1. 1.4 乘法公式及因式分解
一、考试内容
会推导乘法公式： ； ，了解公式的
1. (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
几何背景，并能进行简单计算.
2. 了解因式分解的概念，了解因式分解与整式乘法之间的关系
3. 会用提公因式法和公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数
是正整数）。
二、近三年中考试卷分析
年份 题号 考察题型 考察知识点 分值 难度
8 填空题 因式分解的基本方法 3 基础题
08年
20 解答题 乘法公式 1 基础题
11 填空题 因式分解的基本方法 3 基础题
09年
20 解答题 乘法公式 1 基础题
1 0年 19 解答题 乘法公式 2 基础题
三、考点整合
考点 1：乘法公式（理解）
注意区分两个公式的异同点.（平方差公式： a + b ( a − b ) = a 2 − b 2
注 1： ( ) ；
完全平方公式：
( a ± b)
2
= a 2 ± 2ab + b 2 ）
注 2： 需要了解公式的几何背景，能用几何方法说明公式的合理性 .
☆命题角度： 乘法公式的运算.
☆例题解析
1、（2010•广东深圳）下列运算正确的是（ ）.
A．
( x − y ) = x 2 − y 2 B． x 2 gy 2 = ( xy ) 4 C． x 2 y + xy 2 = x3 y 3 D． x 6 ÷ y 2 = x 4
2
2、（2010•江苏镇江）化简： = .
( x +1)
2
- x2
1

2. 3、（2010•浙江宁波）若 x + y =3 ， xy =1 ，则 .
x2 + y 2 =
4、（2010•湖南益阳）已知 ，求代数式 的值．
x - 1= 3 (x +1) 2 - 4(x +1) + 4
考点 2：因式分解的概念（了解）
注 1： 因式分解的结果是积的形式，因式分解与整式的乘法互为逆变形.
注 2： 因式分解是恒等变形，不会改变代数式的值.
☆命题角度： 因式分解的概念.
☆ 例题解析
（2010•复习指南）下列从左到右的变形中，不属于因式分解的是（ ）．
A． B．
 1
x2 − y 2 = ( x + y ) ( x − y ) x 2 + 3x + 1 = x  x + 3 + 
 x
C．
a 2 − 4a + 4 = ( a − 2 )
2
(
D． 4a 2 − a = a 4a − 1
)
考点 3：因式分解的基本方法（理解）
注 1： 公因式应满足：
（1）系数是各项系数的最大公约数；（2）字母取各项相同字母的最低次幂.
注 2： 因式分解的一般步骤：一提二套（需分解彻底）.
☆命题角度： 因式分解的基本方法；因式分解的整体应用.
☆例题解析
（2010•德化质检）分解因式： 2 ＝ .
1. a + 4a + 4
（2010•福建宁德）分解因式： .
2. ax 2 + 2axy + ay 2 =
（2010•山东聊城）分解因式： .
3. 4 x 2 − 25 =
（2010• 山东济宁）把代数式 分解因式，结果正确的是
4. 3 x3 − 6 x 2 y + 3 xy 2
（ ）．
A． x(3 x + y )( x − 3 y ) B． 3 x ( x − 2 xy + y ) C． x(3 x − y )
2 2 2
D ．
2

3. 3 x( x − y ) 2
5. （2010•晋江质检 2）请从下列三个代数式中，任意选取两个式子相加，组
成一个新的式子并进行分解因式. 2 ， ，
x − 3xy y ( 4 y − x ) 9 y ( x + y )
（2010•福建龙岩）给出三个单项式： ， ， .
6. a2 b2 2ab
（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；
（2）当 ， 时，求代数式 的值.
a = 2010 b = 2009 a 2 + b 2 − 2ab
四、真题训练（12 分钟左右）
（2008•泉州）分解因式： ＝ ．
1. x2 − 4
（2009•泉州）分解因式： ．
2. x2 + 6x + 9 =
（2010•泉港质检）分解因式： ．
3. x 2 − xy =
（2010•广东深圳）计算： x + 1 x − 1 =
4. ( )( ) .
（2010•江苏宿迁）因式分解： = ．
5. a2 −1
（2010•山东东营）把 分解因式，结果为 .
6. x3 − 4 x
（2010•湖南益阳）若 ，且 ，则 m + n = ．
7. m 2 - n 2 =6 m - n =3
（2010•福建莆田）化简： ．
( a + 1) − ( a − 1) =
2 2
8.
9. （2010•四川乐山）下列因式分解:
① x3 − 4 x = x x 2 − 4 ② a 2 − 3a + 2 = a − 2 a − 1
( ) ( )( )
3

4. ③ ④ 2
1  1
a − 2a − 2 = a ( a − 2 ) − 2
2
x +x+ =x+ 
2
4  2
其中正确的是 （只填序号）．
（2010•德化质检）计算： ( x + 2 )( x − 2 ) + x( 3 − x ) ．
10.
☆答题分析
错题： 知识点： 二次巩固情况：
错题： 知识点： 二次巩固情况：
错题： 知识点： 二次巩固情况：
五、纠错加强（8 分钟左右）
（2010•晋江质检 1）分解因式： ．
1. x 2 + 6 x = _________
（2010•石狮质检）因式分解： = .
2. x2 − 2x
（2010•广东珠海）分解因式 .
3. ax 2 - ay 2 =
（2010•浙江丽水）分解因式： ．
4. x2 − 9 =
（2010•安溪质检）化简: ( a + 2 )( a − 2 ) + a( 4 − a ) = ．
5.
（2010•鲤城质检）因式分解： = ．
6. 4b3 + 8ab 2 + 4a 2b
（2010•浙江绍兴）因式分解： = .
7. x2 y - 9 y
（2010•山东莱芜）分解因式： ．
8. − x3 + 2 x 2 − x =
（2010•四川泸州）分解因式： .
9. 3x 2 + 6 x + 3 =
10.（2010•广东广州）因式分解： ．
3ab 2 + a 2b =
☆答题分析
错题： 知识点： 二次巩固情况：
错题： 知识点： 二次巩固情况：
六、能力提高（10 分钟左右）
4

5. ☆命题角度： 乘法公式的几何背景；代数恒等式的证明.
☆例题解析
1、（2010 山东日照）由 m a + b + c =ma + mb + mc ，可得：
• ( )
( a +b) ( a 2
- ab + b 2 ) =a 3 - a 2b + ab 2 + a 2b - ab 2 =a 3 + b3 ，
即 a + b ( a 2 - ab + b 2 ) =a 3 + b3 ． ………………………①
( )
我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式．
下列应用这个立方公式进行的变形不正确 的是( )
( ) ( ) ( ) (
A． x + 4 y x 2 - 4 xy +16 y 2 =x 3 + 64 y 3 B． 2 x + y 4 x 2 - 2 xy + y 2 =8 x 3 + y 3
)
( ) (
C． a +1 a 2 + a +1 =a 3 +1
) ( ) (
D． x 3 + 27 = x + 3 x 2 - 3 x + 9
)
2、（2010 辽宁丹东）图①是一个边长为 (m + n) 的正方形，小颖将图①中的阴
•
影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）
A．
(m + n) 2 − (m − n) 2 = 4mn
B． m n m
(m + n) 2 − (m 2 + n 2 ) = 2mn n
C．
(m − n) 2 + 2mn = m 2 + n 2 →
← m→ ← n
D． 图②
(m + n)(m − n) = m 2 − n 2 图①
3、（2010•浙江湖州）将图甲中 a
阴影部分的小长方形变换到图乙
a－b a－b
位置，你能根据两个图形的面积
关系得到的数学公式吗？ a b b
．
甲 乙
5