級数展開f(z) は正則ですから，f(z) をコーシーの積分公式を用いて表すことができま 考慮すると f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は C の内部にある 。そこで， 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a の 2 つめの分数は初項 1，公比 z − a ζ − a の等比級数の和で表され， 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · · f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 。 (10) 式の第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は C − a| です。そこで， 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a と，右辺の 2 つめの分数は初項 1，公比 z − a ζ − a の等比級数の和で表され， 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · · 。同様に，(10) 式の第２項の積分の過程では，ζ が内側の経路 C′ を動き
- 103. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ローラン級数展開 等比級数の形 f(z) は正則ですから，f(z) をコーシーの積分公式を用いて表すことができま 考慮すると f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は C の内部にある 。そこで， 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a の 2 つめの分数は初項 1，公比 z − a ζ − a の等比級数の和で表され， 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · · f(z) = 1 2πi C f(ζ) ζ − z dζ − 1 2πi C′ f(ζ) ζ − z dζ 。 (10) 式の第１項の積分の過程では，ζ が外側の経路 C を動き，z は C − a| です。そこで， 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a · 1 1 − z − a ζ − a と，右辺の 2 つめの分数は初項 1，公比 z − a ζ − a の等比級数の和で表され， 1 ζ − z = 1 ζ − a 1 + z − a ζ − a + z − a ζ − a 2 + · · · 。同様に，(10) 式の第２項の積分の過程では，ζ が内側の経路 C′ を動き