福建省福州大学2019年暑假物理竞赛夏令营-物理奥赛进阶之路：0-1+微积分初步+40张ppt.pptx

1. Fuzhou
university
微积分初步
P h y s i c s O l y m p i a d
物理奥赛训练营
物理奥赛进阶之路

2. 要获得更好的成绩，需要掌握的数学知识也会更多
省三：600
省二：150
省一：40多
省队：6
国家集训队：50（全国）

3. 只学高中数学能到什么程度？
在保证物理知识足够的情况，只要完
全掌握高中数学必修和选修中的微积
分部分，有可能突破至省二奖项，甚
至到省一。

4. 确保省一、省队需要掌握多少数学知识？
省一：《高等数学》的单元函数微积分章节
省队：矢量微分、偏导数等内容。

5. 国家集训队的数学是什么水平？
预赛→省队：几万进6
省队→国集：360进50
国集和省队之间的差距，就像预赛到省队的差距。
定位国集：《数学物理方法》——本科物理专业学生都闻风丧
胆，被很多人称为“大学最难的一门课”，其中包含了柯西、
拉普拉斯等变态的知识点，进一步学习“四大力学”的数学上
的标配。

6. 竞争激烈程度
按照省队的人数，份激烈程度分为3类：
（1）激烈程度高：省队人数15人以上
（2）激烈程度中：省队人数9-15人
（3）激烈程度低：省队人数4-8人

7. 微积分能解决什么问题？
《抱着银貂的女子》
——达芬奇
项链应该怎么画它自然下
垂的样子呢？它垂下来应
该是怎么一条曲线呢？
 悬链线问题：两根电线杆之间接着一根电线，如果这
根电线足够柔软，它略微下垂的样子满足什么规律呢？
 时间最短问题： 什么形状的滑梯使得小球从滑梯的顶
部到底部，才能使小球花费的时间最少呢？
达芬奇提出问题的100年，伽利略猜测：悬链线是
一条开口朝上的抛物线.
1646年，（伽利略猜测后8年）惠更斯（17岁）证
明伽利略是错的。莱布尼茨出生了，牛顿3岁，随后，
微积分应运而生，问题的解决不远了。

8. 伯努利兄弟
伯努利家族有超过100个人从事和科学或文化
有关的研究工作，从而留下姓名.
哥哥：雅克布·伯努利，弟弟：约翰·伯努利（小13岁）
狂傲的弟弟不愿意再跟哥哥手下学数学，上了大学之后，就转而拜
莱布尼茨为老师
哥哥研究悬链线问题1年没什么进展，把问题作为有奖的悬赏发布出来。
三封正确来信：莱布尼茨、惠更斯（62岁）、弟弟。
晚上吃饭的时候弟弟故意来问哥哥，说信收到了吗？哥哥没说话，只是默
默地点了点头，弟弟就故意感叹到说，真是个难题，花了我整整一天一夜
才得到了答案。

9. 目
录
CONTENTS
1 函数
2 极限
3 导数
4 微分
5 积分
6 常用公式
目的：帮助读者初步
掌握微积分及其简单
应用，不要求内容的
完整和推导的严谨.

10. 1 函 数

11. 函数：两个相互联系的变量x和y，如果每当变量x取定某个数值后，
按照一定的规律就可以确定y的对应值，就称y是x的函数，记作
函数
 
y f x

   
y x f g x
  
   
因变量 自变量
函数符号
复合函数：若y为z的函数，𝑦 = 𝑓 𝑧 ，而z又是变量x的函数，𝑧 = 𝑔 𝑥 ，
则y为x的复合函数，记作
例，简谐振动𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡，y是t的复合函数，𝜔𝑡为中间变量。
例：y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y=e2x
例：y=sin(ax2+bx+c), y=esin(2x+3)

12. 2 极 限

13. 极限
当自变量x无限趋近某一数值 （记作𝑥 → 𝑥0）时，函数𝑓 𝑥 的数值无限趋近
某一确定的数值a，则a叫做𝑥 → 𝑥0时函数𝑓 𝑥 的极限值，记作
 
0
lim
x x
f x a


 
2
0
lim 1 1
x
x

 
  
 
2
1 1 1
1 1
1
lim lim lim 1 2
1 1
x x x
x x
x
x
x x
  
 

   
 
例1. 函数𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥2，求：𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑓 𝑥 =?
例2. 函数𝑦 =
𝑥2−1
𝑥−1
，当𝑥 → 1时，函数的极限是否存在？
函数没有定义的，
极限也可能存在.

14. 3 导 数

15. 导数
   
0 0
f x x f x
y
x x
  


 
 
   
0 0
0 0
lim lim
x x
f x x f x
y
y f x
x x
   
  

 
  
 
函数𝑦 = 𝑓 𝑥 在𝑥 = 𝑥0处有增量𝛥𝑥，函数y的增量𝛥𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝛥𝑥 −
𝑓 𝑥0 ，其增量之比为
是函数在𝑥 = 𝑥0到𝑥 = 𝑥0+𝛥𝑥这一区间内的平均变化率，它在𝛥𝑥 → 0的极
限值叫做函数𝑦 = 𝑓 𝑥 对x的导数或微商，记作𝑦′或𝑓′ 𝑥
导数还常常写作
d𝑦
d𝑥
，
d𝑓
d𝑥
，
d
d𝑥
𝑓(𝑥) 等其他形式。可以将d理解为无
穷小的𝛥.

16. 导数与增量之比不同，它代表函数在某一点的变化率.
   
0 0
f x x f x
y
x x
  


 
表示割线PQ的斜率.
当𝛥𝑥 → 0时，导数表示P点切线的斜率。
例3 求函数𝑦 = 𝐶的导数，C为常数.
0
d
lim 0
d x
y C C
y
x x
 

   


17.  
 
 
2 2
0
2
0
0
lim
2
lim
lim 2 2
x
x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
 
 
 
  


  


   
   
0
d
lim
d x
y x x y x
y
y
x x
 
  
  

例4 求函数𝑦 = 𝑥2的导数.

18. 基本函数导数公式
2 2
1
2 1
2 1
1
1
2
1
( ) 0,( )
(tan ) sec (cot ) csc
(log ) ( ln )
( ) ln
(arcsin ) ( 1 ) ,( 1 1)
(arccos ) ( 1 ) ,( 1 1)
(arctan ) (1 )
( )
(sin ) cos (cos ) sin
(ln )
( )
(a
a
x x
n n
x x
x nx
x x x x
x x
c c
x x x x
x x a
a a a
x x x
x x
e e
x
x x






 
 
  
 
 
     
     
 
 
  
 
  



为常数
2 1
rccot ) (1 )
x x 
   
16个基本公式，5
个常用公式（3组）

19. 导数的运算法则
 法则一 函数和之导数    
d d d
d d d
u v
u x v x
x x x
 
  
 
       
d d d
d d d
u v
u x v x v x u x
x x x
   
 
 
d d d
d d d
u v
u v x
x v x
   
 
 
  2
d d
d d d
d
u v
v u
u x x x
x v x v

 

 
 
 法则二 函数积之导数
 法则三 函数商之导数
 法则四 复合函数之导数

20. 2
2 2
d d d
0 2 2
d d d
y a x
x a x a x ax
x x x
      
例5 求𝑦 = 𝑎𝑥2
（a为常量）的导数.
   
d d d
sin sin
d d d
y u v
v a a ax b
x v x
       
例6 求𝑦 = cos 𝑎𝑥 + 𝑏 （a，b为常量）的导数。
【解】令𝑣 = 𝑎𝑥 + 𝑏，𝑦 = 𝑢 𝑣 ，则

21. 例1：求 y = x3 ln x 的导数
解 2 3 2
1
3 ln (3ln 1)
y x x x x x
x
    
例2 求 y = sin x / x 的导数
解 2 2
cos sin cos sin
x x x x x
y
x x x
 
   
解 设 y = u2, u=sin x
例3 求 y = sin2 x 的导数
2 cos 2sin cos sin2
dy dy du
u x x x x
dx du dx
   

22. 二阶导数与高阶导数
前述函数的导数是 y 对 x 的一阶导数，若将一阶导数𝑦′再次对 x
求导，则为二阶导数：
2
2
d d d
( )
d d d
y y
y f x
x x x
 
 
  
 
 
同理，将二阶导再对x 求导则为三阶导，三阶导的导数则为
四阶导等。
6
6
6
3 2






 x
y
x
x
y
例 求 y = x3+3x2 的二阶导数

23. 导数的应用: (1)判断极值条件
𝑥1 𝑥2 𝑥3 x
y
若函数 y =f (x) 在某一点 x1 的函数值 f (x1)
比邻近各点的函数值都大或都小，则称𝑥1为
一个极值点， f (x1) 为函数的一个极值。图
中𝑥1和𝑥3为极大值点， 𝑥2为极小值点， f (x1)
和f (x3) 为极大值， f (x2) 为极小值。
极值点处的切线一定是水平的，因而极值点的判定条件是：
𝑓′ 𝑥 = 0.
极大值点的条件是： 𝑓′ 𝑥 = 0， )
𝑓″(𝑥 < 0;
极小值点的条件是： 𝑓′
𝑥 = 0 ， )
𝑓″
(𝑥 > 0 .

24. 【例0-2】求函数 y = 4x3- 3x2+5 的极值点和极值
【解】
2
12 6
y x x
  
   
1 2
6 0, 6 0
y x y x
 
    
令：𝑦′ = 0 得 1 2
0, 1/ 2
x x
  两个极值点
 𝑥1 = 0 是极大值点，对应的极大值为𝑦 𝑥1 = 5；
 𝑥2 = 1 2 是极小值点，对应的极小值为𝑦 𝑥2 =
19
4
.
24 6
y x
  

25. 【例】 一质点自倾角为α的斜面的上方 O 点，沿一光滑斜槽 OA
下降，如欲使质点到达斜面上所需的时间为最短，问斜槽 OA 与
竖直线所成之角θ 应为何值？
【解】在∆OAB中，由正弦定理可得
sin[ ( / 2 )] sin( / 2 )
OB OA
     

   
cos
cos( )
OA OB

 
 

2 2 cos
cos cos( )
t OB
g

  
 

2
1
cos
2
OA g t

 
又
要使 t 最小，分母需最大
d[cos cos( )]
0
d
  


 
 
tan tan , -
     
    



A
B
o
   
sin cos cos sin 0
     
    

26. 曲线
导数的应用: (2)求曲线的曲率半径
 
0
3/2
2
1
| |
x x
y
y






 
y f x

1 1
,
2000 2000
y x y
 
 
2
5600 700 6300N
v
N m mg

     
曲率半径
【例】 一飞机沿抛物线路径𝑦 = 𝑥2/4000做俯冲飞行，在原点O处的速
度为v = 400 m/s ,飞行员体重 70 kg，求此时飞行员对座椅的压力 .
2
v
N mg m

 
2000m
 

27. 导数的应用: (3) 已知运动学方程(位移-时间关系) 求速率
例如: 匀加速直线运动 2
0 0
1
2
x x v t at
  
  0
d
d
x
v t v at
t
  
导数的其他应用： ( )
dq
q q t i
dt
  
( ) e
e e
d
t
dt

  
  

28. 4 微 分

29. 自变量的微分，任意一个无限小的增量𝛥𝑥用𝑑𝑥表示，即
微分
一个函数𝑦 = 𝑓 𝑥 的导数𝑓′
𝑥 乘以自变量的微分𝑑𝑥，叫做函
数的微分，用𝑑𝑦 或𝑑𝑓表示，即
d x x
 
   
d d d
y f x f x x

   
d
d
y
f x
x
  ——微商
 导数写成
𝑑𝑦
𝑑𝑥
的形式 → 一个整体；
 引入微分概念之后，
𝑑𝑦
𝑑𝑥
分成“分子”、
“分母”两个部分，方便使用.
d d d
d d d
u u v
x v x
 

30. 5 积 分

31. 不定积分
如果在某个区间 I 内，有𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 ，则称 I 内𝐹 𝑥 为𝑓 𝑥 的一个原
函数。由于常数的导数为零，若𝐹 𝑥 为𝑓 𝑥 的原函数，则函数族
𝐹 𝑥 + 𝐶 （C为任意常数）
中的任一函数也是 的原函数，所以一个函数的原函数有无穷多个。.
函数𝑓 𝑥 的所有原函数的全体叫做函数𝑓 𝑥 的不定积分，记作
 d
f x x
 积分变量
被积函数

32. 定积分
 d
b
a
v t t

匀速直线运动的位移：𝑠 = 𝑣𝑡
变速直线运动，𝑣 = 𝑣 𝑡 ，求𝑡𝑎 < 𝑡 < 𝑡𝑏 内，
质点的位移.
 
i i
s v t t
  
划分为许多小区间𝛥𝑡，位移为
 
1
n
i
i
s v t t

 

总位移的近似值
 
0
1
lim
n
i
t
i
s v t t
 

 

当𝛥𝑡 → 0时，总位移变成精确值
定积分：
被积函数
上限
下限

33. 定积分计算的基本定理
如果𝐹 𝑥 是𝑓 𝑥 的原函数，即𝐹′
𝑥 = 𝑓 𝑥 ，则定积分
       
d
b b
a
a
f x x F x F b F a
  

1
2
0
sin 2 d ?
x x
 

1
0
sin 2 d ?
x x
 

1
sin 2 d cos 2
2
x x x C
 

  

 
 
1
1
2
2
0
0
1 1
sin 2 d cos 2 cos cos0
2 2
1 1
1 1
2
x x x
  
 
 
    
 
    
 

例9.
因为

34.  
1
1
0
0
1 1
sin 2 d cos 2 cos 2 cos0 0
2 2
x x x
  
 
     

  0
v t v at
 
例10.推导匀变速直线运动的路程公式.
   
0
0 0
2
0
0
2
0
d d
1
2
1
2
t t
t
s v t t v at t
v t at
v t at
  
 
 
 
 
 
 

35. 常用公式
1
d
1
b
m
b
m
a
a
x
x x
m




sin d cos
b b
a
a
x x x
 

cos d sin
b b
a
a
x x x


d
b b
x x
a
a
e x e


1
d ln
b b
a
a
x x
x


  1
a a
x ax 


 
sin cos
x x


 
cos sin
x x

 
 
x x
e e


 
1
ln x
x


1.
2.
3.
4.
5.

36. 【例】一根质量均匀分布的弹簧质量为m，长为L，
劲度系数为k，求该弹簧竖直悬挂时由于自重而引起
的伸长量。
【解】弹簧的线密度
mg
L
 
𝑥处𝑑𝑥段弹簧的伸长量为 2
d d
x mgx
L x
k kL

  

2 2
0 0 0
d d d
2
L L L
mgx mg mg
L L x x x
kL kL k

    
  
整个弹簧的伸长量
𝑥处𝑑𝑥段弹簧的劲度系数
d
L
k k
x
  ——弹簧串联

37. 【例】在密度为𝜌1 的液体上方有一悬挂的长为L，密度为𝜌2的均
匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力
的作用下下沉，若𝜌1 > 𝜌2，求：棒下落过程中的最大速度。
1 1 2
SL g SLg
 

当𝐹 = 𝑚𝑔时，棒的加速度为零，速度最大，有
F
G
1 1 2
SLg SLg
 

x
o
S
2
1
1
L L


 
2 1 2
d
d
v
SLg Sxg SL
t
  
 
(1)式为
d
d
v
mg F m
t
 
【解】 (1)

38. F
G
1
L
x
o
S
d d
d d
d d
d d
v x
v
v
t x t x
v
 
变量代換
𝜌2𝑆𝐿𝑔 − 𝜌1𝑆𝑥𝑔 = 𝜌2𝑆𝐿
𝑑𝑣
𝑑𝑡
1
2
1 d d
x
g x v v
L


 
 
 
 
2 2
1
1 1 1
2
1 1
2 2
g
gL L v
L


 
 
 
 
2
1
1
v Lg


 
1 1
1
0 0
2
1 d d
v
L x
g x v v
L


 
 
 
 
 
两边积分
𝐿1 =
𝜌2
𝜌1
𝐿

39.   2
d
d
x y
mv m
v
g c v
x
c
 
    
【例】飞机以𝑣0 = 90km/h的水平速度触地滑行着陆，滑行期
间受到空气的阻力为𝑐𝑥𝑣2
，升力为𝑐𝑦𝑣2
，其中𝑣是飞机的滑行
速度，已知
𝑐𝑦
𝑐𝑥
= 5 。设飞机与跑道的摩擦系数为 𝜇 = 0.10 ，求：
飞机从触地到停止所滑行的距离。
F
N
G
a
f
f 
  2
d
d
x y
m mg
v
v
c
t
c
 
   
消去N
2
2
d
0
x
y
v
N c m
dt
N
v
v
c mg

  
  





【解】
d
d
d d
d d
d
d
x
v
v v v
x
t t x
 
变量代换

40.  
 
 
2
2
0
ln
2
x y
x y x y
mg c v
m
x
c mg c v
c
c c
 
  
 
 
   
  
 
 
 
 
2 2
2
0
0
2
0
ln
2
y x y
y
x
x y
v
c c
c
c
c
v v
c
x
v
c
g
 

 
 
    
  
 
𝑚𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −𝜇𝑚𝑔 − 𝑐𝑥 − 𝜇𝑐𝑦 𝑣2
 
0
2 0
d
d
v x
x y
v
mv v
x
mg c v
c
 
 
 
 
积分
2
0
y
c v mg

飞机触地瞬间，竖直方向受力平衡
0 90km/h, 5, 0.10
y
x
c
v
c

  
x=221m