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2015年度秋学期 応用数学（解析） 第１５回 ルベーグ積分 (2016. 1. 21)
- 4. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 積分 f(x) x p q 定積分を習った時に，「任意の a について，関数 f(x) の a か ある」すなわち「幅が 0 の積分は 0」ということを習っ ということは，図 1(a) のように，積分 q p f(x)dx から き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面 幅 0 の積分は 0 なのだから，a の１カ所だけでなく，図 はり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減ら ての有理数の位置にある幅 0 の線を抜き取っても，すな 積は減らないのでしょうか？ どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までな 精密にとらえる必要があることを示しています。
- 5. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 積分 f(x) x p q 定積分を習った時に，「任意の a について，関数 f(x) の a か ある」すなわち「幅が 0 の積分は 0」ということを習っ ということは，図 1(a) のように，積分 q p f(x)dx から き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面 幅 0 の積分は 0 なのだから，a の１カ所だけでなく，図 はり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減ら ての有理数の位置にある幅 0 の線を抜き取っても，すな 積は減らないのでしょうか？ どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までな 精密にとらえる必要があることを示しています。 p q
- 6. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 積分 f(x) x p q 定積分を習った時に，「任意の a について，関数 f(x) の a か ある」すなわち「幅が 0 の積分は 0」ということを習っ ということは，図 1(a) のように，積分 q p f(x)dx から き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面 幅 0 の積分は 0 なのだから，a の１カ所だけでなく，図 はり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減ら ての有理数の位置にある幅 0 の線を抜き取っても，すな 積は減らないのでしょうか？ どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までな 精密にとらえる必要があることを示しています。 p qa
- 7. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 積分 f(x) x p q 定積分を習った時に，「任意の a について，関数 f(x) の a か ある」すなわち「幅が 0 の積分は 0」ということを習っ ということは，図 1(a) のように，積分 q p f(x)dx から き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面 幅 0 の積分は 0 なのだから，a の１カ所だけでなく，図 はり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減ら ての有理数の位置にある幅 0 の線を抜き取っても，すな 積は減らないのでしょうか？ どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までな 精密にとらえる必要があることを示しています。 p q だから， のきっかけになった「疑問」を説明し，集合の基本 本的な性質である完全加法性，そしてその帰結とし の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， a
- 8. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 aのところで幅0の 直線を抜いても 積分の値は変わらない 積分 f(x) x p q 定積分を習った時に，「任意の a について，関数 f(x) の a か ある」すなわち「幅が 0 の積分は 0」ということを習っ ということは，図 1(a) のように，積分 q p f(x)dx から き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面 幅 0 の積分は 0 なのだから，a の１カ所だけでなく，図 はり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減ら ての有理数の位置にある幅 0 の線を抜き取っても，すな 積は減らないのでしょうか？ どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までな 精密にとらえる必要があることを示しています。 p q だから， のきっかけになった「疑問」を説明し，集合の基本 本的な性質である完全加法性，そしてその帰結とし の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， a
- 9. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q ) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 x から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， 積は減らないはずです。ならば，p と q の間にあるす ，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やはり までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，よ
- 10. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q ) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 x から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， 積は減らないはずです。ならば，p と q の間にあるす ，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やはり までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，よ p q
- 11. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q ) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 x から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， 積は減らないはずです。ならば，p と q の間にあるす ，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やはり までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，よ 可算無限個の直線を 抜いても p q
- 12. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q ) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 x から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， 積は減らないはずです。ならば，p と q の間にあるす ，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やはり までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，よ 可算無限個の直線を 抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる
- 13. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q ) の a から a までの積分は 0，すなわち a a f(x)dx = 0 を習ったと思います。 x から，p と q の間にある a のところだけ幅 0 の線を 分の面積は減らないということになります。 く，図 1(b) のように幅 0 の線を何本抜き取っても， 積は減らないはずです。ならば，p と q の間にあるす ，すなわち 可算無限個 の線を抜き取っても，やはり までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，よ 可算無限個の直線を 抜いても p q どれだけ拡大してみても， びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらない のか？
- 21. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2, … を εを任意の正の数とすると
- 22. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2, … を εを任意の正の数とすると
- 23. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2, … を a1 εを任意の正の数とすると
- 24. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2, … を a1 a2 εを任意の正の数とすると
- 25. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 εを任意の正の数とすると
- 26. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 εを任意の正の数とすると …
- 27. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 εを任意の正の数とすると …
- 28. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 εを任意の正の数とすると …
- 29. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 εを任意の正の数とすると …
- 30. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 覆った区間の長さの合計 有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 εを任意の正の数とすると …
- 31. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 覆った区間の長さの合計 有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 えます。有理数は可算無限個あるので，ジョルダン測度の そこで，ルベーグ測度で考えます。 ら，通し番号をつけて a1, a2, . . . an . . . と表すことができま が数直線上でもつ幅は，有理数全体を区間の組み合わせ（ ，区間の長さの合計の下限です。そこで，ε を任意の正の 区間で，・・・，an を幅 ε/2n の区間で覆うとします。 の合計は ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε 正の数ですからいくらでも小さくすることができるので すなわち，有理数全体のルベーグ測度は 0 となります。し εを任意の正の数とすると …
- 32. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 覆った区間の長さの合計 有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 えます。有理数は可算無限個あるので，ジョルダン測度の そこで，ルベーグ測度で考えます。 ら，通し番号をつけて a1, a2, . . . an . . . と表すことができま が数直線上でもつ幅は，有理数全体を区間の組み合わせ（ ，区間の長さの合計の下限です。そこで，ε を任意の正の 区間で，・・・，an を幅 ε/2n の区間で覆うとします。 の合計は ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε 正の数ですからいくらでも小さくすることができるので すなわち，有理数全体のルベーグ測度は 0 となります。し εを任意の正の数とすると … その下限がルベーグ（外）測度で，すなわち0
- 33. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 覆った区間の長さの合計 有理数a1, a2, … を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 えます。有理数は可算無限個あるので，ジョルダン測度の そこで，ルベーグ測度で考えます。 ら，通し番号をつけて a1, a2, . . . an . . . と表すことができま が数直線上でもつ幅は，有理数全体を区間の組み合わせ（ ，区間の長さの合計の下限です。そこで，ε を任意の正の 区間で，・・・，an を幅 ε/2n の区間で覆うとします。 の合計は ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε 正の数ですからいくらでも小さくすることができるので すなわち，有理数全体のルベーグ測度は 0 となります。し εを任意の正の数とすると … その下限がルベーグ（外）測度で，すなわち0 有理数全体のルベーグ測度は0
- 35. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜 f(x) x p 長方形で近似 q
- 36. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
- 37. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の
- 38. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて，
- 39. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限
- 40. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限
- 41. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は， の a について，関数 f(x) の a から a までの積分は 0，すなわ 積分は 0」ということを習ったと思います。 うに，積分 q p f(x)dx から，p と q の間にある a のとこ なわち図のグレーの部分の面積は減らないということに ，a の１カ所だけでなく，図 1(b) のように幅 0 の線を のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば， の線を抜き取っても，すなわち 可算無限個 の線を抜 f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない，有限個の 区間に分けて， その上の長方形の面積の極限 「極限」とは，無限ではなく有限
- 46. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな関数の積分は。その説明では，可算無限個の有理数の集合はルベーグ測度が 0，すなわ でした。 方，高校以来学んできた積分（リーマン積分）は「積分区間を 有限個 の とづいています。そこで，上で抜き取った可算無限個の有理数に対応し h(x) = 1 x は有理数 0 x は無理数 う関数（ディリクレ関数）1 を考えると，積分区間をいくら細かく分割し 理数も必ず含まれますから，前回説明したジョルダン外測度は 1，ジョル つまりこの関数の積分はジョルダン可測ではなく，区分求積法では積分 ，リーマン積分は不可能です。 のことは，上記の「幅 0 の線を可算無限個抜き取っても，定積分の値は ではなく，ルベーグ測度にもとづいた新しい積分の定義が必要であるこ ベーグ積分です。 ディリクレ関数 x0 1 ……
- 47. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. こんな関数の積分は x軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する 。その説明では，可算無限個の有理数の集合はルベーグ測度が 0，すなわ でした。 方，高校以来学んできた積分（リーマン積分）は「積分区間を 有限個 の とづいています。そこで，上で抜き取った可算無限個の有理数に対応し h(x) = 1 x は有理数 0 x は無理数 う関数（ディリクレ関数）1 を考えると，積分区間をいくら細かく分割し 理数も必ず含まれますから，前回説明したジョルダン外測度は 1，ジョル つまりこの関数の積分はジョルダン可測ではなく，区分求積法では積分 ，リーマン積分は不可能です。 のことは，上記の「幅 0 の線を可算無限個抜き取っても，定積分の値は ではなく，ルベーグ測度にもとづいた新しい積分の定義が必要であるこ ベーグ積分です。 ディリクレ関数 x0 1 ……
- 55. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ディリクレ関数の積分 x軸上をどんなに細かく区切っても， 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する x0 1 どんな区切りでも， x0 1
- 69. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。
- 70. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 71. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 72. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 73. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 74. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 75. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 76. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 77. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 78. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 79. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 80. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 81. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 82. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 83. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 84. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割
- 85. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割 yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 86. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 yi （Aiのルベーグ測度）を求める y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割 yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 87. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 yi （Aiのルベーグ測度）を求める y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割 yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 88. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 yi （Aiのルベーグ測度）を求める y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割 yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 89. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 yi （Aiのルベーグ測度）を求める y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割 yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 90. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 yi （Aiのルベーグ測度）を求める y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割 yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 91. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 yi （Aiのルベーグ測度）を求める y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割 yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。 これを各yiについて合計したものの， 分割を細かくしたときの極限
- 92. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ積分の考え方 yi （Aiのルベーグ測度）を求める Aiがたとえ可算無限個に分れていても， ルベーグ可測なら完全加法性があるから合計できる y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 y軸を分割 yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。 これを各yiについて合計したものの， 分割を細かくしたときの極限
- 100. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 単関数とルベーグ積分 単関数… こういう 階段状の 関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 と定義します。 A1, A2, . . . , An を互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = のとき， ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) で表される関数を単関数といいます。 単関数については，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22)
- 101. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 単関数とルベーグ積分 単関数… こういう 階段状の 関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 と定義します。 A1, A2, . . . , An を互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = のとき， ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) で表される関数を単関数といいます。 単関数については，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22)
- 102. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 単関数とルベーグ積分 単関数… こういう 階段状の 関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 と定義します。 A1, A2, . . . , An を互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = のとき， ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) で表される関数を単関数といいます。 単関数については，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) xがAiにあるとき 値が1，他は0 ［特性関数］
- 103. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 単関数とルベーグ積分 単関数のルベーグ積分 単関数… こういう 階段状の 関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 と定義します。 A1, A2, . . . , An を互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = のとき， ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) で表される関数を単関数といいます。 単関数については，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) xがAiにあるとき 値が1，他は0 ［特性関数］
- 104. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 単関数とルベーグ積分 単関数のルベーグ積分 単関数… こういう 階段状の 関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 と定義します。 A1, A2, . . . , An を互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = のとき， ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) で表される関数を単関数といいます。 単関数については，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) を ϕ(x; A) = 1 x ∈ A 0 x ̸∈ A (2) 互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An とします。こ ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) (3) 関数といいます。 ，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) (4) （2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) http://racco.mikeneko.jp/ 2/4 ページ xがAiにあるとき 値が1，他は0 ［特性関数］
- 105. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 単関数とルベーグ積分 単関数のルベーグ積分 単関数… こういう 階段状の 関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 と定義します。 A1, A2, . . . , An を互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = のとき， ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) で表される関数を単関数といいます。 単関数については，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) を ϕ(x; A) = 1 x ∈ A 0 x ̸∈ A (2) 互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An とします。こ ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) (3) 関数といいます。 ，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) (4) （2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) http://racco.mikeneko.jp/ 2/4 ページ xがAiにあるとき 値が1，他は0 ［特性関数］
- 106. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 単関数とルベーグ積分 単関数のルベーグ積分 単関数… こういう 階段状の 関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 と定義します。 A1, A2, . . . , An を互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = のとき， ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) で表される関数を単関数といいます。 単関数については，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) を ϕ(x; A) = 1 x ∈ A 0 x ̸∈ A (2) 互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An とします。こ ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) (3) 関数といいます。 ，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) (4) （2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) http://racco.mikeneko.jp/ 2/4 ページ αi Aiのルベーグ測度 xがAiにあるとき 値が1，他は0 ［特性関数］
- 107. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 単関数とルベーグ積分 単関数のルベーグ積分 単関数… こういう 階段状の 関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 と定義します。 A1, A2, . . . , An を互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = のとき， ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) で表される関数を単関数といいます。 単関数については，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) を ϕ(x; A) = 1 x ∈ A 0 x ̸∈ A (2) 互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An とします。こ ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) (3) 関数といいます。 ，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) (4) （2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) http://racco.mikeneko.jp/ 2/4 ページ αi Aiのルベーグ測度 xがAiにあるとき 値が1，他は0 ［特性関数］
- 108. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 単関数とルベーグ積分 単関数のルベーグ積分 単関数… こういう 階段状の 関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 と定義します。 A1, A2, . . . , An を互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = のとき， ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) で表される関数を単関数といいます。 単関数については，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) を ϕ(x; A) = 1 x ∈ A 0 x ̸∈ A (2) 互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An とします。こ ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) (3) 関数といいます。 ，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) (4) （2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) http://racco.mikeneko.jp/ 2/4 ページ αi Aiのルベーグ測度 xがAiにあるとき 値が1，他は0 ［特性関数］
- 109. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 単関数とルベーグ積分 単関数のルベーグ積分 単関数… こういう 階段状の 関数 A1 α1 α2 α3 A2 A3 と定義します。 A1, A2, . . . , An を互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = のとき， ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) で表される関数を単関数といいます。 単関数については，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) 浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) を ϕ(x; A) = 1 x ∈ A 0 x ̸∈ A (2) 互いに共通部分をもたない可測集合列とし，A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An とします。こ ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai) (3) 関数といいます。 ，そのルベーグ積分を A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai) (4) （2014 年度秋学期） 第１５回 (2015. 1. 22) http://racco.mikeneko.jp/ 2/4 ページ αi Aiのルベーグ測度 xがAiにあるとき 値が1，他は0 ［特性関数］
- 110. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 111. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 112. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 113. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 114. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 115. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 116. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数 関数を単関数で近似する 単関数で近似できるためには，どのようにy軸を分割しても 図のAiが可測でなければならない y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 117. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数 関数を単関数で近似する 単関数で近似できるためには，どのようにy軸を分割しても 図のAiが可測でなければならない y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。 任意のa, bについて のルベーグ測度です。 も，それが単関数の極限で表されるのなら，同様にルベーグ積分が定義でき めには，単関数を階段状の関数として関数 f(x) の形に合わせて近似すると つねに可測集合である必要があります。 について，集合 {x|a f(x) < b} が可測集合でなければなりません。この ます。 が可測
- 118. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数 関数を単関数で近似する 単関数で近似できるためには，どのようにy軸を分割しても 図のAiが可測でなければならない y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。 任意のa, bについて のルベーグ測度です。 も，それが単関数の極限で表されるのなら，同様にルベーグ積分が定義でき めには，単関数を階段状の関数として関数 f(x) の形に合わせて近似すると つねに可測集合である必要があります。 について，集合 {x|a f(x) < b} が可測集合でなければなりません。この ます。 が可測 ［可測関数］
- 119. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数のルベーグ積分 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。
- 120. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数のルベーグ積分 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。 ) は Ai のルベーグ測度です。 ついても，それが単関数の極限で表されるのなら，同様にルベーグ積分が定義でき できるためには，単関数を階段状の関数として関数 f(x) の形に合わせて近似すると 合 Ai がつねに可測集合である必要があります。 実数 a, b について，集合 {x|a f(x) < b} が可測集合でなければなりません。この 数といいます。 積分 について，可測集合 A 上の f(x) のルベーグ積分を A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) (5) でいう上限 (sup) は，「0 ϕ(x) f(x) をみたすすべての単関数」にわたっての上 り，f(x) を単関数で下から（内側から）近似したときの，もっともよい近似によっ 可測関数の ルベーグ積分
- 121. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数のルベーグ積分 単関数で近似 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。 ) は Ai のルベーグ測度です。 ついても，それが単関数の極限で表されるのなら，同様にルベーグ積分が定義でき できるためには，単関数を階段状の関数として関数 f(x) の形に合わせて近似すると 合 Ai がつねに可測集合である必要があります。 実数 a, b について，集合 {x|a f(x) < b} が可測集合でなければなりません。この 数といいます。 積分 について，可測集合 A 上の f(x) のルベーグ積分を A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) (5) でいう上限 (sup) は，「0 ϕ(x) f(x) をみたすすべての単関数」にわたっての上 り，f(x) を単関数で下から（内側から）近似したときの，もっともよい近似によっ 可測関数の ルベーグ積分
- 122. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数のルベーグ積分 単関数で近似 一番よい近似のとき 関数を単関数で近似する y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 分割点を y1 < y2 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1 を考えて，「yi × Ai の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし たものの極限を，f(x) のルベーグ積分と考えます。 この方法では，集合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 算無限個の部分に分かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 丈夫です。 yi yi x i+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 < · · · < yn とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} の測度」を求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし x) のルベーグ積分と考えます。 合 Ai がルベーグ可測であれば，積分を求めることができます。集合 Ai がたとえ可 かれていたとしても，ルベーグ可測であれば測度に完全加法性がありますから，大 ，関数の性質に関係なく，定義域を有限個に分けていました。そのため，ディリク な関数には対応できなくなってしまいました。ルベーグ積分は，y の分割に対して， 合 Ai が対応するので，より広い範囲の関数に対応することができます。 ) は Ai のルベーグ測度です。 ついても，それが単関数の極限で表されるのなら，同様にルベーグ積分が定義でき できるためには，単関数を階段状の関数として関数 f(x) の形に合わせて近似すると 合 Ai がつねに可測集合である必要があります。 実数 a, b について，集合 {x|a f(x) < b} が可測集合でなければなりません。この 数といいます。 積分 について，可測集合 A 上の f(x) のルベーグ積分を A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) (5) でいう上限 (sup) は，「0 ϕ(x) f(x) をみたすすべての単関数」にわたっての上 り，f(x) を単関数で下から（内側から）近似したときの，もっともよい近似によっ 可測関数の ルベーグ積分
- 123. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数のルベーグ積分 本当にsupで 近似できるか？ ついて，可測集合 A 上の f(x) のルベーグ積分を A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) (5) う上限 (sup) は，「0 ϕ(x) f(x) をみたすすべての単関数」にわたっての上 f(x) を単関数で下から（内側から）近似したときの，もっともよい近似によっ しています。 きは，正の値をとるときと負の値をとるときに分けて，負の値をとる部分を正 (x) = max(f(x), 0), f−(x) = max(−f(x), 0) とすると，f(x) = f+(x)−f−(x) A f(x)m(dx) = A f+ (x)m(dx) − A f− (x)m(dx) (6) る近似で積分が定義できるのは，次の定理があるからです。 し，f(x) 0 とする。このとき，単関数の増加列
- 124. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数のルベーグ積分 本当にsupで 近似できるか？ ついて，可測集合 A 上の f(x) のルベーグ積分を A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) (5) う上限 (sup) は，「0 ϕ(x) f(x) をみたすすべての単関数」にわたっての上 f(x) を単関数で下から（内側から）近似したときの，もっともよい近似によっ しています。 きは，正の値をとるときと負の値をとるときに分けて，負の値をとる部分を正 (x) = max(f(x), 0), f−(x) = max(−f(x), 0) とすると，f(x) = f+(x)−f−(x) A f(x)m(dx) = A f+ (x)m(dx) − A f− (x)m(dx) (6) る近似で積分が定義できるのは，次の定理があるからです。 し，f(x) 0 とする。このとき，単関数の増加列 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 y x Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} 求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし ーグ積分と考えます。
- 125. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数のルベーグ積分 本当にsupで 近似できるか？ k/2n ついて，可測集合 A 上の f(x) のルベーグ積分を A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) (5) う上限 (sup) は，「0 ϕ(x) f(x) をみたすすべての単関数」にわたっての上 f(x) を単関数で下から（内側から）近似したときの，もっともよい近似によっ しています。 きは，正の値をとるときと負の値をとるときに分けて，負の値をとる部分を正 (x) = max(f(x), 0), f−(x) = max(−f(x), 0) とすると，f(x) = f+(x)−f−(x) A f(x)m(dx) = A f+ (x)m(dx) − A f− (x)m(dx) (6) る近似で積分が定義できるのは，次の定理があるからです。 し，f(x) 0 とする。このとき，単関数の増加列 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 y x Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} 求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし ーグ積分と考えます。
- 126. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数のルベーグ積分 本当にsupで 近似できるか？ k/2n ついて，可測集合 A 上の f(x) のルベーグ積分を A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) (5) う上限 (sup) は，「0 ϕ(x) f(x) をみたすすべての単関数」にわたっての上 f(x) を単関数で下から（内側から）近似したときの，もっともよい近似によっ しています。 きは，正の値をとるときと負の値をとるときに分けて，負の値をとる部分を正 (x) = max(f(x), 0), f−(x) = max(−f(x), 0) とすると，f(x) = f+(x)−f−(x) A f(x)m(dx) = A f+ (x)m(dx) − A f− (x)m(dx) (6) る近似で積分が定義できるのは，次の定理があるからです。 し，f(x) 0 とする。このとき，単関数の増加列 (k+1)/2n y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 y x Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} 求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし ーグ積分と考えます。
- 127. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数のルベーグ積分 本当にsupで 近似できるか？ k/2n y軸をこのように分割し 単関数で近似 ついて，可測集合 A 上の f(x) のルベーグ積分を A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) (5) う上限 (sup) は，「0 ϕ(x) f(x) をみたすすべての単関数」にわたっての上 f(x) を単関数で下から（内側から）近似したときの，もっともよい近似によっ しています。 きは，正の値をとるときと負の値をとるときに分けて，負の値をとる部分を正 (x) = max(f(x), 0), f−(x) = max(−f(x), 0) とすると，f(x) = f+(x)−f−(x) A f(x)m(dx) = A f+ (x)m(dx) − A f− (x)m(dx) (6) る近似で積分が定義できるのは，次の定理があるからです。 し，f(x) 0 とする。このとき，単関数の増加列 (k+1)/2n y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 y x Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} 求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし ーグ積分と考えます。
- 128. 2015年度秋学期 A.Asano,KansaiUniv. 可測関数のルベーグ積分 本当にsupで 近似できるか？ k/2n y軸をこのように分割し 単関数で近似 ついて，可測集合 A 上の f(x) のルベーグ積分を A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) (5) う上限 (sup) は，「0 ϕ(x) f(x) をみたすすべての単関数」にわたっての上 f(x) を単関数で下から（内側から）近似したときの，もっともよい近似によっ しています。 きは，正の値をとるときと負の値をとるときに分けて，負の値をとる部分を正 (x) = max(f(x), 0), f−(x) = max(−f(x), 0) とすると，f(x) = f+(x)−f−(x) A f(x)m(dx) = A f+ (x)m(dx) − A f− (x)m(dx) (6) る近似で積分が定義できるのは，次の定理があるからです。 し，f(x) 0 とする。このとき，単関数の増加列 (k+1)/2n とおくと，関数列 {ϕ1(x), ϕ2(x), . . . } は (7) 式の単調増加性を満たして 一方，ある自然数 N について，f(x) の f(x) < N となる部分につい 式から |f(x) − ϕn(x)| ≤ 1 2n となります。また，f(x) = +∞ 2 のところでは lim n→∞ ϕn(x) = +∞ とな ϕn(x) が f(x) に収束（各点収束）することを意味しています。■ 再び最初の問題へ，そして発展 以上の議論をふまえて，最初の「ディリクレ関数 h(x) の積分」の問 y yi x yi+1 Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 y x Ai 図 3: ルベーグ積分の考え方 とするとき，ある yi に対して定義域に集合 Ai = {a|yi f(a) < yi+1} 求めます。これを各 yi について求めて合計したものの，分割を細かくし ーグ積分と考えます。