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![2014年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
実関数の積分
この面積を
求めたい
f(x)
x
f(x)
x
x0
長方形で近似
高さ f(ξi)
a b
xn
xi xi+1
ξi
複素関数の積分
実関数 f(x) の積分（リーマン積分）は，積分区間 [a, b] に分点 a = x0 <
を xi ξi < xi+1 を満たす任意の値とするとき，
b
a
f(x)dx = lim
n→∞
n−1
i=0
f(ξi)(xi+1 − xi)
で定義されます。正確には，この極限は「隣接する分点の間隔の最大値
るようにして，n → ∞ としたときの極限」です。
実関数の場合は，積分区間をとる場所は x 軸上に決まっていますが，複
けでなく，複素平面上のどの経路を通って積分するかを考える必要があり](https://image.slidesharecdn.com/2014aama12slidess-141217215237-conversion-gate02/85/2014-2014-12-18-94-320.jpg)
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実関数の積分
この面積を
求めたい
区切りを無限に細かく
かつ分点の間隔の最大値→0
f(x)
x
f(x)
x
x0
長方形で近似
高さ f(ξi)
a b
xn
xi xi+1
ξi
複素関数の積分
実関数 f(x) の積分（リーマン積分）は，積分区間 [a, b] に分点 a = x0 <
を xi ξi < xi+1 を満たす任意の値とするとき，
b
a
f(x)dx = lim
n→∞
n−1
i=0
f(ξi)(xi+1 − xi)
で定義されます。正確には，この極限は「隣接する分点の間隔の最大値
るようにして，n → ∞ としたときの極限」です。
実関数の場合は，積分区間をとる場所は x 軸上に決まっていますが，複
けでなく，複素平面上のどの経路を通って積分するかを考える必要があり](https://image.slidesharecdn.com/2014aama12slidess-141217215237-conversion-gate02/85/2014-2014-12-18-95-320.jpg)
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実関数の積分
この面積を
求めたい
区切りを無限に細かく
かつ分点の間隔の最大値→0
f(x)
x
f(x)
x
x0
長方形で近似
高さ f(ξi)
a b
xn
xi xi+1
ξi
複素関数の積分
実関数 f(x) の積分（リーマン積分）は，積分区間 [a, b] に分点 a = x0 <
を xi ξi < xi+1 を満たす任意の値とするとき，
b
a
f(x)dx = lim
n→∞
n−1
i=0
f(ξi)(xi+1 − xi)
で定義されます。正確には，この極限は「隣接する分点の間隔の最大値
るようにして，n → ∞ としたときの極限」です。
実関数の場合は，積分区間をとる場所は x 軸上に決まっていますが，複
けでなく，複素平面上のどの経路を通って積分するかを考える必要があり
∆y→0 i∆y ∆x→0 i∆y
= −i lim
∆y→0
u(x, y + ∆y) − u(x, y)
∆y
+ lim
∆x→0
v(x, y + ∆y) − v(x, y)
∆y
=
∂v
∂y
− i
∂u
∂y
らの近づき方でも f′(z) は同じになりますから，実部・虚部を比較すること
す。
積分（リーマン積分）は，積分区間 [a, b] に分点 a = x0 < x1 < · · · < xn = b
+1 を満たす任意の値とするとき，
b
a
f(x)dx = lim
n→∞
n−1
i=0
f(ξi)(xi+1 − xi)](https://image.slidesharecdn.com/2014aama12slidess-141217215237-conversion-gate02/85/2014-2014-12-18-96-320.jpg)
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実関数の積分
この面積を
求めたい
区切りを無限に細かく
かつ分点の間隔の最大値→0
f(x)
x
f(x)
x
x0
長方形で近似
高さ f(ξi)
a b
実関数の
積分
xn
xi xi+1
ξi
複素関数の積分
実関数 f(x) の積分（リーマン積分）は，積分区間 [a, b] に分点 a = x0 <
を xi ξi < xi+1 を満たす任意の値とするとき，
b
a
f(x)dx = lim
n→∞
n−1
i=0
f(ξi)(xi+1 − xi)
で定義されます。正確には，この極限は「隣接する分点の間隔の最大値
るようにして，n → ∞ としたときの極限」です。
実関数の場合は，積分区間をとる場所は x 軸上に決まっていますが，複
けでなく，複素平面上のどの経路を通って積分するかを考える必要があり
∆y→0 i∆y ∆x→0 i∆y
= −i lim
∆y→0
u(x, y + ∆y) − u(x, y)
∆y
+ lim
∆x→0
v(x, y + ∆y) − v(x, y)
∆y
=
∂v
∂y
− i
∂u
∂y
らの近づき方でも f′(z) は同じになりますから，実部・虚部を比較すること
す。
積分（リーマン積分）は，積分区間 [a, b] に分点 a = x0 < x1 < · · · < xn = b
+1 を満たす任意の値とするとき，
b
a
f(x)dx = lim
n→∞
n−1
i=0
f(ξi)(xi+1 − xi)](https://image.slidesharecdn.com/2014aama12slidess-141217215237-conversion-gate02/85/2014-2014-12-18-97-320.jpg)
Uploaded byAkira Asano
2014年度秋学期 応用数学（解析） 第４部・複素関数論ダイジェスト ／ 第１２回 複素関数・正則関数 (2014. 12. 18)
関西大学総合情報学部 「応用数学（解析）」（担当：浅野晃）
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- 4. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dxを求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π
- 5. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dxを求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π
- 6. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dxを求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π
- 7. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dxを求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を
- 8. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dxを求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を y
- 9. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dxを求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を y 複素平面に拡張
- 10. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dxを求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi
- 11. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dxを求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi こういう周C上で C
- 12. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dxを求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi こういう周C上で C = (1+i√ 2 − = −1 − 4 √ 2 となり，同様に Res( −1 + i √ 2 ; f) = 1 − i 4 √ 2 となり よって，(25) 式より， 1 2πi C f(z)dz = Res( 1 で，すなわち C 1 z4 + 1 dz = π √ 2 が得られます 浅野 晃／応用数学（解析）（2013 年度春学期） 第１３回 を計算すると
- 13. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな積分は まっとうには計算できません。 そこで 積分 ∞ −∞ 1 x4 + 1 dxを求めることを考えます。そのために， の 1 z4 + 1 の積分が，実軸上以外では r → 0 のとき 0 になる 上では |z| r であることを用います。 辺では r+ri r 1 z4 + 1 dz r+ri r 1 |z|4 + 1 d|z| r 0 1 r4 + 1 dy = r r4 + 1 ∞ 1 π x 数直線を 実部 y 虚部 複素平面に拡張 z = x + yi こういう周C上で C = (1+i√ 2 − = −1 − 4 √ 2 となり，同様に Res( −1 + i √ 2 ; f) = 1 − i 4 √ 2 となり よって，(25) 式より， 1 2πi C f(z)dz = Res( 1 で，すなわち C 1 z4 + 1 dz = π √ 2 が得られます 浅野 晃／応用数学（解析）（2013 年度春学期） 第１３回 を計算すると 上の積分も求まる
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- 16. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数 z =x + yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ）
- 17. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 z =x + yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ）
- 18. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ）
- 19. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ）
- 20. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面
- 21. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 x y
- 22. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 x y ・ z = x + yi
- 23. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 x y ・ z = x + yi x
- 24. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 x y ・ z = x + yi x y
- 25. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y
- 26. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r
- 27. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ
- 28. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ r cosθ
- 29. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ r cosθ r sinθ
- 30. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ r cosθ r sinθ 義で扱う内容を２回の講義で て概略を説明します。詳しく として x + yi（x, y は実数） 関数が複素関数です。 複素関数は，実部を横軸（実 解しやすくなります（図 1）。 うに，複素数 z は，原点から 使って，z = r(cos θ + i sin θ) ，２つの複素数の間で，絶対 せん。
- 31. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ r cosθ r sinθ ［絶対値］ 義で扱う内容を２回の講義で て概略を説明します。詳しく として x + yi（x, y は実数） 関数が複素関数です。 複素関数は，実部を横軸（実 解しやすくなります（図 1）。 うに，複素数 z は，原点から 使って，z = r(cos θ + i sin θ) ，２つの複素数の間で，絶対 せん。
- 32. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ r cosθ r sinθ ［絶対値］［偏角］ 義で扱う内容を２回の講義で て概略を説明します。詳しく として x + yi（x, y は実数） 関数が複素関数です。 複素関数は，実部を横軸（実 解しやすくなります（図 1）。 うに，複素数 z は，原点から 使って，z = r(cos θ + i sin θ) ，２つの複素数の間で，絶対 せん。
- 33. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数と複素関数 複素数で定義された関数が ［複素関数］ 複素数 虚部 実部 z = x+ yi 数 どんな２次方程式でも必ず解が存在するように，i = √ −1 として x + yi（x, y 数として導入されたものです。複素数に対して定義された関数が複素関数です + yi について，x を実部，y を虚部といいます。複素数や複素関数は，実部を 軸（虚軸）であらわす複素平面（ガウス平面）で考えると理解しやすくなります 数は，複素平面でのひとつの点で表されます。図 1 に示すように，複素数 z は， さ r と，原点からその点に向かう直線と実軸とがなす角 θ を使って，z = r(cos θ きます。r を複素数 z の絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間 がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · れにならって，複素数 z について指数関数 ez を 2 n （ x, y は実数， ） 複素平面 実軸 x y 虚軸 ・ z = x + yi x y r θ r cosθ r sinθ ［絶対値］［偏角］ 複素数には大小はない 絶対値の大小がある 義で扱う内容を２回の講義で て概略を説明します。詳しく として x + yi（x, y は実数） 関数が複素関数です。 複素関数は，実部を横軸（実 解しやすくなります（図 1）。 うに，複素数 z は，原点から 使って，z = r(cos θ + i sin θ) ，２つの複素数の間で，絶対 せん。
- 34. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数の指数関数 実数の指数関数のテイラー展開 ます。r を複素数 zの絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間で， ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π の = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られま
- 35. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数の指数関数 実数の指数関数のテイラー展開 ます。r を複素数 zの絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間で， ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π の = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られま 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら
- 36. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数の指数関数 実数の指数関数のテイラー展開 すると ます。r を複素数 zの絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間で， ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π の = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られま 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら
- 37. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数の指数関数 実数の指数関数のテイラー展開 すると ます。r を複素数 zの絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間で， ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π の = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られま 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら 関係がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 ，実数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 。これにならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · す。ここで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) 実部は cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + わかります。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = sin π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら
- 38. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数の指数関数 実数の指数関数のテイラー展開 すると ます。r を複素数 zの絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間で， ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π の = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られま 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら 関係がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 ，実数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 。これにならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · す。ここで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) 実部は cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + わかります。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = sin π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら
- 39. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数の指数関数 実数の指数関数のテイラー展開 すると ます。r を複素数 zの絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間で， ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π の = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られま 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら 関係がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 ，実数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 。これにならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · す。ここで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) 実部は cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + わかります。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = sin π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら cosθ のテイラー展開
- 40. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数の指数関数 実数の指数関数のテイラー展開 すると ます。r を複素数 zの絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間で， ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π の = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られま 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら 関係がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 ，実数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 。これにならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · す。ここで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) 実部は cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + わかります。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = sin π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら cosθ のテイラー展開 sinθ のテイラー展開
- 41. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数の指数関数 実数の指数関数のテイラー展開 すると ます。r を複素数 zの絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間で， ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π の = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られま 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら 関係がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 ，実数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 。これにならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · す。ここで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) 実部は cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + わかります。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = sin π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら cosθ のテイラー展開 sinθ のテイラー展開 よって (1) (2) (3) から，eiθ = cos θ + i sin θ で
- 42. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数の指数関数 実数の指数関数のテイラー展開 すると ます。r を複素数 zの絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間で， ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π の = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られま 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら 関係がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 ，実数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 。これにならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · す。ここで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) 実部は cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + わかります。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = sin π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら cosθ のテイラー展開 sinθ のテイラー展開 よって (1) (2) (3) から，eiθ = cos θ + i sin θ で すると， x2 2! + · · · + xn n! + · · · (1) て指数関数 ez を z2 2! + · · · + zn n! + · · · (2) θ)2 ! + · · · + (iθ)n n! + · · · − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) (3) sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin θ で は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π のとき なわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られます。 のとき
- 43. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数の指数関数 実数の指数関数のテイラー展開 すると ます。r を複素数 zの絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間で， ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π の = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られま 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら 関係がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 ，実数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 。これにならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · す。ここで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) 実部は cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + わかります。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = sin π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら cosθ のテイラー展開 sinθ のテイラー展開 よって (1) (2) (3) から，eiθ = cos θ + i sin θ で すると， x2 2! + · · · + xn n! + · · · (1) て指数関数 ez を z2 2! + · · · + zn n! + · · · (2) θ)2 ! + · · · + (iθ)n n! + · · · − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) (3) sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin θ で は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π のとき なわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られます。 のとき ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。ま = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等
- 44. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素数の指数関数 実数の指数関数のテイラー展開 すると ます。r を複素数 zの絶対値，θ を偏角といいます。なお，２つの複素数の間で， ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π の = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られま 複素数の指数関数は，テイラー展開で定義する ありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら 関係がありますが，複素数そのものの間には大小関係はありません。 ，実数の指数関数 ex をテイラー展開すると， ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · 。これにならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · す。ここで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) 実部は cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + わかります。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。また，θ = sin π = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得ら cosθ のテイラー展開 sinθ のテイラー展開 よって (1) (2) (3) から，eiθ = cos θ + i sin θ で すると， x2 2! + · · · + xn n! + · · · (1) て指数関数 ez を z2 2! + · · · + zn n! + · · · (2) θ)2 ! + · · · + (iθ)n n! + · · · − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) (3) sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = cos θ + i sin θ で は z = reiθ と表すことができます。また，θ = π のとき なわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等式が得られます。 のとき ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · にならって，複素数 z について指数関数 ez を ez = 1 + z 1! + z2 2! + · · · + zn n! + · · · こで z = iθ とすると， eiθ = 1 + (iθ) 1! + (iθ)2 2! + · · · + (iθ)n n! + · · · = (1 − θ2 2! + θ4 4! − · · · ) + i( θ 1! − θ3 3! + · · · ) cos θ のテイラー展開，虚部は sin θ のテイラー展開ですから，eiθ = ます。よって，図 1 の複素数は z = reiθ と表すことができます。ま = 0 ですから，eiπ = −1，すなわち eiπ + 1 = 0 というオイラーの等［オイラーの等式］
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- 47. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の微分 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z+ ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene
- 48. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の微分 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z+ ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene ただし，変数は複素平面上にあるのが，大きな違い
- 49. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の微分 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z+ ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene ただし，変数は複素平面上にあるのが，大きな違い
- 50. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の微分 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z+ ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene複素関数 f(z) が，複素平面の領域 D で［正則］ ただし，変数は複素平面上にあるのが，大きな違い
- 51. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の微分 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 → f(z) がD 内のどこでも微分可能 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene複素関数 f(z) が，複素平面の領域 D で［正則］ ただし，変数は複素平面上にあるのが，大きな違い
- 52. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の微分 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 → f(z) がD 内のどこでも微分可能 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene複素関数 f(z) が，複素平面の領域 D で［正則］ ただし，変数は複素平面上にあるのが，大きな違い
- 53. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の微分 複素関数の微分の定義は，実関数と同様 → f(z) がD 内のどこでも微分可能 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene複素関数 f(z) が，複素平面の領域 D で［正則］ ただし，変数は複素平面上にあるのが，大きな違い 複素平面上で微分可能とは？
- 54. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素平面上での「微分可能」 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点z で微分可能とは 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene
- 55. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素平面上での「微分可能」 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても， 極限値はひとつに定まる 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene
- 56. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素平面上での「微分可能」 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても， 極限値はひとつに定まる 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene
- 57. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素平面上での「微分可能」 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても， 極限値はひとつに定まる 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene
- 58. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素平面上での「微分可能」 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても， 極限値はひとつに定まる 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene
- 59. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素平面上での「微分可能」 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても， 極限値はひとつに定まる 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene 実軸 虚軸 z z + Δz
- 60. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素平面上での「微分可能」 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても， 極限値はひとつに定まる 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene 実軸 虚軸 z z + Δz
- 61. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素平面上での「微分可能」 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても， 極限値はひとつに定まる 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene 実軸 虚軸 z z + Δz
- 62. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素平面上での「微分可能」 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても， 極限値はひとつに定まる 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene 実軸 虚軸 z z + Δz
- 63. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素平面上での「微分可能」 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても， 極限値はひとつに定まる 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene 実軸 虚軸 z z + Δz どのように近づいても， 極限値は同じ
- 64. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素平面上での「微分可能」 複素関数 f(z) が，複素平面上のある点z で微分可能とは 複素平面上で z + Δz が z にどのように近づいても， 極限値はひとつに定まる 関数 分は，実関数の場合と同様に f′ (z) = df dz = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z 面の領域 D で複素関数 f(z) が微分可能であることを，f(z) は D （2014 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikene 実軸 虚軸 z z + Δz どのように近づいても， 極限値は同じ 正則関数は， 「折り目のないぐにゃ ぐにゃの板」
- 65.
- 66. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数を図示すると −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 f(z) = z 実軸虚軸 f(z)の実部色： f(z)の虚部 MATLABで描画 参考：http://jp.mathworks.com/help/matlab/examples/functions-of-complex-variables.html
- 67. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数を図示すると −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 f(z) = z 実軸虚軸 f(z)の実部色： f(z)の虚部 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 f(z) = z3 MATLABで描画 参考：http://jp.mathworks.com/help/matlab/examples/functions-of-complex-variables.html
- 68. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数を図示すると −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 f(z) = z 実軸虚軸 f(z)の実部色： f(z)の虚部 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 f(z) = z3 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ez MATLABで描画 参考：http://jp.mathworks.com/help/matlab/examples/functions-of-complex-variables.html
- 69. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則でない例 f(z) = 1/ z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 MATLABで描画 参考：http://jp.mathworks.com/help/matlab/examples/functions-of-complex-variables.html
- 70. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則でない例 f(z) = 1/ z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 こういう「穴」が 問題になる MATLABで描画 参考：http://jp.mathworks.com/help/matlab/examples/functions-of-complex-variables.html
- 71. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z= x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら Cauchy-Riemann) の関係式は，複素関数の微分可能性を別の形で表したもので， 。 i の関数 f(z) が，x, y の実関数 u(x, y), v(x, y) を使って f(z) = u(x, y) + る時，f(z) が正則であるための必要十分条件は， ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x (6) である。 で示した複素関数の微分可能性の定義で「どの方向からどのように z に近づいて まる」ことに強く関連しています。 z に近づく」ときの近づき方について， づく，すなわち (x + ∆x) + yi → x + yi
- 72. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z= x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら Cauchy-Riemann) の関係式は，複素関数の微分可能性を別の形で表したもので， 。 i の関数 f(z) が，x, y の実関数 u(x, y), v(x, y) を使って f(z) = u(x, y) + る時，f(z) が正則であるための必要十分条件は， ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x (6) である。 で示した複素関数の微分可能性の定義で「どの方向からどのように z に近づいて まる」ことに強く関連しています。 z に近づく」ときの近づき方について， づく，すなわち (x + ∆x) + yi → x + yi 実軸 虚軸 z = x + yi
- 73. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z= x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら Cauchy-Riemann) の関係式は，複素関数の微分可能性を別の形で表したもので， 。 i の関数 f(z) が，x, y の実関数 u(x, y), v(x, y) を使って f(z) = u(x, y) + る時，f(z) が正則であるための必要十分条件は， ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x (6) である。 で示した複素関数の微分可能性の定義で「どの方向からどのように z に近づいて まる」ことに強く関連しています。 z に近づく」ときの近づき方について， づく，すなわち (x + ∆x) + yi → x + yi 実軸 虚軸 z = x + yi 極限をとるときに どのように近づいてもよい ので
- 74. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z= x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら Cauchy-Riemann) の関係式は，複素関数の微分可能性を別の形で表したもので， 。 i の関数 f(z) が，x, y の実関数 u(x, y), v(x, y) を使って f(z) = u(x, y) + る時，f(z) が正則であるための必要十分条件は， ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x (6) である。 で示した複素関数の微分可能性の定義で「どの方向からどのように z に近づいて まる」ことに強く関連しています。 z に近づく」ときの近づき方について， づく，すなわち (x + ∆x) + yi → x + yi x + (y + Δy)i 実軸 虚軸 z = x + yi 極限をとるときに どのように近づいてもよい ので
- 75. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z= x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら (x + Δx) + yi Cauchy-Riemann) の関係式は，複素関数の微分可能性を別の形で表したもので， 。 i の関数 f(z) が，x, y の実関数 u(x, y), v(x, y) を使って f(z) = u(x, y) + る時，f(z) が正則であるための必要十分条件は， ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x (6) である。 で示した複素関数の微分可能性の定義で「どの方向からどのように z に近づいて まる」ことに強く関連しています。 z に近づく」ときの近づき方について， づく，すなわち (x + ∆x) + yi → x + yi x + (y + Δy)i 実軸 虚軸 z = x + yi 極限をとるときに どのように近づいてもよい ので
- 76. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z= x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら (x + Δx) + yi Cauchy-Riemann) の関係式は，複素関数の微分可能性を別の形で表したもので， 。 i の関数 f(z) が，x, y の実関数 u(x, y), v(x, y) を使って f(z) = u(x, y) + る時，f(z) が正則であるための必要十分条件は， ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x (6) である。 で示した複素関数の微分可能性の定義で「どの方向からどのように z に近づいて まる」ことに強く関連しています。 z に近づく」ときの近づき方について， づく，すなわち (x + ∆x) + yi → x + yi x + (y + Δy)i 実軸 虚軸 z = x + yi 極限をとるときに どのように近づいてもよい ので
- 77. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 複素関数 f(z) が正則である必要十分条件は z= x + yi とするとき f(z) = u(x, y) + iv(x, y) と表せるなら (x + Δx) + yi Cauchy-Riemann) の関係式は，複素関数の微分可能性を別の形で表したもので， 。 i の関数 f(z) が，x, y の実関数 u(x, y), v(x, y) を使って f(z) = u(x, y) + る時，f(z) が正則であるための必要十分条件は， ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎩ ∂u ∂x = ∂v ∂y かつ ∂u ∂y = − ∂v ∂x (6) である。 で示した複素関数の微分可能性の定義で「どの方向からどのように z に近づいて まる」ことに強く関連しています。 z に近づく」ときの近づき方について， づく，すなわち (x + ∆x) + yi → x + yi x + (y + Δy)i 実軸 虚軸 z = x + yi 極限をとるときに どのように近づいてもよい ので この２通りを 考える
- 78. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 実軸 虚軸 z = x+ yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で 極限値は等しい
- 79. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 実軸 虚軸 z = x+ yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で 極限値は等しい
- 80. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 実軸 虚軸 z = x+ yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で 極限値は等しい2. 虚軸にそって近づく，すなわち x + (y + ∆y)i → x + yi の２つの場合を考えてみましょう。1. の場合については，f′(z) は f′ (z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x (7) で，2. の場合については f′ (z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y (8)
- 81. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 実軸 虚軸 z = x+ yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で 極限値は等しい2. 虚軸にそって近づく，すなわち x + (y + ∆y)i → x + yi の２つの場合を考えてみましょう。1. の場合については，f′(z) は f′ (z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x (7) で，2. の場合については f′ (z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y (8)
- 82. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 実軸 虚軸 z = x+ yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で 極限値は等しい2. 虚軸にそって近づく，すなわち x + (y + ∆y)i → x + yi の２つの場合を考えてみましょう。1. の場合については，f′(z) は f′ (z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x (7) で，2. の場合については f′ (z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y (8) 2. 虚軸にそって近づく，すなわち x + (y + ∆y)i → x + yi の２つの場合を考えてみましょう。1. の場合については，f′(z) は f′ (z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x で，2. の場合については f′ (z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y ′
- 83. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 実軸 虚軸 z = x+ yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で 極限値は等しい2. 虚軸にそって近づく，すなわち x + (y + ∆y)i → x + yi の２つの場合を考えてみましょう。1. の場合については，f′(z) は f′ (z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x (7) で，2. の場合については f′ (z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y (8) 2. 虚軸にそって近づく，すなわち x + (y + ∆y)i → x + yi の２つの場合を考えてみましょう。1. の場合については，f′(z) は f′ (z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x で，2. の場合については f′ (z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y ′
- 84. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 実軸 虚軸 z = x+ yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で 極限値は等しい2. 虚軸にそって近づく，すなわち x + (y + ∆y)i → x + yi の２つの場合を考えてみましょう。1. の場合については，f′(z) は f′ (z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x (7) で，2. の場合については f′ (z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y (8) 2. 虚軸にそって近づく，すなわち x + (y + ∆y)i → x + yi の２つの場合を考えてみましょう。1. の場合については，f′(z) は f′ (z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x で，2. の場合については f′ (z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y ′
- 85. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシー・リーマンの関係式 実軸 虚軸 z = x+ yi (x + Δx) + yi x + (y + Δy)i この２通りの近づき方で 極限値は等しい2. 虚軸にそって近づく，すなわち x + (y + ∆y)i → x + yi の２つの場合を考えてみましょう。1. の場合については，f′(z) は f′ (z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x (7) で，2. の場合については f′ (z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y (8) 2. 虚軸にそって近づく，すなわち x + (y + ∆y)i → x + yi の２つの場合を考えてみましょう。1. の場合については，f′(z) は f′ (z) = lim ∆x→0 {u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} ((x + ∆x) + yi) − (x + yi) = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x で，2. の場合については f′ (z) = lim ∆y→0 {u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y)} − {u(x, y) + iv(x, y)} (x + (y + ∆y)i) − (x + yi) = lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i∆y + i lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y ′ これらが実部・虚部とも等しい
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- 94. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 実関数の積分 この面積を 求めたい f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 高さ f(ξi) a b xn xixi+1 ξi 複素関数の積分 実関数 f(x) の積分（リーマン積分）は，積分区間 [a, b] に分点 a = x0 < を xi ξi < xi+1 を満たす任意の値とするとき， b a f(x)dx = lim n→∞ n−1 i=0 f(ξi)(xi+1 − xi) で定義されます。正確には，この極限は「隣接する分点の間隔の最大値 るようにして，n → ∞ としたときの極限」です。 実関数の場合は，積分区間をとる場所は x 軸上に決まっていますが，複 けでなく，複素平面上のどの経路を通って積分するかを考える必要があり
- 95. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 実関数の積分 この面積を 求めたい 区切りを無限に細かく かつ分点の間隔の最大値→0 f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 高さ f(ξi) a b xn xixi+1 ξi 複素関数の積分 実関数 f(x) の積分（リーマン積分）は，積分区間 [a, b] に分点 a = x0 < を xi ξi < xi+1 を満たす任意の値とするとき， b a f(x)dx = lim n→∞ n−1 i=0 f(ξi)(xi+1 − xi) で定義されます。正確には，この極限は「隣接する分点の間隔の最大値 るようにして，n → ∞ としたときの極限」です。 実関数の場合は，積分区間をとる場所は x 軸上に決まっていますが，複 けでなく，複素平面上のどの経路を通って積分するかを考える必要があり
- 96. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 実関数の積分 この面積を 求めたい 区切りを無限に細かく かつ分点の間隔の最大値→0 f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 高さ f(ξi) a b xn xixi+1 ξi 複素関数の積分 実関数 f(x) の積分（リーマン積分）は，積分区間 [a, b] に分点 a = x0 < を xi ξi < xi+1 を満たす任意の値とするとき， b a f(x)dx = lim n→∞ n−1 i=0 f(ξi)(xi+1 − xi) で定義されます。正確には，この極限は「隣接する分点の間隔の最大値 るようにして，n → ∞ としたときの極限」です。 実関数の場合は，積分区間をとる場所は x 軸上に決まっていますが，複 けでなく，複素平面上のどの経路を通って積分するかを考える必要があり ∆y→0 i∆y ∆x→0 i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y らの近づき方でも f′(z) は同じになりますから，実部・虚部を比較すること す。 積分（リーマン積分）は，積分区間 [a, b] に分点 a = x0 < x1 < · · · < xn = b +1 を満たす任意の値とするとき， b a f(x)dx = lim n→∞ n−1 i=0 f(ξi)(xi+1 − xi)
- 97. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 実関数の積分 この面積を 求めたい 区切りを無限に細かく かつ分点の間隔の最大値→0 f(x) x f(x) x x0 長方形で近似 高さ f(ξi) a b 実関数の 積分 xn xixi+1 ξi 複素関数の積分 実関数 f(x) の積分（リーマン積分）は，積分区間 [a, b] に分点 a = x0 < を xi ξi < xi+1 を満たす任意の値とするとき， b a f(x)dx = lim n→∞ n−1 i=0 f(ξi)(xi+1 − xi) で定義されます。正確には，この極限は「隣接する分点の間隔の最大値 るようにして，n → ∞ としたときの極限」です。 実関数の場合は，積分区間をとる場所は x 軸上に決まっていますが，複 けでなく，複素平面上のどの経路を通って積分するかを考える必要があり ∆y→0 i∆y ∆x→0 i∆y = −i lim ∆y→0 u(x, y + ∆y) − u(x, y) ∆y + lim ∆x→0 v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y らの近づき方でも f′(z) は同じになりますから，実部・虚部を比較すること す。 積分（リーマン積分）は，積分区間 [a, b] に分点 a = x0 < x1 < · · · < xn = b +1 を満たす任意の値とするとき， b a f(x)dx = lim n→∞ n−1 i=0 f(ξi)(xi+1 − xi)
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- 103. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の積分 積分区間だけでなく 複素平面のどこを通って積分するか（経路）が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z =z(t) と パラメータで表す t t t z(ti) z(ti+1)
- 104. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の積分 積分区間だけでなく 複素平面のどこを通って積分するか（経路）が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z =z(t) と パラメータで表す t t t z(ti) z(ti+1) ξi
- 105. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の積分 積分区間だけでなく 複素平面のどこを通って積分するか（経路）が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z =z(t) と パラメータで表す t t t 経路の上に 「板」が載っているイメージ （ただし「高さ」は複素数） z(ti) z(ti+1) ξi
- 106. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の積分 積分区間だけでなく 複素平面のどこを通って積分するか（経路）が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z =z(t) と パラメータで表す t t t 経路の上に 「板」が載っているイメージ （ただし「高さ」は複素数） z(ti) z(ti+1) ξi 「高さ」 f(ξi)
- 107. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の積分 積分区間だけでなく 複素平面のどこを通って積分するか（経路）が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z =z(t) と パラメータで表す t t t 経路の上に 「板」が載っているイメージ （ただし「高さ」は複素数） z(ti) z(ti+1) ξi 「高さ」 f(ξi) a f(x)dx = lim n→∞ i=0 f(ξi)(xi+1 − xi) で定義されます。正確には，この極限は「隣接する分点の間隔の最大値 m るようにして，n → ∞ としたときの極限」です。 実関数の場合は，積分区間をとる場所は x 軸上に決まっていますが，複 けでなく，複素平面上のどの経路を通って積分するかを考える必要があり そこで，経路C をパラメータ表示を使ってz = z(t)と表します。この経路上 b, (t0 < t1 < · · · < tn) となるように配置し，ξi を C 上で z(ti) と z(ti+1) の き，f(z) の C にそった積分を C f(z)dz = lim n→∞ n−1 i=0 f(ξi)(z(ti+1) − z(ti)) と定義します。実関数の場合と同様に，正確には，この極限は「隣接する 値 maxi |z(ti+1) − z(ti)| を 0 に近づけるように，n → ∞ としたときの極限
- 108. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 複素関数の積分 積分区間だけでなく 複素平面のどこを通って積分するか（経路）が重要 実軸 虚軸 経路C 経路を z =z(t) と パラメータで表す t t t 経路の上に 「板」が載っているイメージ （ただし「高さ」は複素数） z(ti) z(ti+1) ξi 「高さ」 f(ξi) a f(x)dx = lim n→∞ i=0 f(ξi)(xi+1 − xi) で定義されます。正確には，この極限は「隣接する分点の間隔の最大値 m るようにして，n → ∞ としたときの極限」です。 実関数の場合は，積分区間をとる場所は x 軸上に決まっていますが，複 けでなく，複素平面上のどの経路を通って積分するかを考える必要があり そこで，経路C をパラメータ表示を使ってz = z(t)と表します。この経路上 b, (t0 < t1 < · · · < tn) となるように配置し，ξi を C 上で z(ti) と z(ti+1) の き，f(z) の C にそった積分を C f(z)dz = lim n→∞ n−1 i=0 f(ξi)(z(ti+1) − z(ti)) と定義します。実関数の場合と同様に，正確には，この極限は「隣接する 値 maxi |z(ti+1) − z(ti)| を 0 に近づけるように，n → ∞ としたときの極限 f(z) の経路 C に沿った積分
- 109. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数の場合 連続な関数 f(z) が領域 D で定義 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分により 素関数の積分は，積分区間の両端の値だけでなく，途中の経路を指 ，正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合 ) が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分であ (z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて ， C f(z)dz = F(b) − F(a) C には依存しない。 です。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表しま て dF(z(t)) dF(z(t)) dz(t)
- 110. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数の場合 連続な関数 f(z) が領域 D で定義 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分により 素関数の積分は，積分区間の両端の値だけでなく，途中の経路を指 ，正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合 ) が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分であ (z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて ， C f(z)dz = F(b) − F(a) C には依存しない。 です。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表しま て dF(z(t)) dF(z(t)) dz(t) 積分は経路に依存しない
- 111. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない
- 112. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す 両端は z(0) = a, z(1) = b
- 113. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す 両端は z(0) = a, z(1) = b 依存しない。 経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14)
- 114. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す 両端は z(0) = a, z(1) = b （置換積分） 依存しない。 経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14)
- 115. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す 両端は z(0) = a, z(1) = b （置換積分） 依存しない。 経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14)
- 116. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す 両端は z(0) = a, z(1) = b （置換積分） 依存しない。 経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14)
- 117. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す 両端は z(0) = a, z(1) = b （置換積分） 依存しない。 経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14)
- 118. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す 両端は z(0) = a, z(1) = b （置換積分） 依存しない。 経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14)
- 119. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す 両端は z(0) = a, z(1) = b られません。しかし，正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の 連続な関数 f(z) が領域 D で定義されているとし，それが正則関 わち F′(z) = f(z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間 になるならば， C f(z)dz = F(b) − F(a) となり，経路 C には依存しない。 証明は以下の通りです。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, 成関数の微分によって dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt となります。よって，置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt 1 dF(z(t)) dz(t) （置換積分） 依存しない。 経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14)
- 120. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す 両端は z(0) = a, z(1) = b られません。しかし，正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の 連続な関数 f(z) が領域 D で定義されているとし，それが正則関 わち F′(z) = f(z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間 になるならば， C f(z)dz = F(b) − F(a) となり，経路 C には依存しない。 証明は以下の通りです。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, 成関数の微分によって dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt となります。よって，置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt 1 dF(z(t)) dz(t) （置換積分） 依存しない。 経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) （合成関数の微分）
- 121. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す 両端は z(0) = a, z(1) = b られません。しかし，正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の 連続な関数 f(z) が領域 D で定義されているとし，それが正則関 わち F′(z) = f(z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間 になるならば， C f(z)dz = F(b) − F(a) となり，経路 C には依存しない。 証明は以下の通りです。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, 成関数の微分によって dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt となります。よって，置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt 1 dF(z(t)) dz(t) （置換積分） 依存しない。 経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) （合成関数の微分）
- 122. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す 両端は z(0) = a, z(1) = b られません。しかし，正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の 連続な関数 f(z) が領域 D で定義されているとし，それが正則関 わち F′(z) = f(z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間 になるならば， C f(z)dz = F(b) − F(a) となり，経路 C には依存しない。 証明は以下の通りです。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, 成関数の微分によって dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt となります。よって，置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt 1 dF(z(t)) dz(t) （置換積分） 依存しない。 経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) （合成関数の微分） です。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると て dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt ，置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt 式から C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a)
- 123. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 正則関数と積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 となり，さらに (12) 式から 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 1 dF(z(t)) 積分は経路に依存しない 経路C を z = z(t) で表す 両端は z(0) = a, z(1) = b られません。しかし，正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の 連続な関数 f(z) が領域 D で定義されているとし，それが正則関 わち F′(z) = f(z) であるとする。このとき，２点 a, b とその間 になるならば， C f(z)dz = F(b) − F(a) となり，経路 C には依存しない。 証明は以下の通りです。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, 成関数の微分によって dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt となります。よって，置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt 1 dF(z(t)) dz(t) （置換積分） 依存しない。 経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) （合成関数の微分） です。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると て dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt ，置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt 式から C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a)
- 124. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 閉曲線に沿った積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば 前節のように，複素関数の積分 られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 関数の積分は，積分区間の両端の値だけでなく，途中の経路を指定しないと求め 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな ) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 積分は経路に依存しない さっきの定理
- 125. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 閉曲線に沿った積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば 前節のように，複素関数の積分 られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 関数の積分は，積分区間の両端の値だけでなく，途中の経路を指定しないと求め 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな ) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 積分は経路に依存しない さっきの定理 ということは，
- 126. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 閉曲線に沿った積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば 前節のように，複素関数の積分 られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 関数の積分は，積分区間の両端の値だけでなく，途中の経路を指定しないと求め 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな ) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 積分は経路に依存しない さっきの定理 ということは， 経路 C が単純閉曲線なら，始点も終点も同じだから dz(t) dt dt (13) = F(b) − F(a) (14) すから，経路によらず C f(z)dz = 0 である ，下記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ
- 127. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 閉曲線に沿った積分 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分なら 経路 C が両端 a, b を含めてすべて D 内にあれば 前節のように，複素関数の積分 られません。しかし，正則関数 連続な関数 f(z) が領域 D わち F′(z) = f(z) であると になるならば， となり，経路 C には依存し 証明は以下の通りです。経路 成関数の微分によって となります。よって，置換積分 関数の積分は，積分区間の両端の値だけでなく，途中の経路を指定しないと求め 正則関数の場合は，積分が経路によらず両端の値だけによる場合があります。 が領域 D で定義されているとし，それが正則関数 F(z) の微分である，すな ) であるとする。このとき，２点 a, b とその間の経路 C がすべて D の内部 C f(z)dz = F(b) − F(a) (11) には依存しない。 す。経路 C を z = z(t) (0 t 1), z(0) = a, z(1) = b で表します。すると，合 dF(z(t)) dt = dF(z(t)) dz dz(t) dt (12) 置換積分により C f(z)dz = 1 0 f(z(t)) dz(t) dt dt = 1 0 dF(z(t)) dz dz(t) dt dt (13) 式から 積分は経路に依存しない さっきの定理 ということは， 経路 C が単純閉曲線なら，始点も終点も同じだから dz(t) dt dt (13) = F(b) − F(a) (14) すから，経路によらず C f(z)dz = 0 である ，下記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ
- 128. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば 前節のように，複素関数の積分は， られません。しかし，正則関数の場 連続な関数 f(z) が領域 D で定 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分によ 閉曲線に沿った積分 C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 曲線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である のことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ
- 129. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 実は 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば 前節のように，複素関数の積分は， られません。しかし，正則関数の場 連続な関数 f(z) が領域 D で定 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分によ 閉曲線に沿った積分 C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 曲線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である のことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ
- 130. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 実は 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば 前節のように，複素関数の積分は， られません。しかし，正則関数の場 連続な関数 f(z) が領域 D で定 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分によ 閉曲線に沿った積分 C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 曲線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である のことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ) dt b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ
- 131. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 実は 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば 前節のように，複素関数の積分は， られません。しかし，正則関数の場 連続な関数 f(z) が領域 D で定 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分によ 閉曲線に沿った積分 C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 曲線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である のことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ) dt b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ
- 132. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 実は 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば 前節のように，複素関数の積分は， られません。しかし，正則関数の場 連続な関数 f(z) が領域 D で定 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分によ 閉曲線に沿った積分 C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 曲線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である のことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ) dt b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ
- 133. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 実は 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば 前節のように，複素関数の積分は， られません。しかし，正則関数の場 連続な関数 f(z) が領域 D で定 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分によ 閉曲線に沿った積分 C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 曲線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である のことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ) dt b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ ［コーシーの積分定理］
- 134. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 実は 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば 前節のように，複素関数の積分は， られません。しかし，正則関数の場 連続な関数 f(z) が領域 D で定 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分によ 閉曲線に沿った積分 C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 曲線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である のことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ) dt b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ ［コーシーの積分定理］ 示唆して いるのは
- 135. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 実は 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば 前節のように，複素関数の積分は， られません。しかし，正則関数の場 連続な関数 f(z) が領域 D で定 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分によ 閉曲線に沿った積分 C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 曲線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である のことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ) dt b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ ［コーシーの積分定理］ 示唆して いるのは 正則関数の微分は正則関数。
- 136. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 実は 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば 前節のように，複素関数の積分は， られません。しかし，正則関数の場 連続な関数 f(z) が領域 D で定 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分によ 閉曲線に沿った積分 C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 曲線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である のことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ) dt b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ ［コーシーの積分定理］ 示唆して いるのは 正則関数の微分は正則関数。 正則関数は何度でも微分できる。
- 137. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 実は 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば 前節のように，複素関数の積分は， られません。しかし，正則関数の場 連続な関数 f(z) が領域 D で定 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分によ 閉曲線に沿った積分 C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 曲線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である のことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ) dt b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ ［コーシーの積分定理］ 示唆して いるのは 正則関数の微分は正則関数。 正則関数は何度でも微分できる。 領域 D で正則な関数 ある。 この定理と，その前に 則関数 F(z) が必ず存在す 関数は何度でも微分できる の積分を C f(z)dz と書き コーシーの積分定理の P(x, y), Q(x, y) があると
- 138. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 実は 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば 前節のように，複素関数の積分は， られません。しかし，正則関数の場 連続な関数 f(z) が領域 D で定 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分によ 閉曲線に沿った積分 C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 曲線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である のことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ) dt b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ ［コーシーの積分定理］ 示唆して いるのは 正則関数の微分は正則関数。 正則関数は何度でも微分できる。 領域 D で正則な関数 ある。 この定理と，その前に 則関数 F(z) が必ず存在す 関数は何度でも微分できる の積分を C f(z)dz と書き コーシーの積分定理の P(x, y), Q(x, y) があると 閉曲線上の 積分を表す
- 139. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 実は 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数 F(z) の微分で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば 前節のように，複素関数の積分は， られません。しかし，正則関数の場 連続な関数 f(z) が領域 D で定 わち F′(z) = f(z) であるとする になるならば， となり，経路 C には依存しない 証明は以下の通りです。経路 C を 成関数の微分によって となります。よって，置換積分によ 閉曲線に沿った積分 C f(z)dz = 1 0 dF(z(t)) dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 曲線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である のことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 年度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 複素関数 f(z) が，領域 D での正則関数で 経路 C が， D 内にある単純閉曲線ならば ) dt b) − F(a) (14) ，経路によらず C f(z)dz = 0 である 記のコーシーの積分定理です。 http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ ［コーシーの積分定理］ 示唆して いるのは 正則関数の微分は正則関数。 正則関数は何度でも微分できる。 領域 D で正則な関数 ある。 この定理と，その前に 則関数 F(z) が必ず存在す 関数は何度でも微分できる の積分を C f(z)dz と書き コーシーの積分定理の P(x, y), Q(x, y) があると 閉曲線上の 積分を表す 注： 「領域内で正則」 であって， 「経路上で正則」 ではない
- 140. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で C f(z)dz = 0 dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である ことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ
- 141. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で C f(z)dz = 0 dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である ことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正 微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には， )dz と書きます。 分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関 があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ( 換できる，というものです。 と，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy (
- 142. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で C f(z)dz = 0 dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である ことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正 微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には， )dz と書きます。 分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関 があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ( 換できる，というものです。 と，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy ( ２次元関数
- 143. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で C f(z)dz = 0 dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である ことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 閉曲線 C 上での（線）積分 必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正 微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には， )dz と書きます。 分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関 があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ( 換できる，というものです。 と，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy ( ２次元関数
- 144. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で C f(z)dz = 0 dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である ことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 閉曲線 C 上での（線）積分 必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正 微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には， )dz と書きます。 分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関 があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ( 換できる，というものです。 と，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy ( ２次元関数 閉曲線 C に囲まれた領域 D´ 内での（面）積分
- 145. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で C f(z)dz = 0 dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である ことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 閉曲線 C 上での（線）積分 必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正 微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には， )dz と書きます。 分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関 があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ( 換できる，というものです。 と，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy ( ２次元関数 閉曲線 C に囲まれた領域 D´ 内での（面）積分 線積分と面積分を 交換
- 146. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で C f(z)dz = 0 dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である ことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 閉曲線 C 上での（線）積分 必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正 微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には， )dz と書きます。 分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関 があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ( 換できる，というものです。 と，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy ( ２次元関数 閉曲線 C に囲まれた領域 D´ 内での（面）積分 と，その前に説明した定理をあわせると，正則関数 f(z) に対しては F′(z) = f(z) となる正 が必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正則 でも微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には，こ f(z)dz と書きます。 の積分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関数 y) があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積分 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy (15) で交換できる，というものです。 いると，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy (16) ー・リーマンの関係式より実部・虚部ともに 0 となります。■ として 線積分と面積分を 交換
- 147. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で C f(z)dz = 0 dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である ことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 閉曲線 C 上での（線）積分 必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正 微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には， )dz と書きます。 分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関 があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ( 換できる，というものです。 と，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy ( ２次元関数 閉曲線 C に囲まれた領域 D´ 内での（面）積分 と，その前に説明した定理をあわせると，正則関数 f(z) に対しては F′(z) = f(z) となる正 が必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正則 でも微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には，こ f(z)dz と書きます。 の積分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関数 x, y) があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積分 が C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy (15) で交換できる，というものです。 いると，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy (16) と，その前に説明した定理をあわせると，正則関数 f(z) に対しては F′(z) = f(z) となる正 が必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正則 でも微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には，こ f(z)dz と書きます。 の積分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関数 y) があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積分 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy (15) で交換できる，というものです。 いると，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy (16) ー・リーマンの関係式より実部・虚部ともに 0 となります。■ として 線積分と面積分を 交換
- 148. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. コーシーの積分定理 複素関数 f(z) が，領域D での正則関数で 経路 C が， D 内にある閉曲線ならば コーシーの積分定理 証明は，グリーンの定理で C f(z)dz = 0 dt dt = F(z(1)) − F(z(0)) = F(b) − F(a) (14) 線なら，始点も終点も同じですから，経路によらず C f(z)dz = 0 である ことをより一般的に表したのが，下記のコーシーの積分定理です。 度秋学期） 第１２回 (2014. 12. 18) http://racco.mikeneko.jp/ 4/5 ページ 閉曲線 C 上での（線）積分 必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正 微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には， )dz と書きます。 分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関 があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy ( 換できる，というものです。 と，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy ( ２次元関数 閉曲線 C に囲まれた領域 D´ 内での（面）積分 と，その前に説明した定理をあわせると，正則関数 f(z) に対しては F′(z) = f(z) となる正 が必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正則 でも微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には，こ f(z)dz と書きます。 の積分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関数 x, y) があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積分 が C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy (15) で交換できる，というものです。 いると，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy (16) と，その前に説明した定理をあわせると，正則関数 f(z) に対しては F′(z) = f(z) となる正 が必ず存在することがわかります。したがって，正則関数の微分は正則関数で，つまり正則 でも微分できることがわかります。なお，経路 C が閉曲線であることを強調する時には，こ f(z)dz と書きます。 の積分定理の証明には，グリーン (Green) の定理が用いられます。これは，２次元の関数 y) があるとき，その閉曲線 C に沿った積分（線積分）と，C で囲まれた領域 D′ での積分 C (Pdx + Qdy) = D′ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy (15) で交換できる，というものです。 いると，f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とするとき C f(z)dz = C {u(x, y) + iv(x, y)}(dx + idy) = C (udx − vdy) + i C (vdx + udy) = D′ − ∂v ∂x − ∂u ∂y dxdy + i D′ ∂u ∂x − ∂v ∂y dxdy (16) ー・リーマンの関係式より実部・虚部ともに 0 となります。■ として 正則関数なので， コーシー・リーマンの 関係式よりどちらもゼロ 線積分と面積分を 交換
- 149.
- 150.
- 151. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 次回に向けて −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ezf(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 正則でない点を囲んで積分したら？
- 152. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 次回に向けて −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ezf(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 正則でない点を囲んで積分したら？
- 153. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 次回に向けて −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ezf(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 正則でない点を囲んで積分したら？ 積分は0
- 154. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 次回に向けて −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ezf(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 正則でない点を囲んで積分したら？ 積分は0
- 155. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 次回に向けて −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ezf(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 正則でない点を囲んで積分したら？ 積分は0 積分は？
- 156. 2014年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 次回に向けて −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 f(z) = ezf(z) = 1 / z −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 正則でない点を囲んで積分したら？ 積分は0 積分は？ 正則でない「穴」によって決まる