2015年度秋学期　応用数学（解析）　第４回　収束とは何か，ε-δ論法 (2015. 10. 22)

1. A.Asano,KansaiUniv. 2015年度秋学期応用数学（解析）浅野晃関西大学総合情報学部第1部・「無限」の理解収束とは何か，ε-δ論法第４回

2. A.Asano,KansaiUniv.

3. A.Asano,KansaiUniv. 微分を習ったときの説明

5. A.Asano,KansaiUniv. 何かだまされている気がする

6. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 微分の説明るば「f(x) = x2 を x で微分せよ」という問題を次のように説明されたと df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x (1 0 に近づいているだけで，まだ 0 ではないから」といって h で割っていとしています。これはおかしくありませんか？収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」と関数 f(x) = x2 の微分

9. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 微分の説明 h はゼロに近づいているだけで，ゼロではないから，分母分子を h で割るるば「f(x) = x2 を x で微分せよ」という問題を次のように説明されたと df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x (1 0 に近づいているだけで，まだ 0 ではないから」といって h で割っていとしています。これはおかしくありませんか？収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」と関数 f(x) = x2 の微分

10. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 微分の説明 h はゼロに近づいているだけで，ゼロではないから，分母分子を h で割るるば「f(x) = x2 を x で微分せよ」という問題を次のように説明されたと df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x (1 0 に近づいているだけで，まだ 0 ではないから」といって h で割っていとしています。これはおかしくありませんか？収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」と関数 f(x) = x2 の微分

11. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 微分の説明 h はゼロに近づいているだけで，ゼロではないから，分母分子を h で割るるば「f(x) = x2 を x で微分せよ」という問題を次のように説明されたと df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x (1 0 に近づいているだけで，まだ 0 ではないから」といって h で割っていとしています。これはおかしくありませんか？収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」とやっぱり h はゼロ関数 f(x) = x2 の微分

12. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 微分の説明 h はゼロに近づいているだけで，ゼロではないから，分母分子を h で割るるば「f(x) = x2 を x で微分せよ」という問題を次のように説明されたと df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x (1 0 に近づいているだけで，まだ 0 ではないから」といって h で割っていとしています。これはおかしくありませんか？収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」とやっぱり h はゼロこれっておかしくありませんか？関数 f(x) = x2 の微分

14. A.Asano,KansaiUniv. 収束＝「限りなく近づく」ことの意味

15. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

17. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

18. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α ε α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) ε

19. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α α – ε α + ε ε α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) ε

20. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは a1 α α – ε α + ε ε ε

21. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 α α – ε α + ε ε ε

22. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2 α α – ε α + ε ε ε

23. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε ε ε

24. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε ε ε …

25. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1

26. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1aN

27. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1aN N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

28. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

29. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

30. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る …

31. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α – ε α + ε ε ε

32. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る εをどんなに小さくしても α – ε α + ε ε ε

33. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても

34. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても

35. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN

36. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN

37. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN …

38. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN そういうNがある …

39. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

41. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば

42. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

43. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとはる」とは，数学では次のような意味だと理解されて狭い区間 [α − ε, α + ε] を設定しても 1， N まで進めば，については，an はみなその狭い区間 [α − ε, α + ε] に ∀ε > 0, ∃N; n > N ⇒ |an − α| < ε α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

44. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとはる」とは，数学では次のような意味だと理解されて狭い区間 [α − ε, α + ε] を設定しても 1， N まで進めば，については，an はみなその狭い区間 [α − ε, α + ε] に ∀ε > 0, ∃N; n > N ⇒ |an − α| < ε α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε – N 論法

47. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散する

48. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，

49. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，数列が十分大きな番号 N まで進めば

50. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみな G より大きくなる

51. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみな G より大きくなるびます。図 1 の「４コマ漫画」で，この様子を説明し列 {an} が ∞ に発散する」とはってきても，まで進めば，ついては，an は G より大きくなる。 ∀G, ∃N; n > N ⇒ an > G く小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

54. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていない

55. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]

56. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどんなに狭い区間[α – ε, α + ε] どんなに大きな数 G 十分大きな番号 N

57. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどれも「無限」ではなく有限どんなに狭い区間[α – ε, α + ε] どんなに大きな数 G 十分大きな番号 N

58. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどれも「無限」ではなく有限どんなに狭い区間[α – ε, α + ε] どんなに大きな数 G 十分大きな番号 N ただし，求めに応じて好きなだけ狭く・大きくできる

59. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどれも「無限」ではなく有限どんなに狭い区間[α – ε, α + ε] どんなに大きな数 G 十分大きな番号 N ただし，求めに応じて好きなだけ狭く・大きくできる

61. A.Asano,KansaiUniv. 実数の連続性と収束

62. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 実数の連続性と収束実数の有界な単調数列は収束する実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現数列{an}が「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

68. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 実数の連続性と収束実数の有界な単調数列は収束する有界（このへんに達することはできない）実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現数列{an}が「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

69. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 実数の連続性と収束実数の有界な単調数列は収束する有界（このへんに達することはできない）実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現数列{an}が「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … …

70. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 実数の連続性と収束実数の有界な単調数列は収束する有界（このへんに達することはできない）実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現単調増加だからつねに増加していくが，収束する数列{an}が「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … …

71. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する α

72. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する α α′ α より小さい α′ を考えると

73. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると

74. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある

75. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目

76. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目

77. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目つまり，

78. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an つまり，

79. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an ば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，あるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ことを証明せよ。 ak つまり，

80. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an 数列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，な α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，一方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ます。■ ， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。うな番号 k をもってきて， ak = C とおきます。すると，n > k のときば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，あるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ことを証明せよ。 ak つまり，

81. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an 数列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，な α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，一方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ます。■ ， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。うな番号 k をもってきて， ak = C とおきます。すると，n > k のときば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，あるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ことを証明せよ。 ak 列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存 α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えるす。■ つまり，

82. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an 数列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，な α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，一方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ます。■ ， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。うな番号 k をもってきて， ak = C とおきます。すると，n > k のときば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，あるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ことを証明せよ。 ak 列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存 α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えるす。■ α′ はどれだけ α に近くてもよいつまり，

83. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an 数列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，な α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，一方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ます。■ ， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。うな番号 k をもってきて， ak = C とおきます。すると，n > k のときば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，あるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ことを証明せよ。 ak 列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存 α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えるす。■ α′ はどれだけ α に近くてもよいこれをε( > 0)と考えるとつまり，

84. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an 数列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，な α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，一方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ます。■ ， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。うな番号 k をもってきて， ak = C とおきます。すると，n > k のときば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，あるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ことを証明せよ。 ak 列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存 α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えるす。■ α′ はどれだけ α に近くてもよいこれをε( > 0)と考えると ε つまり，

85. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an 数列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，な α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，一方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ます。■ ， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。うな番号 k をもってきて， ak = C とおきます。すると，n > k のときば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，あるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ことを証明せよ。 ak 列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存 α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えるす。■ α′ はどれだけ α に近くてもよいこれをε( > 0)と考えると α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても，そこに入る an がある ε つまり，

86. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する …α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an 数列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，な α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，一方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ます。■ ， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。うな番号 k をもってきて， ak = C とおきます。すると，n > k のときば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，あるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ことを証明せよ。 ak 列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存 α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えるす。■ α′ はどれだけ α に近くてもよいこれをε( > 0)と考えると α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても，そこに入る an がある ε つまり， {an} は α に収束する

88. A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束に関する例題

89. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 a > 0 のとき例題 a > 0 のとき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とお an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × n−k を証明せよ。

90. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 a > 0 のとき例題 a > 0 のとき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とお an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × n−k を証明せよ。小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小ので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ることを証明せよ。てきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) （小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えると置く。番号 k は，k > 2a であるとする。

91. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 a > 0 のとき例題 a > 0 のとき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とお an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × n−k を証明せよ。小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小ので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ることを証明せよ。てきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) （小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えると置く。番号 k は，k > 2a であるとする。 n > k となる番号 n について，

92. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 a > 0 のとき例題 a > 0 のとき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とお an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × n−k を証明せよ。小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小ので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ることを証明せよ。てきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) （小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えると置く。番号 k は，k > 2a であるとする。 n > k となる番号 n について，単調に増加する数列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存在 α′ < α となるような α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以 α′ よりも大きく，一方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p) で an の隔たりは α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となりますさければどれだけ α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えるとすることがわかります。■ 例題 a > 0 のとき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k の an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × k + で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) 1 n−k C · 2k C · 2k

93. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 a > 0 のとき例題 a > 0 のとき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とお an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × n−k を証明せよ。小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小ので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束ることを証明せよ。てきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) （小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えると置く。番号 k は，k > 2a であるとする。 n > k となる番号 n について，単調に増加する数列 {an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存在 α′ < α となるような α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以 α′ よりも大きく，一方上限 α 以下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p) で an の隔たりは α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となりますさければどれだけ α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えるとすることがわかります。■ 例題 a > 0 のとき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k の an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × k + で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) 1 n−k C · 2k C · 2k 界ならば，Weierstrass の定理により上限 α が存在します。このとき，ます。この数列は単調増加ですから，ある番号 p 以降の an (n > p) は，下ではあるはずです。つまり α′ < an α (n > p) です。よって，α とりも小さい，すなわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小よいので，α − α′ を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束であることを証明せよ。もってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) a a a

94. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k の an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ 関数の極限であることを証明せよ。ってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるなります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■

95. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k の an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ 関数の極限であることを証明せよ。ってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるなります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ k > 2a なので

96. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k の an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ 関数の極限であることを証明せよ。ってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるなります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ k > 2a なのでかります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考え代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■

101. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k の an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ 関数の極限であることを証明せよ。ってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるなります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ k > 2a なのでかります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考え代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ かります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき n ! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4 すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5 できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考える代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■

105. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k の an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ 関数の極限であることを証明せよ。ってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるなります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ k > 2a なのでかります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考え代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ かります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき n ! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4 すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5 できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考える代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ わかります。■ のとき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。あるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるに代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■

108. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k の an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ 関数の極限であることを証明せよ。ってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるなります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ k > 2a なのでかります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考え代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ かります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき n ! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4 すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5 できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考える代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ わかります。■ のとき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。あるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるに代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ そこで，どんな小さな ε( > 0) についても，番号 n がであればわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束せよ。 C とおきます。すると，n > k のとき C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) + 2 × · · · × a 2a + (n − k) · 2k 2n < C · 2k n (5) の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるち， an は 0 に収束します。■

109. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k の an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ 関数の極限であることを証明せよ。ってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるなります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ k > 2a なのでかります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考え代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ かります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき n ! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4 すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5 できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考える代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ わかります。■ のとき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。あるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるに代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ そこで，どんな小さな ε( > 0) についても，番号 n がであればわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束せよ。 C とおきます。すると，n > k のとき C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) + 2 × · · · × a 2a + (n − k) · 2k 2n < C · 2k n (5) の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるち， an は 0 に収束します。■

110. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k の an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ 関数の極限であることを証明せよ。ってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるなります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ k > 2a なのでかります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考え代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ かります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき n ! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4 すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5 できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考える代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ わかります。■ のとき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。あるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるに代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ そこで，どんな小さな ε( > 0) についても，番号 n がであればわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束せよ。 C とおきます。すると，n > k のとき C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) + 2 × · · · × a 2a + (n − k) · 2k 2n < C · 2k n (5) の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるち， an は 0 に収束します。■ n→∞ n! k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C と an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数と，上の式に代入して an n! < ε となります。すなわち， a n

111. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ n! = 0 であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k の an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ 関数の極限であることを証明せよ。ってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるなります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ k > 2a なのでかります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考え代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ かります。■ とき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。るような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき n ! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4 すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5 できます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考える代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ わかります。■ のとき， lim n→∞ an n! = 0 であることを証明せよ。あるような番号 k をもってきて， ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ができます。そこで，ある（小さな）正の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるに代入して an n! < ε となります。すなわち， an n! は 0 に収束します。■ そこで，どんな小さな ε( > 0) についても，番号 n がであればわち |α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小を上の収束の定義の ε と考えると，{an} は α に収束せよ。 C とおきます。すると，n > k のとき C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) + 2 × · · · × a 2a + (n − k) · 2k 2n < C · 2k n (5) の数 ε をもってきて，n > C · 2k ε となる n を考えるち， an は 0 に収束します。■ n→∞ n! k > 2a であるような番号 k をもってきて， ak k! = C と an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × < C × 1 2 n−k = C · 2k 2n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数と，上の式に代入して an n! < ε となります。すなわち， a n つまり {an / n!} は 0 に収束する

113. A.Asano,KansaiUniv. 関数の極限

114. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる関数の極限ここまでに述べた数列の収束 lim x→a f(x) = A であることは，次どんなに小さな正の数 ε x と a の隔たりをある δ f(x) と A の隔たりも ε よこれを，数学の表現では ∀ε と書きます。この表現をε-δ この定義で，最初に述べた微けであってあくまで 0 ではないとしているのは，収束する先が 2 ε-N 論法もε-δ論法に含めて，関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x

115. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる関数の極限ここまでに述べた数列の収束 lim x→a f(x) = A であることは，次どんなに小さな正の数 ε x と a の隔たりをある δ f(x) と A の隔たりも ε よこれを，数学の表現では ∀ε と書きます。この表現をε-δ この定義で，最初に述べた微けであってあくまで 0 ではないとしているのは，収束する先が 2 ε-N 論法もε-δ論法に含めて，関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても

116. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる関数の極限ここまでに述べた数列の収束 lim x→a f(x) = A であることは，次どんなに小さな正の数 ε x と a の隔たりをある δ f(x) と A の隔たりも ε よこれを，数学の表現では ∀ε と書きます。この表現をε-δ この定義で，最初に述べた微けであってあくまで 0 ではないとしているのは，収束する先が 2 ε-N 論法もε-δ論法に含めて，関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δδ a 横軸で a との隔たり δ をそれに応じて小さくすれば

117. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる関数の極限ここまでに述べた数列の収束 lim x→a f(x) = A であることは，次どんなに小さな正の数 ε x と a の隔たりをある δ f(x) と A の隔たりも ε よこれを，数学の表現では ∀ε と書きます。この表現をε-δ この定義で，最初に述べた微けであってあくまで 0 ではないとしているのは，収束する先が 2 ε-N 論法もε-δ論法に含めて，関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δδ a 横軸で a との隔たり δ をそれに応じて小さくすれば x と a との隔たりが δ より小さければ

118. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる関数の極限ここまでに述べた数列の収束 lim x→a f(x) = A であることは，次どんなに小さな正の数 ε x と a の隔たりをある δ f(x) と A の隔たりも ε よこれを，数学の表現では ∀ε と書きます。この表現をε-δ この定義で，最初に述べた微けであってあくまで 0 ではないとしているのは，収束する先が 2 ε-N 論法もε-δ論法に含めて，関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δδ a 横軸で a との隔たり δ をそれに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さければ

119. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる関数の極限ここまでに述べた数列の収束 lim x→a f(x) = A であることは，次どんなに小さな正の数 ε x と a の隔たりをある δ f(x) と A の隔たりも ε よこれを，数学の表現では ∀ε と書きます。この表現をε-δ この定義で，最初に述べた微けであってあくまで 0 ではないとしているのは，収束する先が 2 ε-N 論法もε-δ論法に含めて，関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δδ a 横軸で a との隔たり δ をそれに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さければ f(x)

120. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる関数の極限ここまでに述べた数列の収束 lim x→a f(x) = A であることは，次どんなに小さな正の数 ε x と a の隔たりをある δ f(x) と A の隔たりも ε よこれを，数学の表現では ∀ε と書きます。この表現をε-δ この定義で，最初に述べた微けであってあくまで 0 ではないとしているのは，収束する先が 2 ε-N 論法もε-δ論法に含めて，関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δδ a 横軸で a との隔たり δ をそれに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さければ f(x) と A との隔たりも ε より小さいf(x)

121. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 関数の極限どんなに小さな ε を考えても(ε > 0) x と a との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる

122. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 関数の極限どんなに小さな ε を考えても(ε > 0) x と a との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできることは，次のように定義されます。正の数 ε を持ってきても，をある δ より小さくすれば，りも ε より小さくできる。は ∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε をε-δ論法とよびます 2。述べた微分の問題を考えてみると，h → 0 という表現でではないので，割り算をしてもいい，ということになり

2015年度秋学期　応用数学（解析）　第４回　収束とは何か，ε-δ論法 (2015. 10. 22)

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