1. §1−4 對 數 函 數
~1−4−1~

2. ( 甲 ) 對 數 函 數 的 意 義
(1) 定 義 ： 設 a>0 ， a≠1 ， x>0 ， f(x)=log a x 稱 為 一 個 以 a 為 底 數 的 對 數 函 數 。
定 義 域 ：
值 域 ：
(2) 對 數 函 數 f(x)=log a x 具 有 f(xy)=f(x)+f(y) 的 性 質 。 x,y 為 任 意 正 實 數 。
y
( 乙 ) 對 數 函 數 的 圖 形
y=log2x
(1) 描 點 畫 圖 ：
1 1 1 (1,0) x
x 1 2 3 4 O
4 3 2
y = log 2 x − 2 − 1.5850 − 1 0 1 1.5850 2
y=log0.5x
1 1
x 1 2 4
4 2
y = log 12 x 2 1 0 −1 − 2
結 論 ：
(a)y=log a x 的 圖 形 都 在 y 軸
y 的 右 方 。 ( 即 x>0)
a>1
(b)y=log a x 的 圖 形 與 x 軸 交 於 點 (1,0) 。
(c) 平 行 x 軸 的 直 線 都 恰 與 y=log a x 的 圖 形 交 於 一 點 。
log 1 x
(d)y=log a x 與 y= a
的 圖 形 對y=log稱 於
ax
x 軸 。
O x (e)
 當 a>1 時 ，
f(x)=log a x 的 圖 形
y
向0<a<1
右 上 升
⇔ f(x)=log a x 為 遞 增 函 數
⇔ x 1 >x 2 ⇔ log a x 1 >log a x 2
O x
y=logax
 當 0<a<1 時 ，
f(x)=log a x 的 圖 形 向 右 下 降
⇔ f(x)=log a x 為 遞 減 函 數
⇔ x 1 >x 2 ⇔ log a x 1 <log a x 2
~1−4−2~

3. (2) 對 數 函 數 與 指 數 函 數 圖 形 的 關 係 ：
 對 數 函 數 與 指 數 函 數 有 以 下 的 關 係 ： y=log a x ⇔ x=a y 。
換句話說，以 a 為底數的對數函數，其 自 變 數 x 及應 變 數 y 分別是以 a 為底
數的指數函數的應 變 數 及自 變 數 。我們稱有這種特殊關係的兩個函數互為 反
函 數 ， 即 同 底 的 對 數 函 數 與 指 數 函 數 互 為 反 函 數 。
a>1 符y 號 ： x f(x)
y=a 的 反 函 y數 為 0<a<1(x)
f− 1 。
 圖 形 關 係 x=y ：
如 果 考 慮 兩 個 反 函 數 的 圖 形 ， 根 據 反 函 數 的 意 義 ：
點 (x 0 , y 0 ) 在 y=log ay=logax 形 上
x 的圖 y=ax 點 (y 0 , x 0 ) 在 y=a x 的圖形上
而 點 (x 0 , y 0 ) 與 (y 0 , x 0 ) 對 稱 於 直 線 x=y ，
O x
因 此 y=log a x 的 圖 形 與 y=a x 的 圖 形 O 稱 於 直 對 線 x x=y 。
x=y 如 下 兩 圖 所 示 ：
y=logax
(3) 對 數 函 數 圖 形 的 凹 凸 性 ：
 當 a>1 時 ， f(x)=log a x 的 圖 形 為 凹 向 下 ， 即 圖 形 上 任 兩 點 A,B 的 連 線 在
A,B 兩 點 間 的 圖 形 下 方 。
1 x1 + x 2
因 此 (log a x1 + log a x 2 ) ≤ log a ， x 1 ,x 2 為 任 意 的 正 實 數 。
2 2
~1−4−3~

4.  當 0<a<1 時 ， f(x)=log a x 的 圖 形 為 凹 向 上 ， 即 圖 形 上 任 兩 點 A,B 的 連 線
在 A,B 兩 點 間 的 圖 形 上 方 。
1 x1 + x 2
因 此 (log a x1 + log a x 2 ) ≥ log a ， x 1 ,x 2 為 任 意 的 正 實 數 。
2 2
y
對數函數的圖形
1. 設 y=log2x 之圖形為右圖， y=log2x
試利用對稱的性質作下列各圖形。 O x
(1)y=log2(−x) (2)y=−log2x (3)y=−log2(−x)
y y
y=−log2x
y=log2(−x) y=log2x y=log2x
O (1,0) x x
O
(1,0)
y
y=−log2(−x)
y=log2x
O (1,0) x
~1−4−4~

5. 結 論 ：
(1)y=f(x) 的 圖 形 與 y=f(− x) 的 圖 形 對 稱 於 y 軸 。
(2)y=f(x)的 圖 形 與 y= − f(x)的 圖 形 對 稱 於 x 軸 。
~1−4−5~

6. 2. 利用 y=log2x 的圖形作下列各函數的圖形：
(1)y=f(x)=|log2x| (2)y=f(x)=log2|x|
y y
O (1,0) x A (1,0) x
結 論 ： 將 y=f(x)圖 形 中 在 x 軸 下 方 的 部 分 對 稱 x 軸 形 成 的 圖 形 為 y=|f(x)|的 圖
形 。
－x
1. 設 a＞1，則下列那一個選項，表示函數 y＝log a x 與 y＝a 的圖形？
(A) (B) (C) (D) (E)
Ans：(A)
2. 設 a ＞ 0 且 a≠1﹐ 試 問 下 列 何 者 可 能 為 y ＝ a x 為 y ＝ log a x 之 圖 形 ﹖
(A ) (B ) (C ) (D ) (E )
O O O O O
Ans：(A)(C)
3. 比較 y=log 2 x，y=log 3 x 的圖形， y=log 2 x 與 y=log 3 x 的圖形
1 1
~1−4−6~

7. 4. 下 圖 中 ， y ＝ log a x 與 y ＝ log d x 兩 圖 形 對 稱 於 x 軸 ，
y ＝ log b x 與 y ＝ log c x 兩 圖 形 對 稱 於 x 軸 ，
則 下 列 何 者 為 真 ？
(A) a ＞ b ＞ c ＞ d
(B) b ＞ a ＞ c ＞ d
(C) b ＞ a ＞ d ＞ c
(D) ad ＝ 1
(E) abcd ＝ 1 。
Ans：(C)(D)(E)
5. 試畫出(1)y=log 2 x 2 (x≠0) (2)|y|=log 2 |x| 的圖形。
圖形交點與方程式的實根個數
3. 求下列方程式之實根個數：
(1)x−logx=0 (2)x−1=log2x。Ans：(1)0 (2)2
6. 下 列 何 者 與 y=x 恰 交 於 一 點 ？
(A)y=2 |x| (B)y=() |x| (C)y=log|x| (D)y=|logx|。 Ans：(B)(C)(D)(E)
log 1 x log 1 x
7. 由作 y= 2
與 y=x 2 之圖形可知方程式 2
=x 2 之實數解的個數為？
Ans：1
8. 方程式 x−1=|log 2 x|有 個實根。 Ans：2
9. 方程式|log 2 x|=() |x| 之實數解有多少個？ Ans：2
對數比大小
4. 設 a=，b=log49，c=log925，試比較 a,b,c 的大小。 Ans：b>a>c
~1−4−7~

8. 10. 設 a=log 0.2 0.2,b=log 0.3 0.2,c=log 2 0.2,d=log 3 2。請比較 a,b,c,d 的大小。
1
11. 下列何者之值大於 1？(A)log 1 4 (B)log 1.4 1.7 (C)log 0.3 0.8 (D)log 0.7 0.3
3
Ans：(A)(B)(D)
12. 設 x,y,z 為 正 數 ， 且 2 x =3 y =5 z ， 比 較 2x,3y,5z 的 大 小 。
Ans ： 5z>2 x> 3y [ 提 示 ： 可 令 2 x =3 y =5 z =K ， 則
x=log 2 K ， y=log 3 K ， z=log 5 K
，再比較 2x,3y,5z 的大小]
對數函數的定義域問題
5.
(1)log2(1+2x−3x2)有意義，求 x 的範圍。
(2)log(2x−1)(−3x2+11x−6) 有意義，求 x 的範圍。
Ans：(1)<x<1 (2)<x<3，但 x≠1
13. 若 log a x>0 ， 試 就 a 討 論 x 的 範 圍 。
Ans ： a>1 時， x>1 ； 0<a<1 時， 0<x<1
~1−4−8~

9. 14. 求 下 列 函 數 的 定 義 域 ：
log 2 (log 1 x)
(1)f(x)= log ( x 2 −3 x + 2 ) ( x + 2 x − 3)
2
(2)f(x)=
3
Ans ： (1){x|x<−3 或 x>2 但 x≠} (2){x|0<x<1}
x + 2x − 3 > 0
2
 2
(1) 提 示 ： log ( x 2 −3 x + 2) ( x + 2 x − 3) 有 意 義
2
 x − 3x + 2 > 0 。
 x 2 − 3x + 2 ≠ 1

log 1 x > 0

log 2 (log 1 x)
(2)提示： 有意義  3
3
 x>0

對數不等式
6. 解下列不等式：
log 1 x
(1)log0.5(2x−3)>0 (2)(5−x)( )>0
3
log 1 x
(3)log2( )<1 (4)log(6x−x2)<1+log(5−x)
3
Ans：(1)<x<2 (2)0<<1 (3)<x<1 (4)0<x<8−
~1−4−9~

10. 7. 解 log3(3x+8)<+1+log32。 Ans：log34<x<log316
15. 解 下 列 不 等 式 ：
(1)log(x 2 −4x+3)≥
log(2x−1) 2 +log3 (2) log 1 log 2 log 1 x > 1
2 3
1 2 1
Ans：(1)0≤x≤，x≠ (2) ( 3 ) < x < 3
16. 不 等 式 log 0.5 (x−2)>log 0.25 (4x 2 −17x+4) 的 解 為 (A)4<x (B)2<x<4
13 13
(C)4<x< (D) <x (E)以上皆非 Ans：(D)
3 3
17. 解 log 2 (2 x +16)< + 1 +log 2 5。 Ans：2<x<6
求 a>1 y 反 y=ax 函y 0<a<1 數
x=y
y=ax
y=logax
O x x
O
x=y
y=logax
~1−4−10~

11. x與y互換
(a)y=log a x 與 y=a x 互 為 反 函 數 。 [y=log a x ⇔ x=a y   → y=a x ]

(b) 點 (x 0 ,y 0 ) 在 y=log a x 圖 形 上 點 (y 0 ,x 0 ) 在 y=a x 圖 形 上 。
(c) y=log a x 與 y=a x 兩 圖 形 對 稱 於 直 線 x−y=0 。
(d) 求 反 函 數 的 法 則 ：
已 知 函 數 f(x) ， 求 反 函 數 f −1
(x)= ？
令 y=f(x)，用 x 解出 y，(即表成 y 是 x 的函數)，再將 x 與 y 互換，即求得 f −1 (x)。
8. 求下列各函數的反函數：
(1)y=f(x)=3x+5 (2)y=f(x)=log2(x−2) (3)y=3x+2−5
Ans：(1)f−1(x)= (2)f−1(x)=2x+2 (3)f −1(x)=log3(x+5)−2
18. 求 下 列 各 數函 之 反 函 數 ：
−x
2 +2
x
(1)f(x)=log 2 (x−3) ， x>3 (2)f(x)= x ， x≠0 (3)f(x)=(0.2) −x +1
2 − 2 −x
1 x +1
Ans ： (1)f −1 (x)=2 x +3 ， x∈R (2)f −1 (x)= 2 log 2 x − 1 ， x<1 或 x>1
(3)f −1 (x)=log 5 (x−1) x>1
綜合練習
~1−4−11~

12. (1) 右圖為函數 y＝logbax 的部分圖形﹐其中 a﹐b 皆為常數且 a＞0﹐b＞0﹐
則下列何者為真﹖
(A)a＞1﹐b＞1(B)0＜a＜1﹐b＞1
(C)a＝1﹐b＞1(D)a＞1﹐0＜b＜1
(E)0＜a＜1﹐0＜b＜1。
(2) 右圖為函數 y=a+logbx 之部分圖形，其中 a,b 為常數， y
則下列何者為真？
(A)a<0，b>1 (B)a>0，b>1 (C)a=0，b>1 (D)a>0，0<b<1
1 2
(E)a<0，0<b<1 O x
(88 社)
(3) 設 0＜a＜1，則下列那一個選項，表示函數 y＝logax 與 y＝(1－a)x 的圖形？
(A) (B) (C) (D) (E)
(4) 設 y=3x，y=3−x， y＝log 2 x ， y＝log 2 (－x) ， y＝－log 2 x
的圖形皆在右圖中，A，B，C，D，E
何者是 y＝－log 2 x 的圖形？
(A)A (B)B (C)C (D)D (E)E。
(5) 右圖中，A，B，C，D，E
何者為 y= log 2 2x 之圖形？
(A)A (B)B (C)C (D)D (E)E。
~1−4−12~

13. (6) 若函數 y=ax 之圖形右圖，則下列圖形何者(以 A、 ….G、 表示)是下列函數的
B、 H
圖形。
y = log 1 (− x)
(a)y=()x (b)y=logax (c)y=a−|x| (d) (e)y=|logax|
a
y 0<a<1
(7) 試求方程式 x2+log|x|=0 有 個實數解。
(8) 請問 2x=log0.5|x|的實數解有 個。 O x
(9) 下列各值最小的是 y=logax
1 1
(A) log 1 3 (B) log 1 5 (C) log 1 (D) log 1 (E) log 1 1。
3 3 3 5 3 3 3
log 3 5
(10) 若 a=log23,b=log43,c= 3 ,d=log0.53，則四數的大小為何？
(11) 對函數 f 而言，若 a,b 為正數，且 a≠b
若 f( ) > (f(a)+f(b))，則 f(x)的圖形為凹向下。
若 f( ) < (f(a)+f(b))，則 f(x)的圖形為凹向上。
設 f(x)=logmx (m>0，且 m≠1)試證：
(a)當 m>1 時，f(x)的圖形為凹向下。
(b)當 0<m<1 時，f(x)的圖形為凹向上。
1
(12) 設 a＞b＞1000，令 p＝ log 7 a ⋅ log 7 b ，q＝ 2 (log7a＋log7b)，
a＋b
r＝log7( 2 )，則下列敘述何者正確？
(A) q＝log7 a b (B) q＞r (C) r＜p＜q (D) p＜q＜r (E) q＜p＜r。
(13) 設 f(x)=log3(log0.3(log9x))，試求(a)f(30.054)=？ (b)x 的範圍。
~1−4−13~

14. (14) 解下列不等式：
(a)logx(x−1)>0 (b)loga(x−7)+loga(x+3)<loga(2x−5)
(c) log 1 (log 4 x) ≥ −1 (d)x 為不等於 1 的正數，解 log x+log 3<
3 3 x
(e) 2 log 1 (3 − x) ≥ log 12 ( x − 2) − 1
4
(15) 求解 log1.5(x+1)>log2.25(x2−x−1)
(16) (a)設 y=f(x)= −1+，x 為不等於 0 的實數，試證明：f(x)=f(−x)。
(b)設 y=f(x)=x⋅log10(x+)，x 為實數，試證明：f(x)=f(−x)。
10 x − 10 − x
(17) 求 f(x)= ，(x 為實數)的反函數。
2
1− log x
(18) 求 f(x)= x ，1≤x≤100，之最大值與最小值。
進階問題
(19) 令 S n = log a 3 + log a 3 + log a 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + (共 n 項)，
lim S lim S
(a)請問若 n→∞ n 存在時，a 的範圍為何？ (b)此時 n→∞ n =？。
10 x − 10 − x
(20) 設 f(x)= x ，x 為實數
10 + 10 − x
(a)證明：若 x1>x2，則 f(x1)>f(x2)。(b)y=f(x)，則 y 之範圍為何？
(c)求 f−1(x)=？
(21) 求解下列不等式：
1
(a) log 10 ( x + 1) + 2 log100 ( x − 2) ≥ 1 。(b) log 12 (3 − x ) ≥ log 14 | x − 2 | −1 。
2
(22) 設 x 為型如 3m(m 為正整數)的數，且滿足的1<log3(log9(log27x))<1，則此種 x 共
有多少個？
(23) 若方程式 x4+2(log2k)x2+1−(log2k)2=0 有兩相異實根及兩共軛虛根，則實數 k 的
範圍為何？
(24) 設 x>0，y>0 若 x+2y=12，則 log2x+log2y 之最大值為 。
(25) 求滿足 n4<106<(n+1)4 的正整數 n。
(26) 對任意實數 x，log(x2+2x+a)>0 恆成立，求 a 的範圍。
綜合練習解答
~1−4−14~

15. (1) (A) (2) (E) (3) (C) (4) (A) (5) (D) (6) (a)(A)(b)(C)(c)(F)(d)(D)(e)(G)
(7) 2 (8) 2 (9) (B) (10) d<b<a<c (11)[提示：請利用算幾不等式] (12)(A)(D)
(13) (a)1 (b)1<x<9 (14) (a)x>2 (b)a>1 時，7<x<8；0<a<1 時，x>8 (c)1<x≤64
7 2 1− 5 1+ 5
(d)0<x<1 或 3 < x < 27 (e) 3 ≤ x < 3 (15) − < x < 或x>
3
3 2 2
4 1
(16)略 (17) f −1 (x)=log(x+) (18) 10 , 100 [提示：logf(x)=(1−logx)⋅logx
=−(logx) 2 +logx=−(logx−) 2 +，因為 1≤x≤100，所以 0≤logx≤2，所以 logf(x)的最大
值為，最小值為值2。] (19) (a) <a<，a≠1 時，所求值存在；(b)log a 3
1+ x
[考慮公比 log a 3 絕對值小於 1] (20) (a)略 (b)−1<y<1 (c)f −1
(x)= log10
1− x
(21) (a) x≥4 (b) x=1 或 5−2≤x<3 (22) 17 (23) 0<k< 或 k>2 (24) 1+log 2 9 (Hint：利
用算術平均數大於幾何平均數) (25) 31 (26) a>2
~1−4−15~