1. §2−2 空 間 坐 標 與 空 間 向 量
(甲)空間坐標的引入
z
P(a,b,c)
y
Q(a,b)
O x
L
~2−2−1~

2. (1) 建 立 空 間 坐 標 系 ：
y
x
O
在空間中的一個平面 E 上，建立一個直角坐標系，以 O 為原點，兩軸是 x 軸與 y
軸，則平面上每一點都有一個實數對 (x,y)做為坐標。但在不在這個平面上的點如
何 描 述 呢 ？
不在此平面上的點 P 必在平面 E 的上方或下方，所以對於空間中一點 P 做一直
線 L 垂直 E 於 Q，假設 Q 點的坐標為(a,b)，再將 L 以 Q 為原點坐標化，設 P 點在
數線 L 上的坐標為 c，則 a,b,c 三數可以清楚的定出 P 點的空間位置。為了避免過 P
z
點且垂直平面 E 的 L 隨 P 點不同兒平行變動，所以固定過原點 O 做一數線垂直平
C(0,0,c)
面 E ， 並 稱 之 為 zP(a,b,c) 軸 。
(2) 空 間 坐 標 系 ：
B(0,b,0)
O
A(a,0,0) y
Q(a,b,0)
x
[ 名 詞 解 釋 ] ：
x 軸、y 軸再加上 z 軸就成為一個空 間 坐 標 系 ，這三個軸稱為坐 標 軸 。它們兩兩互
相垂直，且交會於同一點，即原 點 O，x 軸 與 y 軸 所 決 定 的 平 面 稱 為 xy 平 面 ，
同 理 亦 有 yz 平 面 、 zx 平 面 ， 這 三 個 平 面 稱 為 坐 標 平 面 。
[ 如 何 決 定 坐 標 ] ：
P 為空間中一點，若過一點 P 做一直線 L 垂直 xy 平面，設交點為 Q，Q 點在 xy 平
面的坐標為(a,b)，再考慮 P 點在 z 軸上的投影點 C，設 C 點在 z 軸上的直線坐標
為 c ， 則 將 P 點 的 坐 標 記 為 (a,b,c) ， 其 中 a,b,c 分 別 為 P 點 的 x,y,z 的 坐 標 。
~2−2−2~

3. [ 討 論 ] ：
(a)若 Q 對 x,y 軸的投影點為 A、B 點，請問 P 點對於 x,y 軸的投影點會不會是 A、
B 點 呢 ？
(b) 這 樣 定 義 的 P 點 坐 標 會 不 會 z
是 唯 一 呢 ？
P
(3) 空 間 中 的 距 離 公 式 ：
設 P(x 1 ,y 1 ,z 1 ) 、 Q(x 2 ,y 2 ,z 2 ) 為 空 間 中 兩 點 ，
則= ( x1 − x 2 ) + ( y1 − y 2 ) + ( z1 − z 2 ) 。
2 2 2
[ 證 明 ] ： 如 圖 ， O R(x 1 ,y 1 ,z 2 ) 、
2 2 2 R y
=+
⇒= ( x1 − x 2 ) + ( y1 − y 2 ) + ( z1 − z 2 ) 。
2 2 2
x
Q
(4)投影與對稱點：
(a) 點 P 在 各 坐 標 平 面 與 各 坐 標 軸 的 投 影 點 ：
點 P(x,y,z) 對 yz 平 面 之 投 影 點 為 (0,y,z) 。
點 P(x,y,z) 對 zx 平 面 之 投 影 點 為 (x,0,z) 。
點 P(x,y,z) 對 xy 平 面 之 投 影 點 為 (x,y,0) 。
點 P(x,y,z) 對 x 軸 之 投 影 點 為 (x,0,0) 。
點 P(x,y,z) 對 y 軸 之 投 影 點 為 (0,y,0) 。
點 P(x,y,z) 對 z 軸 之 投 影 點 為 (0,0,z) 。
(b) 點 P 對 於 各 坐 標 平 面 與 各 坐 標 軸 的 對 稱 點 ：
~2−2−3~

4. 點 P(x,y,z) 關 於 yz 平 面 之 對 稱 點 為 (−x,y,z) 。
點 P(x,y,z) 關 於 zx 平 面 之 對 稱 點 為 (x,−y,z) 。
點 P(x,y,z) 關 於 xy 平 面 之 對 稱 點 為 (x,y,−z) 。
點 P(x,y,z) 關 於 x 軸 之 對 稱 點 為 (x,−y,−z) 。
點 P(x,y,z) 關 於 y 軸 之 對 稱 點 為 (−x,y,−z) 。
點 P(x,y,z) 關 於 z 軸 之 對 稱 點 為 (−x,−y,z) 。
結 論 ：
(a)點 P 與其對於各坐標平面與各坐標軸的對稱點的中點為點 P 在各坐標平面與
各 坐 標 軸 的 投 影 點 。
(b)點 P 與其在各坐標平面與各坐標軸的投影點之距離為點 P 到各坐標平面與各
坐 標 軸 的 距 離 。
1. 如右圖，有一邊長為 1 的正立方體，今置頂點 A 於空間坐標系中之原點
(0,0,0)，頂點 B 於正 z 軸上，則頂點 C 之 z 坐標為 。
Ans：(0,0,) (88 自)
B
C
A
2. 已知一正四面體，其中三頂點坐標分別為(0,0,0)，(2,0,0)及(1,1,)則另
一點之坐標為 或 。Ans：(1,−1,)、(1,,) (80 自)
~2−2−4~

5. 3. 空間中線段在 xy 平面、 yz 平面及 zx 平面上的投影長，分別為 2、
、 32，則長
度為何？Ans：
1. 設 點 P(−3,14) ， 則 點 P 到 yz 平 面 的 距 離 為 ，
點 P 到 x 軸的距離為 。 Ans：3，
2. ∆ABC 之三頂點坐標為 A(4,2,4)、B(−2,−1,6)、C(1,4,−2)，則，ABC
為
(A)等腰三角形 (B)正三角形 (C)銳角三角形 (D)直角三角形 (E)鈍角
三角形。 Ans：(A)(D)
3. 在第一卦限內有一點 P，P 到 x 軸、 軸、 軸的距離依次為、 ，則 P
y z 5、
點的坐標為 ；若不限制 P 點在第一卦限內，則符合題意的之 P
點 共 有 個 。
Ans：P(3,1,4)，8
4. 線段在 xy 平面、yz 平面及 zx 平面上的投影長，分別為、5、，則長度
為 何 ？ Ans ：
~2−2−5~

6. ( 乙 ) 空 間 向 量 的 坐 標 表 示 法
(1) 空 間 向 量 的 坐 標 表 示 ：
仿照平面坐標系中向量的表示法，在空間坐標系中，向量也可以用坐標表示。
空間中兩點 A(a 1 ,a 2 ,a 3 )、B(b 1 ,b 2 ,b 3 )，將向量的起點 A 移至原點 O，B 點移至 P 點，
此 時 P 點 的 坐 標 為 (b 1 -a 1 ,b 2 −a 2 ,b 3 −a 3 )
z ，
B(b1,b2,b3)
我 們 以 (b 1 -a 1 ,b 2 −a 2 ,b 3 −a 3 ) 表 示 ，
P
即 =(b 1 -a 1 ,b 2 −a 2 ,b 3 −a 3 ) 。
(2) 加 法 、 減 法 與 係 數 積 ：
設 =(a 1 ,a 2 ,a 3 ) ， =(bA(a1,a2,a3)
1 ,b 2 ,b 3 ) ， 則
O y
(a)+=(a 1 +b 1 ， a 2 +b 2 ， a3+ b3)
(b)−=(a 1 −b 1 ， a 2 −b 2 ， x
a 3 −b 3 )
(c)r⋅=(ra 1 ,ra 2 ,ra 3 ) ， r∈R
(d)兩向量平行// ⇔ (a 1 ,a 2 ,a 3 )=t(b 1 ,b 2 ,b 3 )。
(3)空間坐標內積的坐標表示：
若 =(a 1 ,a 2 ,a 3 ),=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) ， 則 ， =||||cosθ =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3
z
[ 證 明 B] ：
設 =(a 1 ,a 2 ,a 3 ) 和 =(b 1 ,b 2 ,b 3 ) 為 任 意 兩 個 向 量
A ，
且 兩 向 量 的 夾 角 為 且 ，
因 為 += ， =−=(a 1 −b 1 ， a 2 −b 2 )
|| =|−| =|| +|| 2 −2⋅
2
O
2 2
y
根 據 前 面 的 定 義 ，
⋅=||||cosθ=(|| +|| −
2 2
x || 2 )
=[(a 1 +a 2 +a 3 )+(b 1 +b 2 +b 3 )−[(a 1 −b 1 ) +(a 2 −b 2 ) +(a 3 −b 3 ) 2 ]]
2 2 2 2 2 2 2 2
=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3
~2−2−6~

7. (4) 內 積 的 性 質
(a) 若 都 不 是 零 向 量 ， 則 .⊥⇔ ⋅=0 。
(b)|| 2 =⋅ ，
(c)|m+n| 2 =|m| 2 +2mn⋅+|n| 2
(d)(r⋅)=⋅(r⋅)=r(⋅)
(e)⋅(+)=⋅+⋅
(5) 內 積 的 應 用 ： =(a 1 ,a 2 ,a 3 ) 、 =(b 1 ,b 2 ,b 3 )
(a) 求 夾 角 ： cosθ ==
(b) 求 面 積 ： 設 ， 為
的 兩 向 量 ， 非 平 行
1  2  2   2
則 由 與 所 張 成 的 三 角 形 面 積 為 2 | a | | b | − | a ⋅b | 。
(c) 求 正 射 影 ： 對 的 正 射 影 為 ()
(d) 柯 西 不 等 式 ：
向 量 形 式 ： 設 , 為 平 面 上 任 意 二 向 量 ， 則 |⋅|≤|||| ，
等 號 成 立 //
證 明 ： 因 為 證 =||||cosθ ， ， 為 其 夾 角 ， |cosθ|≤1
所 以 |⋅|=|||||cosθ| ≤ ||||
等 號 成 立 |cosθ|=1 ⇔ θ=0 或 或 //
一 般 形 式 ： a 1 ,a 2 ,a 3 ,b 1 ,b 2 ,b 3 為 任 意 六 個 實 數 ，
則 (a 1 2 +a 2 2 +a 3 2 )(b 1 2 +b 2 2 +b 3 2 )≥(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) 2 ，
等 號 成 立 等 (a 1 ,a 2 )=t(b 1 ,b 2 )
證 明 ： 可 設 =(a 1 ,a 2 ,a 3 ) ， =(b 1 ,b 2 ,b 3 ) ， 因 為 || 2 || 2 ≥|⋅| 2
所 以 (a 1 2 +a 2 2 +a 3 2 )(b 1 2 +b 2 2 +b 3 2 )≥(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) 2 。
等 號 成 立 // ⇔ (a 1 ,a 2 ,a 3 )=t(b 1 ,b 2 ,b 3 ) 。
4. 空間中 A(a,b,3)、B(2,1,1)、C(0,3,5)三點共線，求數對(a,b)=？
Ans：(1,2)
~2−2−7~

8. 5. 設 A(4,1,3)、B(6,3,4)、C(4,5,6)，在上有一點 P，
使得使ABD：：ACD=3：5，請問 P 點的坐標為何？Ans：P(,,)
6. 右圖為長方體 ABCD−EFGH 中，=4，=2，=3，則
(1)⋅=？ (2)直線 AG、BH 的銳交角(3)∆FAC 的面積=？
Ans：(1)16 (2)cos−1(3)
H
[非坐標化]： G
E
F
D
C
A B
[坐標化]
z
H G
E
F
D
C
y
A B
x
~2−2−8~

9. 7. 在坐標平面上，A(150,200)、B(146,203)、C(−4,3)、O(0,0)，則下列敘述何者
為真？
(A)四邊形 ABCO 是一個平行四邊形。
(B)四邊形 ABCO 是一個長方形。
(C)四邊形 ABCO 的兩對角線互相垂直。
(D)四邊形 ABCO 的對角線長度大於 251。
(E)四邊形 ABCO 的面積為 1250。 Ans：(A)(B)(E) (90 學科)
8. 設 A(2,−1,1)、B(1,−3,5)，C(3，，4,−4),則
(1)∆ABC 的面積為何？ (2)A 點到 BC 直線的距離。
Ans：(1)⋅ (2)
9. 空間中有三點 A(1,0,1)、B(3,−1,2)、C(0,1,−1)
(1)向量在上的正射影為何？
(2)求向量在上的正射影長度？
(3)求點 B 在直線 AC 上的投影點坐標？
Ans：(1)(,,) (2) (3)(,,)
~2−2−9~

10. 10. 空間中，兩向量=(1,2,3)、=(x,y,z)，已知 x2+y2+z2=56，則，的最大值為何？
此時=？ Ans：28，(2,4,6)
11. 設 x,y,z 為實數，且 x2+y2+z2=9，求 2x+2y−z 之
(1)最小值= ，此時(x,y,z)= 。
(2)最大值= ，此時(x,y,z)= 。
Ans：(1)−9，(−2,−2,1) (2)9，(2,2,−1)
5. 設 =(2,1,3) ， =(1,0,2) ， =+t( t ∈ R) 則 t=_____ 時 ， || 有 最 小 為 何 ？
Ans：Ans：t=，|w|的最小值為
6. 設 A(4,1,3) ， B(6,3,4) ， C(4,5,6) ， 在 △ ABC 中 ， 若 ：
(1)∠A 之 內 角 平 分 線 交 於 D ， 則 D 點 之 坐 標 為 _________ 。
(2)∠A 之 外 角 平 分 線 交 BC 於 E ， 則 E 點 之 坐 標 為 _________ 。
G F
Ans：(1)D(,,) (2)E(,9,0,1)
D E
7. 如 右 圖 ， 立 方 體 ABCODEFG ，
=1 ， =3 ， =2 ， 與 之 夾O 角 為 ， ，
C
試求 sinθ。Ans：sinθ= A B
8. 如 右 圖 ， ABCD 為 正 立 方 體 的 一 個 面 ， P 、 Q
B
分 別 為 、 的 中 點 ， O 為 正 立 方 A體 的O 中 心 ，
P
則 cos(∠POQ)= ？ Ans ： (90 大 學 自 )
C
Q
D
~2−2−10~

11. 9. 設 P(6,−4,4)、Q(2,1,2)、R(3,−1,4)，求 P 點到直線 QR 之最短距離。
Ans：3
10. 若空間中三點 A(−1,3,2)、B(1,0,2)、C(k+3m,1,2k−m)共線，求實數
k,m H 。 G
Ans：k=，m= E(1,-3,2)
F
11. 如 圖 ， 每 一 個 面 皆 為 平 行 四 邊 形 的 六 面 體 ，C
D(−1,1,−1)
稱 為 平 行 六 面 體 ， 求 G 點 的 坐 標 。
A(0,0,0) B(2,1,3)
Ans：G(2,−1,4)
12. 設 =(1,−1,2) 、 =(4,−5,3) 為 空 間 中 兩 向 量 ， 請 求
(1) 與 之 夾 角 。 (b) 在 上 的 正 射 影 。
Ans：(1) (2)(4,−5,3)
13. 空 間 中 有 三 點 P(6.-4,6) ， Q(2,1,2) ， R(3,-1,4) ， 求
(1) ∆PQR 的 面 積 = (2)P 點 到 直 線 QR 的 距 離 =
(3) 求 在 方 向 上 的 正 射 影 為 。
Ans：(1) (2) (3)(−3,3,−2)
14. 設 A(1,2,3) ， B(2,1,2) ， C(−1,3,4) ， A 在 直 線 BC 上 之 投 影 為 P ，
若=t，則 t=______。Ans：t=
15. 設 =(5,4,3) 、 =(x,y,z) 且 且 =14 ， 求 || 的 最 小 值 。
Ans：2
16. 設 x,y,z ∈ R ， (1) 若 3x+2y+4z=7 ， 求 x 2 +y 2 +z 2 的 最 小 值 。
(2) 若 3x 2 +y 2 +2z 2 =6 ， 求 x+2y+3z 的 最 大 值 與 最 小 值 。
Ans：(1) (2)，，
~2−2−11~

12. (丙)方向餘弦
(1) 方 向 角 ：
設=(a,b,c)為一向量，若從 x 軸、 軸、 軸的正方向到的有向角分別為軸、
y z 、、、，
其 中 0≤α 、 、 、 、 α 正 ， 則 稱 ， 、 、 、 、 為 的 方 向 角 。
z
A(a,b,c)
γ
β
O
α y
(2) 方 向 x 餘 弦 ：
若若、、、、為的方向角，則稱 cosα=，cosβ=，cosγ=三數為向量的方向餘弦。
根 據 方 向 餘 弦 的 定 義 =(a,b,c)=( cosα, cosβ, cosγ)
換 句 話 說 ： 設 的 長 度 為 l ， 方 向 角 為 ， 、 、 、 、 ， 則 =l(cosα,cosβ,cosγ) 。
因 為 =l(cosα,cosβ,cosγ) ⇒|| 2 =l 2 (cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ)=l 2
⇒ cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=1
例 如 ： =(1,−2,5) ， 則 的 方 向 餘 弦 為 (,,) ，
且 =(,,) 。
結 論 ：
(a) 三 個 角 三 、 、 、 、 形 成 某 一 個 向 量 的 方 向 角 形 0≤α 、 、 、 、 α 某 且
cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=1
(b) cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=1
12. 設 A(0,−3,1)、B(4,1,t)，若之方向角為、，、、，求 t 及及。
Ans：t=1+4，，=或 t=1−4，，=
~2−2−12~

13. 13. 空間中的方向角為空、、、、，且 0<α、、、、<π
(1)sin2α+sin2β+sin2γ=？
(2)求++之最小值？
Ans：(1)2 (2)18
17. (1) 設 一 向 量 ， 且 ||=10 ， 其 方 向 角 為 、 、 ， 求 = ？
(2) 若 的 始 點 坐 標 為 (0,1,−1) ， 請 問 的 終 點 坐 標 為 何 ？
Ans：(1)(5,5,5) (2)(5,5+1,4)
18. 空 間 中 的 方 向 角 為 空 、 、 、 、 ， 且 0<α 、 、 、 、 <π ，
(1) 求 cosα+2cosβ−2cosγ 的 最 大 值 與 最 小 值 。
(2)4csc 2 α+9csc 2 β+16csc 2 γ 的 最 小 值 。
Ans：(1)3,−3 (2)
19. 空間中的方向角為空、、、、，證明：cos2α+cos2β+cos2γ=−1。
~2−2−13~

14. 綜合練習
(1) 設(,2,0)，(−,2,0),( −,−2,0),(,−2,0)為一正立方體的四個頂點，則下列那些點也為
此正立方體的頂點？(A)(,0,2) (B)(0,2,) (C)(,2,4) (D)(,2,2) (E)(−,0,−2)
(2) 如左下圖，有一個長方體的長、寬、高分別為 3,4,5，
考慮一個空間坐標系，以 A 為原點(0,0,0)，
B 點置於正 z 軸上，則頂點 C 之 z 坐標為 。
z
z
B D
C
C
A(1,0,3) B y
5
O
3 H G(−3,3,−4)
4 A E F
x
(3) 如右上圖，長方體 ABCD−EFGH，已知 A(1,0,3)、G(−3,3,−4)，求
(a)點 F 的坐標為 。(b)點 A 到 xy 平面的距離= 。
(c)點 G 對 z 軸的對稱點坐標為 。
(4) 在空間坐標中，設 xy 平面為一鏡面，有一光線通過點 P(1,2,1)，射向鏡面上的
點 O(0,0,0)，經鏡面反射後通過點 R，若=2，則 R 點的坐標為？
D C
(5) 右圖是邊長為 1 之正立方體，則下列敘述何者為真？
(A)•=1(B)•=1
(C)•=0(D)•=2 A
B
(E)•=1
H
G
(6) 右圖為一正立方體，試問下列何者為真？ A D
E F
(A)•=0 (B)•=0
B C
(C)+= (D)•=0
(E)++=
E
H
F G
~2−2−14~

15. (7) 右圖是一個正立方體，被平面截出一個四邊形 ABCD，
其中 B、D 分別是稜的中點，且： = 1：2。 E
D
則 cos∠DAB= 。 (91 學科) A
F C
B
(8) 如右圖，ABCD-EFGH 為一平行六面體，
K 為四邊形 BCGF 的中心， H
G
如果=a⋅+b⋅+c⋅， E
F K
試問下列哪些選項是正確的？ D
1 2 C
(1) < b < (2) a + b + c = 2 (3) a = 1 A
3 3 B
(4) a = 2c (5) a = b (92 學科)
(9) 於 xyz 空間中有三點 A(1,2,3)，B(−1,0,1)，C(0,−1,2)，
令令ABC=θ，則：(a)cosθ=____(b)sinθ=____(c)點 A 到直線 BC 的距離。
(10) 已知=(1,3,−2)、=(2,−1,3)，且 p+q=1，若|p+q|有最小值 m，請求出 m 的值，並
問此時(p,q)=？
(11) 設 P 為為ABC 內部一點，且滿足內APB：：BPC：：CPA=3：4：5
且=x+y，求(x,y)=？
(12) 承上題，若 A(−2,0,6)、B(0,4,3)、C(3,5,7)，求 P 點坐標。
(13) 設 x,y,z 為實數，若++=2，求 x−y+z+2 的最大值為何？
此時(x,y,z)=？
(14) 設 a,b,c 為正數，且++=3，求 a+b+c 之最小值。
(15) 空間中，O(0,0,0)，令=，=，=，若、、兩兩互相垂直 ，
試證：試ABC 的面積為
進階問題
(16) 設=(−2,2,1)，=(−1,1,0)且=+t⋅，t 為實數
，若射線 OC 平分平AOB，則 t= 。
~2−2−15~

16. (17) 一三角形之三邊長分別為 4,5,6，三角形內一點到各邊之距離分別為 x,y,z，試
求 x2+y2+z2 之極小值。
(18) 設 a,b 為實數，求 a2+b2+(2a−3b−2)2 之最小值為何？此時(a,b)=？
綜合練習解答
(1) (A)(E)[提示：因為 A(,2,0)，B(−,2,0),C( −,−2,0),D(,−2,0)均在 xy 平面上，且=，
其他四個頂點落在同一平面上，即為 yz 平面。]
(2) (3) (a)(1,3,−4) (b)3 (c)(3,−3,−4) (4) (−2,−4,2) (5) (A)(B)(C)
(6) (A)(B)(C)(E) (7) (8) (1)(2)(3)(4) (9) (a)cosθ=(b)sinθ=(c)
(10) m=，(,) (11) (,)[提示：設 P 為為ABC 內部一點，若內PAB：：PBC：
：PCA=n：l：m 則 l+m+n=。] (12) (,,5) (13) 16，(,,7)
[提示：[++][3 2 +(−4) 2 +5 2 ]≥[()⋅3+()⋅(−4)+()⋅5] 2 ]
(14) 27[提示：(a+b+c)( ++)≥(1+2+6) 2 ] (15)提示：利用三角形面積的向量公式：，
且且=⋅=⋅=0，而|| 2 =|−| 2 =|| 2 +|| 2 ，同理|| 2 =|| 2 +|| 2 ，，=|| 2 ，代入公式計算即可得]
(16) [提示：=(−2−t,2+t,1)，設、的夾角，，與的夾角，，
利用 cosα=cosβ⇒t=] (17)
(18) ，(,)[提示：[a 2 +b 2 +(2a−3b−2) 2 ][(−2) 2 +3 2 +1 2 ]≥[−2a+3b+(2a−3b−2)] 2 =4，等號
成立 = = =k ⇒a=−2k，b=3k，代入 2a−3b−2=k⇒k=]
~2−2−16~