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【稱霸】高中數學（1~4冊）總複習講義
- 2. 第 5 單元 排列、組合84 1. 加法原理﹕ 完成一件事可分成若干類﹐則各類的方法數相加﹐為完成整件事的方法數﹒ 2. 乘法原理﹕ 完成一件事可分成若干步驟﹐則每步驟的方法數相乘﹐為完成整件事的方法數﹒ 3. 樹狀圖﹕ 當無法立即用加法或乘法原理計算時﹐常用樹枝形狀的圖形表達﹐此種圖形稱為樹狀圖﹒ 說例 1 A.如右圖從 A 走捷徑到 B 共有 種走法﹒ B. 3 2 2 3 5A 的正因數有 個﹒ C.四面體 ABCD 如右圖﹐一隻螞蟻沿著稜線爬行且 各頂點只能經過一次﹐則從 A 點到 B 點共有 種走法﹒ 答﹕A.12 B.24 C.5 4. 集合的符號與運算﹕ (1) ﹕讀作「屬於」﹐﹕讀作「不屬於」﹐如﹕1{1, 2} （元素集合）﹒ x A 表示 x 是集合 A 的一個元素﹒ x A 表示 x 不是集合 A 的一個元素﹒ (2) ﹕讀作「包含於」﹐ ﹕讀作「不包含於」﹐如﹕{1} {1, 2} （集合 集合）﹒ B A 表示 B 是 A 的部分集合﹒空集合為任何集合的部分集合﹒ (3) ﹕讀作「交集」﹐ A B 稱為 A 與 B 的交集﹐表示 A 與 B 共同部分﹒ (4) ﹕讀作「聯集」﹐ A B 稱為 A 與 B 的聯集﹐表示集合 A 與 B 的所有元素所組成的 集合﹐就圖形而言﹐在 A 或 B 的內部都算﹒ (5) ﹕讀作「差集」﹐A B 稱為 A 對 B 的差集﹐表示在集合 A 中﹐但不在集合 B 中的元 素所組成的集合﹐就圖形而言﹐在 A 的內部但在 B 的外部﹒ 學習重點 命題趨勢＞＞ 加法與乘法原理﹐排列組合與二項式定理﹐結合生活化的情境考題﹒ ★★★ 計數原理1 排列、組合第 單元5
- 3. 第 5 單元 排列、組合 85 5 (6) A' U A= − 稱為 A 的補集（餘集）﹐表示 A 的外部﹐其中U 稱為宇集﹐表示討論的集 合都是U 的部分集合﹒( )A B ' A' B'∩ = ∪ ﹐ ( )A B ' A' B'∪ = ∩ （笛摩根定理）﹒ (7)若 A為有限集合﹐ ( )n A 表示集合 A的元素個數﹒ (8) 集合中的元素不重複算﹐而且沒有順序﹐如﹕{1, 2, 3} {3, 2, 1} {1, 1, 2, 3}= = ﹒ 說例 2 A. {1, 2, 3, 4, 5}A = ﹐ {2, 4, 6}B = A B⇒ ∩ = ﹐ A B∪ = ﹐ A B− = ﹒ B.宇集 {1, 2, 3, 4, 5, 6}U = ﹐ {2, 4, 6}A = A'⇒ = ﹐ A集合共有 個部分集合﹒ 答﹕A.{2, 4}﹔{1, 2, 3, 4, 5, 6}﹔{1, 3, 5} B. {1, 3, 5}﹔8 5. 排容原理﹕設 A ﹐ B ﹐C 為有限集合﹐則 (1) ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩ ﹒ (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A B C n A n B n C n A B n B C n C A n A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩ ﹒ 每次用 20 根相同的火柴棒圍成一個三角形﹐共可圍成 種不全等的三角形﹒ 設三邊長 , ,a b c 且 a b c≥ ≥ ﹐ 20a b c+ + = ﹐ , ,a b c∈»﹐ 且 20 2 10 9b c a a b c a a a a a+ > ⇒ + + > + ⇒ > ⇒ > ⇒ ≤ ﹐ 又 20 20 3 6. 3 a b c a a a a a+ + ≤ + + ⇒ ≤ ⇒ ≥ = … 7a⇒ ≥ ﹐ ∴7 9a≤ ≤ ﹒ 1 9 11a b c= ⇒ + = ⇒ ⇒有 4 種﹔ 2 8 12a b c= ⇒ + = ⇒ ⇒有 3 種﹔ 3 7 13a b c= ⇒ + = ⇒ ⇒有 1 種﹐∴共有 4 3 1 8+ + = （種）﹒ 範例 1 加法原理 分類獨立完成 ⇒ 各類的方法數相加﹒ b 9 8 7 6 c 2 3 4 5 b 8 7 6 c 4 5 6 b 7 c 6
- 4. 第 5 單元 排列、組合86 1. 如右圖﹐各小方格為 2 1cm 的正方形﹒試問圖中大大小小的正方形 共有 50 個﹒ 【學測補】 2. 有一片長方形牆壁﹐尺寸為12 1× （即﹕長 12 單位長﹐寬 1 單位長）﹒若有許多白 色及咖啡色壁磚﹐白色壁磚尺寸為 2 1× ﹐咖啡色壁磚尺寸為 4 1× ﹐用這些壁磚貼滿 此長方形﹐可貼成 13 種不同的圖案﹒ 如圖所示﹐ A 城到 B 城之間有甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊五城﹐其間連結的道路 如圖所示﹒今從 A 城出發走向 B 城﹐要求每條道路都要經過並且只經過一 次﹐則總共有 種走法﹒ 作圖如右﹕ ∴共有1 3 2 1 1 6× × × × = （種） 《另解》 看成「上（甲乙丙）﹑中（甲丙）﹑下（甲丁戊丙）」 三道路排列﹐共有3! 3 2 1 6= × × = （種）﹒ 1.設自用小汽車的牌照號碼﹐前兩位為大寫英文字母﹐後四位為數字﹐例如 AB 0950− ﹒若最後一位數字不用 4﹐且後四位數字沒有 0000 這個號碼﹐那麼可能 有的自用小汽車牌照號碼有多少個﹖ (1) 26 25 (4320 1)× × − (2) 26 25 4320 1× × − (3) 26 25 (5040 1)× × − (4) 26 26 (9000 1)× × − (5) 26 26 9000 1× × − ﹒ 答﹕ (4) ﹒ 2.用五種不同顏色塗右圖中五個空白區域﹐相鄰的區域塗不同顏色﹐ 則共有 960 種塗法﹒ 3. 用四種顏色塗如圖的小丑面具﹐每個區域恰塗一種顏色﹐但相 鄰部分不得同色﹐試問有 216 種塗法﹒ 範例 2 乘法原理 步驟連續完成 ⇒ 每步驟的方法數相乘﹒ 【96 指乙】
- 5. 第 5 單元 排列、組合 87 5 某公司生產多種款式的「阿民」公仔﹐各種款式只是球帽﹑球衣或球鞋顏色不同﹒其中球帽 共有黑﹑灰﹑紅﹑藍四種顏色﹐球衣有白﹑綠﹑藍三種顏色﹐而球鞋有黑﹑白﹑灰三種顏色﹒ 公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子﹐而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子﹐至於其他顏 色間的搭配就沒有限制﹒在這些配色的要求之下﹐最多可有 種不同款式的「阿民」 公仔﹒ 【96 學測】 依球帽分類討論﹕ 1 黑灰帽 + 綠 藍 衣 + 黑白灰鞋 2 2 3 12⇒ × × = ﹔ 2 紅 帽 + 綠 藍 衣 + 黑 白 鞋 1 2 2 4⇒ × × = ﹔ 3 藍 帽 + 白綠藍衣 + 黑白灰鞋 1 3 3 9⇒ × × = ﹐ ∴共有12 4 9 25+ + = （種）﹒ 1. 新新鞋店為與同業進行促銷戰﹐推出「第二雙不用錢﹐…﹐買一送一」的活動﹒ 該鞋店共有八款鞋可供選擇﹐其價格如下﹕ 規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格（例如﹕買一個「丁」款鞋﹐可送甲﹑ 乙兩款鞋之一）﹒若有一位新新鞋店的顧客買一送一﹐則該顧客所帶走的兩雙鞋﹐ 其搭配方法一共有 21 種﹒ 【95 學測】 2. 右圖中﹐至少包含 A 或 B 兩點之一的長方形共有 15 個﹒ 範例 3 加法原理與乘法原理 白衣配藍帽﹐但藍帽 不一定要配白衣﹒ 款式 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 價格 670 670 700 700 700 800 800 800
- 6. 第 5 單元 排列、組合88 1. 階乘﹕ !n 讀作 n 的階乘﹐ ! ( 1) ( 2) 2 1n n n n= × − × − × × × ﹒ （規定﹕0! 1= ） 2. 完全相異物的直線排列﹕ 從 n 個相異物中﹐取出 k 個 k n≤（ ）排成一列的方法數為 ! ( )! n k n P n k = − ﹒ 說例 3 A. 7 2P = ﹐ 0 n P = ﹐ n nP = ﹒ B.從 7 件相異的禮物中選 2 件分給甲﹑乙二人﹐每人一個﹐則共有 種分法﹒ C. 5 個人排成一列﹐則共有 種排法﹒ 答﹕A.42﹔1﹔n! B.42 C.120 3. 有相同物的直線排列﹕ 設有 n 個物品﹐分成 k 種不同的種類﹐第一種有 1m 個﹐第二種有 2m 個﹐…﹐第 k 種有 km 個﹐且 1 2 kn m m m= + + + ﹐將這 n 個物品排成一列的方法數為 1 2 ! ! ! !k n m m m ﹒ 說例 4 A.將 2﹐2﹐2﹐3﹐3﹐4 排成一個 6 位數﹐共有 個不同 6 位數﹒ B.將 10 件相同的禮物分給甲﹑乙﹑丙三人﹐其中有兩人各得 3 件﹐一人得 4 件﹐則共有 種分法﹒ C.如右圖﹐從 A到 B ﹐走捷徑有 種走法﹒ 答﹕A.60 B.3 C.10 排列2
- 7. 第 5 單元 排列、組合 89 5 4. 重複排列﹕ 設有 n 類不同的物品（每類至少有 k 件）﹐可重複選取 k 個排成一列的方法數為 k n ﹒ 說例 5 A.將 4 件不同的獎品任意分給 3 人﹐獎品一定要分完且每人可兼得或不得﹐ 則共有 種分法﹒（ 物 人 ） B.5 種酒﹐4 個不同酒杯﹐每杯只倒滿一種酒﹐則共有 種倒入法﹒ （ 杯 酒 ） C.不同的渡船 3 艘﹐每船最多可載 5 人﹐若 6 人同時渡河時﹐則共有 種安全過渡法﹒（ 人 船 ） 答﹕A.81 B.625 C.726 在數線上有一個運動物體從原點出發﹐在此數線上跳動﹐每次向正方向或負方向跳 1 個單位﹐ 跳動過程可重複經過任何一點﹒若經過 6 次跳動後運動物體落在點 4+ 處﹐則此運動物體共 有 種不同的跳動方法﹒ 【94 學測】 設向正方向跳動 a 次﹐負方向跳動b 次﹐ ∴ 6 1 ( 1) 4 a b a b + =⎧ ⎨ × + − × =⎩ 5, 1a b⇒ = = ﹐ ∴5 正 1 負（＋ ＋ ＋ ＋ ＋ －）的排列有 6! 6 5!1! = （種）﹒ 1. 甲﹑乙﹑丙﹑丁四人排成一列﹐若甲在乙的左方﹐則共有 12 種排法﹒ 2. 某桌球隊要從 10 名選手中選出 5 名﹐分別參加五場單打友誼賽﹒10 名選手中近況 特佳的有 3 名﹐教練決定任意安排他們分別在第一﹑三﹑五場出賽﹐另外兩場則 由其餘選手任意選出排定﹐則此球隊出場比賽的名單順序一共可以有 252 種﹒ 3.右圖所示為一含有斜線的棋盤形街道圖﹐今某人欲從 A 取捷徑 走到 B﹐共有 30 種走法﹒ 範例 4 直線排列 先解方程式再排列﹒
- 8. 第 5 單元 排列、組合90 由 1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6 等六個數字所組成（數字可以重複）的四位數中﹐含有奇數個 1 的共 有 (1)260 個 (2)368 個 (3)486 個 (4)520 個 (5)648 個﹒ ∴1 含一個 1﹐如右圖﹕□1 □ □ □ 4 3 1 5 4 125 500C × = × = （四個位置選一位置填入 1﹐所餘三個位置任 選剩下五個數可重複填入） 2 含三個 1﹐如右圖﹕□1 □1 □1 □ 4 3 5 4 5 20C × = × = （四個位置選三位置填入 1﹐所餘一個位置任選剩下五個數可重複填入） ∴ +1 2 共有500 20 520+ = 個﹐ ∴選(4)﹒ 1. 用 0﹐1﹐2﹐3﹐4﹐5 等六個數字所排成的三位數中﹐數字不重複者共有 100 1 個﹐ 其中可被 3 整除的共有 40 2 個﹒ 2. 有一個兩列三行的表格如右圖﹒在六個空格中分別填入數字 1﹐2﹐3﹐ 4﹐5﹐6（不得重複）﹐則 1﹐2 這兩個數字在同一行或同一列的方法 有 432 種﹒ 【99 學測】 範例 5 數字問題 分兩種情形討論﹕ 1 含一個 1﹒ 2 含三個 1﹒
- 9. 第 5 單元 排列、組合 91 5 某地共有 9 個電視頻道﹐將其分配給 3 個新聞臺﹐4 個綜藝臺及 2 個體育臺共三種類型﹒ 若同類型電視臺的頻道要相鄰﹐而且前兩個頻道保留給體育臺﹐則頻道的分配方式共有 種﹒ 【95 學測】 作圖如下﹕ 1 體育臺先排有 2! = 2 種﹔ 2 新聞臺相鄰排列有 3! = 6 種﹔ 3 綜藝臺相鄰排列有 4! = 24 種﹔ 4 新聞臺與綜藝臺排列有 2! = 2 種﹐ ∴共有 2 6 24 2 576× × × = （種）﹒ 1. 有 4 個男生及 3 個女生排成一列﹐若要求男生須排在一起﹐女生亦須排在一起﹐則 (1)其排列法有 288 種﹒ (2)若只要求男生排在一起﹐則排列法有 576 種﹒ 2. 把 2 本不同的故事書﹐4 本不同的數學書及 1 本英文書排成一列﹒假設故事書必 須排在一起﹐數學書也必須排在一起﹐則這樣的排法共有 288 種﹒ 範例 6 相鄰問題 1 有限制條件的先排﹒ 2 相鄰⇒ 綁起來視為一物 與其他排列﹐然後相鄰 物再排列﹒
- 10. 第 5 單元 排列、組合92 1. 完全相異物的組合﹕ 從 n 個相異物中取出 k 個（ 0 k n≤ ≤ ）﹐不考慮其順序﹐則組合數為 ! ! !( )! n kn k P n C k k n k = = − ﹒ 說例 6 A.下列何者為真﹖ (1) 5 5 3 3 3!P C= × (2) 5 5 3 2C C= (3) 5 0 1C = (4) 5 5 1C = ﹒ B.平面上 5 個點﹐最多可決定 條直線﹒ C.將 6 本相異的書分成 3 堆﹐每堆 2 本﹐則共有 種分法﹒ 答﹕A.(1)(2)(3)(4) B.10 C.15 2.巴斯卡定理﹕ 1 1 1 n n n k k kC C C− − − + = （1 1k n≤ ≤ − ）﹒ 說例 7 A. 2 3 4 9 2 2 2 2C C C C+ + + + = ﹒ B. 1 2 3 10 0 1 2 9C C C C+ + + + = ﹒ 答﹕A.120 B.55 因乾旱水源不足﹐自來水公司計畫在下週一至週日的 7 天中選擇 2 天停止供水﹒若要求停水 的兩天不相連﹐則自來水公司共有 種選擇方式﹒ 【指乙】 作圖如右﹕ 將停水的 2 天﹐插入 5 天不停水的前後 與中間 6 個空格﹐ 即自 6 個空格中任取 2 個的方法數﹐ ∴ 6 2 6 5 15 1 2 C × = = × （種）﹒ 範例 7 不相鄰 組合3 不相鄰 ⇒ 插入法﹒
- 11. 第 5 單元 排列、組合 93 5 1. 一列火車從第一車到第十車共十節車廂﹒要指定其中三節車廂准許吸菸﹐則共有 120 1 種方法﹒若更要求此三節准許吸菸的車廂兩兩不相銜接﹐則共有 56 2 種指定方法﹒ 2. 4 位男生﹐3 位女生排成一列﹐任意 2 位女生皆不相鄰的排法共有 1440 種﹒ 啦啦隊競賽規定每隊 8 人﹐且每隊男﹑女生均至少要有 2 人﹒某班共有 4 名男生及 7 名女生 想參加啦啦隊競賽﹒若由此 11 人中依規定選出 8 人組隊﹐則共有 種不同的組隊 方法﹒ 【93 指乙】 1 2 男 6 女有 4 7 4 7 2 6 2 1 4 3 7 42 1 2 C C C C × = = × = × 種﹔ 2 3 男 5 女有 4 7 4 7 3 5 1 2 7 6 4 84 1 2 C C C C × = = × = × 種﹔ 3 4 男 4 女有 4 7 7 4 4 3 7 6 5 35 1 2 3 C C C × × = = = × × 種﹐ ∴共有 42 84 35 161+ + = （種）﹒ 1. 體操委員會由 10 位女性委員與 5 位男性委員組成﹒委員會要派 6 位委員組團出國 考察﹐如以性別做分層﹐並在各層依比例隨機抽樣﹐試問此考察團共有 2100 種組成方式﹒ 2. 某拳擊比賽﹐規定每位選手必須和所有其他選手各比賽一場﹐賽程總計為 78 場﹐ 則選手人數為 13 人﹒ 範例 8 組合 分析男生與女生的人數﹒
- 12. 第 5 單元 排列、組合94 一個「訊息」是由一串 5 個數字排列組成﹐且每位數字都只能是 0 或 1﹐例如 10010 與 01011 就是兩個不同的訊息﹒兩個訊息的「距離」定義為此兩組數字串相對應位置中﹐數字不同的 位置數﹒例如﹐數字串 10010 與 01011 在第 1﹐2 及 5 三個位置不同﹐所以訊息 10010 與 01011 的距離為 3﹒試問以下哪些選項是正確的﹖ (1)與訊息 10010 相距最遠的訊息為 11101 (2)任兩訊息之間的最大可能距離是 4 (3)與訊息 10010 相距為 1 的訊息恰有 5 個 (4)與訊息 10010 相距為 2 的訊息恰有 9 個﹒ 【95 指乙】 (1)×﹕與訊息 10010 相距最遠的訊息為 01101 （每個位置都不同）﹒ (2)×﹕5 個數字⇒最大距離為 5﹒ (3)○﹕距離為 1 ⇔ 5 個數字中恰有一數字不同的訊息 5 1 5C⇒ = （個）﹒ (4)×﹕距離為 2 ⇔ 5 個數字中恰有二數字不同的訊息 5 2 5 4 10 1 2 C × ⇒ = = × （個）﹒ ∴選(3)﹒ 1. 某校辯論社由 5 名男生及 5 名女生組成﹒現從其中選出 5 人組成代表隊﹐且男生﹑ 女生均至少要有 1 人﹐則組隊方法共有 250 種﹒ 【93 指乙補】 2. 平面上有 1P ﹐ 2P ﹐…﹐ 15P 等 15 個相異的點﹐其中 1P ﹐ 2P ﹐ 3P 三點共線﹐而 4P ﹐ 5P ﹐ 6P 三點也在通過 1P 的另一直線上﹐其餘任三點不共線﹒試問﹕ (1)連結其中任意兩點﹐可得 98 條不同的直線﹒ (2)以其中三點為頂點﹐可得 450 個三角形﹒ 籃球 3 人鬥牛賽﹐共有甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊﹑己﹑庚﹑辛﹑壬 9 人參加﹐組成 3 隊﹐且甲﹑ 乙兩人不在同一隊的組隊方法有 種﹒ 【學測】 作圖如右﹕ 剩下 7 人﹐ 1 先選 2 人和甲成一組﹔ 2 再選 2 人和乙成一組﹔ 3 最後 3 人自成一組﹐ ∴ 7 5 3 2 2 3 7 6 5 4 1 210 1 2 1 2 C C C × × × × = × × = × × （種）﹒ 範例 9 組合應用 範例 10分組分堆 了解題意「距離」的定義﹒ 有組別的分組 ⇒ 直接分﹒
- 13. 第 5 單元 排列、組合 95 5 1. 有 6 男 4 女共 10 名學生擔任本週值日生﹒導師規定在本週 5 個上課日中﹐每天兩 名值日生﹐且至少須有 1 名男生﹒試問本週安排值日生的方式共有 43200 種﹒ 【指乙】 2.有 9 本不同的書﹐ (1)若平分成 3 堆﹐則有 280 種分法﹒ (2)若依 2 件﹑2 件﹑5 件分成 3 堆﹐則有 378 種分法﹒ (3)若依 2 件﹑3 件﹑4 件分成 3 堆﹐則有 1260 種分法﹒ 1. 非負整數解﹕方程式 1 2 nx x x k+ + + = 的非負整數解有 1n n k k kH C + − = 組﹒ 2. 不同類選物﹕ H 類 物 若有 n 類相異物（每一類至少有 k 個）﹐可重複選取出 k 個﹒則其方法數為 1n n k k kH C + − = ﹒ 3. 相同物給人﹕ H 人 物 將 k 件相同物分給 n 人﹐每人可兼得或不得的方法數為 1n n k k kH C + − = ﹒ 說例 8 A. 12x y z+ + = 非負整數解有 組﹐正整數解有 組﹒ B.3 種披薩﹐購買 12 份﹐其法有 種﹒ C.12 枝相同原子筆﹐分給 3 人﹐其法有 種﹒ 答：A.91﹔55 B.91 C.91 方程式 9x y z u+ + + ≤ 之正整數解的組數有 組﹒ 設 1, 1, 1, 1x a y b z c u d= + = + = + = + （ , , , 0a b c d ≥ ） 9x y z u⇒ + + + ≤ 之正整數解的組數 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 9a b c d⇔ + + + + + + + ≤ 之非負整數解的組數 5a b c d⇒ + + + ≤ 之非負整數解的組數 5a b c d t⇔ + + + + = 之非負整數解的組數 （ 0t ≥ ） ∴ 5 5 5 1 9 9 5 5 5 4 9 8 7 6 126 1 2 3 4 H C C C+ − × × × = = = = = × × × （組）﹒ 重複組合 範例 11重複組合 1 2 mx x x k+ + + ≤ 之正整數 解的組數為 1m k k m k mH C+ − −= ﹒ 4
- 14. 第 5 單元 排列、組合96 1. 某班有 32 位同學﹐欲選舉一位班長﹐共提名 3 位同學甲﹑乙﹑丙出來候選﹒假設 沒有廢票﹐開票數的分布情形共有多少種可能﹖ (1)468 種 (2)561 種 (3)4960 種 (4)5984 種 (5)6545 種﹒ 答﹕ (2) ﹒ 2. 求方程式 1 2 3 4 10x x x x+ + + = ﹕ (1)非負整數的解有 286 組﹒ (2)正整數的解有 84 組﹒ 3.一展示館有 4 個入口﹐每個入口每次只能有一人進入﹐且不考慮不同入口的順序﹐ 今有 3 人進館﹐共有 120 種進館方法﹒ 1. 對任意正整數 n ﹕ 1 0 1 0 ( ) n n n n n n n n k k n n n n k k k n k k x y C x C x y C x y C y C x y− − − = + = + + + + + = ∑ ﹐其中一般項的第 1k + 項為 n n k k kC x y− ﹒如﹕ 3 3 3 3 2 1 3 1 2 3 3 3 2 2 3 0 1 2 3( ) 3 3x y C x C x y C x y C y x x y xy y+ = + + + = + + + ﹒ 說例 9 A. 7 (2 )x y− 的展開式中 3 4 x y 的係數為 ﹒ 答：280 2. 巴斯卡三角形﹕將( )n x y+ 展開的係數由 0, 1, 2, 3, ,n = 逐一列出呈現三角形狀﹒ 3. 2 0 1 2(1 )n n n n n k n n k nx C C x C x C x C x+ = + + + + + + ﹐則 (1) 0 1 2 2n n n n n nC C C C+ + + + = ﹒ (2) 1 0 2 4 1 3 5 2n n n n n n n C C C C C C − + + + = + + + = ﹒ 如﹕ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 1 8 0 2 4 6 8 1 3 5 7 9 2 2C C C C C C C C C C − + + + + = + + + + = = ﹐ 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1 9 0 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 2 2C C C C C C C C C C C − + + + + + = + + + + = = ﹒ (3) 2 0 1 22 2 2 3n n n n n n nC C C C+ + + + = ﹒ 二項式定理5
- 15. 第 5 單元 排列、組合 97 5 (4) 1 1 2 32 3 2n n n n n nC C C nC n − + + + + = ⋅ ﹒ 【證明】 1 2 3 1 0 1 2 2 1 1 0 1 2 3 ( 1) ) ( 1) ( 2) 2 2 ( ) 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n S C C C n C nC S nC n C n C C C S n C C C n S n − − − − = + + + + − + + = + − + − + + + = + + + = ⋅ ⇒ = ⋅ 說例 0 A. 10 10 10 1 2 10C C C+ + + = ﹒ B. 6 6 6 6 6 6 6 0 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 C C C C C C C− + − + − + = ﹒ 答：A.1023 B. 1 64 設 n∈» ﹐ 3n ≥ ﹐且已知 2 (1 ) (1 ) (1 )n x x x− + − + + − 的展開式中﹐ 2 x 項的係數可表為 3 2 an bn cn d+ + + ﹐其中 , , ,a b c d 為常數﹐則下列何者為真﹖ (1) 1,a d b c= = + (2) a c b d+ = + (3) a c= (4) 3, 0a b= = (5) 1 3 a b c d+ + + = ﹒ 設 2 3 ( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )n f x x x x x= − + − + − + + − 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) n n x x x x x x + ⎡ ⎤− − − − − −⎣ ⎦= = − − ( )f x⇒ 的 2 x 項 1 (1 ) (1 )n x x + = − − − 的 3 x 項 1 (1 )n x + = − − 的 3 x 項 3 1 2 3 3 3 3 ( 1) ( 1) (1) ( ) 1 2 3 6 n n n n n n n C x x x+ − + × × − − = − − = = × × ( )f x⇒ 的 2 x 項係數為 3 31 1 1 1 , 0, , 0 0 6 6 6 6 6 n n n n a b c d a c b d − = − ⇒ = = = − = ⇒ + = + = ﹐ ∴選(2)﹒ 《另解》 ( )f x 的 2 x 項係數為 3 2 3 4 1 2 2 2 2 3 ( 1) ( 1) 1 2 3 6 n n n n n n n C C C C C + + × × − − + + + + = = = × × ﹒ 1. 在 12 1 9 3 x x ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 的展開式中﹐ (1) 常數項係數為 495 ﹒ (2) 3 x 項之係數為 673596 ﹒ 2. 展開( ) 62 2x y− 時﹐ 4 4 x y 的係數為 240 ﹒ 3. 求滿足 1 22000 3000n n n nC C C< + + + < 之正整數 n = 11 ﹒ 範例 12 二項式定理 1 等比級數和 1(1 ) 1 n n a r S r − = − ﹒ 2( )n x y+ 的一般項為 n n k k kC x y− ﹒
- 16. 第 5 單元 排列、組合98 第壹部分﹕選擇題（占 60 分） 一﹑單選題（占 30 分） (3) 1. 一乒乓球隊有 6 位選手﹐其中甲﹑乙﹑丙為右手持拍的選手﹐丁﹑戊為左手持拍 的選手﹐而己為左右手皆可持拍的選手﹒現在要派出兩名選手參加雙打﹐規定由 一名可以右手持拍的選手與一名可以左手持拍的選手搭配﹒請問共有多少種可能 的搭配﹖ (1)7 (2)9 (3)11 (4)13 (5)15﹒ 【101 指乙】 (4) 2. 某地區的車牌號碼共六碼﹐其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母﹐後四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字﹐但規定不能連續出現三個 4﹒例如﹕AA1234﹐AB4434 為可出 現的車牌號碼﹔而 AO1234﹐AB3444 為不可出現的車牌號碼﹒則所有第一碼為 A 且最後一碼為 4 的車牌號碼個數為 (1) 3 25 9 (2) 2 25 9 10 (3) 25 900 (4) 25 990 (5) 25 999 ﹒ 【97 學測】 (2) 3. 設 6 1 2 2a b ﹐其中 a ﹐b 為整數﹒請問b 等於下列哪一個選項﹖ (1) 6 6 2 6 3 6 0 2 4 62 2 2C C C C (2) 6 6 2 6 1 3 52 2C C C (3) 6 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 0 1 2 3 4 5 62 2 2 2 2 2C C C C C C C (4) 6 2 6 3 6 1 3 52 2 2C C C (5) 6 2 6 4 6 6 6 0 2 4 62 2 2C C C C ﹒ 【103 學測】 (5) 4. 學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求﹐才有資格參選模範生﹒ 一﹑國文成績或英文成績 70 分（含）以上﹔ 二﹑數學成績及格﹒ 已知小文上學期國文 65 分而且他不符合參選模範生資格﹒請問下列哪一個選項 的推論是正確的﹖ (1)小文的英文成績未達 70 分 (2)小文的數學成績不及格 (3)小文的英文成績 70 分以上但數學成績不及格 (4)小文的英文成績未達 70 分且數學成績不及格 (5)小文的英文成績未達 70 分或數學成績不及格﹒ 【102 學測】 (2) 5. 將 24 顆雞蛋分裝到紅﹑黃﹑綠的三個籃子﹒每個籃子都要有雞蛋﹐且黃﹑綠兩 個籃子裡都裝奇數顆﹒請選出分裝的方法數﹒ (1)55 (2)66 (3)132 (4)198 (5)253﹒ 【102 學測】
- 17. 第 5 單元 排列、組合 99 5 (3) 6. 從五對夫婦中選出 4 人﹐其中恰有一對夫婦﹐則共有多少種選法﹖ (1)240 (2)210 (3)120 (4)80 (5)20﹒ 二﹑多選題（占 30 分） (1)(2)(3)(4)(5) 7. 將 5 件不同的獎品分給甲﹑乙﹑丙 3 位兒童﹐每位兒童可兼得每件獎品﹐ 則下列何者正確﹖ (1)每位兒童可兼得每件獎品有 243 種分法 (2)甲童沒有得到任何一件獎品有 32 種分法 (3)甲童至少得一件獎品有 211 種分法 (4)甲童恰得一件獎品有 80 種分法 (5)甲童至少得兩件獎品有 131 種分法﹒ (1)(2) 8. 三角形 ABC 是一個邊長為 3 的正三角形﹐如右圖 所示﹒若在每一邊的兩個三等分點中﹐各選取一 點連成三角形﹐則下列哪些選項是正確的﹖ (1)依此方法可能連成的三角形一共有 8 個 (2)這些可能連成的三角形中﹐恰有 2 個是銳角三 角形 (3)這些可能連成的三角形中﹐恰有 3 個是直角三角形 (4)這些可能連成的三角形中﹐恰有 3 個是鈍角三角形 (5)這些可能連成的三角形中﹐恰有 1 個是正三角形﹒ 【101 學測】 (1)(4) 9. 若將 1﹐2﹐3﹐4﹐5 五個數字全取排成五位數﹐下列何者正確﹖ (1)五位數共有 120 個 (2)偶數有 72 個 (3)奇數有 48 個 (4)3 的倍數有 120 個 (5)9 的倍數有 24 個﹒ (2)(4) 10. 有 9 本不同的書﹐則 (1)平分三堆有 1680 種 (2)平分給甲﹑乙﹑丙三人有 1680 種 (3)依 2 本﹑2 本﹑5 本分成三堆有 576 種 (4)甲 2 本﹑乙 2 本﹑丙 5 本有 756 種 (5)以 2 本﹑3 本﹑4 本隨意分給甲﹑乙﹑丙三人有 1260 種﹒ (1)(2)(3)(4)(5) 11. 5 種不同的酒倒入 3 個酒杯﹐若酒不得混合﹐且不可有空杯﹐則下列哪 些選項是正確的﹖ (1)杯子不同﹐各杯的酒亦不同﹐有 60 種倒法 (2)杯子相同﹐各杯的酒不同﹐有 10 種倒法 (3)杯子不同﹐各杯的酒可相同﹐有 125 種倒法 (4)杯子相同﹐各杯的酒可相同﹐有 35 種倒法 (5)恰兩個杯子相同﹐各杯的酒可相同﹐有 75 種倒法﹒
- 18. 第 5 單元 排列、組合100 (1)(2)(3)(4)(5) 12. 請問下列哪些選項的答案為 7 4C ﹖ (1)從 7 人中選出 3 人組成工作小組的方法數 (2)將 4 支相同筆分給 7 人﹐每人至多一支的方法數 (3)將 3 支相同筆分給 5 人﹐每人所得不限的方法數 (4)將「 aaabbbb 」共 7 個字母﹐任意排成一列的方法數 (5)在 7 ( )a b 的展開式中﹐ 4 3 a b 的係數﹒ 第貳部分﹕選填題（占 40 分） A.在牆上有一寬 2 公寸﹐長 9 公寸的空白長方形﹒若有許多紅色及綠色長方形的磁磚﹐紅磁 磚的寬 1 公寸﹐長 3 公寸﹐綠磁磚的寬 1 公寸﹐長 6 公寸﹒用這些磁磚填滿此長方形﹐則 可填出 9 種不同圖形﹒ B.考慮如右的街道圖﹐其中 , , ,A B C D 為四個站﹐警員在巡邏時﹐必須走過 所有的街道﹐但是不重複走過同一條街﹐因此派出所只能設在 A 站或 D 站﹔ 從 A 站出發要完成一次巡邏﹐可以有 720 個不同的巡邏路線﹒ C.在三位數中﹐百位數與個位數之差的絕對值為 2 的數﹐共有 150 個﹒ D.從一個 10 人的俱樂部﹐選出一位主任﹑一位幹事和一位會計﹐且均由不同人出任﹐如果 10 人中的甲君和乙君不能同時被選上﹐那麼總共有 672 種選法﹒ E.一個房間的地面是由 12 個正方形所組成﹐如右圖﹒今想用長方形瓷 磚舖滿地面﹐已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形﹐即 或 ﹒則用 6 塊瓷磚舖滿房間地面的方法有 11 種﹒ 【103 學測】 F. 某動物園的遊園列車依序編號 1 到 7﹐共有 7 節車廂﹐今想將每節車廂畫上一種動物﹒ 如果其中的兩節車廂畫企鵝﹐另兩節車廂畫無尾熊﹐剩下的三節車廂畫上貓熊﹐並且要求 最中間的三節車廂必須有企鵝﹑無尾熊及貓熊﹐則 7 節車廂一共有 72 種畫法﹒ 【98 指乙】 G.6 名網球選手參加單淘汰賽如右圖﹐則共可排出 90 種賽程﹒ H. 15 11 除以 100 的餘數為 51 ﹒ 【學測補】
- 19. 第５單元 排列、組合26 解析： A.設公比為 r ﹐則 2 4 6 8 1 1 1 1 1 3 5 7 9 1 1 1 1 1 20 60 a a r a r a r a r a r a r a r a r a r 1 2 2 1 得 60 3 20 r ﹒ B.∵成長率為 100%﹐ ∴營業額公比為1 100% 2 ﹐ 設 96 年營業額為 1 6a ﹐ ∴99 年營業額為 3 4 6 2 48a （億元）﹒ C. ∴ 10 92 (8 16 32 )a b 9 128 (2 1) 2 2 2 8 2 1 4090 ﹒ D. 1 2012a ﹐ 2 1 2011 1 2012 2012 a ﹐ 3 1 1 1 2011 2011 2012 a ﹐ 4 1 1 2012 1 2011 a ﹐∴ 2012 2 2011 2012 a a ﹒ E. 2 2 2 1 2 50( 1) ( 1) ( 1) 107a a a 2 2 2 1 2 50 1 2 50( ) 2( ) 50 107a a a a a a 2 2 2 1 2 50( ) 2 9 50 107a a a 2 2 2 1 2 50 39a a a ∵ 2 1ia 或 0（ 1, 2, , 50i ）﹐ ∴ 1 2 50, ,a a a 中有 50 39 11 項是 0﹒ F. 圖 15 有1 2 15 120 個△﹐ 每 1 個△有 3 根牙籤﹐∴共需 3 120 360 根牙籤﹒ G. 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 20) 20 1 (1 2 ) k k 20 1 ( 1) 1540 2k k k ﹒ H.設 ka 為圖 k 的點數﹐ 1 5a ﹐ 2 1 7a a ﹐ 3 2 10a a ﹐ ﹐ 1 3 1n na a n （ 2n ）﹐ na 是由 1na 往外擴張 3 邊﹐每邊 ( 1)n 個點﹐ 但有 2 點重疊﹐所以多出 3( 1) 2 3 1n n 15 14 46a a 15 5 (7 10 13 46)a 14 5 (7 46) 376 2 ﹒ 第５單元 排列、組合 說例 1 P84 答：A.12 B.24 C.5 A. ∴共有 12（種）﹒ B. (3 1) (2 1) (1 1) 24 （個）﹒ C.畫樹狀圖如下﹕ ∴共有 5（種）﹒ 說例 2 P85 答：A.{2, 4}﹔{1, 2, 3, 4, 5, 6} ﹔{1, 3, 5} B.{1, 3, 5} ﹔ 8 A. {2, 4}A B ﹔ {1, 2, 3, 4, 5, 6}A B ﹔ {1, 3, 5}A B ﹒ B. {1, 3, 5}A' ﹔ A 集合的部分集合共有 3 2 8 （個）﹒ 範例 1 P85 答：8 設三邊長 , ,a b c 且 a b c ﹐ 20a b c ﹐ , , a b c ﹐ 且 20 2 10 9b c a a b c a a a a a ﹐ 又 20 20 3 6. 3 a b c a a a a a … 7a ﹐∴ 7 9a ﹒ 1 9 11a b c 有 4 種﹔ 2 8 12a b c 有 3 種﹔ 3 7 13a b c 有 1 種﹐ ∴共有 4 3 1 8 （種）﹒ 演 練 答：1. 50 2. 13 1.畫表如下﹕ 正方形 邊長 1 2 3 4 個數 4 6 24 3 5 15 2 4 8 1 3 3 ∴共 24 15 8 3 50 個﹒ 2.設白色 x 塊﹐咖啡色 y 塊﹐則 2 4 12x y 2 6x y b 9 8 7 6 c 2 3 4 5 x 6 4 2 0 y 0 1 2 3 b 7 c 6 b 8 7 6 c 4 5 6
- 20. 第 5 單元 排列、組合 27 1 6, 0x y 可排 6! 1 6! 種﹔ 2 4, 1x y 可排 5! 5 4! 種﹔ 3 2, 2x y 可排 4! 6 2! 2! 種﹔ 4 0, 3x y 可排 3! 1 3! 種﹐ ∴共有1 5 6 1 13 （種）﹒ 範例 2 P86 答：6 作圖如右﹕ ∴共有1 3 2 1 1 6 （種） 《另解》 看成「上（甲乙丙）﹑中（甲丙）﹑下（甲丁戊丙）」 三道路排列﹐共有 3! 3 2 1 6 （種）﹒ 演 練 答：1.(4) 2.960 3.216 1.作圖如右﹕ 1 前兩位為大寫英文字母 有 26 26 種﹔ 2 後四位為數字（0～9）﹐ 最後一位數字不用 4 有10 10 10 9 9000 種﹐ 再去掉後四位數字為 0000 的 9000 1 有 種﹔ 3 全部號碼有 26 26 (9000 1) 種﹐∴選(4)﹒ 2.作圖如右﹕ 塗色順序﹕A B C D E 方法數有 5 4 3 4 4 960 （種）﹒ 3.作圖如右﹕ 塗色順序﹕A B C D E F G 方法數有 4 3 2 1 1 3 3 216 （種）﹒ 範例 3 P87 答：25 依球帽分類討論﹕ 1 黑灰帽 綠 藍 衣 黑白灰鞋 2 2 3 12 ﹔ 2紅 帽 綠 藍 衣 黑 白 鞋 1 2 2 4 ﹔ 3 藍 帽 白綠藍衣 黑白灰鞋 1 3 3 9 ﹐ ∴共有12 4 9 25 （種）﹒ 演 練 答：1. 21 2. 15 1.1 買（800）己﹑庚﹑辛之一時 可帶走甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊之一 有 3 5 15 種﹔ 2 買（700）丙﹑丁﹑戊之一時 可帶走甲﹑乙之一 有 3 2 6 種﹐ ∴共有15 6 21 種搭配法﹒ 2.1 包含 A 點 3 1 1 3 1 1 1 1 ( ) 3 3 9n A C C C C ﹔ 2 包含 B 點 3 1 3 1 1 1 1 1 ( ) 3 3 9n B C C C C ﹔ 3 包含 A 和 B 兩點 3 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 3n A B C C C C ﹐ ∴包含 A 或 B 兩點 ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B 9 9 3 15 （個）﹒ 說例 3 P88 答：A.42﹔1﹔ !n B.42 C.120 A. 7 2 7 6 42P ﹐ 0 1n P ﹐ !n nP n ﹒ B. 7 2 7 6P 42﹒ C. 5! 120﹒ 說例 4 P88 答：A.60 B.3 C.10 A. 6! 60 3!2!1! ﹒ B. 3! 3 2!1! ﹒ C. 5! 10 3!2! ﹒ 說例 5 P89 答：A.81 B.625 C.726 A. 4 3 81﹒ B. 4 5 625 ﹒ C.(任意坐)(6 人同船) 6 3 3 726﹒ 範例 4 P89 答：6 設向正方向跳動 a 次﹐負方向跳動 b 次﹐ ∴ 6 1 ( 1) 4 a b a b 5, 1a b ﹐ ∴5 正 1 負（＋ ＋ ＋ ＋ ＋ －）的排列有 6! 6 5!1! （種）﹒ 演 練 答：1. 12 2. 252 3. 30 1.順序固定 視為相同物﹐∴ 4! 12 2! ﹒ 2.1 第一﹑三﹑五場排法有 3! 6 種﹔ 2 第二﹑四場由其他 7 名選 2 名之排法有 7 2 7 6 42P 種﹐∴共有 6 42 252 （種）﹒ 3.作圖如右﹕ 1 A C D B→ → → 的走法有 4! 3! 1 4 1 3 12 3! 2! 種﹔ 2 A E F B→ → → 的走法有 4! 3! 1 6 1 3 18 2!2! 2! 種﹐ ∴共有12 18 30 （種）﹒ 範例 5 P90 答：(4) 1 含一個 1﹐如右圖﹕□1 □ □ □ 4 3 1 5 4 125 500C （四個位置選一位置填入 1﹐所餘三個位置任選剩下 五個數可重複填入）
- 21. 第５單元 排列、組合28 2 含三個 1﹐如右圖﹕□1 □1 □1 □ 4 3 5 4 5 20C （四個位置選三位置填入 1﹐所餘一個位置任選剩下 五個數可重複填入） ∴ 1 2 共有 500 20 520 個﹐∴選(4)﹒ 演 練 答：1.1 100 2 40 2.432 1.1 六個數字任取三個數字排列－0 排首位 6 5 3 2 6 5 4 5 4 100P P （個）﹒ 《另解》 依百﹑十﹑個位之順序直接排入﹕ 5 5 4 100 ﹒如右圖﹕ 2 將 0﹐1﹐2﹐3﹐4﹐5 分成三類﹕ 3k ﹐ 3 1k ﹐ 3 2k ﹐ 即 {0, 3}A ﹐ {1, 4}B ﹐ {2, 5}C 各取 1 個排成 三位數﹕ (i)含 0 的有1 2 2 (3! 2!) 16 個﹔ (ii)不含 0 的有1 2 2 3! 24 個﹐ ∴共有16 24 40 （個）﹒ 2. 6 3 1 1 4! 6 3 24 432C C （種）﹒ 其他 3﹐4﹐5﹐6 四個數字任意排列填入 同列 2 個位置﹐同行 1 個位置﹐ 共 3 個位置中任取 1 個位置給 2 填入 從 6 個位置中任取 1 個位置給 1 填入 範例 6 P91 答：576 作圖如右﹕ 1 體育臺先排有 2! 2 種﹔ 2 新聞臺相鄰排列有 3! 6 種﹔ 3 綜藝臺相鄰排列有 4! 24 種﹔ 4 新聞臺與綜藝臺排列有 2! 2 種﹐ ∴共有 2 6 24 2 576 （種）﹒ 演 練 答：1.(1)288 (2)576 2. 288 1.作圖如後﹕ (1)男在一起且女在一起的排法共有 2! 4! 3! 288 （種）﹒ (2)男排在一起的方法有 4! 4! 576 （種）﹒ 2.作圖如下﹕ 3! 2! 4! 1! 288 （種）﹒ 說例 6 P92 答：A.(1)(2)(3)(4) B.10 C.15 A. 5 5 3 3 3! 60P C ﹔ 5 5 3 2 10C C ﹔ 5 0 1C ﹔ 5 5 1C ﹐ ∴選(1)(2)(3)(4)﹒ B. 5 2 5 4 10 1 2 C ﹒ C. 6 4 2 2 2 2 15 3! C C C ﹒ 說例 7 P92 答：A. 120 B. 55 A. 10 3 10 9 8 120 1 2 3 C ﹒ B. 11 11 9 2 11 10 55 1 2 C C ﹒ 範例 7 P92 答：15 作圖如右﹕將停水的 2 天﹐插入 5 天不停水的前後與中間6個空格﹐ 即自 6 個空格中任取 2 個的方法 數﹐∴ 6 2 6 5 15 1 2 C （種）﹒ 演 練 答：1.1 120 2 56 2. 1440 1.1 從 10 節車廂選 3 節車廂准許吸菸﹐ ∴ 10 3 10 9 8 120 1 2 3 C ﹒ 2 作圖如右﹕ 將 3 節吸菸車廂﹐插入 7 節不吸菸車廂的前後與中 間 8 個空格﹐ 即自 8 個空格中任取 3 個的方法數﹐ ∴ 8 3 8 7 6 56 1 2 3 C ﹒ 2.作圖如右﹕ 1 男生先排 4! 24 種﹔ 2 女生穿插其中 5 3 5 4 3 60P 種﹐ ∴共有 24 60 1440 （種）﹒ 範例 8 P93 答：161 1 2 男 6 女有 4 7 4 7 2 6 2 1 4 3 7 42 1 2 C C C C 種﹔ 2 3 男 5 女有 4 7 4 7 3 5 1 2 7 6 4 84 1 2 C C C C 種﹔ 3 4 男 4 女有 4 7 7 4 4 3 7 6 5 35 1 2 3 C C C 種﹐ ∴共有 42 84 35 161 （種）﹒
- 22. 第 5 單元 排列、組合 29 演 練 答：1. 2100 2. 13 1.依性別分層比例 男：女 5 10 1 2 ： ： 男性需有 1 6 2 1 2 位﹐女性需有 2 6 4 1 2 位﹐ ∴共有 5 10 2 4 5 4 10 9 8 7 10 210 1 2 1 2 3 4 C C 2100 （種）﹒ 2.設選手 n 人 2 ( 1) 78 78 1 2 n n n C 2 ( 1) 156 156 0n n n n ( 13)( 12) 0 13n n n 或 12 （不合）﹐ ∴選手有 13 人﹒ 範例 9 P94 答：(3) (1)×﹕與訊息 10010 相距最遠的訊息為 01101（每個位 置都不同）﹒ (2)×﹕5 個數字 最大距離為 5﹒ (3)○﹕距離為 1 5 個數字中恰有一數字不同的訊息 5 1 5C （個）﹒ (4)×﹕距離為 2 5 個數字中恰有二數字不同的訊息 5 2 5 4 10 1 2 C （個）﹒ ∴選(3)﹒ 演 練 答：1. 250 2.(1)98 (2) 450 1.(任選) (全部都是男生) (全部都是女生) ∴ 10 5 5 5 5 5 10 9 8 7 6 1 1 1 2 3 4 5 C C C 252 2 250 （種）﹒ 2.(1)直線﹕ 15 3 4 2 2 21 1 98C C C （條）﹒ (2)三角形﹕ 15 3 4 3 3 3 450C C C （個）﹒ 範例 0 P94 答：210 作圖如右﹕剩下 7 人﹐ 1 先選 2 人和甲成一組﹔ 2 再選 2 人和乙成一組﹔ 3 最後 3 人自成一組﹐ ∴ 7 5 3 2 2 3 7 6 5 4 1 210 1 2 1 2 C C C （種）﹒ 演 練 答：1. 43200 2.(1)280 (2)378 (3)1260 1.1 5 天中有 1 天兩名值日生都是男生 方法數﹕ 5 6 1 2 6 5 5 75 1 2 C C ﹔ 2 剩下 4 天由其他 4 男排列 4!=24﹐ 再由 4 女搭配排列 4!=24﹐ ∴共有 75 24 24 43200 （種）﹒ 2.(1) 9 6 3 3 3 3 1 280 3! C C C 種﹒ (2) 9 7 5 2 2 5 1 378 2! C C C 種﹒ (3) 9 7 4 2 3 4 1260C C C 種﹒ 說例 8 P95 答：A.91；55 B.91 C.91 A.非負整數解有 3 3 12 1 14 14 12 12 12 2 14 13 91 1 2 H C C C （組）﹔ 正整數解有 3 3 12 3 9 55H H （組）﹒ B. 3 12 91H ﹒ C. 3 12 91H ﹒ 範例 q P95 答：126 設 1, 1, 1, 1x a y b z c u d （ , , , 0a b c d ） 9x y z u 之正整數解的組數 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 9a b c d 之非負整數解的組數 5a b c d 之非負整數解的組數 5a b c d t 之非負整數解的組數 （ 0t ） ∴ 5 5 5 1 9 9 5 5 5 4 9 8 7 6 126 1 2 3 4 H C C C （組）﹒ 演 練 答：1.(2) 2.(1)286 (2)84 3.120 1. 3 3 32 1 34 32 32 2 34 33 561 1 2 H C C ﹐∴選(2)﹒ 2.(1) 4 4 10 1 13 13 10 10 10 3 13 12 11 286 1 2 3 H C C C （組）﹒ (2) 4 4 4 6 1 9 9 10 4 6 6 6 3 9 8 7 84 1 2 3 H H C C C （組）﹒ 3. 4 4 3 1 6 3 3 3 3! 3! 3!H C C 6 5 4 3 2 1 1 2 3 120 （種）﹒ 說例 9 P96 答：280 A.一般項為 7 7 (2 ) ( ) 4k k kC x y k 所求項為 7 3 4 7 3 4 3 4 4 3 (2 ) ( ) 8 280C x y C x y x y ﹒ 說例 0 P97 答：A.1023 B. 1 64 A. 10 2 1 1023 ﹒ B. 6 1 1 1 2 64 ﹒
- 23. 第５單元 排列、組合30 範例 w P97 答：(2) 設 2 3 ( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n f x x x x x 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) n n x x x x x x ( )f x 的 2 x 項 1 (1 ) (1 )n x x 的 3 x 項 1 (1 )n x 的 3 x 項 1 2 3 3 (1) ( )n n C x 3( 1) ( 1) 1 2 3 n n n x 3 3 6 n n x ( )f x 的 2 x 項係數為 3 31 1 6 6 6 n n n n 1 1 , 0, , 0 6 6 a b c d 0a c b d ﹐ ∴選(2)﹒ 《另解》 ( )f x 的 2 x 項係數為 3 2 3 4 1 2 2 2 2 3 ( 1) ( 1) 1 2 3 6 n n n n n n n C C C C C ﹒ 演 練 答：1.(1)495 (2)673596 2. 240 3. 11 1. 12 12 12 12 0 1 1 9 (9 ) 3 3 k k k k x C x x x 12 12 12 12 2 0 9 3 k k k k k k C x ﹐ 一般項為 12 12 12 2 9 3 k k k k k C x ﹐ (1)常數項﹕12 0 8 2 k k k ﹐ 係數為 12 4 8 12 8 4 12 11 10 9 9 3 1 2 3 4 C C 2 3 5 11 495 ﹒ (2) 3 x 項﹕12 3 6 2 k k k ﹐ 係數為 12 6 6 6 6 12 11 10 9 8 7 9 3 3 1 2 3 4 5 6 C 2 7 2 3 7 11 673596 ﹒ 2.一般項為 6 6 2 (2 ) ( )k k k C x y ﹐ x 項的次數為 6 4 2k k 代入一般項﹐ 得 6 6 2 2 2 6 4 4 4 2 2(2 ) ( ) 2C x y C x y ﹐ ∴ 4 4 x y 項的係數為 6 4 2 6 5 2 16 240 1 2 C ﹒ 3. 2000 2 1 3000 2001 2 3001n n ﹐ ∵ 11 2 2048 ﹐ 12 2 4096 ﹐∴取 11n ﹒ 第壹部分：選擇題 一､單選題 答：1.(3) 2.(4) 3.(2) 4.(5) 5.(2) 6.(3) 解析： 1.1 甲﹑乙﹑丙為右手持拍﹐丁﹑戊為左手持拍 共有 3 2 6 種﹔ 2 己為右手持拍﹐丁﹑戊為左手持拍 共有1 2 2 種﹔ 3 己為左手持拍﹐甲﹑乙﹑丙為右手持拍 共有1 3 3 種﹐ 由 1 2 3 得共有 6 2 3 11 種﹐∴選(3)﹒ 2.作圖如下﹕ 1 第一碼為 A ﹐第二碼不為 O 大寫英文字母 有1 25 25 種﹔ 2 後四位為數字（0～9）﹐最後一位數字用 4 有10 10 10 1 1000 種﹔ 3 後四位為數字（0～9）﹐後三位數字為 444 有10 1 1 1 10 種﹔ 4 全部號碼有 25 (1000 10) 25 990 種﹐∴選(4)﹒ 3.∵ 2 0 1 21 n n n n n k n n k nx C C x C x C x C x 6 2 3 6 6 6 6 0 1 2 31 2 2 2 2C C C C 4 5 6 6 6 6 4 5 62 2 2C C C = 2a b 3 5 6 6 6 1 3 52 2 2 2b C C C 6 6 6 2 1 3 52 2 2 2 2C C C 6 6 2 6 1 3 52 2 2C C C 6 6 2 6 1 3 52 2b C C C ﹐∴選(2)﹒ 4.設集合 A 表示國文成績 70 分（含）以上﹐ 集合 B 表示英文成績 70 分（含）以上﹐ 集合 C 表示數學成績及格﹐ 依題意得參選模範生資格為 A B C ﹐ 不符合資格為 A B C ' A B ' C' A' B' C' ﹐ 即國英都不符合或數學不符合﹐ 已知國文不符合﹐ ∴可能英文也不符合或者數學不符合﹐ 故英文未達 70 分或數學不及格﹐∴選(5)﹒ 5.設 A﹐B﹐C 分別代表紅﹐黃﹐綠三個籃子所裝的雞蛋數﹐ 則依題意 24A B C ﹐ 且令 1A A' ﹐ 2 1B B' ﹐ 2 1C C' ﹐ 其中 0A' ﹐ 0B' ﹐ 0C' ﹐ 得 ( 1) (2 1) (2 1) 24A' B' C' 2 2 21A' B' C' （ A' 必為奇數）﹐ 再令 2 1A' A'' ﹐其中 0A'' ﹐ 則 2 1 2 2 21 10A'' B' C' A'' B' C' ﹐ 其中 0A'' ﹐ 0B' ﹐ 0C' ﹐ 第 5 單元 單元測驗 P98
- 24. 第 5 單元 排列、組合 31 非負整數解有 3 3 10 1 12 12 10 10 10 2 12 11 66 1 2 H C C C （組）﹒ ∴選(2)﹒ 6. 5 4 2 2 1 2 1 1 120C C C C （種）﹒ （先從 5 對中選 1 對夫婦﹐再從其餘 4 對中選 2 對﹐ 最後從選出的 2 對夫婦中各選 1 人） ∴選(3)﹒ 二､多選題 答：7.(1)(2)(3)(4)(5) 8.(1)(2) 9.(1)(4) 10.(2)(4) 11.(1)(2)(3)(4)(5) 12.(1)(2)(3)(4)(5) 解析： 7.(1)○﹕每件均有 3 種選擇 重複排列 5 3 243 物 人 種﹒ (2)○﹕5 件不同的獎品分給 2 位兒童 每件均只有 2 種選擇 5 2 32 物 人 種﹒ (3)○﹕至少 用反面解 (全部) (甲童沒有) 243 32 211 種﹒ (4)○﹕1 5 件選 1 件給甲 5 1 5C 2 剩下 4 件分給 2 位兒童 4 2 16 物 人 ﹐ ∴共 5 16 80 種﹒ (5)○﹕至少 用反面解 (全部) (甲童沒有) (甲童一件) 243 32 80 131 ﹒ ∴選(1)(2)(3)(4)(5)﹒ 8.(1)○﹕ 2 2 2 1 1 1 8C C C ﹒ (2)○﹕共可決定 2 個正三角形（銳角三角形）﹐如下圖﹕ (3)×﹕每點可決定一個直角﹐如下圖﹕ 6 個點可決定 6 個直角三角形﹒ (4)×﹕鈍角三角形 0 個﹒ (5)×﹕正三角形 2 個﹒ ∴選(1)(2)﹒ 9.5 個數字中﹐奇數有 3 個﹐偶數有 2 個﹐ (1)○﹕ 5! 120 個﹒ (2)×﹕ 2 1 4! 48C 個﹒ (3)×﹕(全排) (偶數) 120 48 72 個﹒ (4)○﹕1 2 3 4 5 15 為 3 的倍數 全排 120 個都是 3 的倍數﹒ (5)×﹕1 2 3 4 5 15 不為 9 的倍數 無 9 的倍數﹒∴選(1)(4)﹒ 10.(1)×﹕ 9 6 3 3 3 3 1 280 3! C C C （種）﹒ (2)○﹕ 9 6 3 3 3 3 1680C C C （種）﹒ (3)×﹕ 9 7 5 2 2 5 1 378 2! C C C （種）﹒ (4)○﹕ 9 7 5 2 2 5 756C C C （種）﹒ (5)×﹕ 9 7 4 2 3 4 3! 7560C C C （種）﹒∴選(2)(4)﹒ 11.杯子不同 排列﹐杯子相同 組合﹐ 酒可相同 重複﹒ (1)○﹕杯異酒不同 排列﹔ 任選 3 種酒作排列 5 3 60P 種﹒ (2)○﹕杯同酒不同 組合﹔ 任選 3 種酒 5 3 10C 種﹒ (3)○﹕杯異酒可同 重複排列﹔ 每一杯均有 5 種酒可選擇 酒 3 5 125 杯 種﹒ (4)○﹕杯同酒可同 重複組合﹔ 5 種酒可取 3 杯 5 5 3 1 3 3H H H C 類 酒 物 杯 7 3 7 6 5 35 1 2 3 C 種﹒ (5)○﹕ 5 5 2 1 6 2 2 25 5 5 75H C C 種﹒ ∴選(1)(2)(3)(4)(5)﹒ 12.(1)○﹕ 7 7 3 4C C ﹒ (2)○﹕可想成從 7 人中選出 4 人來取筆的方法數﹐ 故為 7 4C ﹒ (3)○﹕ 5 5 3 1 7 7 3 3 3 4H H C C C 人 相同物 ﹒ (4)○﹕ 7 7 3 4 7! 3!4! C C 種方法﹒ (5)○﹕由二項式定理得知﹐在 7 ( )a b 的展開式中﹐ 4 3 a b 的係數為 7 7 3 4C C ﹒ ∴選(1)(2)(3)(4)(5)﹒ 第貳部分：選填題 答：A.9 B.720 C.150 D.672 E.11 F.72 G.90 H.51 解析： A.作圖如右﹕ 上排有(紅﹐紅﹐紅)﹐(紅﹐綠)﹐(綠﹐紅) 3 種排法﹐同理下排也有 3 種排法﹐ ∴共有 3 3 9 （種）﹒ B.1 外圈﹕ 3 2 1 6 ﹔ 2 內圈﹕ 5 4 3 2 1 120 ﹐ ∴共有 6 120 720 （個）﹒ C.畫表如下﹕依百位數分類討論﹕ 百 1 2 … 7 8 9 十 0～9 0～9 0～9 0～9 0～9 個 3 0﹐4 … 5﹐9 6 7 1 百位數 1﹐8﹐9 的有 3 10 1 30 個﹔2 百位數 2 ～7 的有 6 10 2 120 個﹐∴共有 30 120 150 （個）﹒
- 25. 第 6 單元 機率32 D.任選 3 人減去甲與乙同時被選上之方法數﹕ ∴ 10 2 8 3 2 1 3!P C C 10 9 8 1 8 6 720 48 672 （種）﹒ E.設橫的長方形有 x 塊﹐直的長方形有 y 塊﹐ 6x y ﹒ 1 , 1,5x y 有 2 種﹔ 2 , 5 ,1x y 有 3 種﹔ 3 , 3 ,3x y 有 6 種﹐ ∴共有 2 3 6 11 種﹒ F.畫圖如下﹕ 1 2 3 4 5 6 7 1 中間三節車廂 3 種動物任意排 3!﹔ 2 剩下四節車廂選一節車廂畫企鵝 4 1C ﹔ 3 剩下三節車廂選一節車廂畫無尾熊 3 1C ﹔ 4 剩下二節車廂畫貓熊 2 2C ﹐ ∴共有 4 3 2 1 1 23! 6 4 3 1 72C C C （種）﹒ G.1 先平分成兩堆（每堆 3 人） 6 3 3 3 2! C C ﹔ 2每堆 3人再分成兩堆（一堆2人﹐一堆1 人） 3 1 2 1 C C ﹐ ∴ 6 3 3 3 3 1 3 1 2 1 2 1 90 2! C C C C C C （種）﹒ H. 15 15 11 (1 10) 15 15 2 15 15 1 2 15 1 10 10 10C C C 15 11 除以 100 的餘數 15 1 1 10C 除以 100 的餘數 1 15 10 除以 100 的餘數 151 除以 100 的餘數 51 ﹒ 第６單元 機率 說例 1 P102 答： 1 5 2 6 p A.1 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B 1 1 5 2 3 6 p ﹔ 2 ( ) ( )P A B P A 且 ( ) ( )P A B P B 1 2 p 且 1 3 p 1 2 p ﹐由 1 2 得 1 5 2 6 p ﹒ 範例 1 P102 答： 49 99 袋中球共有1 2 10 55 個﹐任意取兩球的方法有 55 2C 種﹐奇數球有1 3 5 7 9 25 個﹐偶數球有 55 25 30 個﹐兩球為奇數的取法有 25 2 C 種﹐兩球為偶 數的取法有 30 2C 種﹐取兩球標號和為偶數的機率為 25 30 2 2 55 2 25 24 30 29 49 55 54 99 C C C ﹒ 演 練 答：1. 5 2. 16 35 1.1 設有黑球 n 個﹐任取兩球的個數 7 2( ) n n S C ﹔ 2 兩球都是白球 7 白球中任取兩球的個數 7 2( )n A C ﹔ 3 7 2 7 2 ( ) 7 ( ) ( ) 22n Cn A P A n S C 7 6 71 2 ( 7)( 6) 22 1 2 n n ( 7)( 6) 22 6n n 2 13 90 0n n ( 18)( 5) 0n n 5n 或 18 （不合）﹐ ∴有 5 個黑球﹒ 2.1 7 球選 4 球 樣本空間的個數 7 4 7 6 5 4 ( ) 35 1 2 3 4 n S C ﹔ 2 7 球中﹐ 奇數 4 個(1﹐3﹐5﹐7)﹐偶數 3 個(2﹐4﹐6)﹔ 3 4 球和為奇數 1 奇 3 偶 或 3 奇 1 偶 ( ) 4 12 16n A ﹐∴ ( ) 16 ( ) ( ) 35 n A P A n S ﹒ 範例 2 P103 答：(5) (1)12 個班抽兩班 樣本空間中元素的個數 12 11 1 1 ( ) 12 11 132n S C C ﹒ (2)兩班在甲校 3 2 1 1 3 2 6C C ﹐兩班在乙校 4 3 1 1 C C 4 3 12 ﹐兩班在丙校 5 4 1 1 5 4 20C C ﹒ (3)兩班在同校事件中元素的個數 ( ) 6 12 20 38n A ﹒ (4) ( ) 38 ( ) 29 ( ) 132 n A P A n S ％ ﹒ ∴選(5)﹒ 4 3 3 1 12C C 4 3 1 3 4C C