関西大学総合情報学部　2013年度春学期　画像情報処理　第３回／ 第１部・画像のサンプリングと周波数「フーリエ変換とサンプリング定理」 担当・浅野晃　2013/4/24

1. A.Asano,KansaiUniv.
2013年度春学期 画像情報処理
浅野 晃
関西大学総合情報学部
フーリエ変換とサンプリング定理
第３回

2. A.Asano,KansaiUniv.

3. A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換

4. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期関数は，フーリエ級数で表される
周期 L の
周期関数
f(x)
…
…
周期L

5. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期関数は，フーリエ級数で表される
周期 L の
周期関数
f(x)
…
…
周期L
L
ているのは，L/n が周期であることから，n/L が「単位時間あたり何周
ち周波数を表しているので，これに 2π をかければ「単位時間あたり
といいかえることができるからです。2π(n/L) を角周波数 (angular fr
よる表現を用いると，関数 f(x) は，次のような級数で表されます。
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
，「同じ基本周期の波をかけあわせて，周期 L にわたって積分したと
の波をかけあわせて積分すると 0 になる」という性質があります。なぜ
いては，付録を参照してください。
年度春学期） 第２回 (2011. 4. 17) http://racco.mikeneko.jp/
という波の足し合わせ（級数）で表される
（フーリエ級数展開）

6. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期関数は，フーリエ級数で表される
周期 L の
周期関数
f(x)
…
…
周期L
L
ているのは，L/n が周期であることから，n/L が「単位時間あたり何周
ち周波数を表しているので，これに 2π をかければ「単位時間あたり
といいかえることができるからです。2π(n/L) を角周波数 (angular fr
よる表現を用いると，関数 f(x) は，次のような級数で表されます。
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
，「同じ基本周期の波をかけあわせて，周期 L にわたって積分したと
の波をかけあわせて積分すると 0 になる」という性質があります。なぜ
いては，付録を参照してください。
年度春学期） 第２回 (2011. 4. 17) http://racco.mikeneko.jp/
という波の足し合わせ（級数）で表される
（フーリエ級数展開）
係数 ak（フーリエ係数）は
i2π L
L − L
2
=
1
i2πm−n
L
exp i2π
m − n
L
L
2
− exp −i2π
m − n
L
L
2
=
L
m − n
sin π(m − n)L = 0
り，m = n のときは
L
2
− L
2
exp(0)dx = [x]
L
2
− L
2
= L
るからです。この積分を２つの波の内積とよびます。また，このような性
交関数系とよびます。直交関数系については，第２部で画像情報圧縮につ
り扱います。
て，関数 f(x) と上の指数関数を使って，次の計算をしてみましょう。k は
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
k
L
x dxak =

7. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期関数でない場合は？
… …
周期L

8. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期関数でない場合は？
… …
周期L
… …
L →大

9. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期関数でない場合は？
… …
周期L
… …
L →大
L →

10. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期関数でない場合は？
非周期関数は
周期が無限大と
考える
… …
周期L
… …
L →大
L →

11. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期 L が大きくなっていくと
フーリエ係数
周波数（1/波長）
1/L 2/L0 3/L 4/L
…
間隔1/L

12. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期 L が大きくなっていくと
フーリエ係数
周波数（1/波長）
1/L 2/L0 3/L 4/L
…
間隔1/L
L →大

13. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期 L が大きくなっていくと
フーリエ係数
周波数（1/波長）
1/L 2/L0 3/L 4/L
…
間隔1/L
L →大
1/L 2/L0 3/L 4/L
…

14. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期 L が大きくなっていくと
フーリエ係数
周波数（1/波長）
1/L 2/L0 3/L 4/L
…
間隔1/L
L →大
L→∞
1/L 2/L0 3/L 4/L
…

15. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期 L が大きくなっていくと
フーリエ係数
周波数（1/波長）
1/L 2/L0 3/L 4/L
…
間隔1/L
L →大
L→∞
1/L 2/L0 3/L 4/L
…
…

16. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期 L が大きくなっていくと
フーリエ係数
周波数（1/波長）
1/L 2/L0 3/L 4/L
…
間隔1/L
L →大
L→∞
1/L 2/L0 3/L 4/L
…
…
間隔1/L は
周波数の差
Δν で表す

17. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期 L が大きくなっていくと
フーリエ係数
周波数（1/波長）
1/L 2/L0 3/L 4/L
…
間隔1/L
L →大
L→∞
1/L 2/L0 3/L 4/L
…
…
間隔1/L は
周波数の差
Δν で表す
Δν→0

18. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
周期 L が大きくなっていくと
フーリエ係数
周波数（1/波長）
1/L 2/L0 3/L 4/L
…
間隔1/L
L →大
L→∞
1/L 2/L0 3/L 4/L
…
…
間隔1/L は
周波数の差
Δν で表す
フーリエ係数が
間なく並ぶ
Δν→0

19. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
周期 L の周期関数 f(x) は，
よる表現を用いると，関数 f(x) は，次のような級数で表されます。
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
，「同じ基本周期の波をかけあわせて，周期 L にわたって積分したとき
波をかけあわせて積分すると 0 になる」という性質があります。なぜ
ては，付録を参照してください。
度春学期） 第２回 (2011. 4. 17) http://racco.mikeneko.jp/

20. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
周期 L の周期関数 f(x) は，
よる表現を用いると，関数 f(x) は，次のような級数で表されます。
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
，「同じ基本周期の波をかけあわせて，周期 L にわたって積分したとき
波をかけあわせて積分すると 0 になる」という性質があります。なぜ
ては，付録を参照してください。
度春学期） 第２回 (2011. 4. 17) http://racco.mikeneko.jp/
an =
は，関数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し合わせ
こで L が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなります
級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを
そこで，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，
リエ係数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
をあわせると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ e
となります。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波
で表します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総
よって，
∞ ∞

21. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
周期 L の周期関数 f(x) は，
よる表現を用いると，関数 f(x) は，次のような級数で表されます。
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
，「同じ基本周期の波をかけあわせて，周期 L にわたって積分したとき
波をかけあわせて積分すると 0 になる」という性質があります。なぜ
ては，付録を参照してください。
度春学期） 第２回 (2011. 4. 17) http://racco.mikeneko.jp/
an =
は，関数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し合わせ
こで L が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなります
級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを
そこで，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，
リエ係数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
をあわせると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ e
となります。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波
で表します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総
よって，
∞ ∞
1/L =Δν とする

22. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
周期 L の周期関数 f(x) は，
よる表現を用いると，関数 f(x) は，次のような級数で表されます。
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
，「同じ基本周期の波をかけあわせて，周期 L にわたって積分したとき
波をかけあわせて積分すると 0 になる」という性質があります。なぜ
ては，付録を参照してください。
度春学期） 第２回 (2011. 4. 17) http://racco.mikeneko.jp/
an =
は，関数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し合わせ
こで L が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなります
級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを
そこで，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，
リエ係数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
をあわせると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ e
となります。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波
で表します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総
よって，
∞ ∞
1/L =Δν とする
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し合わせであることを示
が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなります。このことは，f
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
∞ ∞

23. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
周期 L の周期関数 f(x) は，
よる表現を用いると，関数 f(x) は，次のような級数で表されます。
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
，「同じ基本周期の波をかけあわせて，周期 L にわたって積分したとき
波をかけあわせて積分すると 0 になる」という性質があります。なぜ
ては，付録を参照してください。
度春学期） 第２回 (2011. 4. 17) http://racco.mikeneko.jp/
an =
は，関数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し合わせ
こで L が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなります
級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを
そこで，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，
リエ係数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
をあわせると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ e
となります。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波
で表します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総
よって，
∞ ∞
1/L =Δν とする
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し合わせであることを示
が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなります。このことは，f
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
∞ ∞

24. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
周期 L の周期関数 f(x) は，
よる表現を用いると，関数 f(x) は，次のような級数で表されます。
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
，「同じ基本周期の波をかけあわせて，周期 L にわたって積分したとき
波をかけあわせて積分すると 0 になる」という性質があります。なぜ
ては，付録を参照してください。
度春学期） 第２回 (2011. 4. 17) http://racco.mikeneko.jp/
an =
は，関数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し合わせ
こで L が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなります
級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを
そこで，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，
リエ係数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
をあわせると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ e
となります。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波
で表します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総
よって，
∞ ∞
1/L =Δν とする
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し合わせであることを示
が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなります。このことは，f
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
∞ ∞
紛らわしいので別の文字に

25. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす
L→∞のときΔν→0
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
れます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
という積分になる
このとき
のなかの総和（Σ）が，
式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
と，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさしま
す。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
す。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx

26. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす
L→∞のときΔν→0
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
れます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
という積分になる
このとき
のなかの総和（Σ）が，
式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
と，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさしま
す。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
す。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx

27. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす
L→∞のときΔν→0
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
れます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
という積分になる
このとき
のなかの総和（Σ）が，
式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
と，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさしま
す。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
す。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx

28. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす
L→∞のときΔν→0
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
れます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
という積分になる
このとき
のなかの総和（Σ）が，
式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
と，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさしま
す。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
す。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx

29. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす
L→∞のときΔν→0
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
れます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
という積分になる
このとき
のなかの総和（Σ）が，
式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
と，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさしま
す。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
す。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx

30. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす
L→∞のときΔν→0
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
れます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
という積分になる
このとき
のなかの総和（Σ）が，
式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
と，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさしま
す。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
す。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
？？？

31. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分とは？
この面積を
求めたい
f(x)
x
0 a

32. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分とは？
この面積を
求めたい
f(x)
x
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
0 a

33. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分とは？
この面積を
求めたい
f(x)
x
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a

34. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分とは？
この面積を
求めたい
f(x)
x
るでしょうか。
この場合は，「周期が無限大である」と考えます。すなわち，前
L としましたが，今回は L → ∞ となったときの極限を考えます。
フーリエ級数の式（前回の (1) 式）
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
は，関数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し
こで L が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなり
級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆく
そこで，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。この
リエ係数の式（前回の (5) 式）
1
L
2 n
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a

35. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分とは？
この面積を
求めたい
Δx → 0
区切りを無限に細かく
f(x)
x
るでしょうか。
この場合は，「周期が無限大である」と考えます。すなわち，前
L としましたが，今回は L → ∞ となったときの極限を考えます。
フーリエ級数の式（前回の (1) 式）
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
は，関数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し
こで L が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなり
級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆく
そこで，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。この
リエ係数の式（前回の (5) 式）
1
L
2 n
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a

36. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分とは？
この面積を
求めたい
Δx → 0
区切りを無限に細かく
f(x)
x
るでしょうか。
この場合は，「周期が無限大である」と考えます。すなわち，前
L としましたが，今回は L → ∞ となったときの極限を考えます。
フーリエ級数の式（前回の (1) 式）
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
は，関数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し
こで L が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなり
級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆく
そこで，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。この
リエ係数の式（前回の (5) 式）
1
L
2 n
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a
て説明しました。では，元の関数が，周期関数でない一般の関数
期が無限大である」と考えます。すなわち，前回の例では，周期関
回は L → ∞ となったときの極限を考えます。
（前回の (1) 式）
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
a
0
f(x)dx これが積分

37. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす
L→∞のときΔν→0
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
れます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
という積分になる
このとき
のなかの総和（Σ）が，
式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
と，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさしま
す。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
す。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx

38. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす
L→∞のときΔν→0
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
れます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
という積分になる
このとき
のなかの総和（Σ）が，
式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
と，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさしま
す。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
す。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx

39. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす
L→∞のときΔν→0
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
れます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
という積分になる
このとき
のなかの総和（Σ）が，
式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
と，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさしま
す。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
す。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx

40. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす
L→∞のときΔν→0
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
れます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
という積分になる
このとき
のなかの総和（Σ）が，
式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
と，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさしま
す。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
す。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx

41. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす
L→∞のときΔν→0
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
れます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
という積分になる
このとき
のなかの総和（Σ）が，
式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
と，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさしま
す。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
す。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx

42. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
級数から積分へ
nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす
L→∞のときΔν→0
表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆくことを示しています。
で，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。このとき，上のフーリエ級
数の式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
せると，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
ます。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。
します。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積
，
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
れます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
という積分になる
このとき
のなかの総和（Σ）が，
式（前回の (5) 式）
1
L
L
2
− L
2
f(x) exp −i2π
n
L
x dx
と，上の ∆ν を使って
f(x) =
∞
n=−∞
∆ν
L
2
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさしま
す。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
す。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
！！！

43. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを
。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分にな
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
報処理（2013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/
を

44. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを
。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分にな
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
報処理（2013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/
を

45. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを
。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分にな
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
報処理（2013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/
を
は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを，周
，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分になり
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
を，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 1/7

46. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを
。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分にな
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
報処理（2013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/
を
は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを，周
，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分になり
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
を，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 1/7
は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを，
L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分にな
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
3 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/

47. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを
。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分にな
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
報処理（2013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/
を
は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを，周
，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分になり
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
を，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 1/7
は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを，
L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分にな
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
3 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/
と分けて書く

48. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換
。n∆ν は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを
。また，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分にな
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
報処理（2013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/
を
は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを，周
，L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分になり
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
を，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 1/7
は，（周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを，
L → ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分にな
f(x) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
3 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/
と分けて書く
フーリエ変換対 という

49. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換
x) =
−∞ −∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν (6
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx (7
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν (8
年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 1/7 ページ
フーリエ変換

50. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換
x) =
−∞ −∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν (6
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx (7
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν (8
年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 1/7 ページ
フーリエ変換
関数 f(x) に，どのような周波数の波がどれだけ
含まれているか

51. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換
x) =
−∞ −∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν (6
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx (7
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν (8
年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 1/7 ページ
フーリエ変換
関数 f(x) に，どのような周波数の波がどれだけ
含まれているか
フーリエ係数の並びが，周波数の間隔がどんどん小さ
くなって，ついにはひとつの関数 F(ν) になる

52. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換
x) =
−∞ −∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν (6
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx (7
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν (8
年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 1/7 ページ
n=−∞
∆ν
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを，周
→ ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分になりま
) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 1/7
フーリエ変換
関数 f(x) に，どのような周波数の波がどれだけ
含まれているか
逆フーリエ変換
フーリエ係数の並びが，周波数の間隔がどんどん小さ
くなって，ついにはひとつの関数 F(ν) になる

53. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換
x) =
−∞ −∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν (6
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx (7
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν (8
年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 1/7 ページ
n=−∞
∆ν
− L
2
f(τ) exp (−i2πn∆ντ) dτ exp (i2πn∆νx)
周波数の差）×（項の個数）ですからある周波数をさします。これを，周
→ ∞ のとき ∆ν → 0 ですから，∆ν を含む総和は，dν を含む積分になりま
) =
∞
−∞
∞
−∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx) dν
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 1/7
フーリエ変換
関数 f(x) に，どのような周波数の波がどれだけ
含まれているか
逆フーリエ変換
フーリエ係数の並びが，周波数の間隔がどんどん小さ
くなって，ついにはひとつの関数 F(ν) になる
周波数 ν の波 exp(i2πxν) に，対応するフーリエ係数
F(ν) をかけたものを合計（積分）すると， f(x) に戻る

54. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
２次元の場合は
f(x) =
−∞ −∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx
が得られます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://
１次元のフーリエ変換
２次元のフーリエ変換
波がどの程度含まれているかを表しています。上で述べたように，フーリエ級数
たので，級数で隣接する波の間隔が 0 に近づいていきます。したがって，フーリ
ついに連続関数 F(ν) に達するわけです。f(x) が存在する空間を実空間，F(ν) が
空間とよびます。また，f(x) と F(ν) をフーリエ変換対とよびます。
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数の
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy
F(νx, νy) =
∞
−∞
∞
−∞
f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνy
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数
サンプリングとサンプリング定理
連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布
取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）と
とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的
ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定

55. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
２次元の場合は
f(x) =
−∞ −∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx
が得られます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://
１次元のフーリエ変換
この式は，x, y それぞれに１次元のフーリエ変換
をしたことになっている
２次元のフーリエ変換
波がどの程度含まれているかを表しています。上で述べたように，フーリエ級数
たので，級数で隣接する波の間隔が 0 に近づいていきます。したがって，フーリ
ついに連続関数 F(ν) に達するわけです。f(x) が存在する空間を実空間，F(ν) が
空間とよびます。また，f(x) と F(ν) をフーリエ変換対とよびます。
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数の
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy
F(νx, νy) =
∞
−∞
∞
−∞
f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνy
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数
サンプリングとサンプリング定理
連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布
取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）と
とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的
ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定

56. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
２次元の場合は
f(x) =
−∞ −∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx
が得られます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://
１次元のフーリエ変換
この式は，x, y それぞれに１次元のフーリエ変換
をしたことになっている
２次元のフーリエ変換
波がどの程度含まれているかを表しています。上で述べたように，フーリエ級数
たので，級数で隣接する波の間隔が 0 に近づいていきます。したがって，フーリ
ついに連続関数 F(ν) に達するわけです。f(x) が存在する空間を実空間，F(ν) が
空間とよびます。また，f(x) と F(ν) をフーリエ変換対とよびます。
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数の
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy
F(νx, νy) =
∞
−∞
∞
−∞
f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνy
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数
サンプリングとサンプリング定理
連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布
取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）と
とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的
ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定
分けて表すとき，式 (7) をフーリエ変換 (Fourier transformation)，式 (8) を逆
ourier transformation) とよびます。関数 F(ν) は，もとの関数 f(x) に，どのよ
程度含まれているかを表しています。上で述べたように，フーリエ級数において
級数で隣接する波の間隔が 0 に近づいていきます。したがって，フーリエ係数の
続関数 F(ν) に達するわけです。f(x) が存在する空間を実空間，F(ν) が存在する
びます。また，f(x) と F(ν) をフーリエ変換対とよびます。
では１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy
F(νx, νy) =
∞
−∞
∞
−∞
f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)dy
す。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
ングとサンプリング定理

57. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
２次元の場合は
f(x) =
−∞ −∞
f(τ) exp (−i2πντ) dτ exp (i2πνx
が得られます。これを，
F(ν) =
∞
−∞
f(x) exp (−i2πνx) dx
f(x) =
∞
−∞
F(ν) exp (i2πxν) dν
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第３回 (2013. 4. 24) http://
１次元のフーリエ変換
この式は，x, y それぞれに１次元のフーリエ変換
をしたことになっている
２次元のフーリエ変換
波がどの程度含まれているかを表しています。上で述べたように，フーリエ級数
たので，級数で隣接する波の間隔が 0 に近づいていきます。したがって，フーリ
ついに連続関数 F(ν) に達するわけです。f(x) が存在する空間を実空間，F(ν) が
空間とよびます。また，f(x) と F(ν) をフーリエ変換対とよびます。
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数の
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy
F(νx, νy) =
∞
−∞
∞
−∞
f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνy
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数
サンプリングとサンプリング定理
連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布
取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）と
とき，間隔をある程度より細かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的
ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定
分けて表すとき，式 (7) をフーリエ変換 (Fourier transformation)，式 (8) を逆
ourier transformation) とよびます。関数 F(ν) は，もとの関数 f(x) に，どのよ
程度含まれているかを表しています。上で述べたように，フーリエ級数において
級数で隣接する波の間隔が 0 に近づいていきます。したがって，フーリエ係数の
続関数 F(ν) に達するわけです。f(x) が存在する空間を実空間，F(ν) が存在する
びます。また，f(x) と F(ν) をフーリエ変換対とよびます。
では１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy
F(νx, νy) =
∞
−∞
∞
−∞
f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)dy
す。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
ングとサンプリング定理
のように分けて表すとき，式 (7) をフーリエ変換 (Fouri
(inverse Fourier transformation) とよびます。関数 F(ν)
波がどの程度含まれているかを表しています。上で述べた
たので，級数で隣接する波の間隔が 0 に近づいていきます
ついに連続関数 F(ν) に達するわけです。f(x) が存在する
空間とよびます。また，f(x) と F(ν) をフーリエ変換対と
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像の
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(ν
F(νx, νy) =
∞
−∞
∞
−∞
f(x, y) exp(−i
exp(a + b) = exp(a) exp(b)注：

58. A.Asano,KansaiUniv.

59. A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングとサンプリング定理

60. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングとサンプリング定理
連続関数を
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理

61. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングとサンプリング定理
連続関数を 離散的に
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理

62. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングとサンプリング定理
連続関数を 離散的に
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理
サンプリング定理
ある程度細かい間隔でサンプリングすれば，
もとの連続関数に戻せる

63. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングとサンプリング定理
連続関数を 離散的に
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理
サンプリング定理
ある程度細かい間隔でサンプリングすれば，
もとの連続関数に戻せる

64. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングとサンプリング定理
連続関数を 離散的に
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理
サンプリング定理
ある程度細かい間隔でサンプリングすれば，
もとの連続関数に戻せる
もとの関数に含まれる
最高の周波数による

65. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングとサンプリング定理
連続関数を 離散的に
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理
サンプリング定理
ある程度細かい間隔でサンプリングすれば，
もとの連続関数に戻せる
もとの関数に含まれる
最高の周波数による
「細かい」関数は
細かくサンプリング

66. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングとは
連続関数を 離散的に
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理

67. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングとは
連続関数を 離散的に
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理
この１本１本は何？

68. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングとは
連続関数を 離散的に
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理
この１本１本は何？
ディラックのデルタ関数 δ(x)

69. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
ディラックのデルタ関数δ(x)．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s de
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
いえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（
「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となりま
グを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わ
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
を用いてはいけないのでしょうか？

70. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
ディラックのデルタ関数δ(x)
x = 0 の１点以外
すべてゼロ
．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s de
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
いえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（
「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となりま
グを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わ
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
を用いてはいけないのでしょうか？

71. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
ディラックのデルタ関数δ(x)
x = 0 の１点以外
すべてゼロ
．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s de
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
いえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（
「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となりま
グを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わ
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
を用いてはいけないのでしょうか？
x = 0 をはさんで
積分すると1

72. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
ディラックのデルタ関数δ(x)
x = 0 の１点以外
すべてゼロ
．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s de
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
いえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（
「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となりま
グを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わ
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
を用いてはいけないのでしょうか？
x = 0 をはさんで
積分すると1

73. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
ディラックのデルタ関数δ(x)
x = 0 の１点以外
すべてゼロ
．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s de
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
いえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（
「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となりま
グを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わ
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
を用いてはいけないのでしょうか？
x = 0 をはさんで
積分すると1

74. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
ディラックのデルタ関数δ(x)
x = 0 の１点以外
すべてゼロ
．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s de
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
いえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（
「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となりま
グを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わ
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
を用いてはいけないのでしょうか？
x = 0 をはさんで
積分すると1
何ですかこれ？？

75. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分って何でしたっけ？
この面積を
求めたい
f(x)
x
0 a

76. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分って何でしたっけ？
この面積を
求めたい
f(x)
x
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
0 a

77. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分って何でしたっけ？
この面積を
求めたい
f(x)
x
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a

78. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分って何でしたっけ？
この面積を
求めたい
f(x)
x
るでしょうか。
この場合は，「周期が無限大である」と考えます。すなわち，前
L としましたが，今回は L → ∞ となったときの極限を考えます。
フーリエ級数の式（前回の (1) 式）
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
は，関数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し
こで L が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなり
級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆく
そこで，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。この
リエ係数の式（前回の (5) 式）
1
L
2 n
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a

79. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分って何でしたっけ？
この面積を
求めたい
Δx → 0
区切りを無限に細かく
f(x)
x
るでしょうか。
この場合は，「周期が無限大である」と考えます。すなわち，前
L としましたが，今回は L → ∞ となったときの極限を考えます。
フーリエ級数の式（前回の (1) 式）
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
は，関数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し
こで L が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなり
級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆく
そこで，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。この
リエ係数の式（前回の (5) 式）
1
L
2 n
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a

80. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分って何でしたっけ？
この面積を
求めたい
Δx → 0
区切りを無限に細かく
f(x)
x
るでしょうか。
この場合は，「周期が無限大である」と考えます。すなわち，前
L としましたが，今回は L → ∞ となったときの極限を考えます。
フーリエ級数の式（前回の (1) 式）
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
は，関数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し
こで L が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなり
級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆく
そこで，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。この
リエ係数の式（前回の (5) 式）
1
L
2 n
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a
した。では，元の関数が，周期関数でない一般の関数のときは，ど
である」と考えます。すなわち，前回の例では，周期関数 f(x) の周
∞ となったときの極限を考えます。
) 式）
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
a
0
f(x)dx これが積分

81. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
積分って何でしたっけ？
この面積を
求めたい
Δx → 0
区切りを無限に細かく
f(x)
x
るでしょうか。
この場合は，「周期が無限大である」と考えます。すなわち，前
L としましたが，今回は L → ∞ となったときの極限を考えます。
フーリエ級数の式（前回の (1) 式）
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
は，関数 f(x) が基本周期が L, L/2, L/3, . . . , L/n, . . . の波の足し
こで L が大きくなると，n/L と (n + 1)/L の差 1/L は小さくなり
級数で表したとき，隣り合う波の周波数の差は小さくなってゆく
そこで，この周波数の差 1/L を ∆ν で表すことにします。この
リエ係数の式（前回の (5) 式）
1
L
2 n
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a
した。では，元の関数が，周期関数でない一般の関数のときは，ど
である」と考えます。すなわち，前回の例では，周期関数 f(x) の周
∞ となったときの極限を考えます。
) 式）
f(x) =
∞
n=−∞
an exp i2π
n
L
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
a
0
f(x)dx これが積分
しかし，デルタ関数は
１点以外すべてゼロで
幅はないのですが…

82. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
ディラックのデルタ関数δ(x)
x = 0 の１点以外
すべてゼロ
．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s de
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
いえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（
「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となりま
グを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わ
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
を用いてはいけないのでしょうか？
x = 0 をはさんで
積分すると1

83. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
ディラックのデルタ関数δ(x)
x = 0 の１点以外
すべてゼロ
．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s de
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
いえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（
「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となりま
グを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わ
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
を用いてはいけないのでしょうか？
x = 0 をはさんで
積分すると1
0
x
こんなふうに
表さざるを得ない

84. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
ディラックのデルタ関数δ(x)
x = 0 の１点以外
すべてゼロ
．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s de
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
いえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（
「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となりま
グを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わ
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
を用いてはいけないのでしょうか？
x = 0 をはさんで
積分すると1
0
x
こんなふうに
表さざるを得ない
高さは，何だともいえない

85. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
ディラックのデルタ関数δ(x)
x = 0 の１点以外
すべてゼロ
．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s de
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
いえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（
「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となりま
グを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わ
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
を用いてはいけないのでしょうか？
x = 0 をはさんで
積分すると1
0
x
こんなふうに
表さざるを得ない
高さは，何だともいえない
もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，
関数 (comb function)
combT (x) =
∞
n=−∞
δ(x − n
をかけたもの，すなわち
fT (x) = f(x)combT (x)
として表されます（図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関
もので，
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)d
∞
−∞
kδ(x)dx = k
というものです。簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，
たがって，くし形関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだも
ところで，サンプリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし
（「無限」でもない。なぜなら→

86. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
くし形関数combT(x)とサンプリング
くし形関数
いるとします。
でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のく
combT (x) =
∞
n=−∞
δ(x − nT)
fT (x) = f(x)combT (x)
ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta function) とよば
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
えば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパルス）」です
インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
を行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに
x
......
T
δ(x)
...
δ(x–T)
δ(x–nT)
図 2: くし形関数
それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。し
べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明
てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分
きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。
さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため
がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換に
を用います。
FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν)
ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」
（convolution, 畳み込み積分）という演算で，

87. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
くし形関数combT(x)とサンプリング
くし形関数
サンプリング
いるとします。
でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のく
combT (x) =
∞
n=−∞
δ(x − nT)
fT (x) = f(x)combT (x)
ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta function) とよば
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
えば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパルス）」です
インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
を行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに
x
......
T
δ(x)
...
δ(x–T)
δ(x–nT)
図 2: くし形関数
それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。し
べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明
てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分
きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。
さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため
がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換に
を用います。
FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν)
ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」
（convolution, 畳み込み積分）という演算で，
与えられているとします。
) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表され
ion)
combT (x) =
∞
n=−∞
δ(x − nT)
すなわち
fT (x) = f(x)combT (x)
す（図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
。簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ
形関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
ンプリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに

88. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
くし形関数combT(x)とサンプリング
くし形関数
サンプリング
いるとします。
でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のく
combT (x) =
∞
n=−∞
δ(x − nT)
fT (x) = f(x)combT (x)
ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta function) とよば
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
えば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパルス）」です
インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
を行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに
x
......
T
δ(x)
...
δ(x–T)
δ(x–nT)
図 2: くし形関数
それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。し
べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明
てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分
きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。
さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため
がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換に
を用います。
FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν)
ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」
（convolution, 畳み込み積分）という演算で，
与えられているとします。
) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表され
ion)
combT (x) =
∞
n=−∞
δ(x − nT)
すなわち
fT (x) = f(x)combT (x)
す（図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
。簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ
形関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
ンプリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに
輝度f(x)
位置x
fT(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7)
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。

89. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
くし形関数combT(x)とサンプリング
くし形関数
サンプリング
いるとします。
でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のく
combT (x) =
∞
n=−∞
δ(x − nT)
fT (x) = f(x)combT (x)
ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta function) とよば
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
えば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパルス）」です
インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
を行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに
x
......
T
δ(x)
...
δ(x–T)
δ(x–nT)
図 2: くし形関数
それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。し
べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明
てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分
きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。
さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため
がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換に
を用います。
FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν)
ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」
（convolution, 畳み込み積分）という演算で，
与えられているとします。
) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表され
ion)
combT (x) =
∞
n=−∞
δ(x − nT)
すなわち
fT (x) = f(x)combT (x)
す（図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
。簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ
形関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
ンプリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに
輝度f(x)
位置x
fT(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7)
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
x
......
T
δ(x)
...
δ(x–T)
δ(x–nT)
図 2: くし形関数
それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を
べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロにな
てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 とい

90. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
くし形関数combT(x)とサンプリング
くし形関数
サンプリング
いるとします。
でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のく
combT (x) =
∞
n=−∞
δ(x − nT)
fT (x) = f(x)combT (x)
ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta function) とよば
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
えば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパルス）」です
インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
を行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに
x
......
T
δ(x)
...
δ(x–T)
δ(x–nT)
図 2: くし形関数
それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。し
べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明
てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分
きわめて奇妙な関数（正式には超関数）なのです。
さて，サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため
がどうなるかを調べてみましょう。ここで，２つの関数の積のフーリエ変換に
を用います。
FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν)
ここで，FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また，記号「∗」
（convolution, 畳み込み積分）という演算で，
与えられているとします。
) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表され
ion)
combT (x) =
∞
n=−∞
δ(x − nT)
すなわち
fT (x) = f(x)combT (x)
す（図 2）．ここで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
−∞
δ(x)dx = 1
。簡単にいえば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパ
形関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
ンプリングを行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに
輝度f(x)
位置x
fT(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7)
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
輝度f(x)
位置x
fT(x)
x
サンプリング
x
......
T
δ(x)
...
δ(x–T)
δ(x–nT)
図 2: くし形関数
それはだめです。(11) 式の関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を
べて元の関数にかけると，それも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロにな
てしまうわけで，これはおかしいです。デルタ関数は，幅がゼロなのに，積分すると 0 でなく 1 とい
＝

91. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
こんなややこしい関数でなければいけないの？
ディラックのデルタ関数ではなく，これを並べて
くし形関数にしてはだめ？
x
T
図 2: くし形関数
x
......
T
...
1
0
図 3: くし形関数
となります。(20) 式の右辺では y が −∞ から ∞ まで動くわけですが，t = y のと
ですから，f(y)δ(t − y) の積分への寄与は 0 です。よって，
f(t) ∗ δ(t) =
∞
−∞
f(y)δ(t − y)dy
=
∞
−∞
f(y)δ(t − t)dy
= f(t)
∞
−∞
δ(0)dy = f(t)
−∞
kδ(x)dx = k (13)
ば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパルス）」です。し
ンパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
(14)
いてはいけないのでしょうか？
関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並
れも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ
期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ

92. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
こんなややこしい関数でなければいけないの？
ディラックのデルタ関数ではなく，これを並べて
くし形関数にしてはだめ？
だめです。
x
T
図 2: くし形関数
x
......
T
...
1
0
図 3: くし形関数
となります。(20) 式の右辺では y が −∞ から ∞ まで動くわけですが，t = y のと
ですから，f(y)δ(t − y) の積分への寄与は 0 です。よって，
f(t) ∗ δ(t) =
∞
−∞
f(y)δ(t − y)dy
=
∞
−∞
f(y)δ(t − t)dy
= f(t)
∞
−∞
δ(0)dy = f(t)
−∞
kδ(x)dx = k (13)
ば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパルス）」です。し
ンパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
(14)
いてはいけないのでしょうか？
関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並
れも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ
期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ

93. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
こんなややこしい関数でなければいけないの？
ディラックのデルタ関数ではなく，これを並べて
くし形関数にしてはだめ？
だめです。
x
T
図 2: くし形関数
x
......
T
...
1
0
図 3: くし形関数
となります。(20) 式の右辺では y が −∞ から ∞ まで動くわけですが，t = y のと
ですから，f(y)δ(t − y) の積分への寄与は 0 です。よって，
f(t) ∗ δ(t) =
∞
−∞
f(y)δ(t − y)dy
=
∞
−∞
f(y)δ(t − t)dy
= f(t)
∞
−∞
δ(0)dy = f(t)
−∞
kδ(x)dx = k (13)
ば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパルス）」です。し
ンパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
(14)
いてはいけないのでしょうか？
関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並
れも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ
期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ
こっちの関数は，幅がなくて高さ1だから，
積分したらゼロ→画像の輝度の合計がゼロのはずはない

94. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
こんなややこしい関数でなければいけないの？
ディラックのデルタ関数ではなく，これを並べて
くし形関数にしてはだめ？
だめです。
x
T
図 2: くし形関数
x
......
T
...
1
0
図 3: くし形関数
となります。(20) 式の右辺では y が −∞ から ∞ まで動くわけですが，t = y のと
ですから，f(y)δ(t − y) の積分への寄与は 0 です。よって，
f(t) ∗ δ(t) =
∞
−∞
f(y)δ(t − y)dy
=
∞
−∞
f(y)δ(t − t)dy
= f(t)
∞
−∞
δ(0)dy = f(t)
−∞
kδ(x)dx = k (13)
ば，「積分すると 1 になるような，幅 0 のピーク（インパルス）」です。し
ンパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。
行うのに，デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに
δ(x) =
0 (x = 0)
1 (x = 0)
(14)
いてはいけないのでしょうか？
関数は，幅がゼロなので，積分するとゼロです。したがって，この関数を並
れも積分するとゼロです。つまり，画面全体の明るさの合計がゼロになっ
期） 第３回 (2013. 4. 24) http://racco.mikeneko.jp/ 2/7 ページ
こっちの関数は，幅がなくて高さ1だから，
積分したらゼロ→画像の輝度の合計がゼロのはずはない
ディラックのデルタ関数は，幅がないのに積分したら1
というヘンな関数（超関数）

95. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングされたら，周波数の範囲は？
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理
連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度
取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。こ

96. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングされたら，周波数の範囲は？
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理
連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度
取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。こ
周波数がある範囲に
入るとき

97. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングされたら，周波数の範囲は？
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理
連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度
取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。こ
周波数がある範囲に
入るとき
サンプリング後は
どうなる？

98. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングされたら，周波数の範囲は？
fT(x) のフーリエ変換を求める
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理
連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度
取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。こ
周波数がある範囲に
入るとき
サンプリング後は
どうなる？

99. 2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
サンプリングされたら，周波数の範囲は？
fT(x) のフーリエ変換を求める
輝度f(x)
位置x
f(x)
x
サンプリング
図 1: サンプリング
ここまでは１次元の関数の話をしてきましたが，画像のような２次元の関数のフーリエ変換は，
F(νx, νy) =
∞
−∞
f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (
となります。この場合の，２次元の周波数 (νx, νy) が，前回説明した空間周波数です。
サンプリングとサンプリング定理
連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには，連続的な明度分布から一定間隔で明度
取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング（sampling, 離散化）といいます（図 1）。こ
周波数がある範囲に
入るとき
サンプリング後は
どうなる？
かくすれば，サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現
限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling the
しょう。
を１次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して，その位置
いるとします。
でサンプリングした関数 fT (x) は，f(x) に次式で表される周期 T のく
combT (x) =
∞
n=−∞
δ(x − nT)
fT (x) = f(x)combT (x)
こで，δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta function) とよば
δ(x) = 0 (x = 0),
∞
δ(x)dx = 1