1. 实验九 用 Mathematica 软件求函数偏导数与多元函数的极值
实验目的:
掌握用 Mathematica 软件求函数偏导数与全微分、多元函数的极值的语句和
方法。
实验过程与要求:
教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。
实验的内容:
一、求偏导数
在 Mathematica 系统中与求一元函数导数类似用 D 函数求函数 f 的偏导数，
基本格式为：
D[f,{变量,n}] 给出对变量的 n 阶偏导数.
D[f,变量 1,变量 2，…] 给出高阶混合偏导数.
实验 求 z = sin x + x cos y 的两个一阶偏导数和四个二阶偏导数.
解 In[1]:=Clear[x,y]
In[2]:=f[x_,y_]:=Sin[x]+x*Cos[y]
In[3]:=D[f[x,y],x]
In[4]:=D[f[x,y],y]
In[5]:=D[f[x,y],{x,2}]
In[6]:=D[f[x,y],{y,2}]
In[7]:=D[f[x,y],x,y]
In[8]:=D[f[x,y],y,x]
Out[3]=
Out[4]=
Out[5]=
Out[6]=
Out[7]=
Out[8]=
二、求全微分
在 Mathematica 系统中与求一元函数微分类似用 Dt 函数求函数 f 的全微分，
基本格式为：
Dt[f]
3 3
实验 求函数 z = x + y − xy + 9 x − 6 y + 20 的全微分.
解 In[9]:=Dt[x^3+y^3-x*y+9x-6y+20]
Out[9]=

2. 三、求多元函数的极值
在 Mathematica 系统中与求一元函数极小值类似用 FindMinimum 函数求
多变量函数 f 的极小值，基本格式为：
FindMinimum [f,{x,x0}，{y, y0},…]
其中{ x0，y0，…}为初始值，表示求出的是 f 在（x0，y0，…）附近的
极小值.因此，一般需借助于 Plot3D 函数先作出函数的图象，由图象确定初始
值，再利用 FindMinimum 求出 f 在（x0，y0，…）附近的极小值.
仍用 FindMinimum 函数求函数的极大值，基本格式为：
FindMinimum [-f,{x,x0}，{y, y0},…]
其中{ x0，y0，…}为初始值，表示求出的是-f 在（ x0，y0，…）附近的
极小值，设为 W，实际上间接地求出了 f 在（x0，y0，…）附近的极大值，为 -
W.
2 2
实验 求函数 z = x + y − xy + 9 x − 6 y + 20 的极值.
解 In[10]:=Clear[f,x,y]
In[11]:=FindMinimum[x^2+y^2+9*x-x*y-6y+20,{x,-4},{y,-4}]
In[12]:=Plot3D[x^2+y^2+9*x-x*y-6y+20,{x,-4,5},{y,-4,5}]
Out[11]=
表示 z 在 x=-4,y=1 处取得极小值-1
该函数无极大值.
图形如图
150
100
4
50
0 2
-4
0
-2
0 -2
2
4 -4
实验
1.求下列函数的偏导数：
(1) z = e xy + yx 2 (2) z = x −
2.求下列函数的全微分：y
2 2
3.求二元函数的极值：
x+ y x
(3) z = 2 2
(1) z = e x − 2 y (4) z = ( x − y ) ln( x + y ) (1))zz ==（x − y ) − x 2 − y 2
(2 4
x− y y
(2) z = x3 − y 3 + 3x 2 + 3 y 2 − 9 x
(3) z = arcsin( xy ) ( 4) z = ( x 2 + y 2 ) ln( x + y )