3. § 二. 因數與倍數
1. 因數倍數與整除: a 除以 b , 若餘數為 0, 則稱 a 是 b 的倍數,b 是 a 的因數, 並以 b|a
表示。
2. 遞移律: 若 a | b 且 b | c , 成立則 a | c 。
3. 因數性質: 若 c | a且c | b 成立, m 、 n 為任兩整數, 則 c | (ma + nb)。
4. 倍數的判別:
(1) 4 的倍數 ⇒ 末兩位為 4 的倍數
(2) 8 的倍數 ⇒ 末三位為 8 的倍數
(3) 3 的倍數 ⇒ 數字和為 3 的倍數
(4) 9 的倍數 ⇒ 數字和為 9 的倍數
(5) 11 的倍數 ⇒ 奇數位數和-偶數位數和=11 的倍數
例題解說:
例題 1. a 、 b 、 c 為整數, 判斷下列敘述的對錯:
(1) 若 a | bc , 則a | b 或 a | c
(2) 若 a | b 且 a | c 則 b 與 c 的最大公因數被 a 整除
(3) a | b 且 b c 則 a c
例題 2. m 、 n 為自然數 , m > 1 , 若 m | (35n + 28) , m | (7n + 3) , 求 m=?:
3a + 3
例題 3. a 為整數 , 若 為自然數 , 求 a=?
2a − 1
例題 4. 七位數 26xy607 = n , 若 9 | n , 則數對 (x,y) 有多少組解?
3
4. 例題 5. 八位數 25a3421b , 若為 44 的倍數則求數對 (a, b)
類題練習:
類題 1. 判斷下列敘述的對錯?
(1) p 為質數 , 若 p | bc 則 p | b 或 p | c
(2) 若 a | c 且 b | c 則 (a + b) | c
(3) 若 a | b 且 c | d 則 ac | bd
(4) 若 a | c 且 b | c 則 a 、 b 的最小公倍數可以整除 c
類題 2. a 、 b 為整數 , 若 a | (5b + 7) , a | (3b + 2) , 且 a > 1, 求 a=?
2x−25
類題 3. x 為整數 , 若 2x+1
為自然數 , 求 x=?
類題 4. a 為整數 , 若 a | (a + 10) , (a + 1) | (2a + 11) , 求 a=?
類題 5. n = 27x45y1 , 若 9 | n , 則數對 (x, y) 有幾組解? ; 若 11 | n, 則數對 (x, y) 幾組解?
類題 6. 12a49b 若是 36 的倍數 , 則數對 (a, b)=? ; 若為 99 的倍數 , 則數對 (a, b)=?
類題 7. 六位數 abcabc 必為下列哪些數之被數?
(A) 7 (B) 11 (C )13 (D)77 (E) 143
4
5. § 三. 質數與標準分解式
1. 質數的定義: 自然數 a , a > 1 若 a 的正因數只有 1 與 a , 則稱 a 為質數。
√
2. 質數判別定理: 自然數 a , 若所有 1 到 a 的質數, 均非 a 的因數 , 則 a 為質數。
a a a
3. 標準分解式: 自然數 a 可分解成質數的乘積, 即 a = P1 1 × P2 2 × . . . × Pn n , 其中底數
P1 , P2 , . . . , Pn 為由小到大的質因數,a1 , a2 , . . . , an 為次數。
4. 標準分解式的應用: 由 3. 可得
(1) a 的正因數個數=(a1 + 1)(a2 + 1) . . . (an + 1) , 即指數各加 1 的乘積。
(2) a 的正因數和=
2 a 2 a 2 a
(1 + P1 + P1 + . . . + P1 1 )(1 + P2 + P2 + . . . + P2 2 ) . . . (1 + Pn + Pn + . . . + Pn n )。
√
(3) a 的正因數乘積= an , 其中 n =正因數個數。
例題解說:
例題 1. 下列何者為質數?
(A) 347 (B) -2003 (C) 123123 (D) 793 + 693 (E) 143
例題 2. x 為自然數, 若 15x2 − 5x − 2 為質數, 則 x=?, 此質數為?
例題 3. x 為自然數, 若 p = (a2 − 22a + 121)(a2 − 2a + 79)為質數 , 則 a=?
例題 4. 試寫出 3024 的標準分解式 , 並求:
(1) 正因數個數=? (2) 因數個數=? (3) 質因數個數=? (4) 正因數之和=?
(5) 所有因數和=? (6) 正因數之積=? (7) 正因數中 18 的倍數有幾個=? 其和為?
(8) 正因數之倒數和=?
5
7. § 四. 最大公因數與最小公倍數
1. 最大公因數: a 、 b 為整數, 若 c | a 且 c | b, 則稱 c 為 a 、 b 的公因數。 所有公因數中最大者
即為 a 與 b 的最大公因式 (gcd), 並以 (a, b) 。
2. 互質: 若 (a, b) = 1 , 則稱 a 與 b 互質。
3. 輾轉相除法: 若 a = bq + r , 其中 a 、 b 、 q 、 r 為整數, 則 (a, b) = (b, r) 且 (a, q) = (q, r) 。
4. 輾轉相除法的應用: 利用輾轉相除法及除法原理反覆化簡, 可將兩個較大的數變小, 進而於找
出最大公因數。
5. 輾轉相除法求整數解: 設 a 、 b 為非零整數, 則必存在整數 m 、 n ,
使得 (a, b) = ma + nb 成立。
6. 最大公因數的性質:
(1) 若 (a, b) = 1 , 則 (am , bn ) = 1 , m 、 n 為任兩自然數 。
(2) 若 (a, b) = 1 , (b, c) = 1 , 則 (ab, c) = 1 。
(3) 若 a | bc 且 (a, b) = 1 , 則a | c 。
7. 最小公倍數: a 、 b 為自然數 , 若 a | p 且 b | p , 則稱 p 為 a 、 b 的公倍數。 的正公倍數
有無限多個, 最小者即稱為 a 、 b 的最小公倍數 (lcm), 並以 [a, b] 表示。
8. 由最大公因數求最小公倍數: 若 a = dh , b = dk , 式中 d = (a, b) ,(h, k) = 1 , 則
ab
[a, b] = dhk = 。
(a, b)
9. 多個數求 gcd 與 lcm: 三個數 a 、 b 、 c , 則 (a, b, c) = ((a, b), c) , [a, b, c] = [[a, b], c] 。
例題解說:
例題 1. 試證明輾轉相除法原理:
例題 2. a > 1000, 以知 a 除以 605 所得的餘數為 40 , 求 a 與 605 的最大公因數為?
7
