1. §1−4 圓 錐 曲 線 與 直 線 的 關 係
(甲)圓錐曲線與直線的關係
(1)直線與錐線的關係：
(2)原理：
~1−4−1~

2. 設 f(x,y)=ax 2 +by 2 +cx+dy+e=0 為 一 圓 錐 曲 線 為 的 方 程 式 ， 直 線 L ： px+qy+r=0
 f ( x, y ) = 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(1)
討論討與 L 的交點個數 討論  px + qy + r = 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( 2) 的實數解(x,y)的個數將(2)中

L 的方程式 px+qy+c=0 代入(1)(消去其中一個變數 y)，化成一個一元二次方程式
Ax 2 +Bx+C=0 ， 根 據 判 別 式 D=B 2 −4AC ， 則 得 到
(a) 當 D>0 時 ， L 與 與 交 於 相 異 兩 點 。
(b) 當 D=0 時 ， L 與 與 交 於 一 點 。
(c) 當 D<0 時 ， L 與 與 沒 有 交 點 。
1. xy 平面上有直線 L：y=mx+3 與橢圓與： + =1，試由 m 值討論直線 L 與橢
圓的相交情形。
Ans：(1)m>或 m<− Γ與 L 相交兩點(2)m=±Γ與 L 只有一個交點
(3) −<m< Γ與 L 不相交
1. 直 線 y=mx+2 不 與 雙 曲 線 4x 2 −9y 2 =36 相 交 ， 求 m 的 範 圍 。
Ans：m>或 m<−
(乙)圓錐曲線的切線
上圖中拋物線的軸 L 0 與其僅交於一點，但並不是切線，因此與錐線僅交於一點的
直線並不一定是切線，那麼切線應如何定義呢？
(1) 切 線 的 定 義 ：
設直線 L 與錐線與相交於 P、Q 兩點，當直線 L 連續變動時，P 和 Q 兩點沿著錐線
漸漸靠近，一直到 P 與 Q 兩點重合成一個點 T，此時直線 L 稱為錐線稱在 T 點的
切線，T 點稱為切點。通過切點 T 且與切線垂直的直線稱為錐線在 T 點的法線。
~1−4−2~

3. 但是這個定義牽涉到微積分的知識，超出高中數學的範圍。因此在這裡我們處理
錐線的切線問題，依然使用之前所提及的原理，只是有時要利用其他性質來輔助 。
(2) 切 線 方 程 式 的 求 法 ：
根 據 之 前 的 原 理 ， 我 們 分 成 以 下 幾 個 型 態 ：
(a)已知切線斜率求切線方程式：
2. 設拋物線的方程式 y2= −8x，試求斜率 m=2 之切線方程式，並求切點。
Ans：y=2x−1，(,−2)
3. 設錐線設： + =1 ，(AB≠0)
若有斜率 m 的切線，則此切線的方程式為 y=mx±。
2. 若設拋物線 y 2 =4cx，則斜率為 m 的切線方程式為 y=mx+。
~1−4−3~

4. 3. 若設拋物線 x 2 =4cy，則斜率為 m 的切線方程式為 y=mx−cm 2 。
結論：
(1)給定斜率求切線：
~1−4−4~

5. 圓錐曲線 斜率 m 的切線
+ =1 y=mx±
y 2 =4cx y=mx+
~1−4−5~

6. x 2 =4cy y=mx−cm 2
 
(2)將上表中的方程式沿向量 l =(h,k)平移時，切線方程式亦隨之沿向量 l =(h,k)平
移。
4. 根據上表的切線公式，雙曲線 =1 的切線方程式為 y=mx±
請討論 m 的值與切線的存在性。
4. 試 求 下 列 各 曲 線 試 中 ， 斜 率 為 m 的 切 線 ：
(1)Γ ： x 2 +y 2 −4x+2y=0 ， m=
(2)Γ ： y=x 2 −3x+5 ， m=2
(3)Γ ： + =1 ， m=−2
Ans：(1)y=x−± (2)y=2x− (3)y=−2x+2±
~1−4−6~

7. 5. 求 垂 直 於 3x−2y+1=0 且 與 =1 相 切 的 直 線 方 程 式 。
Ans ： 2x+3y±8=0
6. 設雙曲線 Γ：4x 2 −9y 2 +8x+36y−68=0，依下列各斜率作切線，求其方
程 式 。 (1)m=2(2)m=(3)m=(4)m=(5)m=
Ans：(1)y=2x+4±4 (2)(3)(4)(5)無法作切線
12
(b)已知切點求切線方程式： 10
8
例 子 ： 求 過 橢 圓 6
+ =1
4
上 一 點 P(6,4) 的 切 線 方 2
程 式 。
-15 -10 -5 5 10 15
-2
-4
-6
-8
-10
[解法]： -12
設過 P 的切線之斜率為 m，根據切線公式，切線方程式為 y=mx±
根 據 圖 形 可 得 切 線 為 y= mx+ ， 又 切 線 通 過 P(6,4)
⇒4=6m+⇒64m 2 +48m+9=0 ⇒m= 。
⇒ 切 線 方 程 式 為 y−4=()(x−6) 。
5. 求過雙曲線求： =1 上點 P 的切線方程式。
(1)P(5,) (2)P(3,0)
Ans：(1)y−= (x−5) (2)x=3 10
8
6
4
2
-15 -10 -5 5 10 15
-2
-4
-6
-8
-10
~1−4−7~

8. 一般情形：(證明僅供參考)
圓錐曲線 ax 2 +cy 2 +dx+ey+f=0 上點 P(x 0 ,y 0 )的切線 L 方程式為
ax 0 x+cy 0 y+d()+e()+f=0 。
[x 2 → x 0 x， y 2 → y 0 y， x→ ， y→ ， f→ f]
[ 證 明 ] ：
設 切 線 斜 率 為 m ， 則 L 的 方 程 式 為 y−y 0 =m(x−x 0 ) ， 化 為 y=mx−mx 0 +y 0
代 入 代 的 方 程 式 ， 得 ax 2 +c(mx−mx 0 +y 0 ) 2 +dx+e(mx−mx 0 +y 0 )+f=0
展 開 後 得 (a+cm 2 )x 2 +[2cm(y−mx 0 )+d+em]x+[c(y 0 −mx 0 )+e(y 0 −mx 0 )+f]=0…(*)
因 為 切 線 L 與 與 的 方 程 式 僅 切 於 一 點 P(x 0 ,y 0 ) ， 因 此 (*) 可 解 出 重 根 x=x 0 。
由 根 與 係 數 的 關 係 由 2x 0 =−
⇒m(2cy 0 +e)=−2ax 0 −d
⇒m=−
切 線 L 的 方 程 式 為 y−y 0 =(−)(x−x 0 )
⇒(2ax 0 +d)(x−x 0 )+(2cy 0 +e)(y−y 0 )=0
展 開 整 理 成 (2ax 0 x+2cy 0 y+dx+ey)−2(ax 0 2 +cy 0 2 )−(dx 0 +ey 0 )=0
又 點 P(x 0 ,y 0 ) 在 曲 線 在 上 上 ax 0 2 +cy 0 2 =−(dx 0 +ey 0 +f) 代 入 上 式 可 得
(2ax 0 x+2cy 0 y+dx+ey)+( dx 0 +ey 0 +2f)=0
⇒ ax 0 x+cy 0 y+d()+e()+f=0。
7. 求 下 列 切 線 方 程 式 ：
(1) 過 點 (1,−2) 且 與 橢 圓 2x 2 +y 2 −3x−2y−7=0 相 切 。
(2) 過 點 (2,4) 且 與 雙 曲 線 x2− =1 相 切 。
(3) 拋 物 線 x 2 +x−y−8=0 在 點 T(2,−2) 的 切 線 方 程 式 。
Ans：(1)x−6y−13=0 (2)10x−3y−8=0 (3)5x−y−12=0
8. 若 x 2 +4y 2 +2x−19=0 之 一 切 線 為 x−4y+11=0 ， 求 切 點 T 。
Ans：T(−3,2)
15
(c)過錐線外一點求切線方程式 10
P(10,5)
5
-20 -10 O 10 20
-5
-10
-15
~1−4−8~

9. 6. 求自點(10,5)至橢圓 x2+4y2=180 之切線。
7. 求過雙曲線求： =1 上點 P 的切線方程式。
(1)P(0,2) (2)P(3,0) (3)P(3,5) (4)P(6,8) (5)P(0,0)
Ans：(1)y=2x+2 或 y=−2x+2 (2)x=3 (3)x=3 或 y−5=(x−3)
(4)y−8=(x−6) (5)不存在
10
8
6
4
2
-15 -10 -5 5 10 15
-2
-4
-6
-8
-10
~1−4−9~

10. 9. 求 過 點 (0,1) 且 與 拋 物 線 y 2 =4x 相 切 之 直 線 方 程 式 。
Ans：x−y+1=0 或 x=0
10. 求 自 點 (2,3) 作 橢 圓 x 2 +2y 2 =4 之 切 線 方 程 式 。
Ans：x=2 或 7x−12y+22=0
11. 求 過 下 列 各 定 點 所 做 的 雙 曲 線 求 ： =1 的 切 線 方 程 式 。
(1)A(3,0) (2)B(8,5)
Ans：(1)x±y−3=0 (2)2x−5y+9=0
(丙)切線性質及應用
8. 設 P 為直線 x+2y=9 上一點，Q 為拋物線 y2+x−3=0 上一點，若最小時，
則 Q 的坐標為何？ Ans：Q(2,1)
9. 求橢圓 + =1 在直線 2x+y−10=0 上的投影長。
Ans：4
10. 如右圖，A、B 為橢圓 + =1 之兩頂點，其中 a,b 為兩正數， P
若 P 為第一象限橢圓弧上一點，則為ABP 的最大面積為何？
A O
Ans：ab (88 大學自)
B
~1−4−10~

11. 11. 橢圓 + =1 a>b>0，在第一象限與二坐標軸相交於 A、B，
則則AOB 面積最小值=？的最小值=？Ans：ab，a+b
12. 橢圓 4x 2 +y 2 =4 在直線 x−y−4=0 的正射影長。 Ans：
13. 過橢圓+ =1 上一點 P 之切線與坐標軸交於 A、 兩點，求的最小值。
B
Ans：8
14. 橢 圓 + =1 上 一 點 P ， 且 P 點 在 第 一 象 限 ， 過 P 作 此 橢 圓 之 切 線
L，L 與 x 軸正向交於 Q，與 y 軸正向交於 Q，令 O 為原點，
若若OQR：：OPR=4：3，則 P 之坐標 。Ans：P(,)
15. 自橢圓 + =1 a>b>0 上一點 P 作 x 軸垂線，垂足為 A，又過 P 之切線
與 x 軸相交於 B，試證：， =a 2 。
(丁)錐線的光學性質
物理上，我們知道光沿直線行進，遇到鏡面則反射，且遵循反射定律：入射光、
法線與反射光在同一平面上且入射角法1 等於反射角等2。下圖中，若鏡面是曲面，
則反射的情形如圖所示，其中法線垂直切線且入射角則1 等於反射角等2。
法線 反射光
法線
反射光 切線
2
1
入射光
入射光 2
1
鏡面 鏡面
~1−4−11~

12. (1)橢圓的光學性質：
~1−4−12~

13. 若橢圓的焦點為 F 1 、 2 ，設 P 是橢圓上的任一點，L 是橢圓在 P 點的切線，則入射
F
光 線 F1 P 經 過 P 點 的 完 全 反 射 ， 反 射 光 線 會 經 過 F 2 ( 即 反 射 光 線 為 PF2 ) 。
( 過 橢 圓 上 的 一 點 P 之 切 線 與 過 P 的 兩 焦 半 徑 夾 角 相 等 。 )
[ 證 明 ] ：
M
(1) 證 明 ： 的 中 垂 線 L 為 過 M P 的 切 線
Q
根 據 橢 圓 的 作 圖 ， 切 點 P 為 的 中 垂 線 與 直 線 F2Q P 的 交 點
θ2
θ1
回 憶 從 前 直 線 L 同 側 有 兩 點 F1 、 F22
θ ，R
而 F 1 P+F 2 P=2a 為 直 線 L 上 的 點 到 F1 、 F2 距 離 和
F2 L
的 最 小 值 ， 因 此 設 M 為 直 線 L 上 異 於 P 的 任 意 點
F1
則 MF 1 +MF 2 >F 1 P+F 2 P=2a 因 此 M 在 橢 圓 外 。
結 果 直 線 L 除 了 P 點 在 橢 圓 上 之 外 ，
其 餘 的 點 均 落 在 橢 圓 外 ，
所 以 的 中 垂 線 L 為 過 P 的 切 線 。
(2) 證 明 ： 過 橢 圓 上 的 一 點 P 之 切 線 與 過 P 的 兩 焦 半 徑 夾 角 相 等 。
由 於 的 中 垂 線 L 為 過 P 的 切 線
⇒∠F 1 PR=∠QPR=θ 2 ， 而 ， F 2 PM=∠QPR=θ 1
⇒θ 1 =θ 2 。
(2) 雙 曲 線 的 光 學 性 質 ：
若雙曲線的焦點為 F 1 、 2 ，設 P 是雙曲線上的任一點，L 是雙曲線在 P 點的切線，
F
則入射光線 F1 P 經過 P 點的完全反射，反射光線會經過 F 2 (即反射光線為 PF2 )。(過 L
P
雙 曲 線 上 的 一 點 P 之 切 線 與 過 P 的 兩 焦 半 徑 夾 角 相 等 。 )
[ 證 明 ] θ2
θ：
1
Q
(1) 的 中 垂 線 L 為 過 P 的 切 線
F2 F1
(2) 證 明 ：
過 雙 曲 線 上 的 一 點 P 之 切 線 與 過 P 的 兩 焦 半 徑 夾 角 相 等 。
~1−4−13~

14. (3) 拋 物 線 的 光 學 性 質 ：
若拋物線的焦點為 F，設 P 是拋物線上的任一點，L 是拋物線在 P 點的切線，則
入 射 光 線 FP 經 過 P 點 的 完 全 反 射 ， 反 射 光 線 會 平 行 對 稱 軸 。
( 過 拋 物 線 上 的 一 點 P 之 切 線 與 過 P 的 焦 半 徑 夾 角 相 等 。 )
(1) 證 明 ： 的 中 垂 線 L 為 過 P 的 切 線
P
Q
F
L
(2) 證 明 ： 過 拋 物 線 上 的 一 點 P 之
切 線 與 過 P 的 焦 半 徑 夾 角 相 等 。
結論：以上有關圓錐曲線的光學性質，可以歸結成下列的一句話：
「過圓錐曲線上的一點 P 之切線與過 P 的焦半徑夾角相等。」
~1−4−14~

15. 12. 圓錐曲線圓：4x2+9y2=36 上一點 P(1,)，兩焦點 F1、F2，請求出
∠F2PF1 的平分線方程式。Ans：y−=3(x−1)
8
6
4
P
2
-10 -5 5 10
-2
-4
-6
-8
13. 設拋物線 Γ：y2=4x，一光線從點(5,4)射出，平行 Γ 的軸射在 Γ 上的 P 點，
經反射後又射到 Γ 上的 Q 點，求 P、Q 的坐標。
12
Ans：P(4,4)，Q(,−1) 10
8
6
4
2
-15 -10 -5 5 10 15
-2
-4
-6
-8
-10
-12
16. 一橢圓二焦點為(9,20)、(49,55)，若此橢圓與 x 軸相切，則此橢圓的
長軸長為何？Ans：85
~1−4−15~

16. 17. 設 F 1 ﹑F 2 為雙曲線為=1 之兩焦點﹐P(4,2)為其上一點﹐求為F 1 PF 2 之角平
分 線 方 程 式 ﹒
Ans： 2 x－2y＝4(hint：角平分線就是切線)
18. 設 橢 圓 + =1 的 焦 點 F 1 (c,0),F 2 (−c,0) ， P 為 橢 圓 上 一 點 。
若若F 1 PF 2 =θ，L 為過 P 的切線，過 F 1 ,F 2 作 L 的垂線，其垂足分別為
Q 1 與 Q 2 ， 則 梯 形 F 1 F 2 Q 2 Q 1 的 面 積 為 a 2 sinθ ， 試 證 之 。
[ 提 示 ： 過 P 作 法 線 PN ， 則 此 法 線 平 y 分 ， F 2 PF 1
梯 形 F1F2Q2Q1 的 Q2 面 積
=(F 1 Q 1 +F 2 Q 2 )Q 1 Q 2 =(F 1 Q 1 +F 2 Q 2 )(Q 1 P+PQ 2 ) P
Q1
=(PF 1 cos+PF 2 cos)( PF 1 sin+ PF 2 sin)
=[(PF 1 +PF 2 ) cos]⋅[(PF 1 +PF 2 ) sin]
=(2a) 2 (cos⋅ sin)=a 2 (2 cos⋅ sin)= a 2 sinθ
F2 O N F1 x
19. 與 y 2 =4x 的軸平行的一光線碰到 A(9,6)，後反射到 B，再反射回去，
求 B 點 的 座 標 為 。 Ans ： (,)
(戊)錐線與直線的其他性質
(1)曲線族：
S 1 +kS 2 =0 可表示通過圓錐曲線 S 1 ，S 2 的相交部分之圓錐曲線(退化、非退化)。
14. 設設1：y2=4(x+1)與與2：(y−2)2=−2(x−1)交於 A、B 兩點，求 AB 直線的方程
式。
[解法]：
設 A(x1,y1)、B(x2,y2)，則 A、B 必在[y2−4(x+1)]−[(y−2)2+2(x−1)]=0 上，
即在 6x−4y+6=0 上上3x−2y+3=0 通過 A、B 兩點，
因為通過 A、B 兩點的直線只有一條 12
因此 AB 直線的方程式為 3x−2y+3=0。 10
8
6
(2)弦中點：
4
2
A
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20
-2
-4
-6
-8
-10
-12
~1−4−16~

17. 15. 設橢圓 + =1 上一弦中點為 A(2,1)，
求此弦所在之直線方程式。
[解法]：
(變換觀點)
設所求之弦為，即的中點為 A(2,1)
今作一個變換，即將橢圓 + =1 上的
每一點 P(x,y)對 A 點作
對稱點 P/(x/,y/)，即 x/=4−x,y/=2−y
⇒x=4−x/，y=2−y/，代入橢圓方程式。
故 P/點的軌跡方程式為 + =1。
因為的中點為 A(2,1)，因此 B、C 兩點會落在這兩個橢圓上，因此 BC 直
線為通過兩橢圓交點的直線，因此將兩橢圓方程式相減，消去 x2,y2 項
可得 BC 直線的方程式 x+2y−4=0。
(代數觀點)
設 BC 直線的方程式為 y−1=m(x−2)，B(x1,y1)、C(x2,y2)
 x2 y2
 + =1
考慮聯立方程組  36 9 ，將 y=mx−2m+1 代入 + =1
 y − 1 = m( x − 2)

整理得(4m2+1)x2+4(−4m2+2m)x+4(4m2−4m−8)=0，
上面方程式的解為 x1、x2。
因為的中點為 A(2,1) ⇒x1+x2=4 ⇒ = 4 ⇒m=
⇒直線 BC：y−1=(x−2)。
(3)輔助圓
~1−4−17~

18. 16. 試求橢圓試： + =1 之任意兩條垂直切線之交點軌跡方程式。
[證明]：
設 P(x/,y/)為兩垂直切線的交點，設一切線的斜率為 m(m≠0)，
則切線的方程式為 y=mx±，此切線過 P(x/,y/)
⇒ y/=mx/±
⇒(y/−mx/)2=a2(+b2
⇒(x/2−a2)m2−2x/y/m+(y/2−b2)=0
此方程式之二根為過 P 之兩垂直切線的斜率
因為垂直切線的斜率相乘=−1
⇒−1= ⇒x/2+y/2=a2+b2
又當切線為水平切線、鉛直切線時
P 點為(±a,b)、(±a,−b)亦滿足上式，
因此兩條垂直切線之交點軌跡方程式為 x2+y2=a2+b2。
(4)切點弦：
17. 設 P(x0,y0)為橢圓為： + =1 外一點，過 P 作二切線切點為 A、B。
試證明：直線 AB 的方程式為 + =1。
y
[解法]：設 A(x1,y1)、B(x2,y2)，
P(x0,y0)
則切線 PA： + =1
A
切線 PB： + =1
B
而切線 PA、PB 均通過 P(x0,y0)
O
x
⇒ + =1 且 + =1
因此可知 A(x1,y1)、B(x2,y2)均落在直線 + =1
而通過 A、B 兩點的直線只有一條，
因此直線 AB 的方程式為 + =1。
20. 求 y 2 =6x 之 弦 方 程 式 ， 但 此 弦 被 點 (4,3) 所 平 分 ， 並 求 弦 長 。
Ans：x−y−1=0，2
21. 已知兩拋物線 x=y 2 +3y−2 與 y=x 2 +kx+19 有交點，其中兩個交點在直
線 x+y=3 上，則 k=？ Ans：：11
22. 試 求 橢 圓 + =1 的 外 切 最 大 矩 形 的 面 積 。 Ans ： 2(a 2 +b 2 )
[提示：由例題 16 可知所有外切矩形的頂點之軌跡為一圓，而圓內
接矩形中面積最大是正方形]
~1−4−18~

19. 23. 試求雙曲線試： =1 (設 a> b>0) 之任意兩條垂直切線之交點軌跡
方程式。Ans：x 2 +y 2 =a 2 −b 2 。
綜合練習
(1) 過點 A(0,2)且與雙曲線 4y2−13x2=52 相切之切線方程式。
(2) 求過點 P(1,0)作作：y=x2+3 的切線方程式。
(3) 過點 P(3,5)作作： + =1 的切線方程式。
(4) 拋物線 y=x2+2 與直線 2ky=x−1 僅交於一點，求 k=？
(5) 若拋物線 y=ax2+bx 與直線 x−y=1 及 5x−y=1 相切，試求 a,b 的值。
(6) 設一雙曲線的兩個焦點為(5,0)、(−5,0)，又知其上有一條切線方程式為
3x−y−5=0，試求此雙曲線方程式。
(7) 設由點(1，1)所作拋物線 y＝x2−x+k 的兩條切線互相垂直，則 k= ，
又設點 P(0，t)在拋物線上，則以 P 為切點的切線方程式為 。
(8) 若直線 y=2x+k 與橢圓 x2+4y2−8x+4y=0 相切，求 k=？
(9) 設 自 橢 圓 + =1 外 一 點 A(5,4) 至 此 橢 圓 所 作 二 切 線 之 斜 角 為 至 、 、 ，
求 tan(α+β)=？
(10) 設 L：y=2x+k 與與：y=x2−5x+13 交於 P、Q，若=3，求 k=？
(11) 試求橢圓+ =1 之外切矩形之最大面積。
(12) 求二拋物線 y2=4x 與 x2=2y−3 之公切線方程式。
(13) 9x2−16y2−72x=0 與直線 L 交於 A、B，若中點為(−2,1)，則 L 的方程式為何？
(14) 證明：拋物線正焦弦兩端點的兩切線相交於準線上。
進階問題
(15) 設橢圓 4x2+18y2−8x+72y+4=0 的二焦點為 F、F/，點 P 為橢圓上一點，但為FPF/
=30°，過 P 點作橢圓的切線，由焦點 F、F/各做切線的垂線，其垂足為 H、K，
則梯形 FHKF/的面積為何？
~1−4−19~

20. (16) 不論任何實數 a，拋物線 y=x2−2(a+3)x+a2+8a 恆與一條定直線 L 相切，則 L 的
方程式為何？
(17) 自(−2,−1)作 5x2+y2=5 切線，兩切點的弦所在之直線方程式為何？
(18) 直線 2x−3y=2 與橢圓 9x2+4y2=36 相交於 A、 兩點，則過 A、 兩點的切線相交
B B
於 P 點，求 P 點的坐標。
(19) 求橢圓 x2+5y2=5 與圓(x+2)2+y2=5 之公切線方程式。
(20) 橢圓的兩焦點為 F、F/，而 L 為橢圓的一切線，試證：d(F,L)⋅d(F/,L)=b2。
綜合練習解答
~1−4−20~

21. (1) 3x−2y+4=0 或 3x+2y−4=0 (2) y=6x−6 或 y=−2x+2 (3) y−5=(x−3)或 x=3
−1± 3
(4) 或 0[提示：令 x=2ky+1 代入 y=x 2 +2⇒4k 2 y 2 +(4k−1)y+3=0，k=0
8
−1± 3
⇒y=3，x=1 滿足要求；k≠0，判別式(4k−1) 2 −4⋅4k 2 ⋅3=0 ⇒k= 。](5) Ans：
8
a=1、b=3
(6) − =1 [提示：令雙曲線方程式為 =1 ⇒因為已知切線為 3x−y−5=0，根據切
線公式，y=3x−代表切線 y=3x−5 ⇒9a 2 −b 2 =25，又 a 2 +b 2 =c 2 =25 ⇒a 2 =5 且 b 2 =20]
(7)；2x+2y−3=0 (8) 0，，17
(9) [提示：設切線斜率為 m，切線方程式為 y=mx±，代入 A(5,4)
⇒21m 2 −40m+7=0，設兩根為 m 1 、m 2 ，此兩根為切線的斜率，所以可得
m 1 =tanα、m 2 =tanβ ，再根據根與係數的關係，
tanα+tanβ=m 1 +m 2 =，tanα⋅tanβ=m 1 ⋅m 2 =⇒tan(α+β)==]
(10) [提示：設 P(x 1 ,y 1 )、Q(x 2 ,y 2 )，將 y=2x+k 代入 y=x 2 −5x+13 得 x 2 −7x+13−k=0 的
兩根為 x 1 , x 2 ⇒x 1 +x 2 =7，x 1 ⋅x 2 =13−k。==
計算(x 1 −x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 −4x 1 ⋅x 2 =−3+4k⇒3 2 =5(−3+4k) ⇒k=。 (11)52 [提示：請參考練
]
習 22] (12) x−y+1=0、4x+2y+1=0[提示：設公切線的斜率為 m，所以利用已知斜率
求切線的公式，可知公切線的形式有 y=mx+，y−=mx−m 2 ，這兩種形式代表同一
條直線，因此=−m 2 + ⇒m 3 −3m+2=0 ⇒(m−1) 2 (m+2)=0 ⇒m=1 或或2] (13)
27x+8y+46=0 (14) [證明：設拋物線為 y 2 =4cx，此時焦點為 F(c,0)，而正焦弦為，
其中 A(c,2c)、B(c,−2c)，通過切點 A、B 之切線分別為 L 1 ：(2c)y=4c()
⇒y=x+c，L 2 ：(−2c)y=4c()⇒y=−x−c ，因此 L 1 與 L 2 相交於準線上一點(−c,0)。]
(15) 9 [提示：參考練習 18] (16) y=2x−16[提示：設 L 的方程式為 y=mx+k 代入
y=x 2 −2(a+3)x+a 2 +8a，得 x 2 −(2a+m+6)x+a 2 +8a−k=0 ⇒因為相切，所以
(2a+m+6) 2 −4(a 2 +8a−k)=0⇒4(m−2)a+(m+6) 2 +4k=0，因為不論任何實數 a，上式恆
成立，所以(m−2)=0 且(m+6) 2 +4k=0 ⇒m=2 且 k=−16 ⇒y=2x−16]
(17) 10x+y+5=0[提示：令兩切點為 A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 )，根據切線公式，兩切線分
別為 5x 1 x+y 1 y−5=0，5x 2 x+y 2 y−5=0，又兩切線的交點為
(−2,−1⇒−10x 1 −y 1 −5=0，，10x 2 −y 2 −5=0 ⇒所以 A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 )分別落在直線
10x+y+5=0 上，所以兩切點的弦所在之直線方程式為 10x+y+5=0)
(18) P(4,)[提示：設 P(x 0 ,y 0 )根據切點弦的公式(例題 17)，可得 AB 直線的方程式
為 9x 0 x+4y 0 y=36，此方程式與 2x−3y=2 代表同一直線，因此 x 0 =4，y 0 =]
(19) x+2y−3=0 或 x−2y−3=0[提示：設公切線的斜率為 m，根據切線公式可得
y=mx±與 y=m(x+2)±代表同一直線代表=2m±
~1−4−21~

22. 經過兩次平方經4m 2 +3m 2 −1=0 ⇒m 2 = ⇒m=±。再根據兩個圖形的相對位置，去求
出公切線的方程式]
(20) [證明：設切點為 P，，FPF / =2θ，過 P 的法線交 FF / 於 Q，仿照練習 18 的做
法可知 d(F,L)=PF⋅cosθ ，d(F / ,L)=PF / ⋅cosθ，令
PF=x,PF / =2a−x，d(F,L)=d 1 ，d(F / ,L)=d 2 ⇒d 1 d 2 =x(2a−x)cos 2 θ，另一方面在，FPF /
中使用餘弦定理 (2c) 2 =x 2 +(2a−x) 2 −2x(2a−x)cos2θ= x 2 +(2a−x) 2 −2x(2a−x)
[2cos 2 θ−1]
⇒(2c) 2 =x 2 +2x(2a−x)+(2a−x) 2 −4d 1 d 2 ⇒4d 1 d 2 =4(a 2 −c 2 )=4b 2 ⇒d 1 d 2 =b 2 ]
L
P
Q
F/ F
~1−4−22~