本文介绍了数学中的加法原理和乘法原理及其应用，包含多种实际问题的解答示例。这些原理是解决排列、组合和概率问题的基础。文中提供了多种题型，强调了在特定条件下的解题策略。

1. 數學
高
頻
率
試
題
揭
密
，
基
本
分
輕
鬆
入
袋
每
天
10分
鐘
，
統
測
逆
轉
勝
獨
創
！
引
導
式
步
驟
解
題
99課
程
／
數
B數
C皆
適
用
即戰力
廖
志
偉
編
著
統測必考
高頻率題型

2. 93
考情指數：★★★★★
加法原理、乘法原理
1. 加法原理：
若完成某一件事可分成 k 類互斥（即不同時發生）的方法，在第1類中有 1m 種方法，在
第 2 類 中 有 2m 種 方 法 ， … ， 在 第 k 類 中 有 km 種 方 法 ， 則 完 成 此 件 事 的 方 法 共 有
1 2 km m m   種。
2. 乘法原理：
若完成某一件事需經過 k 個步驟，完成第1個步驟有 1m 種方法，完成第 2 個步驟有 2m 種
方法，…，完成第 k 個步驟有 km 種方法，則完成此件事的方法共有 1 2 km m m   種。
設甲地到乙地有 3 條路，乙地到丙地有 4 條路，丙地到丁地有 2 條路，則自甲地經過乙地到丙地，
共有幾種不同的走法？ (A) 7 (B) 9 (C)12 (D) 24。 【98 統測】
解： 甲地到乙地有 3種走法
乙地到丙地有 4 種走法
由乘法原理知：
共有 3 4 12  種走法
某三位數其百位數數字為偶數，個位數數字為奇數，這樣的三位數共有多少個？ (A) 90
(B)125 (C) 200 (D) 250 。 【90 統測】
解： 百位數有 2 、 4 、 6 、 8，共 4 種選擇
十位數有 0 ～ 9 ，共10 種選擇
個位數1、 3、 5 、 7 、 9 ，共 5 種選擇
由乘法原理知：共有 4 10 5 200   個
當事件為連續發生或可同時發生，則使用乘法原理
觀測站
同學須澈底了解加法原理與乘法
原理的概念及使用時機，此為後
面的排列、組合、機率問題之基
礎。
觀測站
一 般 的 題 目 很 少 單 獨 考 加 法 原
理 ， 單 獨 考 乘 法 原 理 的 題 目 較
多；加法原理與乘法原理較常一
起出現在排列組合的解題過程。
三位數之百位數不得為 0

3. 94
（ ）1. 十元硬幣有正、反兩面，現在任意連續投擲一枚十元硬幣四次，依次觀察其出現正面
或反面的結果，可形成一個樣本空間，則此樣本空間之樣本個數為何？ (A) 4 (B)8
(C)12 (D)16 。 【98 統測】
（ ）2. 書架上有 5冊不同的護理課本，3冊不同的數學課本，若某生欲由護理、數學課本中各
選一冊，則共有幾種選法？ (A)8 (B)15 (C)125 (D) 243 。 【92 統測】
當題目強調「各」時，多半使用乘法原理
（ ）3. 甲、乙兩人到速食店購買漢堡。若有四種漢堡可選擇，且兩人各購買一種，則兩人購
買不同漢堡的可能情形有多少種？ (A) 4 (B)8 (C)12 (D)16 。 【100 統測】
（ ）4. 小明、小華與其他兩位同學負責打掃教室。若兩人一組，則小明與小華不同組的分組
結果有多少種？ (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。 【100 統測】
（ ）5. 餐飲部供應的菜色為肉 4 種、魚 3 種、蔬菜 5 種、甜點 2 種。有位客人要點肉、魚、蔬
菜各1種，不點甜點。則這位客人有幾種點法？ (A) 0 (B)12 (C) 20 (D) 60 。
「不點」也是1種選擇 【90 統測】
（ ）6. 在 0、1、3、5、7、9 六個數字中，若數字可重複選取，任取其中三個數字組成一個
三位數，則共可組成多少個不同的三位數？ (A) 20 (B)120 (C)180 (D) 216 。
首位數字不得為 0 【93 統測】

4. 95
考情指數：★★★★★
完全相異物的直線排列（基本型）
1. 自 n 件相異物中任取 m 件（ 0 m n  ）的直線排列數為
 
     
!
1 2 1
!
n
m
n
P n n n n m
n m
         

 。
例：
 
5
3
5! 5! 5 4 3 2 1
5 4 3
5 3 ! 2! 2 1
P
   
     
 
。
2.
 
! !
!
! 0!
n
n
n n
P n
n n
  

；
 0
! !
1
0 ! !
n n n
P
n n
  

。《註》 0! 1 。
若數字不可以重複出現，則 0、1、2、3、4 五個數字可組成的五位數共有多少個？ (A) 48
(B) 96 (C)100 (D)120 。 【93 統測】
解： 先排首位數字
首位數字不得為 0 ，則有 1、2、3、4，共 4 種選擇
再排剩下的位數
由剩下的四個數字取四個排列，有 4
4P 種選擇
利用乘法原理
故共可組成 4
44 4 4 3 2 1 96P       個五位數
《另解》
反面思考： 0 不排首位  任意排 0 排首位 5! 1 4! 96    （個）
從 1、2、4、6、8 五個數字中，任取三個不同的數字排成三位數，共可排成多少個不同的偶數？
(A)12 (B) 24 (C) 36 (D) 48。 【統測改編】
解： 先排個位數
個位數為偶數，則有 2、4、6、8，共 4 種選擇
再排十位數與百位數
由剩下的四個數字取兩個排列，有 4
2P 種選擇
利用乘法原理
故共有 4
24 4 4 3 48P     個不同的偶數
觀測站
1. 先排限制條件多的。
2. 首位數字不得為 0。
觀測站
1. 先排限制條件多的。
2. 偶數的條件是個位數須為偶數。

5. 96
（ ）1. 由 1、2、3、5、7、8 六個數字，任取三個數字排成三位數，且數字不得重複，則共
有幾種排法？ (A) 60 (B)120 (C)180 (D) 240 。 【91 統測】
（ ）2. 可用 7 種不同顏色塗在右圖的 6個格子內，若規定顏色不重複使用且同
一格子僅塗滿同一色，則共可塗出幾種不同的著色樣式？ (A) 7
6C
(B) 12
6C (C) 7
6P (D) 7
6 。 【96 統測】
（ ）3. 用 7 種不同顏色塗在右圖甲、乙、丙、丁、戊等五個區域中，若規定顏
色不重複使用且每一區域只能塗滿一種顏色，則共可塗出幾種不同的著
色樣式？ (A) 7 (B) 25 (C)120 (D) 2520 。 【96 統測】
（ ）4. 以 0、1、2、3、4、5 作四位數，若數字不可重複使用，則可作出幾個不同的四位數？
(A) 5 5 4 3   (B) 5 5 5 4   (C) 5 5 5 5   (D) 5 6 6 6   。 【94 統測】
首位數字不得為 0
（ ）5. 從 0、1、3、7、8、9 六個數字中取三個數字（數字不可重複）排成三位數的奇數，
則方法有幾種？ (A) 64 (B)80 (C)100 (D)120 。 【101 統測】
奇數的條件是個位數須為奇數
（ ）6. 設 n
mP 表示從 n 個不同的事物中，任選 m 個排成一列的排列方法，若 2
3 220n n
P P  ，求
自然數 n  (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。 【102 統測】

6. 97
考情指數：★★★★★
完全相異物的直線排列（特殊限制型）
1. 自 n 件相異物中任取 m 件（ 0 m n  ）的直線排列數為
 
     
!
1 2 1
!
n
m
n
P n n n n m
n m
         

 。
2. 排列的原則：
(1) 有特定位置的物件先排，再排沒有任何限制位置的物件。
(2) 必相鄰：先將必相鄰的物件綁在一起視為一體，與其餘物件排列完後，再考慮相鄰物
件本身的排列。
(3) 不相鄰：先將其餘的物件排列，再將不相鄰物件插入間隔。
將甲、乙、丙、丁四人排成一列，若甲與乙必須排在一起，試問共有幾種排法？ (A) 6 (B)12
(C) 24 (D) 36 。 【94 統測】
解： 將必相鄰物件視為一體做排列
將甲、乙視為一體，與丙、丁做排列，排列數為 3!
考慮相鄰物件的排列
甲、乙位置可互換，排列數為 2!
利用乘法原理
故共有 3! 2! 6 2 12    種排法
現有 4 個男生與 3個女生要排成一列，若女生之間不排男生，則共有多少種排法？ (A) 72
(B)120 (C) 720 (D) 5040。 【92 統測】
解： 將必相鄰物件視為一體做排列
將 3個女生視為一體，與 4 個男生做排列，排列數為 5!
考慮相鄰物件的排列
3個女生位置可互換，排列數為 3!
利用乘法原理
故共有 5! 3! 120 6 720    種排法
觀測站
若題目改為甲、乙不相鄰，則先
排丙、丁，再將甲、乙插入間隔，
共有 3
22! P 種排法。
觀測站
女生之間不排男生，即表示女生
必相鄰。

7. 98
（ ）1. 甲、乙等 6人排成一列，則甲、乙兩人必須相鄰的方法有 (A)120 (B)180 (C) 210
(D) 240 種。 【99 統測(身)】
（ ）2. 若 6對夫婦排成一列，且每對夫婦必須相鄰，則共有幾種不同排法？ (A) 2 6!
(B)  
2 6
3! 2 (C)  
2 6
2 3! 2  (D) 6
2 6! 。 【95 統測】
（ ）3. 有 4 男 3 女排成一列，若男生之間不排女生，則共有多少種排法？ (A) 3! 3! (B) 3! 4!
(C) 4! 4! (D) 7!。 【92 統測】
（ ）4. 若 3 男 3 女排成一列，且男生必須相鄰，女生也必須相鄰，則共有幾種不同的排法？
(A) 3! 2! (B) 2 3! 2!  (C) 3! 3! (D) 2 3! 3!  。 【統測改編】
（ ）5. 甲、乙、丙、丁四人組隊參加 400 公尺接力賽跑，每人跑100 公尺。其中甲不願意跑最
後一棒，試問總共可排出幾種接力順序？ (A) 3 (B) 9 (C)18 (D) 24。
先排最後一棒 【91 統測】
（ ）6. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人排成一列。若甲、乙、丙、丁四人必排在此列的最
前面四位，且甲、乙不相鄰，則此七人共有多少種排法？ (A) 36 (B) 72 (C)144
(D)840。 先排最前面四位 【100 統測】

8. 99
考情指數：★★★★★
不完全相異物的直線排列
1. 設有 n 件物品，共有 k 類（相同者視為同一類），第一類有 1m 件，第二類有 2m 件，…，第
k 類有 km 件，其中 1 2 km m m n    ，則此 n 件不完全相異物全取的直線排列數為
1 2
!
! ! !k
n
m m m  
。
2. 走棋盤式街道問題：
如圖所示，設有直街 n 條、橫街 m 條，
則由 A取捷徑到 B 的方法有
 
   
2 !
1 ! 1 !
m n
m n
 
  
種。
例：右圖由 A取捷徑到 B 的每一種走法都是由 6個「→」
及 4 個「↑」所排列而成
（如圖中粗線「→→↑↑→→↑↑→→」是其中一種
捷徑走法），故由 A取捷徑到 B 的方法有
10!
6! 4!
種。
將 mhchcm 這些英文字母任意排列，問共有幾種不同的排列方法？ (A) 90 (B) 60 (C) 45
(D) 30 。 【101 統測】
解： 將相同的計數
「mhchcm」中共 6 個字母
有 2 個「m」、 2 個「h」、 2 個「c」
代入公式
故共有
6! 6 5 4 3 2 1
90
2!2!2! 2 1 2 1 2 1
    
 
    
種不同的排列方法
有 A 字母 4 個，B 字母 3個，C 字母 2 個。如將其排成一列，則其排法有多少種？ (A) 32
(B) 288 (C)1260 (D) 40320 。 【90 統測】
解： 將相同的計數
有 4 個「A」、 3個「B」、 2 個「C」
代入公式
故共有
9! 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 5
1260
4!3!2! 4 3 2 1 3 2 1 2 1 2
          
  
       
種排法
觀測站
掌握公式即可拿分！
觀測站
利用「約分」可加速計算過程。

9. 100
（ ）1. 將「我愛數學數學愛我」八個字重新排列，其排法共有多少種？ (A) 2520 (B) 5040
(C)10080 (D) 40320 。 【96 統測(身)】
（ ）2. 若將 banana 的字母加以排列，則有多少種完全不同的排法？ (A) 30 (B) 60 (C) 90
(D)120 。 【97 統測】
（ ）3. 將「下雨天留客天天留我不留」十一個字任意排成一列，則共有多少種不同排法？
(A) 5! (B) 6! (C)
11!
3!3!
(D)
11!
6!
。 【98 統測】
（ ）4. 使用 H 、 E 、 I 、 G 、 H 、 T 任意排成一列，共有幾種不同排法？ (A)120 (B)180
(C) 360 (D) 720 。 【95 統測】
（ ）5. 如右圖所示，若從 A點出發，以走捷徑的方式（意指行進時只能向右
或向上）到終點 B ，則共有幾種不同之走法？ (A) 4 (B) 6 (C)10
(D)12。 【96 統測】
不論走哪一條捷徑都須經過 3 個「→」及 2 個「↑」
（ ）6. 將 0、0、2、2、9、9、9、9 八個數字全取，排成一列，可得幾個不同的八位數？
(A)155 (B) 210 (C) 315 (D) 420 。 【101 統測】
所求  任意排 0 排首位

10. 101
考情指數：★★★★
重複排列
1. 自 n 種不同事物中任取 r 件（可重複選取同一種）
排成一列，稱為 n 中取 r 的重複排列，其排列數為
r
r
n n n n   
個
。
《註》 n 與 r 無特定大小關係，可能 n r 、 n r 或 n r 。
若將 8 封不同的信投入 9個不同的郵筒，則共有幾種不同的投法？
(A)
9!
1! 8!
(B)
 9 8 1 !
8! 8!
 

(C) 9
8 (D) 8
9 。 【94 統測】
解： 每封信均有 9 個郵筒可選擇
故共有 8
8
9 9 9 9 9 9 9 9 9       
個
種不同投法
五件不同的獎品分給甲、乙、丙、丁四位同學，若甲至少得一件，其方法有幾種？ (A) 781
(B)120 (C) 369 (D) 2560 。 【歷屆試題】
解： 反面思考：
甲至少得一件
 任意分  甲均未分得
 任意分  分給乙、丙、丁
5 5
4 3 1024 243 781     （種）
若題目有「至少」兩字，一般來說使用「反面思考」求解較迅速
觀測站
1. 甲恰得1件
 甲先選1件  剩下 4 件分給乙、丙、丁
4
5 3 
2. 甲至少得 2 件
 任意分  甲得 0 件  甲得 1件
5 5 4
4 3 5 3   
觀測站
同一個郵筒可被投入不只一封信，而每封
信只能投入某一個郵筒，故「郵筒」為「可
重複者」，「信」為「不可重複者」。

11. 102
（ ）1. 福利社賣 3種飲料，有 4 位學生到福利社，每人選購一罐飲料，則 4 人共有幾種選法？
(A) 4 (B)12 (C) 64 (D)81。 【91 統測】
（ ）2. 若將 5 封不同的信投入 6個郵筒，則共有幾種投遞法？ (A) 6 (B) 720 (C) 6
5
(D) 5
6 。 【97 統測】
（ ）3. 某速食店之飲料區提供 4 種飲料。現有甲、乙、丙 3 人拿杯子到飲料區裝盛飲料，每
人可任意選擇一種飲料，3 人的飲料可相同或不同，則 3 人裝盛的結果有多少種可能？
(A) 64 (B) 27 (C)12 (D) 7 。 【99 統測】
「3 人的飲料可相同或不同」表示可用「重複排列」解題
（ ）4. 由奇數 1、3、5、7、9 五種數字，可重複出現地組成三位數，則這類三位數有幾種？
(A) 999 (B) 500 (C) 250 (D)125 。 【90 統測】
（ ）5. 渡船三艘，每艘最多可載 5 人，則 6人過渡時，可安全渡過的方法有幾種？ (A) 729
(B) 726 (C) 216 (D) 213 。 【歷屆試題】
反面思考：所求  任意搭乘 6 人同搭一船
（ ）6. 假設在招呼站有三輛計程車，每輛至多可搭乘 4 位客人，招呼站現來 5 位要搭計程車
的旅客，試問共有幾種不同的載客方式？ (A)122 (B)125 (C) 240 (D) 243 。
反面思考：所求  任意搭乘 5 人同搭一車 【97 統測】

12. 103
考情指數：★★★★★
組合（基本型）
1. 自 n 件相異物中任取 m 件（ 0 m n  ）為一組（同一組內的物品不考慮其先後順序），稱
為 n 中取 m 的組合，以
 
!
! ! !
n
n m
m
P n
C
m n m m
 

表示其方法數。
例：
100
100 3
3
100 99 98
3! 3 2 1
P
C
 
 
 
。
《註》排列與組合的解讀：排列是既選又排，但是組合只選不排。
《註》排列與組合的關係：排列  組合 順序（ !n n
m mP C m  ）。
2. 1n
nC  ； 0 1n
C  ；餘組合 n n
m n mC C  （ 0 m n  ）。
例： 10 10
7 3
10 9 8 7 6 5 4 10 9 8
7 6 5 4 3 2 1 3 2 1
C C
       
  
       
。
3. n n
a bC C a b   或 a b n  。
某排球隊共有10 位選手，任選 6位上場比賽，共有幾種不同選法？ (A) 64 (B)105 (C)128
(D) 210 。 【94 統測】
解： 利用組合公式
共有 10 10
6 4
10 9 8 7
210
4 3 2 1
C C
  
  
  
種不同選法
有一籃球隊共有12 位選手，其前鋒、中鋒、後衛的人數分別為 4 人、 3 人、 5 人，現在要選 5 位
選手上場比賽，一般籃球比賽中，每隊的前鋒、中鋒、後衛人數分別為 2 人、1人、 2 人，問共
有幾種不同選法？ (A)120 (B)154 (C)180 (D) 225 。 【99 統測】
解： 分別選出各位置上場比賽的選手
前鋒 4 人選 2 人： 4
2C
中鋒 3人選1人： 3
1C
後衛 5 人選 2 人： 5
2C
利用乘法原理
故共有 4 3 5
2 1 2
4 3 3 5 4
180
2 1 1 2 1
C C C
 
     
 
種不同選法
觀測站
1. 題目未指定 6 位上場比賽選手
的 位 置 ， 因 此 與 先 後 順 序 無
關，為組合問題。
2. 利用 n n
m n mC C  將 10
6C 化為 10
4C ，
可加速計算過程。
觀測站
利用乘法原理（連續步驟）將三
個選擇步驟相乘。

13. 104
（ ）1. 一測驗題庫有 20題相異題目，從中取出18 題組成一試卷，若不論題序，總共可組成幾
種試卷？ (A) 360 (B) 200 (C)190 (D)180 。 【90 統測】
（ ）2. 某電器行有10 台不同廠牌的電視，展示窗每次只能放 3 台。如果不考慮排列方式，則
共有幾種不同的展示方法？ (A) 27 (B)120 (C) 300 (D) 720 。 【91 統測】
（ ）3. 某種彩券共有 21個不同號碼，從中選取 3個不同的號碼為一組（不計順序），做為對獎
的依據，則共有幾種不同的選法？ (A)1330 (B) 2660 (C) 3990 (D) 7980 。
【91 統測】
（ ）4. 某次數學測驗，規定考生由12 題中任選 8 題作答。若選題方式為：前 4 題中任選 2 題，
後 8 題中任選 6題，則共有多少種選法？ (A) 32 (B)168 (C) 256 (D) 495 。
【92 統測】
（ ）5. 男生 8 人、女生 6人，若要選出兩男兩女組成一代表隊，則共有幾種組法？ (A)120
(B)180 (C) 210 (D) 420 。 【91 統測】
（ ）6. 自助餐有 8 種不同蔬菜類、 3 種不同肉類、 2 種不同湯類，若每位顧客必須任選 3 種不
同蔬菜、1種肉類、1種湯類，則每位顧客共有幾種不同的選法？ (A) 48 (B)84
(C)168 (D) 336 。 【96 統測】

14. 105
考情指數：★★★★
組合（應用型）與幾何計數
1. 自 n 件相異物中任取 m 件（ 0 m n  ）為一組（同一組內的物品不考慮其先後順序），稱
為 n 中取 m 的組合，以
 
!
! ! !
n
n m
m
P n
C
m n m m
 
 
表示其方法數。
2. 由點所構成的圖形數：
(1) 有相異 n 個點，其中任三點不共線，則可決定 2
n
C 條直線， 3
n
C 個三角形。
(2) 有相異 n 個點，其中 m 點共線（ 3m  ），其他任三點不共線，則可決定 2 2 1n m
C C  條
直線， 3 3
n m
C C 個三角形。
3. 由直線所構成的圖形數：
(1) 平面上有 n 條相異直線，其中任兩條不平行，任三線不共點，則可決定 2
n
C 個交點，
圍成 3
n
C 個三角形。
(2) 兩組平行線，一組有 m 條，另一組有 n 條，則可構成 2 2
m n
C C 個平行四邊形。
(3) 兩組互相垂直的直線，一組有 m 條，另一組有 n 條，則可構成 2 2
m n
C C 個矩形。
(4) 凸 n 邊形之對角線數為 2
n
C n 。
已知平面上有12 個相異點，且任意三點都不共線，則這12 個點最多可以畫出多少條相異直線？
(A)12 (B) 24 (C) 66 (D)132 。 【100 統測】
解： 平面上相異 2 點恰決定一條直線
故12 個點可畫出 12
2
12 11
66
2 1
C

 

條相異直線
將 6位護士分發到 3 所醫院實習，每所醫院分發 2 人，則共有多少種分法？ (A)15 (B) 45
(C) 60 (D) 90 。 【91 統測】
解： 分別選出分發到各醫院的護士
設 3所醫院為甲、乙、丙
先選出 2 位護士到甲醫院： 6
2C
再選出 2 位護士到乙醫院： 4
2C
最後選出 2 位護士到丙醫院： 2
2C
利用乘法原理
故共有 6 4 2
2 2 2
6 5 4 3 2 1
90
2 1 2 1 2 1
C C C
  
     
  
種分法
觀測站
此題亦可想成是 2 個「甲」、2 個「乙」、
2 個「丙」的直線排列數
6!
2!2!2!
。將
護士編號為 1 ～ 6 ，則其中一種排法
「丙甲乙甲丙乙」表示 2 號及 4 號護士
到甲醫院， 3號及 6 號護士到乙醫院，
1號及 5號護士到丙醫院。

15. 106
（ ）1. 空間中有 5個點，其中任意三點不共線，則此 5個點共可決定多少條直線？ (A) 5
(B)10 (C)15 (D) 20。 【95 統測】
（ ）2. 平面上有 8 個點，且任意三點不共線，若以其中每三點為頂點畫一個三角形，則共可
畫出多少個三角形？ (A) 56 (B) 72 (C) 96 (D)120 。 【92 統測】
（ ）3. 求正二十九邊形的對角線共有幾條？ (A) 337 (B) 357 (C) 377 (D) 397 。
【102 統測】
（ ）4. 求凸九邊形的對角線共有多少條？ (A) 27 (B) 36 (C) 63 (D) 72 。 【93 統測】
（ ）5. 某校護理系招收轉學生 7 人，若分配給甲班 3 人、乙班 2 人、丙班 2 人，則共有幾種不
同的分配情形？ (A) 70 (B)105 (C)140 (D) 210 。 【94 統測】
（ ）6. 將新生 4 人平均分配到甲、乙兩班，共有幾種分法？ (A) 3 (B) 6 (C)12 (D) 24。
【95 統測】

16. 107
考情指數：★★★★重複組合
1. 1n n m
m mH C + −
= 表示自n 種不同事物中（每種至少m件）
任取m件（可重複選取同一種）為一組的方法數。
2. 1n n m
m mH C + −
= 表示 1 2 nx x x m+ + + = 的非負整數解組數。
3. 1n n m
m mH C + −
= 表示將m件相同物，任意分給n 個人，每人可兼得的方法數。
4. 1n n m
m mH C + −
= 表示多項式( )1 2
m
nx x x+ + + 展開後的項數。
將6個相同的球全部放入兩個不同顏色的箱子中，若每箱的球數不限，則共有幾種放法？
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 。 【91 統測】
解： 列出方程式
設放入兩個不同箱子的球數分別為 1x 、 2x ，則 1 2 6x x+ =
又球數不限，表 1x 、 2x 是正整數或0 （即非負整數）
利用重複組合公式
故共有 2 2 6 1 7 7
6 6 6 1 7H C C C+ −
= = = = 種放法
8 本相同的空白筆記本，分給甲乙丙三人。若規定每人至少分得一本，則有幾種分法？ (A)21
(B)30 (C)35 (D)40。 【90 統測】
解： 設法使方程式的解為非負整數
先分給每人1本
因為筆記本相同，所以分法只有1種
列出方程式
再將剩下的5 本任意分給甲、乙、丙三人
設甲、乙、丙分得的本數分別為
1x 、 2x 、 3x （不含已分得的一本）
則 1 2 3 5x x x+ + =
利用重複組合公式
有 3 3 5 1 7 7
5 5 5 2
7 6
21
2 1
H C C C+ − ×
= = = = =
×
種分法
利用乘法原理
故共有1 21 21× = 種分法
觀測站
1. 「方程式 1 2 nx x x m+ + + = 的
非負整數解組數」與「把 m 件
相同物，任意分給n 個人的方法
數」兩者觀念相同。
2. 「列出方程式」可釐清題意，
幫助解題！
觀測站
1. 「方程式 1 2 nx x x m+ + + = 的
正整數解組數」與「把m 件相
同物，分給n 個人，每人至少得
一件的方法數」，兩者觀念相
同。
2. 設法使方程式的解為非負整數
（即正整數或0 ），則可使用重
複組合公式 n
mH 。

17. 108
（ ）1. 將10 個相同的棒球全部放入 3 個不同箱子中，若每箱球數不限，則共有多少種不同放
法？ (A) 55 (B) 66 (C) 220 (D) 286 。 【94 統測】
（ ）2. 將 5 種不同的果汁，倒入 3 個相同的杯子中，每杯限倒1種，且每種果汁不限倒1個杯
子，共有幾種不同倒法？ (A)15 (B) 35 (C) 5
3 (D) 3
5 。 【97 統測】
（ ）3. 將相同的 6件物品任意分給甲、乙、丙三人且全部分完，若每人至少應有一件，則有
幾種分法？ (A)10 (B) 21 (C) 27 (D) 28。 【94 統測】
（ ）4. 方程式 11x y z   的正整數解共有多少組？ (A) 42 (B) 45 (C) 52 (D) 56 。
【93 統測】
（ ）5. 把相同的優待券 8 張，全部分給甲、乙、丙三人，若每人至少分得一張，則共有幾種
不同分法？ (A)15 (B)18 (C) 21 (D) 24。 【96 統測】
（ ）6. 新生盃歌唱比賽，決賽有三位，其名次由獲得「明日之星」獎章數多寡決定。而「明
日之星」獎章則由10 位評審依其評定頒予，每位評審只有一枚獎章，且規定獎章一定
要頒出。請問三位參賽者獲得「明日之星」獎章的數目，有多少種不同的分配情形？
(A) 30 (B) 66 (C)120 (D) 10
3 。 列出方程式 【102 統測】

18. 109
考情指數：★★★★
二項式定理
1. 對於任意正整數 n ，   1 2 2
0 1 2
n n n n n n n n n r r n n
r nx y C x C x y C x y C x y C y  
         。
(1)  
n
x y 展開共有 1n  項，按 x 降冪排列。
(2) 第 1r  項 n n r r
rC x y
稱為  
n
x y 展開式中的一般項。
(3) 當 1x y  時，得   0 1 21 1 2
n n n n n n
nC C C C       。
 
8
2x y 的展開式中， 5 3
x y 的係數為何？ (A) 56 (B)120 (C) 448 (D) 600 。 【101 統測】
解： 寫出一般項
 
8
2x y 展開式中的一般項為  8 8 8 8
2 2
rr r r r
r rC x y C x y 
  
找出特定的 r 值
令 3r  ，則 8 8 8 3 5 3
32 2r r r
rC x y C x y
    
故 5 3
x y 的係數為 8 3
3 2 56 8 448C    
若展開
6
2
2
1
x
x
 
 
 
時將同類項合併，則常數項為何？ (A)1 (B) 6 (C)15 (D) 20。
解： 寫出一般項 【97 統測】
6
2
2
1
x
x
 
 
 
展開式中的一般項為
 
66 2 6 12 2 2 6 12 4
2
1
r
r r r r
r r rC x C x x C x
x
    
  
 
找出特定的 r 值
令12 4 0 3r r   
則 6 12 4 6 0 6
3 3
r
rC x C x C
 
故常數項為 6
3 20C 
觀測站
這類考型不管題目如何變化，皆
先寫出一般項，再依題目找出特
定的 r 值，即可求出係數。
觀測站
沒有變數只有數字的項稱為常數
項，又 0
1x  ，故常數項即為 0 次
方項。舉例來說，此題之常數項
為 0
20 20 1 20x   。

19. 110
（ ）1. 求  
6
2x y 的展開式中， 2 4
x y 項之係數為何？ (A) 24 (B) 30 (C) 36 (D) 60 。
【99 統測】
（ ）2. 在  
62
2x y 的展開式中， 4 4
x y 項的係數為何？ (A) 240 (B) 260 (C) 280 (D) 300 。
【94 統測】
（ ）3. 若  
10
10 10 10
0
k k
k
k
x y C x y 

   ， 則 10 10 10 10
0 1 2 10C C C C     (A) 512 (B) 1024 (C) 2048
(D) 4096 。 【95 統測】
（ ）4. 試求 10 10 10
1 2 10C C C    (A) 511 (B) 512 (C)1023 (D)1024。 【98 統測】
10 10 10 10 10
0 1 2 10 2C C C C    
（ ）5. 求
30
3 1
x
x
 
 
 
的展開式中， 82
x 項的係數為何？ (A) 315 (B) 385 (C) 435 (D) 495 。
【93 統測】
（ ）6. 已知 a 、 b 、 c 、 d 為整數，若
8
2
2 3
3 4x y
 
 
 
展開式中， 2 12
x y 
項的係數為 2 3 5 7a b c d
，則
a b c d   之值為何？ (A) 11 (B) 5 (C)1 (D)10 。 【101 統測】